Capitolo 4. L EQUILIBRIO L equilibrio dei solidi

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1 Capitolo 4 L EQUILIBRIO L equilibrio dei solidi Materiale a uso didattico riservato esclusivamente all insegnante È vietata la vendita e la diffusione della presente opera in ogni forma, su qualsiasi supporto e in ogni sua parte, anche sulla rete Internet È vietata ogni forma di proiezione pubblica

2 1 L equilibrio statico Equilibrio statico Un corpo è in equilibrio statico se è in quiete e vi rimane permanentemente Prima di enunciare le condizioni di equilibrio dei corpi dobbiamo stabilire la distinzione tra punti materiali e corpi estesi 2

3 1 L equilibrio statico Punti materiali, corpi estesi, corpi rigidi Punto materiale Un punto materiale è un oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle dello spazio in cui si muove e la cui struttura interna è irrilevante per la descrizione del suo moto. Come dice il nome, un punto materiale può essere rappresentato come un punto geometrico dotato di massa Corpo esteso Un corpo esteso è un oggetto le cui dimensioni e la cui struttura non possono essere trascurate, perché influenzano il suo moto 3

4 1 L equilibrio statico Mentre i punti materiali possono solo spostarsi da una posizione a un altra (moto traslatorio), i corpi estesi, oltre a spostarsi, possono ruotare attorno a un asse (moto rotatorio) Prenderemo in considerazione solo i corpi estesi che non si deformano (corpi rigidi) Corpo rigido In un corpo rigido la distanza tra due punti qualsiasi rimane invariata 4

5 1 L equilibrio statico La palla da tennis può comportarsi come un punto materiale (quando è in volo) oppure come un corpo esteso (quando è colpita dalla racchetta) 5

6 2 L equilibrio di un punto materiale Condizione generale di equilibrio di un punto materiale Un punto materiale è in equilibrio se è fermo, cioè se la risultante R delle forze che agiscono su di esso è uguale a zero: R = 0 Vincolo e reazione vincolare Un vincolo è un corpo che impedisce ad altri corpi di compiere alcuni movimenti, esercitando su di essi una forza chiamata genericamente reazione vincolare 6

7 2 L equilibrio di un punto materiale Esempi di corpi in equilibrio vincolati 7

8 2 L equilibrio di un punto materiale L equilibrio su un piano orizzontale 8

9 2 L equilibrio di un punto materiale 9

10 2 L equilibrio di un punto materiale Forza normale, F N La forza normale F N esercitata da una superficie è uguale e opposta alla forza premente F che agisce sulla superficie: F N = F 10

11 1 La cassapanca Max e Tom spingono una cassapanca di massa 18 kg esercitando le forze F 1 e F 2 mostrate in figura. Sebbene essi spingano con due forze rispettivamente di modulo F 1 = 36 N e F 2 = 29 N che formano angoli θ 1 = 42 e θ 2 = 23 sotto l orizzontale, la cassa rimane in equilibrio Spiega perché e calcola la forza normale esercitata dal pavimento sulla cassapanca 11

12 1 La cassapanca DESCRIZIONE DEL PROBLEMA La figura mostra la scelta del sistema di riferimento e tutte le forze che agiscono sulla cassapanca F 1 ha la componente F 1x positiva e la componente F 1y negativa. F 2 ha entrambe le componenti F 2x e F 2y negative Il peso P della cassapanca e la forza normale F N hanno soltanto componenti in direzione y: P y = P, F Ny = F N. Indicando con m la massa della cassapanca, il modulo del suo peso è P = mg STRATEGIA Deve essere R x = 0. Dobbiamo quindi verificare che R x = F 1x + F 2x = 0. Imponiamo la condizione di equilibrio lungo l asse y R y = 0 F Ny + F 1y + F 2y + P y = 0 F N + F 1y + F 2y P = 0 12

