1. PLV dei singoli pezzetti, con integrazione per parti. 2. Se ci sono condizioni al contorno essenziali e scrivo u(x, t) = u(x, t) + u ril (x, t).

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1 Sommario Questo micro bigino riassume malamente i modi per fare gli esercizi di tipo PLV e Controllo Sono superparziali e super provvisiori In ogni caso servono solo per fare il modello mega-standard che in realtà non esce MAI Resta comunque l indispensabile base di partenza In parte c è roba già fatta nel bigino, richiamata per dare un metodo sempre uguale L obiettivo unico è lo schema in tutto e per tutto Se lo sa il Mante mi accoppa, non che mi freghi, ma mi manca l altro Per cui non la firmo

2 1 PLV dei singoli pezzetti, con integrazione per parti 2 Se ci sono condizioni al contorno essenziali e scrivo u(x, t) = u(x, t) + u ril (x, t) 3 Faccio integrazione per parti e impongo i vincoli essenziali, che mi dicono dove δu = 0 4 Ottengo l equazione di moto per u(x, t) o u(x, t) 5 Separazione delle variabili u(x, t) = f(x)g(t) Tolgo qualsiasi forzante reale o dovuta alle condizioni al contorno e mi riconduco alla soluzione del tipo: f β 2 f = 0, oppure f IV + β 4 f = 0 Tenendo presente il fatto che se c è accoppiamento con termini temporali, principalmente ü(x, t) devo ipotizzare l armonicità della soluzione e ritrovare anche ω 2 nell equazione 6 Trovo i modi spazioi imponendo le condizioni al contorno e annullando il determinante della matrice di imposizione delle condizioni al contorno Se voglio normalizzo a massa unitaria 7 Uso l equazione di moto già nota per calcolare ω 2 i o λ i nel caso del PLV termico 8 Uso i nuovi modi veri nel PLV originale, quello non ancora integrato per parti, e trovo l equazione tempodipendente diagonale Se c erano condizioni al contorno essenziali mi ricordo di inserire anche il rilevamento (non nel δu) q i + ω 2 i q = Q i, oppure q i + λ i q = Q i 9 Risolvo anche questa con la solita maniera, includendo però anche le forzanti e fissando le condizioni iniziali giuste Se ci sono condizioni o forzanti di tipo F (t) = sca(t) tutto ok, ma se me le ritrovo come F (t) = δ(t) o F (t) = δ(t) devo stare attento a metterle nelle condizioni iniziali La regola è: integrare l equazione per il numero di volte che mi permette di avere di nuovo sca(t), l ordine di q che comparirà (q o q) mi dice dove inserire la discontinuità all istante Recupero con i modi di accelerazione, prendendo [K]{u} = F [M]{a} nell equazione della dinamica ed integrando tenendo conto delle condizioni al contorno PLV del Mante 1

3 Parte I Controllo PLV del Mante 2

4 Dinamica tipo Si farà riferimento ad un sistema canonico: [M]{ g} + [K]{g} = {P } con v(x, t) = [N(x)]{g(t)} e g 1 {g} = g 2 x = { } {g} {ġ} A cui può essere associata nella solita maniera la seguente equazione agli stati: ẋ = Ax + B u u + B d d y = C y x + D yu u + D yd d + D yr r z = C z x + D zu u Non si può mai inserire i disturbi nella cifra di merito, perchè usiamo quelli impulsivi che sono delle delta di Dirac e ci ritroveremmo più avanti i prodotti tra le delta, che non sappiamo fare x è lo stato del sistema, y è l uscita di misura, z la prestazione Tipi di cifre di merito Sforzi: minimizzazione globale, se J non è variabile, altrimenti mi sa ke si complica, z = EJ{v (x, t)} = EJ[N (x)]{g(t)} = [EJ[N (x)] [0]]x = C z x minimizzazione in punti di controllo ξ, z = EJ{v (ξ, t)} v (ξ 1, t) v (ξ 2, t) N 1 (ξ 1), N 2 (ξ 1), N 3 (ξ g 1 1) z = v (ξ 3, t) = N 1 (ξ 2), N 2 (ξ 2), N 3 (ξ g 2 2) N 1 (ξ 3), N 2 (ξ 3), N 3 (ξ g = [CC]{g} 3 3) z = [ ] [CC] [0] x = C z x Dove si vede che non compaiono mai i disturbi Accelerazioni: minimizzazione in punti di controllo ξ, z = {v(ξ)} v(ξ 1 ) g 1 v(ξ 2 ) N 1 (ξ 1 ), N 2 (ξ 1 ), N 3 (ξ 1 ) g 2 z = v(ξ 3 ) = N 1 (ξ 2 ), N 2 (ξ 2 ), N 3 (ξ 2 ) g = [CC]{ g} (2) 3 N 1 (ξ 3 ), N 2 (ξ 3 ), N 3 (ξ 3 ) z = [ ] [ ] [0] [CC] ẍ = [0] [CC] (Ax + B u u) = C z x + D u u Dove si vede che non compaiono mai i disturbi (1) PLV del Mante 3

