CAMPI ELETTRICI STATICI (o ELETTROSTATICA) teoria

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1 1 CAMPI ELETTRICI STATICI (o ELETTROSTATICA) teoria 1

2 Elettrostatica L elettrostatica studia i campi dovuti a cariche elettriche (sorgenti) a riposo (fisse nello spazio). L elettrostatica studia il campo più semplice, ma ha una importanza fondamentale per comprendere i modelli elettromagnetici più complessi e generali. Sono basati sulla elettrostatica la spiegazione di molti fenomeni naturali come: fulmini (lightining), effetto corona, St. Elmo fire, grain explosion I principi di diverse applicazioni industriali come: l oscilloscopio, ink-jet printer, xerografy e electret microphone

3 L elettrostatica La teoria dei campi elettrostatici è finalizzata a definire le relazioni che legano tra loro: la distribuzione delle cariche sui conduttori e dielettrico interposto la configurazione geometrica e la natura dei conduttori e dielettrici le differenze di potenziale fra i conduttori la distribuzione del campo nel dielettrico. Si tratta essenzialmente della risoluzione di un problema all equilibrio. 3

4 Elettrostatica la studio del campo elettrostatico è fondamentale per determinare: la capacità fra conduttori C La rigidità dielettrica (gradiente massimo di isolamento), il valore del campo fra le placche di deflessione in un oscilloscopio la schermatura della griglia di un tubo a vuoto il campo agente su elettroni e lacune di un transistore la forza di accelerazione che agisce su un elettrone in un cannone elettronico. 4

5 o la densità di carica lineare l : Carica elettrica La carica elettrica (q o Q) a è una proprietà fondamentale della materia ed esiste come multiplo positivo o negativo della carica 19 elettrica elementare di un elettrone e [C] Si definisce densità di carica volumica la quantità di carica in un volume infinitesimo v : Δq 3 ρ lim [C/m ] Δv0 Δv In alcune situazioni fisiche una quantità di carica q può essere identificata con un elemento di superficie s o di linea l, in questi casi si definisce la densità di carica superficiale s : Δq ρ lim [C/m ] s Δs0 Δs ρ l lim Δl0 Δq Δl [C/m] 5

6 Corrente elettrica I dq dt [C/s] o [A] J I J ds S Perciò J misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l unità di superfice ed è misurata in A/m. 6

7 Lo sviluppo dell elettrostatica inizia con la legge di Coulomb, espressa dalla relazione: Q1 Q F1 a R1 K R 1 Legge di Coulomb N +Q 1 +Q +Q 1 Q 1 e Q sono di dimensioni trascurabili rispetto alla distanza di separazione R 1, ha: il modulo proporzionale al prodotto delle cariche e inversamente proporzionale alla distanza R 1, la direzione lungo la linea di connessione delle cariche e F1 il verso tale che le cariche di natura diversa si attraggono e le cariche uguali si respingono. R 1 F1 F1 -Q F1 R1 7

8 Campo Elettrico E E lim q0 F q N C തE ha la stessa direzione della forza elettrostatica che agisce sulla carica test Il caso più semplice si ha per campo elettrostatico dovuto ad una carica q fissa nello spazio vuoto e illimitato E a a RE R R q V 4ε0R m 8

9 Campo Elettrico Campo elettrostatico nel punto P dovuto ad una carica q non localizzata nell origine: z a Pq R R R' R' l'espressione del campo diventa: E P q R R' V 3 4 R R' m o EP a qp 4 R R' o q x o R R' q ds E P R R' a Pq y Campo elettrico dovuto a un insieme discreto di cariche q 1, q,,,q n : E P n 1 qk R R V R R ' 3 4 o k 1 m k ' k 9

10 Campo Elettrico Il campo dovuto a una distribuzione continua di carica di densità si può ottenere integrando (sovrapponendo) i contributi di ciascuna carica elementare dq: de R a dq πε R 4 o Volume finito: Ε 1 ρ dv' V C con 3 4 R m m a R 0 V' Superficie finita: E 1 V C 4π R m m ρs ds' con o S' a R Lunghezza finita: E 1 V C 4π R m m ρ d ' con o S' a R 10

11 Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto I) div E E ρ dove: ε0 ρ ε 0 é la densità di carica volumica é la permettività nel vuoto II) rot E E 0 11

12 Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto Il I postulato esprime analiticamente che il flusso del campo elettrico elettrico che passa attraverso una superficie chiusa é esattamente uguale alle cariche contenute in quella superficie diviso ε 0. div E E E d s Q S ε 0 ρ ε Per il teorema della divergenza Da cui: 0 V E V dv E S dv E d s 1 ε 0 V ρ dv che rappresenta la legge di Gauss : il flusso totale di un campo elettrico nel vuoto attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica totale racchiusa nella superficie diviso 0. 1

13 Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto Forma differenziale E ρ ε 0 Forma integrale S E d s Q 0 13

14 Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto Il II postulato esprime, come si può verificare empiricamente che: L energia di un campo elettrostatico in un dato istante dipende solo dal valore e dalla posizione delle cariche in quell istante e non dipende da come esse si sono evolute. Facendo percorrere ad una carica un percorso chiuso, non si compie nessun lavoro (proprietà conservativa del campo elettrostatico) Analiticamente questi concetti possono essere espressi da: E 0 applicando il teorema di Stokes si ha: S E ds E dl 0 C 14

15 Proprietà del Campo Elettrico nel vuoto Un altro modo per dire che il campo è irrotazionale è che l integrale lineare del campo lungo un qualunque percorso chiuso è uguale a zero, ossia è indipendente dal percorso e dipende solo dai punti estremi del percorso: C 1 P 1 C 1 E dl C E dl 0 P C P P 1 E dl P P 1 E dl 15