13 1 La cassapanca DATI Massa della cassapanca: m = 18 kg Intensità delle forze che agiscono sulla cassapanca: F 1 = 36 N e F 2 = 29 N Angoli che le forze formano rispetto all orizzontale: θ 1 = 42 e θ 2 = 23 INCOGNITA Forza normale esercitata dal pavimento: F N 13

14 1 La cassapanca SOLUZIONE Scriviamo le componenti lungo x delle forze F 1 e F 2 F 1x = F 1 cos 42 = 27 N F 2x = F 2 cos 23 = 27 N Poiché F 1x = F 2x la condizione R x = F 1x + F 2x = 0 è verificata Scriviamo le componenti lungo y delle forze F 1 e F 2 F 1y = F 1 sen 42 = (36 N) sen 42 = 24 N F 2y = F 2 sen 23 = (29 N) sen 23 = 11 N Calcoliamo il peso della cassapanca P = mg = (18 kg) (9,81 N/kg) = 177 N 14

15 1 La cassapanca SOLUZIONE Poniamo la componente lungo y della risultante delle forze uguale a zero R y = F N + F 1y + F 2y P = 0 F N 24 N 11 N 177 N = 0 e ricaviamo F N F N = 24 N + 11 N N = 2, N PROVA TU Quanto varrebbe F N se, svuotando la cassapanca, la sua massa si riducesse a 12 kg? 15

16 2 L equilibrio di un punto materiale L equilibrio su un piano inclinato In un piano inclinato, la reazione vincolare è inclinata rispetto alla verticale 16

17 2 L equilibrio di un punto materiale L equilibrio di un corpo appeso 17

18 2 L equilibrio di un punto materiale Nel caso di una corda attaccata con un estremo al soffitto e con l altro a una scatola di peso P, la corda agisce da vincolo, mantenendo la scatola ferma Per la condizione generale di equilibrio La tensione sul soffitto è diretta verso il basso ed è bilanciata dalla reazione vincolare del soffitto F v 18

19 2 L equilibrio di un punto materiale Per modificare la direzione della forza esercitata da una corda si può utilizzare una carrucola Una carrucola ideale (priva di massa e attriti) cambia semplicemente la direzione della tensione in una corda senza modificarne l intensità 19

20 2 L equilibrio di un punto materiale All equilibrio, T 1 = P La risultante delle forze sulla carrucola deve essere nulla, e quindi T 2 = 2T 1 = 2P 20

21 2 Il vaso appeso Per appendere un vaso di fiori di 6,20 kg un giardiniere utilizza due cavi, uno fissato orizzontalmente a una parete, l altro agganciato al soffitto in modo da formare un angolo θ = 40 rispetto all orizzontale. Determina la tensione in ciascun cavo 21

22 2 Il vaso appeso DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Scegliamo il consueto sistema di coordinate, con l asse x positivo verso destra e l asse y positivo verso l alto. Con questa scelta, la tensione T 1 è diretta nel verso positivo delle x, il peso P è diretto nel verso negativo delle y e la tensione T 2 ha la componente x negativa e la componente y positiva. Le componenti di ciascuna forza agente sul vaso sono 22

23 2 Il vaso appeso STRATEGIA DATI Il vaso è fermo, quindi la forza risultante R che agisce su di esso è uguale a zero. Si ha pertanto R x = 0 ed R y = 0. Queste due condizioni permettono di determinare l intensità delle due tensioni, T 1 e T 2 Massa del vaso di fiori: m = 6,20 kg Direzione della tensione T 2 : θ = 40 rispetto all orizzontale INCOGNITE Tensione in ciascun cavo: T 1, T 2 23

24 2 Il vaso appeso SOLUZIONE Imponiamo la condizione di equilibrio R x = 0 che fornisce la relazione R x = 0 T 1x + T 2x + P x = = T 1 + ( T 2 cos θ) + 0 = 0 da cui T 1 = T 2 cos θ Imponiamo ora la condizione R y = 0 R y = 0 T 1y + T 2y + P y = = 0 + T 2 sen θ + ( mg) = 0 da cui T 2 sen θ = mg Utilizziamo la relazione precedente per determinare T 2 24