5 Velocità: minimizzazione in punti di controllo ξ, z = {v(ξ)} v(ξ 1 ) ġ 1 v(ξ 2 ) N 1 (ξ 1 ), N 2 (ξ 1 ), N 3 (ξ 1 ) ġ 2 z = v(ξ 3 ) = N 1 (ξ 2 ), N 2 (ξ 2 ), N 3 (ξ 2 ) ġ = [CC]{ġ} (3) 3 N 1 (ξ 3 ), N 2 (ξ 3 ), N 3 (ξ 3 ) [ ] z = [0] [CC] ẋ = C z x Dove si vede che non compare nessun termine in u La cosa importante è di partire, sempre dalla dinamica originale e andare a ritroso fino a x e u Tipi di controllore Ottimo: si retroaziona così u = Gx, fingendo di avere a disposizione lo stato completo Subottimo: si retroaziona così u = Gy, è necessario sapere già qual è la forma della matrice dei guadagni Fondamentalmente i tipi che chiede il Mante sono solo due Proporzionale allo smorzamento, dove credo che sia come la matrice di smorzamento reale e quindi dipenda solo da due parametri G = αm + βk Controllore di tipo PD, di tipo proporzionale alla posizione v, non allo stato x, e alla veloità v, sarà quindi del tipo [ ] [P ] 0 G = (4) 0 [D] Se inoltre ti dice che è decentralizzato vuol dire che sicuramente sarà diagonale, cioè che, in un sistema dove ad ogni attuatore corrisponde un sensore nella stessa posizione, è possibile legare l attuatore solo al sensore corrispondente 01 Calcolo della matrice dei guadagni Controllore Ottimo Deterministico Il Mante non vuole che gli scrivi tutto, vorrebbe solo l equazione da risolvere, ovvero Riccati o il sistema con il metodo del gradiente Per ricordare bisogna studiare la teoria, ma c è un nesso sempre tra tutte le possibili cose, stocastico, deterministico, ottimo, subottimo 1 Prendiamo il sistema canonico citato all inizio, e definiamo il funzionale costo per il deterministico così: 1 2 F = 0 z T W z zz + ρu T W u uu dt e per lo stocastico ci sarà l integrale in media, quello con la M, ma è uguale PLV del Mante 4

