L interazione elettrostatica. sommario16.1. capitolo Densità di carica Esperimenti elementari di elettrostatica

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1 capitolo 16 L interazione elettrostatica sommario Densità di carica sperimenti elementari di elettrostatica Come si misura la carica elettrica: l elettroscopio La legge di Coulomb nel vuoto Il principio di sovrapposizione Il campo elettrico Linee di forza e direzione del campo elettrico Il dipolo elettrico sercizi 625

2 626 Capitolo 16 L interazione elettrostatica ++ Figura 16.1 Atomo di Rutherford: il nucleo centrale è formato da protoni (con carica positiva) e neutroni (neutri); gli elettroni hanno carica negativa e ruotano intorno al nucleo. L interazione elettromagnetica è, insieme alle interazioni gravitazionale, nucleare forte e nucleare debole, una delle uattro interazioni fondamentali. Nello studio della meccanica abbiamo visto che l interazione gravitazionale si manifesta tramite una forza attrattiva che si esercita tra corpi che possiedono una particolare proprietà, detta massa gravitazionale. L interazione elettromagnetica si manifesta tramite la forza elettromagnetica che agisce tra corpi che possiedono una proprietà detta carica elettrica. Questa può essere di due tipi differenti, che per convenzione si indicano con gli aggettivi positivo e negativo. Gli esperimenti mostrano che cariche di tipo diverso si attraggono, mentre cariche dello stesso tipo si respingono. Quindi la forza elettromagnetica può essere sia attrattiva che repulsiva, a differenza della forza gravitazionale che è solo attrattiva. La materia è formata in larga parte da particelle dotate di carica elettrica; infatti i suoi costituenti fondamentali, gli atomi, contengono al loro interno due tipi di particelle cariche, i protoni e gli elettroni, che hanno carica uguale in modulo, ma di tipo diverso. Per convenzione si assume che la carica del protone sia positiva e uella dell elettrone sia negativa. Nel modello planetario proposto da. Rutherford e illustrato nella figura 16.1, l atomo è composto da un nucleo centrale, costituito da protoni e neutroni, 1 attorno al uale orbitano gli elettroni; la forza che tiene legati gli elettroni al nucleo è dovuta all interazione elettromagnetica tra protoni ed elettroni. I neutroni non sono dotati di carica, sono cioè neutri. Lo studio dell interazione elettromagnetica nel caso generale in cui le cariche sono in moto è aluanto complesso e sarà affrontato in parte nei capitoli successivi. In uesto capitolo studieremo l interazione elettrostatica, ovvero la forza che si esercita tra cariche elettriche in uiete. Dalla scoperta dell elettrone, avvenuta nel 1896 ad opera di J.J. Thomson, e da esperimenti successivi è emerso un fatto importante: la carica elettrica è uantizzata, cioè può assumere solo valori pari a multipli interi dell unità di carica elementare e, il cui valore è: e = 1, C, (16.1) dove il simbolo C indica il coulomb, che è l unità di misura della carica elettrica (si veda il prossimo box giallo). La carica dell elettrone è pari a e mentre uella del protone è uguale a +e. Gli esperimenti mostrano che le due cariche sono esattamente uguali in modulo, ma non vi è ancora ad oggi una spiegazione teorica del motivo di uesta uguaglianza. Il protone ed il neutrone non sono particelle elementari, vale a dire indivisibili, come lo è l elettrone; essi infatti sono formati da particelle elementari dette uark, che hanno cariche pari a frazioni di e: 2 3 e nel caso dei uark di tipo up e 1 e nel caso dei uark di 3 1 Rutherford elaborò uesto modello nella seconda decade del 1900; il neutrone fu scoperto successivamente da Chadwick nel 1932.

3 627 tipo down. Questo non viola l affermazione precedente che le cariche sono multipli interi di e, perché i uark non possono esistere individualmente come particelle libere, come l elettrone o il protone. Quindi in natura non si trovano mai valori frazionari della carica e. I vari risultati sperimentali che hanno condotto alla formulazione generale delle leggi dell elettromagnetismo indicano che vale il principio di conservazione della carica elettrica: in ualunue processo fisico la somma algebrica delle cariche elettriche coinvolte non può mai variare, cioè la carica non può essere né creata, né distrutta. Questo principio si verifica per esempio nelle reazioni chimiche: uando un atomo cede elettroni ad un altro atomo e forma una molecola, la carica complessiva si conserva. È stato anche ampiamente verificato negli esperimenti di fisica delle particelle elementari dove si possono creare nuovi tipi di particelle. Questi processi avvengono sempre rispettando rigorosamente tale principio; per esempio se si creano due particelle cariche esse devono avere necessariamente carica + e. Dimensioni e unità di misura della carica elettrica L unità di misura della carica elettrica è il coulomb, il cui simbolo è C, in onore di Charles Augustin de Coulomb che ricavò la legge che porta il suo nome e che studieremo nel paragrafo La carica elettrica è una grandezza derivata ed è definita a partire dalla corrente elettrica i, che definiremo nel capitolo 20,cheèinveceunagrandezza fondamentale del Sistema Internazionale: la carica unitaria è uella che attraversa in un secondo la sezione di un filo conduttore percorso dalla corrente unitaria. Quindi le dimensioni della carica elettrica sono uelle di una corrente per un tempo: [] =it. Come vedremo più avanti in uesto volume, l unità di misura della corrente è l ampere il cui simbolo è A; uindi il coulomb è definito come il valore della carica che passa in un secondo attraverso la sezione di un filo conduttore percorso dalla corrente di un ampere: C = A s. Il coulomb è un unità di misura molto grande, uindi si utilizzano spesso dei suoi sottomultipli: mc = 10 3 C, μc = 10 6 C, nc = 10 9 C, pc = C. La carica elettrica è uantizzata e l unità di misura elementare della carica vale: e = C ; la carica dell elettrone è e mentre uella del protone è +e.un coulomb corrisponde a unità elementari di carica.