25 2 Il vaso appeso SOLUZIONE Utilizziamo la relazione tra le due tensioni per determinare T 1 T 1 = T 2 cos θ = (94,6 N) cos 40 = 72,5 N OSSERVAZIONI Anche se i cavi che tengono sospeso il vaso sono due, entrambi hanno una tensione maggiore del peso del vaso, mg = 60,8 N. Quando un oggetto è appeso a un cavo, è possibile che la tensione nel cavo sia molto più grande del peso dell oggetto. Ciò deve essere tenuto in considerazione da architetti e ingegneri quando progettano la struttura di un edificio 25

26 2 Il vaso appeso PROVA TU Determina T 1 e T 2 nei casi in cui il secondo cavo forma con l orizzontale un angolo a) θ = 20 b) θ = 60 c) θ = 90 26

27 3 L equilibrio di un corpo rigido Le forze applicate a un corpo esteso rigido possono imprimere al corpo un moto solo traslatorio oppure anche un moto rotatorio Per descrivere l equilibrio e il moto di un corpo rigido occorre sapere come comporre due forze agenti su due punti diversi di un corpo rigido e introdurre una nuova grandezza fisica, il momento torcente 27

28 3 L equilibrio di un corpo rigido Composizione di forze agenti su un corpo rigido 1) Forze che agiscono sulla stessa retta di azione 28

29 3 L equilibrio di un corpo rigido 2) Forze concorrenti Due forze si dicono concorrenti se le loro rette di azione si intersecano 29

30 3 L equilibrio di un corpo rigido 3) Forze parallele e concordi Due forze sono parallele se hanno le rette di azione parallele; due forze parallele sono concordi se hanno lo stesso verso 30

31 3 L equilibrio di un corpo rigido 4) Forze parallele e discordi Due forze parallele sono discordi se hanno versi opposti 31

32 3 L equilibrio di un corpo rigido Due forze parallele e discordi di uguale intensità, che agiscono sue due punti diversi di un corpo rigido, formano una coppia di forze La risultante di una coppia di forze è una forza di modulo zero 32

33 3 L equilibrio di un corpo rigido Momento torcente Applicare una forza vicino al bullone non ha un grande effetto; il bullone si svita, ma a costo di uno sforzo notevolmente maggiore! 33

34 3 L equilibrio di un corpo rigido 34

35 3 L equilibrio di un corpo rigido Momento torcente di una forza perpendicolare al raggio Supponiamo di applicare una forza alla piattaforma di una giostra in direzione perpendicolare a quella di una semiretta che congiunge l asse di rotazione con il punto di applicazione 35

36 3 L equilibrio di un corpo rigido Momento torcente o momento di una forza, M (forza perpendicolare al raggio) M = r F Nel SI il momento torcente si misura in newton per metri (N m) 36

37 3 L equilibrio di un corpo rigido Momento torcente di una forza in direzione qualsiasi Una forza radiale produce un momento torcente nullo 37

38 3 L equilibrio di un corpo rigido 38

39 3 L equilibrio di un corpo rigido Momento torcente o momento di una forza, M Una forza F applicata a una distanza r dal centro di rotazione di un corpo rigido può provocare una rotazione. L effetto della rotazione è descritto dal momento torcente M, o momento della forza, dato da M = r F sen q 39

40 3 L equilibrio di un corpo rigido 40

41 3 L equilibrio di un corpo rigido Momento torcente (espresso mediante il braccio della forza) M = b F Segno del momento torcente M > 0: se il momento causa una rotazione antioraria M < 0: se il momento causa una rotazione oraria 41

42 3 L equilibrio di un corpo rigido Il momento torcente risultante sul timone di questa nave è la somma dei momenti torcenti esercitati dai due marinai. Nell istante raffigurato essi stanno esercitando momenti torcenti positivi sul timone, facendolo ruotare in senso antiorario 42