16 Potenziale Elettrico E ( V) 0 S ( V) d s V dl C V dl dv V dl dv 0 C C LKV 16

17 17 è la variazionediv nella direzionedella tangendealla curva C V dl dv dz z V dy y V dx x V dz a z V a dy a y V a dx a x V a dz a z V a dy a y V a dx a x V a dz a z V a dy a y V a dx a x V a dz a dy a dx a V z V a y V a x V a dl V dz a dy a dx a dl V, z a y a x a V z z y z x z z y y y x y z x y x x x z y x z y x z y x z y x Potenziale Elettrico

18 Poiché le grandezze scalari sono più facili da trattare rispetto a quelle vettoriali, si definisce il potenziale elettrico scalare V tale che: E V e a calcolare il campo attraverso l operatore gradiente. Significato fisico: equivale al lavoro fatto per trasportare una carica unitaria da un punto a distanza infinita alla posizione del punto P del campo, in senso contrario alla direzione del campo (contro il campo elettrico): V Potenziale Elettrico P V V P Per convenzione si assume V =0 P E dl V 18

19 Differenza di potenziale La differenza di potenziale tra i punti P 1 e P è il lavoro fatto per trasportare una carica unitaria da un punto P 1 ad un altro P del campo, in senso contrario a quello del campo: P W Nm V V1 E dl q C P 1 J C o V Esso non dipende dal percorso, ma solo dalle posizioni dei punti E C 1 P P 1 C 19

20 Potenziale Elettrico 0

21 Potenziale Elettrico Lungo le linee equipotenziali la differenza di potenziale è nulla, in quanto la forza di campo non compie nessun lavoro essendo la forza perpendicolare al trattino dl in ciascun punto. Lungo il percorso P 1 - P 3 il lavoro è uguale a zero Lungo il percorso P 3 -P il lavoro è diverso da zero. P V(P 1 )=V(P 3 )>V(P ): da P P 3 a P è campo elettrico a compie 3 lavoro q P 1 da P a P 3 dobbiamo compiere lavoro contro il campo elettrico Per portare una carica dal a P 3 dobbiamo compiere un lavoro maggiore di quello necessario per portarla in P 1

22 Potenziale Elettrico Il potenziale elettrico in un punto P, a distanza R, dovuto ad una carica puntiforme q, riferito all infinito, si può determinare dalla equazione: R R R q q 1 q V E d R a R a dr dr V 4 R 4 R 4πε R 4πε R 0 0 o o R 0 Se abbiamo un sistema di cariche q 1, q,,,q n 1 N k V V 4π o k1 R k q La differenza di potenziale tra due punti P e P 1 alla distanza R e R 1 rispettivamente dalla carica q è: P R q q 1 1 V V V E d R dr 1 P V P1 P1 R1 4 R 4πε R R 0 o 1 Se q è positiva e R >R 1 V P <V P1 Se q è negativa e R >R 1 V P >V P1

23 Superficie finita: Potenziale Elettrico Il potensiale dovuto a una distribuzione continua di carica di densità si può ottenere integrando (sovrapponendo) i contributi di ciascuna carica elementare dq: Volume finito: dq dv con dq ρ dv' πε R 4 o V V 1 4π 0 1 4π 0 V' S' ρ R ρ R dv' S ds' V V lunghezza finita: V 1 4π 0 L' ρl R dl' V 3

24 Postulati dell elettrostatica nel vuoto forma differenziale Forma integrale E ρ ε 0 S E d s Q 0 E 0 E d l 0 Legge di Gauss nel vuoto C S E d s Q 0 4

25 Materiali nei campi elettrostatici La classificazione dei materiali in base alle loro proprietà elettriche è la seguente: conduttori semiconduttori isolanti o dielettrici Tutti questi materiali sono composti da atomi. La rappresentazione schematica del modello atomico è di un nucleo di cariche positive con le cariche negative degli elettroni che orbitano intorno. 5

26 Materiali nei campi elettrostatici Nei conduttori gli elettroni delle orbite più esterne sono debolmente vincolati alle loro orbite e migrano facilmente da un atomo all altro. Negli isolatori o dielettrici in condizioni normali sono vincolati fortemente alle loro orbite ed è necessario applicare un campo esterno perché gli elettroni migrino. Le proprietà elettriche dei semiconduttori stanno tra quelle dei conduttori e quelle degli isolatori, essi possiedono un numero limitato di cariche mobili libere. 6

27 Conduttori carichi nei campi elettrostatici Un conduttore può essere caricato per contatto o per induzione. In condizioni di equilibrio: se un conduttore è stato caricato negativamente gli elettroni in eccesso si portano in superficie se un conduttore è stato caricato positivamente gli atomi sprovvisti degli elettroni sottratti si trovano in superficie. 7

28 Conduttori carichi nei campi elettrostatici Conduttore carico per induzione Si consideri un campo elettrostatico, generato da due corpi conduttori carichi A (con carica +Q) e B (con carica -Q) e sia C un conduttore, non caricato in precedenza. A - + -q - C + +q - +Q -Q + B La superficie esterna del conduttore C partono e arrivano linee di forza (o di flusso) in numero uguale, essendo nulle le somme delle cariche indotte positive +q e negative -q. 8