4 628 Capitolo 16 L interazione elettrostatica 16.1 Densità di carica Se la carica elettrica è concentrata in una regione di spazio molto piccola, al limite infinitesima, diciamo che la carica è puntiforme; se invece essa occupa una regione estesa, dobbiamo definire una nuova grandezza fisica, la densità di carica, che descrive come la carica è distribuita nello spazio. Consideriamo un elemento di volume dv ed indichiamo con d la carica in esso contenuta. La densità di carica (di volume) ρ è così definita: ρ = d dv. (16.2) Si noti che uesta espressione è analoga a uella della densità di massa, che è definita come il rapporto dm/dv,dovedm è la massa contenuta nel volume dv. Se la carica è distribuita su una superficie, come avviene per esempio nei conduttori in euilibrio elettrostatico, è utile definire la densità di carica superficiale σ.seds è un elemento della superficie e d la carica che esso contiene, la densità di carica superficiale è σ = d ds. (16.3) Analogamente, se la carica è distribuita su un filo, definiamo la densità di carica lineare λ, λ = d dl, (16.4) dove dl è la lunghezza di un tratto infinitesimo di filo e d la carica che esso contiene. Le densità λ, σ e ρ possono variare da punto a punto, oppure assumere lo stesso valore in ogni punto. In uest ultimo caso la distribuzione di carica si dice uniforme. Dimensioni e unità di misura della densità di carica elettrica Le densità di carica lineare, superficiale e di volume hanno rispettivamente le seguenti dimensioni: [λ] = [] [l], [] [] [σ ]=, [ρ] = [l 2 ] [l 3 ] ; dato che la carica ha dimensioni di una corrente per un tempo [] =it,siha [λ] =itl 1, [σ ]=itl 2, [ρ] =itl 3. Le unità di misura delle densità di carica lineare, superficiale e di volume sono rispettivamente C/m, C/m 2,C/m 3.

5 16.2 sperimenti elementari di elettrostatica sperimenti elementari di elettrostatica La comprensione della natura dei fenomeni elettrici e delle leggi che li regolano si è evoluta nel tempo attraverso lo studio sistematico delle forze che si esercitano tra oggetti fatti di materiali diversi, opportunamente strofinati con un panno, in modo tale da far loro acuistare una carica netta (elettrizzazione). Illustreremo ora alcuni semplici esperimenti che ci aiuteranno a capire come agisce la forza elettrostatica. Prendiamo due bacchette di materiale diverso, una di vetro e l altra di plastica (originariamente in luogo della plastica si utilizzava l ambra 2 ) e sospendiamole tramite dei fili di seta come illustrato nella figura Come vedremo nel capitolo 19, la seta, la plastica, il vetro, etc. sono materiali isolanti, vale a dire tali che le cariche elettriche (in particolare gli elettroni) non sono libere di muoversi al loro interno. Strofiniamo ora la bacchetta di vetro con un panno di lana e la bacchetta di plastica con un panno di pelle e lasciamole libere di muoversi: noteremo che esse si attraggono come illustrato nella figura 16.3 a). Se sospendiamo due bacchette di vetro [figura 16.3 b)] o due bacchette di plastica [figura 16.3 c)] e le strofiniamo entrambe con lo stesso panno, vedremo che le due bacchette si respingono. Il motivo di uesto comportamento è che strofinando la bacchetta con il panno forniamo dell energia che consente a una piccola uantità di carica di migrare da un corpo all altro. Quando strofiniamo la bacchetta di vetro con il panno di lana, delle cariche negative si trasferiscono dal vetro al panno e la bacchetta rimane carica positivamente; se invece strofiniamo la bacchetta di plastica con della pelle, una piccola carica negativa passa dalla pelle alla plastica che si carica negativamente. Quindi l esperimento mostra che due bacchette cariche di segno opposto si attraggono, mentre se sono cariche dello stesso segno si respingono. Questo è vero in generale: tra cariche di segno opposto agisce una forza attrattiva, tra cariche dello stesso segno agisce una forza repulsiva. L esperimento appena descritto mostra la presenza di forze elettrostatiche tra oggetti elettrizzati per strofinio; tuttavia è possibile avere forze elettriche anche senza strofinare un corpo. Se per esempio sospendiamo una pallina di metallo tramite un filo isolante ed avviciniamo una bacchetta di plastica elettrizzata negativamente per strofinio come illustrato nella figura 16.4 a), si osserva che la bacchetta attrae la pallina anche se essa è scarica. Questo avviene perché i metalli sono materiali conduttori, vale a dire gli elettroni possono muoversi liberamente al loro interno, come studieremo nel capitolo 19; uando la bacchetta carica negativamente viene avvicinata alla pallina di metallo, gli elettroni su di essa tendono ad allontanarsi dalla regione che è più vicina alla bacchetta, lasciando da uella parte un eccesso di ca- 2 L ambra è una resina fossile che nell antico gitto e in Grecia veniva utilizzata per fare gioielli o oggetti ornamentali. plastica vetro Figura 16.2 Le bacchette di vetro e di plastica sono sospese tramite dei fili isolanti. a) plastica plastica b) c) vetro vetro vetro plastica Figura 16.3 Le bacchette di vetro e di plastica cariche si attraggono, mentre bacchette uguali si respingono. a) plastica b) c) + + metallo Figura 16.4 Una bacchetta carica è in grado di attirare una pallina di metallo [fig. a)]. Una volta che la bacchetta tocca il metallo [fig. b)], la bacchetta e la pallina si respingono [fig. c)].

6 630 Capitolo 16 L interazione elettrostatica rica positiva. Questo fenomeno si chiama induzione elettrostatica; il risultato è che si genera una forza di attrazione tra le cariche negative della bacchetta e le cariche positive della pallina. Mettiamo ora a contatto la bacchetta e la pallina [figura 16.4 b)] e poi allontaniamole; vedremo che tra di loro si ha una forza di repulsione, come illustrato nella figura 16.4 c). Questo si spiega perché durante il contatto una parte della carica negativa della bacchetta si trasferisce sulla pallina caricandola negativamente; di conseguenza i due corpi hanno ora una carica dello stesso segno e uindi si respingono Come si misura la carica elettrica: l elettroscopio Figura 16.5 lettroscopio a foglie d oro. F e P θ O θ P F e Figura 16.6 L angolo θ di apertura dell elettroscopio dipende dal modulo della carica presente sulle lamine. Gli esperimenti con le bacchette cariche consentono di mettere in luce alcune caratteristiche ualitative della forza elettrostatica e della carica elettrica; tuttavia per trovare delle leggi uantitative è necessario misurare la uantità di carica posseduta da un corpo. Uno dei primi strumenti realizzati a uesto scopo fu l elettroscopio a foglie d oro riportato nella figura sso è formato da un ampolla di vetro in cui è stato fatto il vuoto e da un asta conduttrice che termina con due lamine sottili, anch esse conduttrici. Si utilizza l oro perché è il metallo più malleabile, uindi con esso si possono fare lamine molto sottili e di massa molto piccola. Nella figura 16.6 è schematizzato il suo principio di funzionamento: se si deposita sull asta una carica, toccando ad esempio il pomello con una bacchetta elettrizzata, la carica elettrica si distribuisce sul conduttore e sulle due lamine che, essendo cariche dello stesso segno, si respingono. La forza gravitazionale tende a portare le due lamine in posizione verticale, mentre la forza elettrostatica tende a separarle. In condizioni di euilibrio l azione delle due forze si bilancia e dalla misura dell angolo di apertura θ si risale al valore del modulo della carica posseduta dalle foglioline. Cenni storici La prime osservazioni degli effetti della forza elettrostatica risalgono all antica Grecia e si riferiscono al fatto che strofinando un oggetto di ambra con un panno di lana o anche semplicemente con le mani asciutte, uesto acuisisce la proprietà di attirare altri piccoli oggetti leggeri uali pagliuzze e foglie secche. Questo singolare fenomeno rimase una caratteristica della sola ambra fino a uando nel 1600 il fisico britannico William Gilbert iniziò uno studio sistematico sull interazione tra corpi elettrizzati, ovvero strofinati con un panno di lana o una pelle di animale, e scoprì che altri materiali uali il vetro, le resine solide e molte pietre dure esibivano le stesse proprietà dell ambra. Gilbert chiamò la forza che si esercitava tra uesti corpi forza elettrica rifacendosi al nome greco dell ambra: elektron; da esso derivano uindi i termini elettricità, elettrone, etc...