6 2 Si applica la retroazione sullo stato o sulle misure, e si scrive così un solo sistema del tipo: ẋ = Āx + D dd tenendo presente che se c è il termine D yu è necessario invertire in maniera completa nel caso subottimo, ovvero: u = Gy = G(Cx + D yu u) u = (1 + GD yu ) 1 GCx = Gx 3 Si sostituisce l espressione di z = Cx, sempre senza i disturbi, nel funzionale costo, così da ottenere: F = 1 x T W (G)x dt (5) 2 un funzionale sempre dipendente solo da x, dentro a W sarà racchiusa la G che rientrerà in vari modi e non va dimenticata 4 Si calcola la risposta del nuovo sistema barrato, che è poi quello retroazionato In generale la risposta di un sistema causale che ha come ingresso d e uscita x è sempre del tipo: x(t) = e At x 0 + T 0 e Aτ B d d(t τ)dτ ma è chiaro che se usiamo solo ingressi, quindi disturbi, impulsivi che sono d(t) = dδ(t), l espressione precendente esce dall integrale per t = τ, quindi x(t) = e At (x 0 + B d d) Ora facendone la trasposta x T = (x T 0 + d T B T d )eat t e sostituendo il tutto nel funzionale costo otteniamo: F = 1 2 (xt 0 + d T B T d ) e AT t W e At dt (x 0 + B d d) Dove si vede bene che solo qui ritornano in giuoco i disturbi, perchè abbiamo ipotizzato disturbi impulsivi Sappiamo anche che questa espressione può essere ridotta più semplicemente a F = 1 ( ) 2 Tr P (G)(x 0 + B d d)(x T 0 + d T Bd T ) = 1 Tr(P M) 2 dove P soddisfa l equazione di Lyapunov 5 prima abbiamo introdotto P La teoria della ottimizzazione ci dice che per conoscere il punto di minimo rispetto a G, del costo, bisogna cercare la stazionarietà e quindi derivare direttamente F G ik PLV del Mante 5

7 ma non si può fare perchè è una menata, bla bla bla Quello che si fa è introdurre una variabile in più P, e dire che questa soddisfa Lyapunov Ā T P + P Ā + W (G) = 0 e introdurre anche la matrice simmetrica dei moltiplicatori di Lagrange, in modo da vincolare il tutto Quindi rinuncio a derivare rispetto a G totalmente, ma derivo rispetto a P e G e trovo la stazionarietà combinata A questo aggiungo appunto ancora il vincolo di Lyapunov F = 1 ( ) 2 Tr P M + Λ(ĀT P + P Ā + W (G)) Regoletta 1 (prima di Richi) L equazione di Riccati, così come quella di Lyapunov, per il controllore rispetta la classifica del tennis ATP Un modo per ricordare l ordine dei terimini 6 si fanno le tre derivate rispetto a Λ, P e G, con il trucco che A Tr(BAT ) = B e con le seguenti proprietà, che servono per ruotare i termini per ottenere quello che vogliamo derivare a destra: Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BAC) Tr(AB) = Tr(B T A T ) 7 si espandono i termini barrati per riportare tutto al sistema di controllo originale 8 dopo aver derivato ed espanso i termini barrati per riportare tutto al sistema di controllo originale, ottengo tre equazioni in Λ, P e G Se stiamo facendo il controllo ottimo deterministico avremo una espressione diretta di G(P ) dall ultima delle tre, e posso sostituirla ancora per riottenere Riccati, che è quello che vuole subito il Mante Se stiamo facendo il subottimo non si può scrivere Riccati e si ottiene un sistema completo accoppiato nelle tre variabili e non lo si risolve, ma si preferisce fare la minimizzazione diretta del funzionale costo, come dice il bigino, con l utilizzo dell euqazione aggiunta di Lyapunov per rendere il tutto più intelligente 9 Conosco G 011 Osservatore Deterministico Dato il solito sistema, si scrive l osservatore come: ȯ = Ao + B u u + L(y y o ) y o = Co + D u u PLV del Mante 6

8 senza disturbi perchè non li conosciamo naturalmente In questo caso si vuole determinare la matrice dei guadagni L dell osservatore per minimizzare l errore di osservazione che è definito come e = (x o) e se sostituiamo tenendo conto della retroazione otteniamo: ė = (A LC)e + (B d LD d )d + LD r r = Āe + B d d + LD r r dove si devono raccogliere i termini in d e r per avere un disturbo globale ė = Āe + [ B d LD r ]{d r} T abbiamo, oltre a un quadro completo, anche un sistema canonico del tipo ẋ = Ax + Bu 1 Definiamo il funzionale costo per minimizzare l errore di osservazione F = e T W ee e dt 2 Definizione della dinamica con disturbi impulsivi considerando e 0 = 0 e(t) = eāt [ B d LD yd ]{d r} T 3 inserimento nel funzionale costo F = 1 2 {dt r T }[ B d LD yd ] T [ ] t eāt W ee eāt dt [ B d LD yd ]{d r} T 4 Usiamo la solita proprietà 5 per ottenere come prima Tr([W ]{x}{x} T ) = {x} T [W ]{x} F = Tr(P M)dt dove in M ci saranno tutti i termini accoppiati misti A P sarà ancora associata un equazione di Lyapunov legata al sistema della dinamica della variabile che si sostituisce con l espressione temporale (e(t)), che è quello dell errore, del tipo Ā T P + P Ā + W ee = 0 6 si deriva come prima vedendo che ci sono alcune specularità rispetto al controllo ottimo e che c è sempre la storiella della dualità, leggere il bigino PLV del Mante 7

