Considerazioni preliminari

Transcript

1 Considerazioni preliminari M. Galuzzi Trento, 2108

2 Analisi infinitesimale (Calcolo Differenziale) e la Matematica Classica Un elenco (non esaustivo) di oggetti/concetti oggi necessari per presentare l Analisi Infinitesimale. Il concetto di funzione, con varie possibili formulazioni: Una legge che ad ogni x X associa un y Y ; Un sottoinsieme particolare di X Y ; un espressione analitica f(x). Un algoritmo che ad f(x) associa f (x) un algoritmo che ad f(x) associa f(x)dx argomentazioni di natura infinitesimale ; equazioni, formule, sviluppi in serie, ecc.

3 Concetti non (del tutto) presenti nella Matematica Classica Il concetto di funzione è presente in modo solo embrionale Ovviamente se si cambiano alcuni dati in una figura certe quantità vengono modificate. Ma questo non è sufficiente per avere un concetto di funzione. Un esempio spesso male interpretato: Talete e l altezza della piramide di Cheope 1. Vi sono simboli, ad esempio in Euclide: A, B, Γ,... per indicare numeri interi. Ma la nostra notazione algebrica ariva solo con Descartes (1637). Anche se sono presenti considerazioni di natura infinitesimale (si dice spesso di Archimede precursore del Calcolo ) bisogna valutare con attenzione le differenze. 1 Tra i molti riferimenti: Diogene Laerzio:... egli misurò le piramidi a partire dalla loro ombra, facendo le osservazioni quando l ombra è della stessa nostra grandezza. In [Diogene Laerzio(2017), p. 31]

4 Ma certe strutture dimostrative sembrano date una volta per tutte l irrazionalità di 2 (si veda [Aristotele(2016), p ]) m 2 = m 2 = 2n 2. n Allora m è pari : m = 2p. 4p 2 = 2n 2 2p 2 = n 2. Anche n è pari : Assurdo. (1) La IX.20 degli Elementi: esistono infiniti numeri primi: Per assurdo, siano solo A, B, Γ. Si consideri A B Γ + 1. Se è primo si ha un altro numero primo diverso da A, B, Γ. Se non è primo è divisibile per un numero primo, ad esempio A. Ma se A divide A B Γ + 1, poiché divide anche A B Γ deve dividere l unità. Assurdo.

5 Qualche considerazione sul Metodo di Archimede Il Metodo di Archimede sui teoremi meccanici ad Eratostene (β),- il palinsesto scoperto da Heiberg a Costantinopoli nel 1906,- ha uno stile matematico differente. 2 Archimede così scrive ad Eratostene all inizio del testo:... decisi di scriverti e di esporti [... ] le caratteristiche di un certo metodo, mediante il quale ti sarà data la possibilità di considerare questioni matematiche anche per mezzo della meccanica. 2 Un ottima traduzione italiana, priva di alcune parti finali, illeggibili ai tempi di Heiberg, si trova in [Archimede(1974), pp ]. Una traduzione (assai discutibile) del testo completo restaurato si trova in [Archimede(2013)]. Le recenti vicende del palinsesto sono descritte in [Netz e Noel(2007)].

6 Cautele necessarie... Tuttavia... la ricerca [compiuta] per mezzo di questo metodo non è una [vera] dimostrazione... Non è una dimostrazione, ma... è più facile, avendo già ottenuto con questo metodo qualche conoscenza delle cose ricercate, compiere la dimostrazione, piuttosto che ricercare senza alcuna nozione preventiva.

7 L equilibrio della leva Le Proposizioni 6 e 7 dell Equilibrio dei piani 3 Sia per a/b Q sia per a/b Q. 3 Si veda [Archimede(1974), p ].

8 Il segmento di parabola 1 Qui e in seguito: Tra tutti i triangoli inscritti nel segmento di parabola, 4 il triangolo ABC, con la tangente in B parallela ad AC, è quello di area massima. Nel seguito considereremo questo triangolo. 4 La scelta degli autori di [Netz e Noel(2007)] di considerare il caso particolare nel quale il segmento AC è perpendicolare all asse della parabola non è molto felice. Introduce una simmetria non necessaria. Si vedano comunque le pagine del loro testo.