7 Negli anni successivi si iniziò a studiare sistematicamente uesta strana forza per comprenderne l origine; nel 1729 Stephen Gray osservò come la virtù elettrica eccitata in un corpo per strofinio, potesse in alcuni casi essere comunicata ad altri corpi ed introdusse il concetto di sostanze isolanti e conduttrici. Nel 1733 Charles de Cisternay du Fay avanzò l ipotesi dell esistenza di due, e solo due, stati elettrici distinti che si possono manifestare per strofinio nei corpi e chiamò tali stati, rispettivamente, elettricità vetrosa e elettricità resinosa, dal nome delle sostanze nelle uali veniva più facilmente eccitata. Nel paragrafo 16.2 abbiamo descritto un esempio delle molteplici esperienze di du Fay. I fenomeni legati all elettricità non furono studiati solo in uropa, ma anche in America, soprattutto ad opera di Benjamin Franklin, l inventore del parafulmine ed uno dei padri della patria degli Stati Uniti. Franklin introdusse una nuova teoria dell unicità del fluido elettrico, secondo la uale esiste un solo fluido elettrico distribuito in tutti i corpi. L idea chiave di Franklin era che uesto fluido ipotetico non potesse essere né creato né distrutto, ma obbedisse ad una legge di conservazione; attraverso lo strofinio era possibile far passare del fluido dal corpo al panno o viceversa, senza mai cambiare la uantità totale di fluido elettrico. Il termine carica elettrica introdotto da Franklin è entrato a far parte della terminologia della fisica ed è tuttora utilizzato, sebbene oggi non si parli più di fluido elettrico. Per spiegare i risultati sperimentali sulle forze di interazione tra le bacchette elettrizzate, la teoria di Franklin sosteneva che le particelle di fluido si respingessero reciprocamente, mentre esse venivano attratte dalle particelle di materia. In condizioni normali un corpo conteneva una uantità di fluido opportuna tale che le forze di repulsione tra porzioni di fluido e tra il fluido e la materia di cui era fatto il corpo si bilanciassero perfettamente e non si riscontrasse uindi nessuna forza di tipo elettrostatico. Strofinando un corpo con un panno era possibile alterare la uantità di fluido facendo sì che il corpo risultasse carico: nel caso in cui un corpo contenesse più fluido del normale esso era carico positivamente (uesto è il caso del vetro); se ne conteneva di meno esso era carico negativamente (uesto è il caso dell ambra e della resina in generale). La teoria del fluido unico di Franklin fu rapidamente accettata dalla comunità scientifica rispetto alla teoria dei due fluidi di du Fay, sebbene osservazioni successive favorissero la teoria dei due fluidi. Alla luce delle conoscenze attuali possiamo dire che entrambe le teorie di du Fay e di Franklin si avvicinavano alla realtà; infatti oggi sappiamo che all interno dei corpi sono presenti due tipi di cariche elettriche: i protoni e gli elettroni ai uali si può attribuire rispettivamente la proprietà di elettricità vetrosa (ovvero carica positiva) e di elettricità resinosa (ovvero carica negativa) sperimenti elementari di elettrostatica 631

8 632 Capitolo 16 L interazione elettrostatica Sappiamo anche che l intuizione di Franklin è corretta: la carica elettrica si conserva rigorosamente e non può essere né creata, né distrutta. Il fluido elettrico di Franklin può essere identificato con gli elettroni. Tuttavia secondo Franklin un eccesso di fluido elettrico dà una carica positiva, mentre invece sappiamo che un eccesso di elettroni conferisce ad un corpo una carica negativa. Questa imprecisione storica condiziona ancora oggi la definizione della corrente elettrica; infatti, come vedremo nel capitolo 20, la corrente elettrica è dovuta ad un movimento di cariche che per definizione si assumono positive, mentre in un conduttore metallico la corrente elettrica è dovuta al movimento degli elettroni che sono negativi. Quindi per motivi storici si assume che la corrente elettrica abbia verso opposto al moto degli elettroni, pur essendo da essi generata. Figura 16.7 Bilancia di torsione di Coulomb. 1 1 r 2 1 α 2 filo Figura 16.8 Principio di funzionamento della bilancia di Coulomb La legge di Coulomb nel vuoto Intorno alla metà del 1700 gli studi sulla forza elettrica iniziarono ad affrontare aspetti uantitativi e si ipotizzò che essa avesse una dipendenza dalla distanza simile a uella della forza gravitazionale, espressa dalla legge di gravitazione universale di Newton. Nel 1785 Coulomb per la prima volta effettuò esperimenti che avevano lo scopo di determinare l andamento della forza elettrostatica in funzione della distanza; egli progettò e realizzò la bilancia di torsione 3 (si veda la figura 16.7), il cui principio di funzionamento è riportato in figura 16.8: le due palline metalliche indicate con 1 e 2, vengono posizionate inizialmente ad una distanza r nota e su di esse viene depositata una carica anch essa nota. Le due palline si attraggono (come nel caso della figura) o si respingono facendo ruotare il filo a cui è sospesa l asta metallica. Il filo si comporta come una molla che si oppone alla torsione, fino a uando non si raggiunge una posizione di euilibrio; dalla conoscenza della costante di torsione del filo (simile concettualmente alla costante elastica della molla) e dalla misura dell angolo di rotazione α, si ricava la forza elettrostatica tra le due palline cariche. Da tali misure Coulomb ricavò la legge che descrive la forza con cui interagiscono due cariche elettriche, che ora descriveremo. Legge di Coulomb La forza con cui interagiscono due cariche elettriche puntiformi, ferme, nel vuoto ha: modulo: F e = k r 2, (16.5) 3 Cavendish nel 1798 utilizzò la bilancia di torsione inventata da Coulomb per misurare la costante di gravitazione universale G e ricavare la densità media della Terra.