43 3 In che verso gira il timone? Due marinai, in disaccordo sulla direzione da dare alla nave, esercitano sul timone le forze mostrate in figura. Il timone ha un raggio di 0,74 m e le due forze hanno moduli F 1 = 72 N ed F 2 = 58 N. Determina a) il momento torcente prodotto dalla forza F 1 b) il momento torcente prodotto dalla forza F 2 c) in quale verso girerà il timone in seguito all applicazione delle due forze 43

44 3 In che verso gira il timone? DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Entrambe le forze sono applicate a una distanza r = 0,74 m dall asse di rotazione; la forza F 1 = 72 N forma un angolo di 50 rispetto alla direzione radiale, la forza F 2 = 58 N è tangenziale e quindi forma un angolo di 90 con la direzione radiale 44

45 3 In che verso gira il timone? STRATEGIA Per ciascuna forza determiniamo il modulo del corrispondente momento torcente, utilizzando la relazione M = r F sen q. Per il segno dei momenti consideriamo la rotazione che ciascuno produrrebbe se agisse da solo: F 1 farebbe ruotare il timone in senso antiorario (momento torcente positivo), F 2 lo farebbe ruotare in senso orario (momento torcente negativo). Se la somma dei momenti è positiva, il timone ruota in senso antiorario, altrimenti ruota in senso orario 45

46 In che verso gira il timone? 3 DATI Raggio del timone: 0,74 m Modulo delle forze sul timone: F 1 = 72 N e F 2 = 58 N Direzione delle forze: θ 1 = 50 e θ 2 = 90 INCOGNITE Momenti prodotti dalle forze F 1 e F 2 : M 1 e M 2 Verso della rotazione del timone 46

47 3 In che verso gira il timone? SOLUZIONE a) Usiamo la definizione generale di momento torcente per calcolare il momento torcente prodotto da F 1, che è positivo: M 1 = r F 1 sen 50 = = (0,74 m) (72 N) sen 50 = 41 Nm b) Calcoliamo il momento torcente prodotto da F 2, che è negativo: M 2 = r F 2 sen 90 = = (0,74 m) (58 N) sen 90 = 43 Nm c) Sommiamo i momenti calcolati per determinare il momento torcente risultante: M tot = M 1 + M 2 = (41 43) Nm = 2 Nm Poiché il momento torcente risultante è negativo, il timone ruota in senso orario 47

48 In che verso gira il timone? 3 OSSERVAZIONI Anche se F 2 ha intensità minore, produce un effetto maggiore nel determinare il verso della rotazione del timone; questo perché F 1 è applicata in una direzione che è solo parzialmente radiale PROVA TU Per quale intensità di F 2 il momento torcente risultante sul timone sarebbe uguale a zero? 48

49 3 L equilibrio di un corpo rigido Momento di una coppia di forze L effetto di una coppia di forze su un corpo rigido è doppio rispetto a quello di una sola forza 49

50 3 L equilibrio di un corpo rigido Momento di una coppia di forze Per descrivere l effetto di una coppia di forze applicate nei punti A e B di un corpo rigido si introduce una grandezza chiamata momento di una coppia Momento di una coppia di forze Il momento di una coppia di forze è uguale al prodotto dell intensità di una forza per la distanza tra le rette di azione delle due forze M = df 50

51 3 L equilibrio di un corpo rigido 51

52 3 L equilibrio di un corpo rigido Condizioni di equilibrio di un corpo rigido 52

53 3 L equilibrio di un corpo rigido Condizioni di equilibrio di un corpo rigido Un corpo rigido è in equilibrio se è fermo e sono soddisfatte le seguenti due condizioni: la risultante R delle forze che agiscono sul corpo è uguale a zero R = 0 il momento torcente M tot rispetto a un punto qualsiasi è uguale a zero M tot = 0 Queste due condizioni sono indipendenti e il fatto che una sia soddisfatta non implica necessariamente che lo sia anche l altra 53