29 Conduttori nei campi elettrostatici Conduttore carico per contato Se si considerano due (o più conduttori) collegati da un filo conduttore ideale, essi avranno lo stesso potenziale V 1 Q 1 Q Q Q V se V V R1 4 0 R R1 R 1 1 Q 1 Q R 1 R Q1 4R1 1 per superficie sferica con densità superficiale di carica Q 4 R 1 R E 1 R 1 E 1 dal momento che R E R E In generale: la densità di carica e il campo elettrico sono inversamente proporzionali al raggio di curvatura se Q Q 1 Q Q 1 R1 R R 1 Q e Q R R R 1 Q 9

30 Conduttori carichi nei campi elettrostatici S E d s Q 0 E 30

31 Conduttori carichi nei campi elettrostatici In condizioni di equilibrio: All interno del conduttore ρ 0 E 0 Le cariche sulla superficie del conduttore sono fisse: ciò equivale a dire che le componenti tangenziali del campo elettrico sono nulle: Il campo in tutti i punti della superficie del conduttore risulta ovunque normale alla superficie. In condizioni statiche la superficie di un conduttore è una superficie equipotenziale. Poiché E=0 in tutti i punti all intero del conduttore si ha lo stesso potenziale elettrico V. 31

32 Se si considera in un conduttore (carico) cavo una circuitazione l che taglia la superficie interna nei punti A e B, si ha: nel tratto AB d i l interna al conduttore il campo E cond =0. Se di ipotizza per assurdo una distribuzione di cariche sulla superficie interna del conduttore la circuitazione del campo elettrico risulterebbe: l E dl Schermo elettrostatico B A E cond dl A B E cavità dl 0 A B E cavità dl 0 A B in contraddizione con la proprietà di conservatività del campo. Perciò non ci può essere distribuzione di carica nella superfice interna del conduttore cavo. 3

33 Schermo elettrostatico Si consideri un corpo conduttore 1 all interno del conduttore cavo. Poiché non ci possono essere cariche sulla superficie interna di una cavità, il campo nella cavità deve essere nullo. 1 Quindi se un conduttore è cavo il campo elettrico all interno di esso è nullo e il potenziale è costante in tutti i punti del conduttore, ma anche in quelli interni alla cavità, ossia l involucro metallico può essere adoperato per sottrarre la parte di spazio da esso delimitata, all influenza di campi elettrici esterni (schermo elettrostatico). 33

34 Condizioni al contorno Superficie di separazione tra un conduttore e lo spazio vuoto spazio vuoto E a n E n S b c w a d h conduttore s Componente tangenziale del campo si calcoli la circuitazione del campo elettrostatico lungo il contorno abcda, avente: larghezza: ab=cd=w altezza: bc=da= h con h0 (contributi nullo dei tratti bc e da) Il campo nullo nel conduttore (tratto della circuitazione cd) E abcda dl ab E dl E t Δw 0 E t 0 34

35 Condizioni al contorno la componente normale del campo: si applica il teorema di Gauss, considerando una superficie Gaussiana, con la superficie superiore nello spazio vuoto e quella inferiore nel conduttore (come riportato in figura). Nella superficie di separazione tra il conduttore e lo spazio vuoto: la componente tangenziale del campo è nulla la componente normale del campo è uguale alla densità di carica superficiale diviso per la permettività dello spazio vuoto. S Q E d s 0 S E ds E n ΔS s S 0 E n s 0 35

36 Conduttori nei campi elettrostatici E t 0 Quando un conduttore è posto in un campo elettrostatico, questo fa si che gli elettroni all interno del conduttore si muovano in direzione opposta a quella del campo e le cariche positive in direzione concorde con quella del campo. Le cariche si distribuiranno sulla superficie esterna del conduttore in maniera tale: creare un campo indotto all interno del conduttore tale da annullare il campo esterno annullare il campo in direzione tangenziale alla sua superficie Quando le cariche raggiungono una condizione di equilibrio, il conduttore è di nuovo un corpo equipotenziale E n s o 36

37 Dielettrici nel campo elettrostatico I dielettrici ideali non contengono cariche libere. Quando un corpo dielettrico è posto all interno di un campo elettrostatico, non ci sono cariche libere indotte che si muovono da un atomo all altro come nei conduttori. Poiché i dielettrici contengono cariche vincolate queste agiscono sul campo elettrico. Un campo elettrico agisce sul dielettrico in due modi diversi: 1. polarizzazione per deformazione elettronica. polarizzazione per orientamento. 37

38 Dielettrici nel campo elettrostatico Polarizzazione per deformazione elettronica: consiste in uno spostamento relativo delle orbite degli elettroni periferici degli atomi rispetto al nucleo e nella loro deformazione. Polarizzazione per orientamento Si presenta in quei dielettrici in cui le molecole costituiscono dei bipoli, ma in assenza di campo esterno, per l agitazione termica, il materiale risulta macroscopicamente neutro. In presenza di un campo esterno i dipoli si orientano contrastando e modificando il campo elettrico sia all interno che all esterno del materiale dielettrico. In entrambi i casi il campo prodotto dai dipoli elettrici è di segno contrario al campo principale esterno. 38

39 Dielettrici nel campo elettrostatico Alcuni materiali dielettrici: electrets conservano una polarizzazione permanente anche quando il campo si annulla, ossia cessa la causa che ha generato la polarizzazione. Questi materiali si ottengono ponendo certe cere o materiali plastici in un campo elettrico, dopo averli precedentemente scaldati. Gli electrets sono materiali che presentano un comportamento analogo ai magneti permanenti e hanno trovato una importante applicazione nei microfoni ad alta fedeltà. 39

40 Momento elettrico specifico Per analizzare l effetto macroscopico dei dipoli indotti, si definisce un vettore di polarizzazione o momento elettrico specifico P : P lim v0 n v k1 p v k C m p k d + - θ a R R punto n v é il numero delle molecole per unità di volume il numeratore è la somma dei momenti indotti dei bipoli p =qd k contenuti in un volume elementare v, d è l asse del dipolo 40