9 16.3 La legge di Coulomb nel vuoto 633 dove: 1. 1 e 2 sono i moduli dei valori delle cariche puntiformi che interagiscono; 2. r è la distanza tra le cariche; 3. k 0 è una costante di proporzionalità che dipende dal sistema di unità di misura. Nel Sistema Internazionale k 0 si scrive nel modo seguente: k 0 = 1 4πɛ 0, (16.6) dove ɛ 0 è detta costante dielettrica del vuoto; ɛ 0 e k 0 valgono: C2 ɛ 0 = Nm 2 k 0 = Nm2 C Nm2 C 2. (16.7) Se si utilizza la definizione (16.6) il modulo della forza elettrostatica diventa F e = (16.8) 4πɛ 0 r 2 direzione e verso: la forza è diretta lungo la retta che unisce le due cariche. Se ueste hanno lo stesso segno la forza è repulsiva, se hanno segno opposto la forza è attrattiva. Questo è consistente con il terzo principio della dinamica (principio di azione-reazione): se la carica 1 esercita su 2 una forza F e,12 applicata a 2, la carica 2 esercita su 1 una forza F e,21 tale che F e,21 = F e,12 ; (16.9) vale a dire F e,21 ha la stessa direzione e lo stesso modulo di F e,12,ma ha verso opposto. Inoltre ricordiamo che essa è applicata alla carica 1. In figura 16.9 mostriamo la coppia azione-reazione ( F e,12, F e,21 ) nel caso che le due cariche abbiano segno uguale o opposto. Per esprimere la legge di Coulomb in forma vettoriale, indichiamo con r il vettore che va dalla carica 1 alla carica 2 e con r il corrispondente versore, cioè il vettore di modulo unitario che è diretto come r (si veda la figura 16.10). Consideriamo la forza che 1 esercita su 2. In base a uanto detto, essa si può esprimere come F e,12 = k r 2 r. (16.10) Infatti, se le due cariche hanno lo stesso segno il prodotto 1 2 è positivo (si noti che abbiamo eliminato i moduli); uindi il prodotto k /r 2 è positivo, per cui la forza F e,12 ha lo stesso verso di r a) 1 2 Fe,21 e,12 r b) r 1 F F e,21 e,12 F 2 Figura 16.9 La forza F e,12 che 1 esercita su 2 è uguale e opposta alla forza F e,21 che 2 esercita su 1. Nel caso a) le forze sono repulsive perché le cariche hanno lo stesso segno, nel caso b) sono attrattive perché 1 e 2 hanno segno opposto. F e,21 1 O 1 O ^ r F ^ r 2 e,21 r F e,12 F e,12 2 a) b) Figura Nel caso a) le cariche hanno lo stesso segno, nel caso b) hanno segno opposto.

10 634 Capitolo 16 L interazione elettrostatica come mostrato in figura 16.10a). Se invece le cariche hanno segno opposto come in figura 16.10b), il prodotto 1 2 ènegativoe F e,12 ha verso opposto a r. La forza che 2 esercita su 1 ha l espressione data nella (16.10), salvo che in uesto caso il vettore r va da 2 a 1, consistentemente con l euazione (16.9). NOTAR CH: la forza di interazione tra cariche elettriche descritta dalla legge di Coulomb si riferisce a cariche in uiete; per uesto viene detta forza elettrostatica. NOTAR CH: la legge di Coulomb (16.5) vale nel vuoto, ma si può considerare valida con buona approssimazione anche in aria. Vedremo nel capitolo 19 come vada modificata nel caso in cui le cariche si trovino all interno di un materiale isolante. NOTAR CH: come la forza di gravitazione universale che descrive l interazione gravitazionale tra due masse, anche la forza elettrostatica agisce a distanza, vale a dire non è necessario che le cariche che interagiscono siano a contatto tra loro Il principio di sovrapposizione 3 F e,21 1 F e,31 F e,ris Il principio di sovrapposizione stabilisce: se una carica elettrica 1 interagisce con un insieme di cariche 2, 3,... N, la forza elettrostatica che agisce su 1 è data dalla somma vettoriale delle forze che ciascuna carica della distribuzione esercita su 1. F e,ris = F e,21 + F e, F e,n1. (16.11) 2 Figura La forza risultante F e,ris èla somma vettoriale delle forze che 2 e 3 esercitano su 1. Un esempio è riportato in figura 16.11: una carica positiva 1 interagisce con le cariche 2,negativa,e 3 positiva. Le forze che 2 e 3 esercitano su 1 sono rispettivamente F e,21 e F e,31 ; la forza risultante è la somma vettoriale delle due. Nella figura F e,ris è ottenuta con la regola del parallelogramma ed è indicata in rosso. Confronto fra la forza elettrostatica e la forza gravitazionale Le espressioni della forza elettrostatica tra due corpi puntiformi carichi 1 2 F e = k 0 r e della forza di gravitazione universale che si esercita tra due masse puntiformi r 2 F g = G m 1m 2 r 2 r sono formalmente molto simili: entrambe le forze sono direttamente proporzionali al prodotto delle grandezze che interagiscono, le cariche e le masse, ed entrambe sono inversamente proporzionali al uadrato della distanza tra i corpi.