9 Il segmento di parabola 2 Sia D è il punto medio di AC, CE la tangente in C. Allora BD è parallelo all asse della parabola e BD = BE ]. 5 Prop. 2 della Quadratura della parabola. Si veda [Archimede(1974), p.

10 Un altra proprietà della parabola O AC, MO BD. Allora MO : OP = CA : A Prop. 5 della Quadratura della Parabola. Si veda [Archimede(1974), p ].

11 Dalla similitudine di CON e CAK {MO : OP =} CA : AO = CK : KN

12 Uso della leva 1 MO : OP = HK }{{} : KN =CK

13 Uso della leva 2 La proporzione MO : OP = HK : KN implica che P O trasportato in H (posto con il baricentro in H) bilancia MO immaginato appeso in N

14 Uso della leva 3 [Si veda [Heath(2002), The Method of Archimedes, p. 17].] K è il centro di gravità del sistema formato da (1) tutte le linee come MO poste nel triango AF C; (2) tutte le linee poste in H uguali alle linee P O. Ne segue che il triangolo posto dove si trova è in equilibrio in K con il segmento di parabola CBA posto nel suo centro di gravità.

15 Conclusione per la parabola Se W è il centro di gravità di ACF si ha CK = 3KW, e quindi ACF : Segmento(ABC) = 3 : 1. Quindi Segmento(ABC) = 1 3 ACF. Ma CAF = 4 ABC, quindi il segmento di parabola ha area 4 3 dell area di ABC.

16 Suggerimenti/riflessioni Si utilizzi l equazione della parabola, ad esempio nella forma y = a x 2 e (eventualmente) il calcolo differenziale per ritrovare le proprietà necessarie del segmento parabolico. Si utilizzi il calcolo integrale per calcolare x2 x 1 a x 2 dx e si verifichi il risultato di Archimede. I risultati di uno dei più grandi matematici della storia ora sono facilmente accessibili...

17 Un risultato eccezionale: il volume dell unghia

18 L unghia 1 La curva in rosso è una parabola per A, B avente il vertice in V (sul diametro del cerchio perpendicolare ad AB). P QR : P P R = P Y : P P. Si deduce... che l unghia è 1 3 del parallelepipedo tratteggiato. [Archimede non usa la leva. Come Cavalieri?]

19 In termini di equazioni...

20 L unghia 2 Il triangolo P QR ed il triangolo sotto P Y sono uguali.

21 Le aree uguali

22 L unghia 3 Le aree di base, del triangolo e del cerchio, sono uguali, e le altezze dei due solidi sono uguali. Allora?

23 L unghia 4 Il segmento di parabola è 4 3 del triangolo. Si passa ai volumi...

24 L unghia 5 Il prisma è la metà del parallelepipedo...

25 Oggi: un risultato assai semplice Quindi ( b a 2 x 2) dx = b ( 1/3 x 3 + a 2 x ). 2a 2a a a b ( a 2 x 2) dx = 2 2a 3 a2 b = 1 3 2a2 b.

26 [Archimede(1974)] Archimede (1974). Opere. Utet, Torino. A cura di A. Frajese. [Archimede(2013)] Archimede (2013). Metodo. Bollati Boringhieri, Torino. A cura di F. Acerbi, C. Fontanari, M. Guardini. [Aristotele(2016)] Aristotele (2016). Organon. Bombiani, Milano. Coordinamento generale di M. Migliori. Saggi introduttivi, traduzioni, note e apparati di M. Bernardini, M. Bontempi, A. Fermani, R. Medda e L. Palpacelli. [Aristotele(2017)] Aristotele (2017). Metafisica. Giunti Editore S.p.A. / Bompiani, Firenze - Milano.

27 Introduzione, traduzione note e apparati di G. Reale. Appendice bibliografica di R. Radice. [Diogene Laerzio(2017)] Diogene Laerzio (2017). Vite e dottrine dei più celebri filosofi. Bompiani. A cura di G. Reale, con la collaborazione di G. Girgenti e I. Ramella. [Heath(2002)] Heath T. L. (2002). The Works of Archimedes. Dover Publications, Inc., Mineola, New York. Unabridged republication of the edition published by Cambridge University Press in 1897 and of the supplement published in [Netz e Noel(2007)] Netz R.; Noel W. (2007). Il codice perduto di Archimede. Rizzoli, Milano. Traduzione italiana di C. Capararo e D. Didero.