41 Momento elettrico specifico P Δv R P lim v0 n v k1 p v k C m Punto p k d + - θ a R Il momento del dipolo d p di un volume elementare dv è: d p Pdv' generico bipolo contenuto nel volume Δv 41

42 Momento elettrico specifico Con un procedimento analogo alla definizione del potenziale dovuto a una distribuzione di carica elementare volumica: Il Contributo al potenziale nel generico punto dal singolo dipolo k è: il potenziale elettrostatico dovuto un volume elementare dv è : dv dpar P a R 4π R 4π R 0 0 Il potenziale dovuto al dielettrico polarizzato in un volume finito V sarà: V 1 P a 4π R 0 v' dove R è la distanza dal punto stabilito dal baricentro del volume 4 v R pk ar V V 4πε R dv' dv' o

43 Momento elettrico specifico L intensità del campo elettrico dovuto a una data distribuzione di cariche in un dielettrico è diversa da quella dello dovuta a cariche libere nello vuoto. In presenza di un dielettrico si deve tenere conto della distribuzione di cariche in esso presenti, perciò il postulato dell elettrostatica diventa: 1 E ρ ρp con εo densità volumica delle cariche libere p densità volumica di polarizzazione. ρ P p da cui : E ρ ε o P ε o ε o E P ρ E P o ρ 43

44 Spostamento Elettrico specifico Per tener conto anche delle sorgenti distribuite nello spazio sorge l esigenza di introdurre una delle quattro grandezze fondamentali per lo studio dei campi elettrostatici: la densità di flusso elettrico o spostamento elettrico P ρ o E L unità di misura dello spostamento elettrico ഥD nel S.I. è [C m - ] (ossia la stessa dimensione della polarizzazione തP) Nel caso più generale applicando il principio di sovrapposizione degli effetti lo spostamento elettrico è espresso dalla somma di due termini: 1. o E rappresenta lo spostamento proprio nel vuoto. P lo spostamento dovuto alla polarizzazione della materia. D C D o E P m 44

45 Modello elettrostatico L uso del vettore ഥD consente di legare, attraverso l operatore divergenza, il campo elettrico e la distribuzione delle cariche libere in qualsiasi mezzo, senza la necessità di tener conto esplicitamente della polarizzazione del vettore തP o della densità di polarizzazione di carica libera (di difficile valutazione): C ( 0 E P) D ρ 3 m Questa relazione insieme al postulato: E 0 V m Rappresentano le due equazioni fondamentali dei campi elettrostatici in un mezzo qualsiasi, dovuti ad una distribuzione a sorgenti di qualsiasi forma. 45

46 Modello elettrostatico La forma integrale partendo dalla relazione: C D ρ 3 m si ottiene facendo l integrale volumico di entrambi i membri: D dv ρ dv V da cui, applicando il teorema della divergenza: Questa è l'espressione generale della legge di Gauss: V il flusso totale del vettore ഥD attraverso da una qualunque superficie chiusa, è uguale alla carica libera totale racchiusa dalla superficie. C S D ds Q C 46

47 Dielettrici lineari ed isotropi Se il dielettrico è isotropo e per esso valgono relazioni lineari, la polarizzazione è direttamente proporzionale all intensità del campo dielettrico esterno che la induce, e la costante di proporzionalità χ e è indipendente dalla direzione del campo: P con χ ε χ E 0 e e suscettività elettrica ( adimensionale) Un mezzo dielettrico è lineare se χ e è indipendente dalla intensità del campo E omogeneo se χ e è indipendente dalle coordinate spaziali. Un mezzo si dice mezzo semplice quando è omogeneo, lineare e isotropo e per esso la suscettività χ e è costante. 47

48 Se il dielettrico è isotropo, sostituendo l espressione di in funzione della suscettibilità, nella relazione: si ottiene: con: ε ε o Dielettrici lineari ed isotropi C D εo E P m D εo E εoχ e E εo e o r C m F εr m 1 χ E ε ε E εe definita permettività assoluta o permettività e ε εr 1 e εo quantità adimensionale chiamata permettività relativa o costante dielettrica del mezzo. P ε o χ e 48 E

49 Legge di Gauss per i dielettrici lineari ed isotropi Se il dielettrico è isotropo: D εe C m con ε ε o ε r F m essendo: D d s Q E d s Q S S Si può scrivere: S E d s Q C La legge di Gauss è utile per determinare il campo elettrico in condizioni di simmetria. 49

50 Modello elettrostatico generale D ρ E 0 Le proprietà elettriche del mezzo determinano le relazioni tra il vettore spostamento elettrico e il campo. D Se il mezzo è lineare, isotropo e omogeneo, è valida la semplice relazione costitutiva: D E dove la permettività ε =ε 0 ε r è uno scalare. Quando una carica test q fissa è posta in un punto all interno di una regione di spazio dove è presente un campo elettrico E, questa è sottoposta ad una forza elettrica F e, che dipende dal valore del campo e dalla carica: F e qe [N]. E 50

51 Costante dielettrica Per i materiali anisotropi la costante dielettrica varia con la direzione del campo e i vettori D ed E hanno generalmente direzioni diverse e la permettività è un tensore. In forma matriciale: Dx ε11 ε1 ε13 Ex D y ε1 ε ε3 E y Dz ε31 ε3 ε33 Ez Per i cristalli le coordinate di riferimento possono essere scelte secondo le direzioni degli assi del cristallo così che i termini della della matrice della permettività diversi da quelli della diagonale risultino nulli. I mezzi aventi tali proprietà ( ij =0 per ij) sono detti biassiali (biaxial). Se 1 =, il mezzo è detto uniassiale (uniaxial). Se 1 = = 3, il mezzo è detto isotropo. 51