11 16.3 La legge di Coulomb nel vuoto 635 La differenza sostanziale sta nel fatto che la forza gravitazionale è solo attrattiva mentre uella elettrostatica può essere sia attrattiva che repulsiva, e nel valore della costante di proporzionalità: k 0 = Nm2 11 Nm2 e G = C 2 kg. 2 Mostreremo ora che nell atomo le forze elettromagnetiche sono molto maggiori di uelle gravitazionali. L atomo più semplice è uello di idrogeno, che è costituito da un protone (carica +e) e da un elettrone (carica e). Nel modello di Rutherford che rappresenta l atomo come un piccolo sistema solare, l elettrone ruota intorno al protone lungo un orbita circolare. Il raggio dell orbita è pari a r = m. La massa dell elettrone è m e = kg, uella del protone è m p = kg; le rispettive cariche sono e = p = C; pertanto in uesto caso la forza elettrostatica tra le due cariche è attrattiva come la forza gravitazionale tra le due masse. Calcoliamo i loro moduli. Forza elettrostatica: e _ r p + Figura L atomo di idrogeno è costituito da un protone e da un elettrone. F e = k 0 p e r 2 = ( ) 2 ( ) 2 = N. Forza gravitazionale: F g = G m pm e r 2 = ( ) 2 = = N. Valutiamo il rapporto tra le due forze: F e F g = = Quindi possiamo concludere che la forza gravitazionale tra particelle atomiche cariche è completamente trascurabile rispetto alla forza elettrostatica. Su scala planetaria invece la forza elettrostatica è completamente trascurabile rispetto alla forza gravitazionale; infatti nonostante la materia sia composta di particelle cariche, la somma delle cariche positive mediamente euivale a uella delle cariche negative, uindi la materia è mediamente neutra. Pertanto se consideriamo l interazione tra corpi celesti, la forza gravitazionale domina su uella elettrostatica.

12 636 Capitolo 16 L interazione elettrostatica PROBLMA 16.1 x 2 x 3 a) O x x Due cariche positive 1 = 2.6 μc e 2 = 1.5 μc si trovano in uiete in due punti dello spazio. Scegliendo l asse x coincidente con la retta che congiunge le due cariche, come indicato in figura a), le loro posizioni sono individuate dalle coordinate x 1 =+2cmex 2 = 5cm. Una terza carica positiva 3 = 0.8 μc viene posta tra di esse nella posizione x 3 = 3cm. Trovare la forza elettrostatica totale che agisce sulla carica 3. Sulla carica 3 agisce la forza elettrostatica F e,13 dovuta alla carica 1 e la forza elettrostatica F e,23 dovuta alla carica 2. Le due forze sono entrambe repulsive in uanto sia 1 che 2 hanno la stesso segno della carica 3. Per calcolare il modulo delle due forze si utilizza la legge di Coulomb (16.5); facendo riferimento alla figura a), la distanza tra le due coppie di cariche è: F e,13 F e,23 r 13 = x 3 +x 1 = = 5cm; r 23 = x 2 x 3 =5 3 = 2cm O + 1 x b) Figura I moduli delle due forze sono: F e,13 = k r 2 13 F e,23 = k r 2 23 = ( ) 2 = 7.5 N = ( ) 2 = 27.0 N. Nella figura b) sono riportati i due vettori F e,13 e F e,23 ; la forza F e,13 ha verso opposto a uello dell asse x, mentre F e,23 è diretta nel verso positivo. Quindi il modulo della forza totale agente sulla carica 3 vale: F e,tot = F e,23 F e,13 = = 19.5 N; F e,tot è diretta nel verso positivo dell asse x, ovvero essa è diretta verso la carica 1. La forza di repulsione esercitata dalla carica 2 prevale su uella della carica 1 perché, sebbene 1 sia più grande di 2, 3 è più vicina a 2 che a 1. 1 PROBLMA 16.2 y 3 r r r O Figura x Tre cariche elettriche sono poste in uiete sui vertici di un triangolo euilatero di lato r = 4cmcome indicato in figura I valori delle cariche sono rispettivamente 1 = 4nC, 2 = 3nCe 3 = 6nC. Determinare la forza elettrostatica totale che agisce sulla carica 3 a causa delle altre due. Se ne calcolino le componenti nel sistema di riferimento indicato in figura, il modulo e l angolo che essa forma con l asse x. Sulla carica 3 agiscono le forze elettrostatiche F e,13, dovuta alla carica 1,e F e,23, dovuta alla carica 2 ; esse sono mostrate in figura La forza F e,13 è attrattiva perché 1 e 3 hanno segno opposto, mentre F e,23 è repulsiva perché 2 e 3 sono entrambe positive. Calcoliamo innanzitutto il modulo delle due forze di Coulomb: F e,13 =k r 2 F e,23 =k r 2 = ( ) 2 = N ; = ( ) 2 = N.

13 16.3 La legge di Coulomb nel vuoto 637 L angolo α che le due forze formano con l asse y èparia30, dato che in un triangolo euilatero i tre angoli interni sono uguali e pari a 60 e α è pari a metà di un angolo interno. Proiettiamo le due forze sugli assi coordinati facendo riferimento alla figura 16.15: Fe,13 x = F e,13 sin α = sin 30 = = N ; F e,tot F e,23 F e,13 α α y 3 r F y e,13 = F e,13 cos α = cos 30 = = N. Fe,23 x = F e,23 sin α = sin 30 = 1 O 2 x Figura = N ; F y e,23 = F e,23 cos α = cos 30 = = N. Le componenti della forza risultante che agisce su 3 sono pertanto: Fe,tot x = F e,13 x + F e,23 x = = = N ; F y e,tot = F y e,13 + F y e,23 = = Il modulo della forza vale: F e,tot = (Fe,tot) x 2 + (Fe,tot) y 2 = = N. = ( ) 2 + ( ) 2 = N. Il vettore F e,tot è riportato nella figura 16.16, dove è indicato l angolo θ che il vettore forma con l asse x; utilizzando le regole della trigonometria si ricava: tan θ = F y e,tot F x e,tot = = F e,tot y O c) θ x Figura L euazione ammette due soluzioni: tan θ = θ 1 = arctan = 13.9 e θ 2 = arctan = Dato che il vettore F e,tot giace nel terzo uadrante e non nel primo, il risultato corretto è θ 2.