54 Condizioni di equilibrio di un corpo rigido CHE COSA DEVI SAPERE Un corpo rigido è in equilibrio se: la risultante delle forze è uguale a zero, cioè R = 0 il momento torcente totale delle forze è uguale a zero, cioè M tot = 0 54

55 Condizioni di equilibrio di un corpo rigido CHE COSA DEVI FARE 1. Schematizza le forze che agiscono sul corpo e scegli l asse di rotazione. Per semplificare i calcoli ti conviene scegliere uno dei tre punti in cui sono applicate le forze; nel punto C, per esempio, uno dei tre momenti torcenti è nullo 2. Uguaglia a zero la forza risultante R = F 1 + F 2 P = 0 da cui F 1 + F 2 = P 3. Calcola i momenti torcenti M 1 = r 1 F 1 M 2 = r 2 F 2 M P = 0 P = 0 4. Uguaglia a zero la somma dei momenti M tot = r 1 F 1 + r 2 F = 0 r 1 F 1 + r 2 F 2 = 0 55

56 Condizioni di equilibrio di un corpo rigido PROVA TU Scrivi le condizioni di equilibrio della tavola della figura 56

57 Condizioni di equilibrio di un corpo rigido PROVA TU 57

58 Condizioni di equilibrio di un corpo rigido PROVA TU 1. Schematizza le forze che agiscono sul corpo e scegli l asse di rotazione nel punto C, come in figura 2. Uguaglia a zero la forza risultante R = F 1 + F 2 P = 0 da cui F 1 + F 2 = P 3. Calcola i momenti torcenti rispetto al centro di rotazione C scelto M 1 = 0 F 1 = 0 M 2 = L F 2 58

59 Condizioni di equilibrio di un corpo rigido PROVA TU 4. Uguaglia a zero la somma dei momenti Utilizzando questa equazione e la relazione F 1 + F 2 = P puoi determinare i valori della due forze F 1 e F 2 per cui la tavola è in equilibrio 59

60 4 In equilibrio sul trampolino Un trampolino di 5,00 m, di massa trascurabile, è sostenuto da due piccoli pilastri. Un pilastro è all estremo sinistro del trampolino e l altro è a una distanza d = 1,50 m dal primo, come mostrato nella figura. Determina le forze esercitate dai pilastri quando un tuffatore di 90,0 kg si trova fermo sull estremo destro della tavola 60

61 4 In equilibrio sul trampolino DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Scegliamo come verso positivo per le forze quello verso l alto. Per calcolare i momenti torcenti scegliamo come asse di rotazione l estremità sinistra del trampolino. Osserviamo che, se la forza F 2 agisse da sola, causerebbe una rotazione antioraria, perciò il suo momento torcente è positivo. Il peso P causerebbe invece una rotazione oraria e quindi il suo momento è negativo. Infine notiamo che F 2 agisce a una distanza d dall asse di rotazione e P a una distanza L 61

62 In equilibrio sul trampolino 4 DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Come in tutti i problemi sull equilibrio statico, utilizziamo le condizioni di forza risultante nulla, R = 0, e momento torcente totale nullo, M tot = 0, per determinare le forze incognite F 1 ed F 2 DATI Lunghezza del trampolino: L = 5,00 m Distanza del secondo pilastro dal primo: d = 1,50 m Massa del tuffatore: m = 90,0 kg INCOGNITE Forze esercitate dai pilastri: F 1 e F 2 62

63 4 In equilibrio sul trampolino SOLUZIONE Uguagliamo a zero la somma delle forze che agiscono sul trampolino R = F 1 + F 2 mg = 0 F 1 + F 2 = mg Calcoliamo il momento torcente di ciascuna forza, scegliendo l estremità sinistra del trampolino come centro di rotazione. Notiamo che ogni forza è perpendicolare al raggio (congiungente con l asse) e che F 1 si trova proprio sull asse di rotazione M 1 = F 1 0 = 0 M 2 = F 2 d M 3 = P L = mg L Uguagliamo a zero la somma dei momenti torcenti che agiscono sul trampolino M tot = F F 2 d mg L = 0 F 2 d = mg L 63