52 Rigidità dielettrica Quando il campo elettrico è molto forte attrae fuori dalle molecole gli elettroni che accelerati collidono violentemente con la struttura molecolare, causando dislocazioni permanenti e danni alla materia. Si verifica un effetto valanga di ionizzazione dovuto alle collisioni e il materiale dielettrico diventa conduttore e si possono avere elevate correnti. Questo fenomeno si chiama rottura del dielettrico. La rigidità dielettrica del materiale è l intensità del campo elettrico che un materiale dielettrico può sostenere, senza che si verifichi la rottura del dielettrico. Per l aria, alla pressione atmosferica, la rigidità dielettrica è kv 3 mm 5

53 Rigidità dielettrica Materiale Costante dielettrica Rigidità dielettrica V/m Aria (pres. atmosferica) Olio minerale Carta Polistirolo Gomma Vetro Mica

54 Postulati dell Elettrostatica Forma differenziale C 0 E P) D ρ 3 m V E 0 m Forma integrale ( D ds Q C 0 Espressione generale della Legge di Gauss S D ds Q C Legge di Gauss per i dielettrici isotropi S C E dl S E d s Q C D εe C m 54

55 Condizioni al contorno del campo elettrostatico Dielettrico non omogeneo: si consideri una interfaccia tra due mezzi lineari ed isotropi: b c 1 E 1 w a d E s h mezzo 1 h mezzo E D1 a n a n1 D S Per determinate la relazione tra le componenti tangenziali del campo sul contorno si calcola la circuitazione del vettore E lungo il percorso elementare abcda e trascurando i contributi nei tratti bc = da =h 0. 55

56 Condizioni al contorno del campo elettrostatico E 0 E 0 dl abcda b E dl E dw E dw E Δw E Δw 0 a d 1 1t t c Questo implica che: E E [V/m] 1t t che dice che la componente tangenziale del campo attraverso l interfaccia. è continua Se i due mezzi hanno rispettivamente permettività 1 e si ha: E D ε 1t 1 D ε t 56

57 Condizioni al contorno del campo elettrostatico Per determinate la relazione tra le componenti normali del campo sul contorno si applica la legge di Gauss a un cilindretto elementare con una base nel mezzo 1 e una nel mezzo, come riportato in figura. L altezza del cilindretto sia trascurabile per cui, applicando la legge di Gauss, si ha: D ds D ds D ds Q S S s1 s n1 n n1 D Dds D a D a ΔS a D ΔS ρ ΔS 1 1n n S dove an1 e a n versori uscenti e rispettivamente normali alle superfici dei mezzi 1 e. Dalla precedente relazione si ottiene che: Dn D1n ρ [C/m ] S 57

58 Condizioni al contorno del campo elettrostatico La relazione: D1n Dn ρ dice che la componente normale di S ഥD è discontinua attraverso l interfaccia, dove è presente una carica superficiale e l entità della discontinuità è uguale alla densità superficiale di carica. Se i due mezzi hanno rispettivamente permettività 1 e si ha : Se il mezzo è un conduttore ഥD =0, e l equazione precedente diventa: che diventa: E n D ε E ρ [C/m ] ρ ε En 1E1n ρ [C/m ] 1n 1 1n S S o S quando il mezzo 1 è lo spazio libero. 58

59 Condizioni al contorno del campo elettrostatico D1t poichè tan e tan 1 D 1n se i due dielettrici sono in contatto senza che ci siano libere nella interfaccia, S = 0; D D t n cariche D 1n D D tan 1t t D e n tan In questo caso il campo devia allontanandosi dalla normale alla superficie, nel mezzo con permettività più elevata. Riassumendo, in generale per i campi elettrostatici devono essere soddisfate le seguenti condizioni al contorno: componenti tangenziali: componenti normali: an E1t E t D 1 D S ρ 1 59

60 Un conduttore in un campo elettrostatico è un corpo equipotenziale e le cariche che giacciono nel conduttore, si distribuiscono sulla sua superficie in modo tale che il campo elettrico all interno di esso si annulli. Se si aumenta il potenziale V di un fattore k, aumenta anche il campo dello stesso fattore essendo: E V ma poiché: Capacità E ρ ε si ha che necessariamente aumenta la densità di carica e perciò la carica totale Q. Dunque Q e V aumentano proporzionalmente, e il loro rapporto rimane invariato. Si può scrivere: S o a n Q CU 60

61 Capacità e condensatori C = Q/U, è chiamata capacità del corpo conduttore isolato: essa è la carica elettrica che deve essere aggiunta al corpo per ottenere un incremento unitario del potenziale elettrico. C si misura in [C/V] o [F] (farad). Definiamo condensatore un componete elettromagnetico costituito da due conduttori, di forma arbitraria, separati dal vuoto o da un mezzo dielettrico. Le linee di campo elettrico: hanno origine in corrispondenza delle cariche positive e terminano sulle cariche negative sono perpendicolari alle superfici dei conduttori Le superfici dei conduttori sono superfici equipotenziali. 61

62 Capacità e condensatori Quando un generatore di tensione U 1 viene collegato tra i due conduttori, si ha un trasferimento di carica, con un addensamento di carica +Q in un conduttore e Q sull altro come riportato in figura. La capacità del condensatore sarà espressa in funzione della differenza di potenziale tra i due conduttori: Q Q Q C [F] U U 1 6