14 638 Capitolo 16 L interazione elettrostatica F e PROBLMA 16.3 θ P T y θ θ O Figura Dato che le due sferette hanno ugual massa, i due fili formano con la verticale lo stesso angolo θ. y A x Due sferette uguali di carica positiva e massa m = 2g, sono appese a due fili di massa trascurabile e lunghezza L = 3cmcome indicato in figura In condizioni di euilibrio l angolo θ che i fili formano con la verticale è 10. Si calcoli. Su ciascuna massa agiscono tre forze: la forza peso P = m g diretta verso il basso, la tensione del filo T e la forza di Coulomb F e. Dato che le due cariche sono uguali uesta forza è repulsiva. Il suo modulo è dato da: F e = k 0 d 2 = k 0 2 d 2, dove d è la distanza tra le due cariche. Si noti che, dato che le masse delle due sferette sono uguali, i moduli delle rispettive forze peso sono uguali; inoltre, i moduli delle forze elettriche sono uguali per l euazione (16.9) e uelli delle tensioni dei due fili sono uguali perché all euilibrio T = F e P. Quindi i fili formano con la verticale angoli uguali e la congiungente le due cariche è una retta orizzontale. Pertanto il triangolo OPA della figura è un triangolo rettangolo e L θ θ OP = d 2 = L sin θ. P d/2 O Figura x In componenti, nel sistema di riferimento riportato in figura 16.17, possiamo uindi scrivere per la forza elettrica che agisce sulla carica a sinistra: ( ) F 2 e = k 0 4L 2 sin 2 θ, 0. Per la forza peso e la tensione della corda abbiamo analogamente T = (T sin θ,t cos θ), P = (0, mg). Imponendo la condizione di euilibrio F e + T + P = 0 otteniamo 2 k 0 4L 2 sin 2 θ + T sin θ = 0 ; T cos θ mg = 0 ricavando T dalla seconda euazione e sostituendo nella prima si ottiene 2 k 0 4L 2 sin 2 θ + mg cos θ sin θ = 0 2 = 4L2 mg sin 3 θ k 0 cos θ da cui si ricava mg sin 3 θ = 2L k 0 cos θ = = sin cos 10 = C.

15 16.4 Il campo elettrico Il campo elettrico Come abbiamo visto, la forza di interazione elettrostatica è una forza a distanza, vale a dire si esercita tra cariche che non sono necessariamente a diretto contatto fra loro. Introdurremo ora una nuova grandezza fisica, il campo elettrico, che descrive l effetto che una distribuzione di cariche in uiete produce nello spazio. Iniziamo discutendo l effetto di una carica puntiforme Q sullo spazio circostante. Supporremo che Q sia vincolata a rimanere ferma in una data posizione. Se poniamo un altra carica 1 in un punto a distanza r da Q, per la legge di Coulomb (16.10) essa è soggetta alla forza F e,1, dovuta alla presenza di Q, data da ( ) Q 1 F e,1 = k 0 r 2 r = Q k 0 r 2 r 1. (16.12) Ricordiamo che r è il vettore unitario (versore) che ha la direzione del vettore r che unisce Q a 1, come indicato in figura Analogamente, se al posto di 1 poniamo nella stessa posizione r una carica 2, la forza a cui essa è soggetta è ( ) Q 2 F e,2 = k 0 r 2 r = Q k 0 r 2 r 2. (16.13) Q r^ F e,1 r Figura Confrontando le espressioni di F e,1 ed F e,2 notiamo che, se consideriamo i rapporti F e,1 / 1 e F e,2 / 2, otteniamo la stessa grandezza che non dipende dalle cariche 1 e 2, ma solo da Q e dalla distanza r da Q del punto in cui abbiamo posto 1 e 2 : F e,1 1 = F e,2 2 = k 0 Q r 2 r. (16.14) Questo ragionamento si può ripetere per ualunue carica, posta in un punto ualsiasi dello spazio: troveremo sempre che il rapporto tra la forza che Q esercita su e stessa è dato dalla (16.14) e dipende solo da Q e dalla distanza r. Possiamo dunue descrivere le forze elettriche generate dalla carica puntiforme Q associando ad ogni punto dello spazio un vettore che chiamiamo campo elettrico, dato da F = e = k Q 0 r 2 r. (16.15) Introducendo il campo elettrico, in pratica separiamo l effetto prodotto dalla carica Q, che consideriamo sorgente del campo, dalla presenza o meno di altre cariche: la carica Q produce in ogni punto dello spazio il campo elettrico ; il suo effetto si manifesta uando in un punto ualsiasi poniamo una carica, perché su di essa agisce la forza F e =. Dato che la carica Q è ferma, il campo elettrico che essa genera non varia nel tempo e pertanto si dice elettrostatico.

16 640 Capitolo 16 L interazione elettrostatica Supponiamo ora che in una data regione di spazio ci sia una distribuzione di cariche. Poniamo una carica di prova in una data posizione: su di essa agisce una forza elettrostatica che, per il principio di sovrapposizione, è la somma vettoriale delle forze elettrostatiche che ciascuna carica della distribuzione esercita su, come indicato nell euazione (16.11), vale a dire F e,ris = F e,1 + F e, F e,n. Generalizzando uanto fatto in precedenza per una carica puntiforme, se dividiamo uesta espressione per la carica otteniamo F e,ris F = e,1 + F e, F e,n = N ; (16.16) pertanto è naturale definire il campo elettrico generato dalla distribuzione di cariche nel modo seguente: il campo elettrico generato da una distribuzione di cariche è dato dalla forza elettrostatica totale F e,ris divisa per la carica di prova = F e,ris. (16.17) Il campo elettrico non dipende dalla carica di prova, ma solo dalla carica, o dalla distribuzione di cariche, che lo generano. Dall euazione (16.16) segue che anche per il campo elettrico vale il principio di sovrapposizione, vale a dire: il campo elettrico generato da una distribuzione di cariche è la somma vettoriale dei campi elettrici generati dalle singole cariche. Nell esempio appena considerato abbiamo assunto che la distribuzione di cariche fosse discreta, cioè che fosse formata da un insieme di cariche puniformi; tuttavia la definizione di campo elettrico data nella (16.17) vale anche se la carica è distribuita in maniera continua. In tal caso è sufficiente suddividere la distribuzione in tante cariche infinitesime d; ciascuna di esse esercita sulla carica di prova una forza che, divisa per, è il campo generato dalla carica infinitesima d. Quindi il campo totale si ottiene sommando vettorialmente tutti i contributi infinitesimi in maniera analoga a uanto fatto nell euazione (16.16); l unica differenza sta nel fatto che essendo i contributi infinitesimi dovremo sostituire la somma con un integrale. NOTAR CH: se la carica Q sorgente del campo è puntiforme l espressione del campo elettrico che essa genera è data dall euazione (16.15), vale a dire Q = k 0 r 2 r ; (16.18)