9 012 Osservatore Stocastico Dato il solito sistema, si scrive l osservatore come: ȯ = Ao + B u u + L(y y o ) y o = Co + D u u senza disturbi perchè non li conosciamo naturalmente In questo caso si vuole determinare la matrice dei guadagni L dell osservatore per minimizzare la varianza dell errore di osservazione che è definito come e = (x o) e se sostituiamo tenendo conto della retroazione otteniamo: ė = (A LC)e + (B d LD d )d + LD r r = Āe + B d d + LD r r dove si devono raccogliere i termini in d e r per avere un disturbo globale ė = Āe + [ B d LD r ]{d r} T = Āe + B ww dove w = {d r} T è dato solo da rumori bianchi, se ci sono disturbi casuali che non sono rumori bianchi si mette il filtro di forma per fare finta che siano dei rumori bianchi 1 Definiamo il funzionale costo per minimizzare l errore di osservazione F = M e T W ee e dt 2 Usiamo la solita proprietà Tr([W ]{x}{x} T ) = {x} T [W ]{x} per ottenere, F = 1 M Tr([W ee ]{e(t)}{e(t)} T ) dt 2 F = 1 2 Tr([W ee] M {e(t)}{e(t)} T dt) 3 la dispensa dello stocastico ci permette di inserire la varianza F = 1 2 Tr([W ee][σ 2 ee]) dt 4 e di associarle l equazione di Lyapunov duale a quella del controllo (non c è l ATP del tennis), sempre associata al sistema che governa la dinamica di σ e e, quindi con Ā Āσee 2 + σ eeāt 2 + W e e = 0 5 inserimento nel funzionale costo con il moltiplicatore di Lagrange dell equazione di Lyapunov 6 espansione per evidenziare L 7 si deriva rispetto a L, σee 2 e Λ come al solito Facendo le sostituzioni necessarie (il Mante le vuole sempre anche nello scritto), per evidenziare Riicati Probabilmente bisogna mettere a zero i termini di accoppiamento o quella altra robaccia che si vede sul bigino PLV del Mante 8

10 013 Controllo Ottimo Stocazzico Se hai capito i primi, fare un intersezione non è difficile Mi sto spaccando le gambe 014 Frasette Se il mante ti dice che introduca smorzamento, bla bla bla, significa che vuole che tu retroazioni la velocità della struttura, quindi v Significa che devi fare così se hai un subottimo: y = v(x, t) = [N(x)]{ġ(t)} = [0 N]{x} = Cx u = Gy Stai attento che se ti dice che hai degli accelerometri invece che dei sensori di velocità dovrai inserire uno pseudo integratore, che è sostanzilalmente un filtro (e ne usi spesso), per cui devi espandere lo stato Dozio dice che puoi fare finta di avere già la v e poi mettere il filtro derivatore in verifica Comunque un tipo di filtro derivatore è: Y (s) U(s) = s s a con Y (s) la trasformata di Fourier di v(t), mentre U(s) quella di v(t) sistema dinamico associato è del tipo Il Y (s) = sx F (s) y(t) = ẋ F (t) e anche X F (s) = 1 s a U(s) (s a)x F (s) = U(s) ẋ F (t) ax F (t) = u(t) assemblando si ottiene { ẋ f y f = a x f + u(t) = a x f + u(t) Lo vedi BENISSIMO sugli esercizi che ti ho dato Sono arrivato in stazione Denna denna denna BOH Così al volo non mi viene in mente altro PLV del Mante 9