63 La capacità di un condensatore è una proprietà fisica di un sistema di due conduttori, essa dipende dalla geometria dei conduttori e dalla permettività del mezzo interposto tra loro: essa non dipende ne dalla carica Q, ne dalla differenza di potenziale U 1. Un condensatore ha un valore di capacità anche quando non gli viene applicata alcuna carica o differenza di potenziale. Dalla relazione: Capacità e condensatori Q C [F] U Si può intuire che la capacità C si può determinare in due modi: assumendo una U 1 e determinando Q in funzione di U 1 assumendo una Q e determinando U 1 in funzione di Q. 1 63

64 Capacità e condensatori Procedura generale per la determinazione della capacità C 1. Stabilire il sistema di coordinate appropriato in base alla geometria del condensatore (coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche). Assumere una distribuzione di cariche +Q e Q sui conduttori E 3. Determinare in funzione della carica Q per mezzo della legge di Gauss (o altre relazioni): Q E d s ε S 1 1. Determinare la U 1 calcolando l integrale (*): U E. Determinare infine C calcolando il rapporto: (*) integrando dal conduttore carico con Q sino a quello carico con +Q 1 C Q U 1 dl 64

65 Condensatore piano Esso è costituito da due armature piane di area A separate da uno spessore d di dielettrico uniforme di permettività. y + - d o E x + permettività del dielettrico Sulle due armature siano uniformemente distribuite le cariche +Q e - Q rispettivamente, con densità di carica uniforme : ρ S Q S Per questa configurazione geometrica, il sistema di riferimento più appropriato è quello cartesiano. 65

66 Condensatore piano Trascurando l effetto ai bordi, il campo si può ritenere costante all interno del dielettrico: Q Q Q E ds E perciò E a 1nds E1 na y ε ε A S S 1 U 1 E dl a y a ydy d y1 0 da cui. La capacità è: legata ad e alle dimensioni A e d del condensatore e indipendente da Q e U 1. y d C d 0 Q U 1 Q A εa d Q A 66

67 Capacità nei sistemi multiconduttore Si considerino più conduttori in un sistema isolato come in figura. Le posizioni dei conduttori sono arbitrarie e uno dei conduttori può rappresentare la terra (V=0). 1 N 3 Se su ciascun conduttore è presente una carica Q i, questa inciderà sul potenziale di ciascun corpo. Poiché la relazione tra la carica e il potenziale è lineare, è possibile scrivere il sistema di equazioni che legano i potenziali V i degli N conduttori alle cariche Q i. In forma matriciale: V pq 67

68 Capacità nei sistemi multiconduttore dove p è una matrice di coefficienti p ij con i=1, N e j= 1, N, chiamati coefficienti di potenziale, che dipendono: dalla forma e posizione dei conduttori e dalla permettività ε ij del mezzo interposto tra i conduttori Il sistema di equazioni precedente può essere invertito per esprimere le cariche in funzione dei potenziali: Q cv dove c è una matrice di coefficienti costanti i cui valori dipendono solo dai valori di p ij e V è il vettore dei potenziali sei singoli conduttori quando gli latri sono collegati a terra. I coefficienti c ij con i=j, sono chiamati coefficienti di capacità I coefficienti c ij con i j, sono chiamati coefficienti di induzione 68

69 Capacità nei sistemi multiconduttore I coefficienti di capacità, sono pari al rapporto tra le cariche Q i e il potenziale V i dell i-esimo conduttore, quando tutti gli altri assumono potenziale V=0 (collegati a terra). V i >0 +Q i -QN i -Q -Q 3 N 3 Se esiste una carica positiva Q i sull i-esimo conduttore, V i sarà positivo, ma la carica indotta Q j sull j-esimo conduttore sarà necessariamente di segno opposto, quindi: i coefficienti di capacità c ii sono > 0 ( positivi) i coefficienti di induzione c ij sono < 0 (negativi). 69

70 Capacità nei sistemi multiconduttore L uso di uno schermo elettrostatico rappresenta una tecnica per ridurre la capacità di accoppiamento tra corpi conduttori. Si consideri un corpo conduttore 1 all interno di uno schermo conduttore collegato a terra (assume il potenziale di terra) e un terzo corpo conduttore Il campo elettrico all interno del conduttore è nullo, ossia l involucro metallico può essere adoperato per sottrarre all influenza di campi elettrici esterni la parte di spazio da esso delimitata. 70

71 Capacità nei sistemi multiconduttore Le proprietà dello schermo elettrostatico possono essere dedotte anche dalla definizione generale di capacità nei sistemi con n conduttori. Infatti per il caso illustrato Q 1 = C 10 V 1 + C 1 (V 1 -V )+ C 13 (V 1 -V 3 ) ponendo V = 0 (potenziale di riferimento di terra) si ha: Q 1 = C 10 V 1 + C 1 V 1 + C 13 (V 1 -V 3 ) Se Q 1 = 0, non c è campo elettrico all interno dello schermo ; quindi il corpo 1 e lo schermo hanno lo stesso potenziale, V 1 =V = 0. affinché C 13 V 3 =0 la capacità di accoppiamento C 13 deve essere nulla in quanto V 3 é arbitrario. Ciò significa che una variazione di V 3 non influisce su la 71 Q 1 e viceversa.