17 16.4 Il campo elettrico 641 il suo modulo è = k 0 Q r 2. (16.19) Per verificare se in una data regione di spazio esiste un campo elettrico, è sufficiente porre in una data posizione una carica di prova : se viene accelerata vuol dire che su di essa agisce una forza elettrica F e. Nota F e, possiamo calcolare il campo elettrico che agisce nel punto utilizzando la (16.17). Dimensioni e unità di misura del campo elettrico Dalla definizione (16.17) segue che il campo elettrico ha le dimensioni di una forza diviso una carica, vale a dire [] = [F e] [] = mlt 2 it = mlt 3 i 1. Il campo elettrico si misura in newton/coulomb, simbolo N/C, oppure in volt/metro, simbolo V/m, come vedremo più avanti Linee di forza e direzione del campo elettrico Si definiscono linee di forza del campo elettrico le curve a cui il campo elettrico è tangente in ogni punto. Supponiamo che il campo sia generato da una carica Q puntiforme e positiva; come si vede dall euazione (16.18) esso è diretto radialmente, uindi le linee di forza del campo sono delle rette uscenti rispetto alla carica Q, come mostrato in figura Si noti che, dato che in ogni punto il campo elettrico ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza che agirebbe su una carica positiva posta in uel punto, il verso delle linee di forza coincide con uello di tale forza. Da ui il nome di linee di forza. Q a) b) Q Figura a) Il campo elettrico generato da Q è radiale e uscente rispetto a Q; b) le linee di forza del campo pertanto sono anch esse radiali e uscenti. Analogamente, se la carica Q è negativa la direzione del campo è radiale, ma il suo verso è entrante rispetto a Q; uindi le linee di forza sono radiali ed entranti come mostrato in figura Anche in uesto caso la forza che agirebbe su una carica positiva posta in un dato punto ha lo stesso verso delle linee di forza.

18 642 Capitolo 16 L interazione elettrostatica Figura a) Il campo elettrico generato da Q è radiale ed entrante rispetto a Q; b) le linee di forza del campo pertanto sono anch esse radiali ed entranti. Q a) b) Q Figura Le linee di forza del campo elettrostatico sono più fitte dove il campo è più intenso. a) b) 2 1 Facendo riferimento alla figura 16.22, confrontiamo il numero di linee di forza che attraversano i uadratini uguali 1 e 2: si noti che il uadratino 1 è più vicino alla sorgente del campo rispetto al uadratino 2, uindi nella regione 1 il campo è più intenso che nella 2. Si vede anche che nella regione 1 le linee di forza sono più fitte che nella 2, uindi ne deduciamo che le linee di forza sono più fitte dove il campo è più intenso (criterio introdotto da Faraday). In pratica, le linee di forza forniscono un modo per visualizzare il campo elettrico, che ci sarà particolarmente utile uando studieremo il fenomeno dell induzione elettrostatica nel paragrafo 19.3: data una linea, in ogni suo punto possiamo dire come è diretto il campo e in che verso, perché esso è tangente alla linea ed ha lo stesso verso. Inoltre, come si vede dalla figura 16.22, l intensità del campo è maggiore dove le linee di forza sono più fitte. Le linee di forza del campo elettrostatico generato da più cariche possono avere una struttura molto complessa. In figura 16.23a) mostriamo come esempio uelle relative a due cariche positive tenute ferme a distanza d; in figura 16.23b) sono invece mostrate le linee di forza relative a due cariche di segno opposto tenute ferme a distanza d. In uesto caso le linee di forza escono dalla carica positiva ed entrano in uella negativa. NOTAR CH: le linee di forza del campo elettrico non possono mai incrociarsi, eccetto che nei punti in cui si trovano le cariche o in uelli in cui il campo elettrico è nullo, come in figura a). Infatti se in un dato punto poniamo una carica di prova e su di essa agisce una forza elettrica, uesta determina in maniera univoca il campo elettrico e la linea di forza a cui esso è tangente. Pertanto la linea di forza che passa per uel punto deve essere unica. Figura Linee di forza del campo elettrostatico generato da: a) due cariche positive, b) due cariche di segno opposto. Misura della carica elementare: l esperienza di Millikan Negli anni Robert Millikan fece un famoso esperimento per misurare la carica elementare, di cui diamo una spiegazione semplificata. Delle goccioline di olio vengono immesse tramite un nebulizzatore nella camera A. Alcune di esse sono cariche positivamente, altre negativamente.

19 16.4 Il campo elettrico 643 camera A gocce di olio Figura nebulizzatore piastra + pila h + camera B microscopio Nella camera B c è un campo elettrico rivolto verso il basso. Attraverso la piastra forata, alcune gocce passano nella camera B, dove sono soggette alla forza elettrica F e =, diretta verso l alto per uelle con carica negativa e verso il basso per uelle con carica positiva. Fissiamo un sistema di riferimento con asse y verticale e diretto verso il basso. Consideriamo per esempio il moto di una gocciolina di massa m e carica positiva. Dalla seconda legge della dinamica si ha ma = + mg a = m + g ; (16.20) dato che il campo è uniforme, l accelerazione è costante ed il moto è uniformemente accelerato. Assumendo che la velocità iniziale sia trascurabile, si ha y = 1 2 at2. Quindi il tempo impiegato dalla goccia per toccare il fondo è 2h t = a, dove h è l altezza della camera B. Misurando il tempo t, noto h si ricava l accelerazione; da uesta, utilizzando l euazione (16.20), noto si determina il rapporto /m. Se la massa delle gocce è nota si può uindi misurare la carica. Con uesto esperimento Millikan dimostrò che la carica si presenta sempre in multipli interi di e = C, uindi che la carica è uantizzata. Per uesto risultato Robert Millikan fu insignito del premio Nobel nel 1923.