64 4 In equilibrio sul trampolino SOLUZIONE Ricaviamo la forza F 2 dall equazione dei momenti Utilizziamo l equazione delle forze per determinare F 1 F 1 = mg F 2 = = (90,0 kg) (9,81 N/kg) 2, N = = 2, N 64

65 4 In equilibrio sul trampolino OSSERVAZIONI Notiamo innanzitutto che F 1 è negativa, quindi F 1 è diretta verso il basso, come mostrato nella figura. Infatti, se il trampolino non fosse più vincolato al primo pilastro, ruoterebbe in senso orario intorno al secondo e l estremità sinistra della tavola si muoverebbe verso l alto; perciò, per mantenere questa estremità al suo posto, è necessario che in tale punto sia applicata una forza diretta verso il basso 65

66 4 In equilibrio sul trampolino PROVA TU Calcola le forze esercitate dai pilastri quando il tuffatore si trova a 1,00 m dall estremità destra del trampolino 66

67 4 Centro di massa ed equilibrio Il centro di massa di un corpo Un corpo esteso può essere pensato come un insieme di tanti piccoli volumetti, ognuno dei quali è soggetto a una certa forza peso La forza peso risultante è la somma di tutte queste forze peso parallele ed è applicata in un punto particolare, il centro di massa o baricentro del corpo 67

68 4 Centro di massa ed equilibrio Centro di massa o baricentro, CM Il centro di massa (CM), o baricentro, di un corpo è il punto di applicazione della forza peso del corpo Il corpo si comporta come se tutta la sua massa fosse concentrata nel CM In un oggetto di forma regolare e omogeneo (stessa densità in ogni punto), il CM è situato nel centro geometrico dell oggetto, anche se questo punto è esterno all oggetto 68

69 4 Centro di massa ed equilibrio 69

70 4 Centro di massa ed equilibrio Determinazione del centro di massa Se un oggetto è di forma irregolare, la determinazione del suo centro di massa è in genere più complicata In qualche semplice caso, tuttavia, è possibile individuare il centro di massa mediante un calcolo basato sulle condizioni di equilibrio dei corpi rigidi Per esempio, in un bilanciere asimmetrico il centro di massa è più vicino alla massa maggiore 70

71 4 Centro di massa ed equilibrio In generale, in un oggetto irregolare, il CM si trova là dove la massa dell oggetto è più concentrata m 1 = m 2 m 1 > m 2 m 1 < m 2 71

72 5 Il gatto equilibrista Un gatto cammina lungo una tavola uniforme sostenuta da due cavalletti. La tavola è lunga 4,00 m e ha una massa m t = 7,00 kg. Il secondo cavalletto è posto a una distanza d 2 = 1,50 m dall estremità destra della tavola. Quando il gatto raggiunge questa estremità, la tavola comincia a sollevarsi Qual è la massa del gatto? 72

73 5 Il gatto equilibrista DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Quando la tavola comincia a sollevarsi il primo cavalletto non esercita alcuna reazione vincolare, cioè F 1 = 0. Il secondo cavalletto si trova a una distanza d 2 = 1,50 m dall estremità destra, che è il punto di applicazione della forza peso del gatto, mg. Il centro di massa della tavola è collocato al centro, a 2,00 m dall estremità e a una distanza d = 0,50 m dal cavalletto di destra STRATEGIA Scegliamo il cavalletto di destra come centro di rotazione e poniamo il momento torcente totale M tot uguale a zero per la condizione di equilibrio, ricavando la massa del gatto 73

74 5 Il gatto equilibrista DATI Massa della tavola: m t = 7,00 kg Lunghezza della tavola: 4,00 m Distanza del secondo cavalletto dall estremità destra: d 2 = 1,50 m INCOGNITA Massa del gatto: m 74