72 Q 1 + P 1 Energia elettrostatica Q + R 1 Q Q F 1 R Q è sottoposta ad una forza di repulsione 1 4π or1 radiale തF dovuta al campo generato da Q 1 Per portare una carica Q positiva dall infinito in P (lentamente affinché possano ritenersi trascurabili sia l energia cinetica che gli effetti di radiazione), in senso contrario alla direzione del campo, è necessario applicare una forza uguale e contraria a quella esercitata dal campo. Perciò, il lavoro per richiesto per portare Q in P è: W Q ( ) Q V =Q 1 V P 4π or1 Dove V è il potenziale elettrostatico in P dovuto a Q 1 posta a distanza R 1 Q P F

73 Energia elettrostatica Indichiamo con W 1 il lavoro necessario a portare Q 1 in P 1 ad una distanza R 1 da Q : W Q V =Q Q π or1 Dove V 1 è il potenziale elettrostatico in P 1 dovuto a Q posta a distanza R 1 Poiché il campo elettrostatico è conservativo il lavoro W è indipendente dal percorso fatto per portare le carica Q e Q 1 a distanza reciproca R 1 1 Q 1 Q 1 1 W=W W Q Q Q V Q V πoR1 4πoR1 73

74 Energia elettrostatica Si supponga che un altra carica Q 3 sia portata dall infinito in un punto che dista R 13 da Q 1 e R 3 da Q, sarà richiesta una quantità di lavoro: W Q V 3 3 Q 3 Q1 Q 4 o R13 4 o R l energia potenziale immagazzinata nell assemblare le tre cariche Q 1, 3 Q, e Q 3 W W W Che può essere scritta: QQ Q Q Q Q 4 R 4 R 4 R new o 1 o 13 o 3 1 Q Q 3 Q1 Q 3 Q1 Q Wnew [ Q1 Q Q3 ] 4 0R1 4 0R13 4 0R1 4 0R3 4 0R13 4 0R3 1 Wnew QV Q V Q V

75 Energia elettrostatica Estendendo la procedura per n cariche discrete localizzate in N punti: W e 1 N k1 Q k V k J In presenza di una distribuzione di cariche continua di densità, l espressione della W e, valida per una distribuzione di cariche discrete, deve essere modificata sostituendo all operatore di sommatoria l operatore di integrazione: W ρvdv' V è il potenziale nel punto dove la densità di carica è e e 1 V' v è il volume della regione dove sono distribuite le cariche ossia la regione dove esiste. J 75

76 Energia elettrostatica L unità di misura della energia prevista dal sistema internazionale (joule [J]), è troppo grande per la fisica delle particelle elementari, per cui si utilizza l elettronvolt [ev]. 1 ev J Un elettronvolt è l energia cinetica ΔE acquistata da un elettrone libero, la cui carica è J, quando è accelerato da un differenza di potenziale elettrico di ΔV =1 V nel vuoto. ΔE q ΔV coulomb 1volt joule 76

77 Energia elettrostatica In base ala relazione: si può scrivere: 1 We ρvdv J Applicando le proprietà del calcolo vettoriale: v' v' 1 W e Vdv J D essendo D ρ ( D) V (VD) - DV quindi W e (VD)dv D dv D ds D E dv V V V' V' s V' Per un volume abbastanza grande R e V 0 W e 1 V' DE dv 77

78 Energia elettrostatica D E Inoltre se il mezzo è lineare:, l energia può essere espressa in funzione di una sola grandezza di campo: W e 1 V' E dv 1 V' D dv J Si può anche definire la densità di energia elettrostatica w e, come l argomento dell integrale: W e w e dv J da cui : V' w e 1 D E 1 ε E 1 D ε J m 3 78

79 Forza elettrostatica Un metodo per il calcolo delle forze agenti su un corpo sottoposto alle azioni di un in un campo elettrostatico, è quello basato sul principio dello spostamento virtuale (o principio dei lavori virtuali) applicato ai diversi casi: 1. Sistema isolato che non può avere scambi di energia con l esterno, quindi le cariche sono costanti (Q tot =cost);. Sistema non isolato di corpi conduttori collegati rispettivamente a potenziali fissi (morsetti di batterie), per cui i loro potenziali sono mantenuti costanti (V=cost) a spese di una energia fornita dall esterno. In questo caso il sistema ha uno scambio di energia con l esterno. 79

80 Forza elettrostatica Si immagini che le forze elettriche abbiano indotto uno spostamento elementare dl in uno corpo sottoposto alla azione del campo (spostamento virtuale), per cui il lavoro meccanico compiuto sarà: dw F dl 1. Se il sistema è isolato, il lavoro meccanico è fatto a spese della energia elettrostatica immagazzinata dal sistema, perciò: dw dw F dl. Se il sistema non isolato, affinché i potenziali rimangano costanti, il lavoro meccanico è compiuto da sorgenti esterne, perciò: e e V Q dw dw F dl Dove തF Q è la forza elettrostatica nel caso di cariche costanti, e തF V è forza elettrostatica nel caso di potenziali costanti. 80

81 Poiché, in generale, la variazione differenziale di uno scalare dovuta alla variazione di posizione dl è uguale al prodotto scalare del gradiente dello scalare per dl: dw W dl 1. nel caso di sistema è isolato Forza elettrostatica dw F e Q dl F Q dw W dl e e. nel caso di sistema non isolato dw F e V dl F V dw W dl e e W W e e N N Dove തF Q è la forza elettrostatica nel caso di cariche costanti, e തF V 81 è forza elettrostatica nel caso di potenziali costanti.