20 644 Capitolo 16 L interazione elettrostatica PROBLMA 16.4 N O S Figura a F e Un elettrone in uiete viene accelerato verso nord da un campo elettrico. Il modulo della sua accelerazione è m/s 2. Determinare il modulo, la direzione ed il verso del campo elettrico. Si ricordi che la carica dell elettrone è C e la sua massa è kg. Nella figura è riportato il vettore accelerazione dell elettrone. Dal secondo principio della dinamica F e = ma = = N. La forza in uestione è la forza elettrostatica dovuta al campo elettrico. ssa è data da: F e = = F e = F e e ; nell ultimo passaggio abbiamo esplicitato il segno negativo della carica dell elettrone ( = e) per mettere in evidenza il fatto che il campo elettrico ha verso opposto a uello della forza elettrostatica che agisce sull elettrone, come illustrato in figura. In uesto caso il campo elettrico è diretto verso sud ed il suo modulo vale: = F e e = = N/C. 2 PROBLMA d O x Figura Una carica positiva 1 si trova alla distanza d da una carica negativa 2 tale che 2 = 4 1. Trovare il punto sull asse che le congiunge in cui il campo elettrico è nullo. Scegliamo un sistema di riferimento come uello indicato nella figura 16.26; poniamo la carica positiva 1 nell origine e la carica negativa 2 nel punto di ascissa x = d. In figura mostriamo come sono diretti i campi elettrici generati dalle due cariche, ricordando che per una carica positiva il campo è uscente mentre per una carica negativa è entrante. Figura d O 2 1 x Affinché il campo totale sia nullo, si deve avere tot = = 0 1 = 2, cioè 1 e 2 devono avere stesso modulo, stessa direzione e verso opposto. Dalla figura si vede che nella porzione di retta compresa tra le due cariche, i due campi elettrici hanno lo stesso verso, mentre a destra di 1 e a sinistra di 2 i due campi hanno verso opposto. Di conseguenza il punto P in cui tot = 0 deve trovarsi in una di ueste due regioni. Consideriamo dapprima la regione a sinistra di 2. Un punto ualsiasi dell asse x in uesta regione è più vicino a 2 che a 1. Inoltre il modulo della carica 2 è maggiore di uello della carica 1, uindi il campo generato da 2 nel punto è sicuramente maggiore in modulo del campo generato da 1.

21 16.4 Il campo elettrico 645 Pertanto in uesta regione i due campi non possono annullarsi. L unica possibilità che rimane è che il punto cercato si trovi sull asse x a destra di 1, ovvero nel semiasse positivo dell asse x. Indichiamo con x la coordinata generica del punto P. Dato che 1 si trova nell origine delle coordinate, la distanza tra P e 1 è proprio x; mentre la distanza tra P e 2 è x + d, come si vede dalla figura 16.28; il modulo dei due campi elettrici vale: d O x P Figura = k 0 x 2 ; 2 2 = k 0 (x + d) 2 = k (x + d) 2. Il punto in cui la somma vettoriale dei due campi si annulla si ottiene uguagliando i due moduli: 1 x 2 = 4 1 (x + d) 2 4x 2 = (x + d) 2 ; uesta è un euazione di secondo grado che ha due soluzioni; estraendo la radice uadrata si ha: 2x =±(x + d) x 1 = d e x 2 = d/3. Il punto x 2 = d/3 non è la soluzione cercata perché si trova tra le due cariche; in uel punto i due campi elettrici hanno lo stesso modulo, ma hanno anche lo stesso verso, uindi il campo risultante è diverso da zero. La soluzione cercata è invece x 1 = d, dove 1 ed 2 hanno lo stesso modulo ma verso opposto e la loro somma vettoriale è zero. Durante una giornata nuvolosa un ammasso di nuvole cariche produce un campo elettrico nello spazio compreso tra esse e la superficie terrestre. A causa di tale campo, un granello di polvere, che si trova vicino alla superficie e possiede una carica negativa pari a 4.0 nc, subisce una forza elettrostatica diretta verso il suolo pari a N. a) Determinare modulo, direzione e verso del campo elettrico nel punto in cui si trova il granello di polvere; b) sapendo che la massa del granello è di 3mg, determinare uanto dovrebbe valere la sua carica affinché esso resti sospeso nello spazio per effetto della forza gravitazionale e della forza elettrostatica. a) Il modulo del campo elettrico è pari a: = F e = = N/C ; PROBLMA 16.6 ;;;;;;;;; ;;;;;;;;; ;;;;;;;;; ;;;;;;;;; ;;;;;;;;; ;;; ;;; ;;; ;;; m F el g Figura la sua direzione è uella dell asse verticale ed è diretto verso le nuvole come illustrato nella figura 16.29, dato che il granello di polvere ha carica negativa; ricordiamo infatti che se la carica è negativa il campo elettrico e la forza elettrostatica hanno sempre verso opposto. b) Affinché il granello di polvere resti sospeso in aria per l azione della forza gravitazionale e della forza elettrostatica, uest ultima deve essere diretta verso l alto; di conseguenza il granello deve avere carica positiva.

22 646 Capitolo 16 L interazione elettrostatica Il suo valore si trova uguagliando i moduli delle due forze: = mg = mg = = 19.6 nc. PROBLMA 16.7 α α T m y x Figura F g F e Una pallina di plastica di massa m = 2gviene elettrizzata strofinandola con un panno; essa viene uindi sospesa ad un filo in una regione in cui agisce un campo elettrico orizzontale di modulo = N/C, diretto come illustrato nella figura Se la pallina si trova in euilibrio uando l angolo α tra il filo e la verticale è di 15, uanto vale la carica da essa posseduta? Sulla pallina agiscono tre forze come illustrato in figura: la forza gravitazionale F g diretta verso il basso, la forza elettrostatica F e diretta orizzontalmente verso destra e la tensione del filo T diretta lungo il filo. Dalla figura si evince che la forza elettrostatica ed il campo elettrico hanno lo stesso verso, uindi la carica della pallina è positiva. Per trovare il suo modulo dobbiamo imporre che la somma vettoriale della tre forze sia nulla: F g + F e + T = 0. Scegliendo gli assi coordinati come in figura e proiettando le forze sugli assi si ottiene: { Fx = T sin α = 0 ; F y = T cos α mg = 0. Dalla seconda euazione si ottiene T = mg/ cos α che sostituita nella prima dà: mg sin α cos α = 0 = mg tan α = tan 15 = = 1.17 μc. 1 L 3 PROBLMA 16.8 ο y θ = 45 θ r= L / 2 θ O Figura Quattro cariche disposte ai vertici di un uadrato di lato L. x 2 4 Siano date uattro cariche puntiformi di carica = C, poste ai vertici di un uadrato di lato L = 2.0 cm, come mostrato in figura Determinare il campo elettrostatico da esse generato nel centro del uadrato, uando: a) 1 = 4 = C, 2 = 3 = C;b) 1 = 2 = C, 3 = 4 = C. Le cariche sono puntiformi e generano un campo elettrostatico radiale; dato che esse sono poste ai vertici del uadrato, nel punto O ciscuna genera un campo diretto lungo le diagonali e con verso che dipende dal segno della carica. Il centro del uadrato si trova a una distanza r da ciascuna carica, r = L 2/2 = L/ 2, pari a metà diagonale; pertanto per l euazione (16.19) il modulo del campo generato dalla i-esima carica i è i i = k 0 r 2 = k i 0 L 2 /2.