75 5 Il gatto equilibrista SOLUZIONE Scriviamo il momento torcente totale M tot, ricordando che i contributi sono positivi per rotazioni antiorarie e negativi per rotazioni orarie: M tot = m t gd mgd 2 = 0 da cui m t gd = mgd 2 Eliminiamo g e ricaviamo la massa m del gatto 75

76 5 Il gatto equilibrista OSSERVAZIONI La reazione vincolare F 2 del secondo cavalletto non produce alcun momento torcente essendo applicata nel punto che abbiamo scelto come centro di rotazione. È possibile calcolare F 2 imponendo che la risultante delle forze agenti sul sistema sia nulla: F 2 m t g mg = 0 Da qui si ricava F 2 = m t g + mg = 91,5 N PROVA TU Ridetermina la massa m del gatto scegliendo l asse di rotazione passante per il centro di massa della tavola. Che valore pensi di ottenere? 76

77 6 Giochi di equilibrio Gli alunni di una scuola elementare hanno progettato una piccola composizione mobile, mostrata in figura. Determina le masse m 1 ed m 2 necessarie per equilibrare perfettamente la composizione. Supponi che i fili e le aste orizzontali abbiamo massa trascurabile 77

78 6 Giochi di equilibrio DESCRIZIONE DEL PROBLEMA STRATEGIA Le dimensioni delle aste orizzontali e la massa nota sono indicate nella figura. Ogni asta è in equilibrio nel suo punto di sospensione Possiamo determinare le due masse incognite applicando ripetutamente la condizione di equilibrio. Applichiamo inizialmente la condizione a m 1 ed m 2, con le distanze x 1 = 12 cm e x 2 = 18 cm; in questo modo otteniamo una relazione fra m 1 ed m 2. Per ottenere una seconda relazione tra m 1 ed m 2 applichiamo la condizione di equilibrio al livello superiore della composizione: la massa (m 1 + m 2 ) alla distanza di 6,0 cm deve bilanciare la massa di 0,050 kg alla distanza di 24 cm. Queste due condizioni permettono di determinare m 1 ed m 2 78

79 6 Giochi di equilibrio DATI Massa: m 3 = 0,050 kg Distanze riportate in figura INCOGNITE SOLUZIONE Masse necessarie per l equilibrio: m 1 e m 2 Applichiamo la condizione di equilibrio a m 1 e m 2 79

80 6 Giochi di equilibrio SOLUZIONE Applichiamo la condizione di equilibrio al livello superiore e ricaviamo da questa condizione la somma m 1 + m 2 (m 1 + m 2 ) (6,0 cm) = (0,050 kg) (24 cm) da cui: 80

81 6 Giochi di equilibrio SOLUZIONE Sostituiamo m 1 = 1,5 m 2 in m 1 + m 2 = 0,20 kg per determinare m 2 Utilizziamo m 1 = 1,5 m 2 per determinare m 1 m 1 = 1,5 m 2 = 1,5 (0,080 kg) = 0,12 kg 81

82 6 Giochi di equilibrio OSSERVAZIONI Con i valori di m 1 ed m 2 calcolati la composizione mobile è equilibrata a ogni livello. Infatti il centro di massa dell intera composizione si trova sulla verticale del punto di sospensione al soffitto PROVA TU Determina m 1 ed m 2 nel caso in cui la massa di 0,050 kg venga sostituita con una massa di 0,10 kg 82

83 4 Centro di massa ed equilibrio Equilibrio di un oggetto sospeso Se un oggetto di forma qualsiasi viene sospeso in un punto, esso si dispone sempre in modo che il suo centro di massa si trovi su una retta verticale che passa per il punto di sospensione 83

84 4 Centro di massa ed equilibrio Molte opere dello scultore Alexander Calder illustrano il concetto di centro di massa in chiave artistica. Questa scultura cinetica è in equilibrio perché il suo centro di massa si trova su una retta verticale che passa per il punto di sospensione 84