82 forze elettrostatica Se il corpo è vincolato a ruotare intorno ad un asse, per esempio l asse z, il lavoro meccanico fatto dal sistema per una rotazione virtuale angolare d sarà: dw T d Dove T Z è la componente lungo z della coppia agente sul corpo. Con una procedura analoga a quella seguita per le forze, si giunge alle espressioni della componente z della coppia elettrostatica per una rotazione virtuale angolare d: z W e T N m Q z e T N m V z W Ipotesi di cariche costanti Ipotesi di potenziali costanti 8

83 Forze elettrostatiche Carica costante Sistema isolato FQ W e [N] e T N m Q z W Potenziale costante Sistema non isolato FV W N e e T N m V z W Dal confronto delle espressioni delle forze e delle coppie nei due casi si vede come l unica differenza nelle espressioni, è il segno: nel primo caso (sistema isolato con le cariche costanti), il lavoro è stato fatto a spese della energia elettrostatica del sistema nel secondo caso (sistema non isolato con i potenziali costanti), il lavoro è stato fatto grazie all energia fornita da un sistema esterno. 83

84 Soluzioni di problemi elettrostatici I problemi elettrostatici riguardano lo studio degli effetti delle cariche elettriche fisse. La risoluzione di tali problemi richiede la determinazione: del potenziale elettrico V e quindi del campo: E V (noto ρ) della distribuzione delle cariche elettriche (noto V). Nei mezzi lineari ed isotropi, se è nota la distribuzione delle cariche elettriche ρ possono essere determinati l intensità del campo elettrico e quindi il potenziale elettrico V, essendo: Q E d s e E=-s In diversi problemi pratici non è nota l esatta distribuzione delle cariche e le formule studiate per determinare queste grandezze non possono essere applicate in maniera diretta. 84

85 Equazione di Poisson Partendo dalle due equazioni fondamentali della elettrostatica valide per ogni mezzo : E 0 D ρ per la irrotazionalità del vettore campo elettrico തE, si può definire un potenziale elettrico V tale che: E V In un mezzo isotropo e lineare D εe dunque: D ρ εv -ρ dalla relazione precedente si ottiene l espressione dell equazione di Poisson: V ρ ε 85

86 Equazione di Poisson La risoluzione della equazione di Poisson comporta la risoluzione di una equazione differenziale alle derivate parziali lineare del secondo ordine. Essa risulta calcolabile in ogni punto dello spazio, dove esistono le derivate parziali del secondo ordine della funzione V(x,y,z). In coordinate cartesiane il laplaciano (o la divergenza del gradiente) di V: V V V V V a x a y a z a x a y a z x y z x y z L equazione di Poisson per l elettrostatica assume la forma: V x V y V z ρ ε V m 86

87 87 Possono essere utilizzate anche le espressioni: in coordinate cilindriche: in coordinate sferiche: z V V r 1 r V r r 1 V V sin R 1 V sin sin R 1 R V R R R 1 V Equazione di Poisson

88 Equazione di Poisson e Laplace L equazione di Poisson: V permettere di risolvere i problemi elettrostatici nei quali non è nota tutta la distribuzione della carica, ma è nota solo la carica distretta in alcuni punti dello spazio e il potenziale di alcuni corpi conduttori. Nei punti del campo di un mezzo omogeneo e isotropo, nei quali non è presente alcuna carica, ossia: = 0 l equazione di Poisson si riduce alla Equazione di Laplace: V 0 Con questa equazione è possibile risolvere problemi relativi a campi elettrostatici dovuti a un insieme di conduttori mantenuti a potenziali diversi (condensatori). 88

89 Equazione di Poisson e Laplace In molti casi semplici si ottiene la soluzione dei problemi elettrostatici attraverso l integrazione diretta delle equazioni di Laplace o di Poisson. Nei casi più complicati possono essere usati altri metodi di risoluzione. Teorema della unicità La soluzione della equazione di Poisson (o per il caso particolare di Laplace) che soddisfa le condizioni al contorno date, è unica. questo significa che una volta trovato un potenziale che soddisfa l'equazione per le condizioni al contorno assegnate, allora il campo elettrico è univocamente determinato. 89

90 Equazione di Poisson e Laplace Poiché le superfici equipotenziali sono perpendicolari alle superfici equiflusso, si può applicare ai campi il principio di dualità: Se un campo ha come superfici equipotenzali le superfici che sono equiflusso di un secondo campo, come conseguenza diretta, le equipotenziali di questo secondo campo risultano le equiflusso del primo. Ciò consente di applicare direttamente i risultati ricavati per una certa configurazione (per esempio con il contorno formato da equipotenziali), ad una configurazione duale (con lo stesso contorno formato da equiflusso). 90

91 Metodi di risoluzione di problemi elettrostatici 1. Metodo delle immagini: le condizioni sulle superfici di contorno possano essere stabilite attraverso delle opportune cariche immagine equivalenti e le distribuzioni del potenziale possa possano essere determinate in maniera semplice. P(x,y,z) R + R - z +Q o y d -d x Esempio: La condizione di potenziale nullo sul piano è soddisfatta se invece del piano conduttore si pone in y=d una carica immagine uguale e opposta. -Q 91

92 Metodi di risoluzione di problemi elettrostatici. Metodi analitici: Si usano quando la frontiera (o contorno) del dominio in esame e la distribuzione delle sorgenti sono semplici. boundary-value problems: di Dirichlet: nei quali il valore del potenziale é definito in qualunque punto del contorno; di Neumann: nei quali la derivata normale del potenziale é definita in ogni punto del contorno; mixed boundary-value (problemi vincolati al contorno misti) nei quali il potenziale é definito su alcuni contorni e la derivata normale del potenziale é definito nei contorni rimanenti metodo della separazione delle variabili V(x,y,z)=X(x)Y(y) Z(z) 9

93 Metodi di risoluzione di problemi elettrostatici Metodi numerici metodo delle differenze finite metodo degli elementi finiti Si usano nei casi in cui la frontiera del dominio e la distribuzione delle sorgenti è complessa. In questi casi i problemi possono essere risolti in modo approssimato riconducendo il problema integrodifferenziale in esame ad un problema algebrico. 93