85 4 Centro di massa ed equilibrio Come determinare il centro di massa di un oggetto di forma irregolare 85

86 4 Centro di massa ed equilibrio Equilibrio di un oggetto appoggiato Un oggetto in quiete su una superficie è in equilibrio finché il suo centro di massa appartiene a una retta che cade all interno della base sulla quale l oggetto è appoggiato 86

87 4 Centro di massa ed equilibrio 87

88 4 Centro di massa ed equilibrio La pila di cubi sul bordo di una scrivania o le curiose forme rocciose modellate dagli agenti atmosferici sono esempi di oggetti appoggiati in equilibrio. I cubi impilati l uno sull altro o le pietre appoggiate sui coni di roccia sono in equilibrio perché il loro centro di massa sta su una retta che cade all interno della base di appoggio. 88

89 4 Centro di massa ed equilibrio La stabilità dell equilibrio Che cosa succede se un corpo rigido viene spostato dalla sua posizione di equilibrio? 89

90 4 Centro di massa ed equilibrio Equilibrio stabile, instabile, indifferente L equilibrio di un corpo è: stabile se il corpo, spostato di poco dalla sua posizione di equilibrio, vi ritorna instabile se il corpo, spostato dalla sua posizione di equilibrio, non vi ritorna indifferente se il corpo, spostato dalla sua posizione di equilibrio, assume una nuova posizione di equilibrio Le definizioni di equilibrio sono generali e si applicano anche ai corpi appoggiati 90

91 4 Centro di massa ed equilibrio 91

92 5 Le leve Che cosa hanno in comune un avambraccio, un paio di forbici e un apribottiglie? Dal punto di vista della statica, sono tutti esempi di leve 92

93 5 Le leve Una leva è un meccanismo costituito da un asta rigida che può ruotare attorno a un punto fisso detto fulcro Su una leva agiscono due forze: la forza resistente F R, che è la forza da equilibrare la forza motrice F M, che è la forza che viene esercitata sulla leva per vincere la forza resistente 93

94 5 Le leve Una leva si dice: vantaggiosa, se la forza motrice è minore della forza resistente (F M < F R ) svantaggiosa, se la forza motrice è maggiore della forza resistente (F M > F R ) indifferente, se la forza motrice è uguale alla forza resistente (F M = F R ) Il sistema è in equilibrio se i momenti delle due forze sono uguali e opposti 94

95 5 Le leve Condizione di equilibrio di una leva che si può scrivere nella forma Se b M > b R, la leva è vantaggiosa Se b R > b M, la leva è svantaggiosa Se i bracci delle due forze sono uguali, b R = b M e la leva è indifferente 95

96 5 Le leve Leve di primo genere Il fulcro si trova tra il punto di applicazione della forza resistente e il punto di applicazione della forza motrice Possono essere vantaggiose, svantaggiose o indifferenti 96

97 5 Le leve Leve di secondo genere Il punto di applicazione della forza resistente si trova tra il fulcro e il punto di applicazione della forza motrice Sono sempre vantaggiose 97

98 5 Le leve Leve di terzo genere Il punto di applicazione della forza motrice si trova tra il fulcro e il punto di applicazione della forza resistente Sono sempre svantaggiose 98

99 Le curve di forza Qualsiasi tipo di allenamento in palestra coinvolge leve e forze che agiscono attraverso di esse. Il corpo umano è infatti costituito da leve che vengono attivate dall azione dei muscoli Molte di queste leve sono svantaggiose: il sistema muscolo scheletrico, infatti, deve garantire ampiezza di movimento e velocità piuttosto che forza elevata 99

100 Le curve di forza Le curve di forza permettono di descrivere la forza esercitata dai muscoli in funzione della posizione in cui si trova un arto rispetto al fulcro Nel curl in piedi con manubrio la leva cambia a seconda della posizione dell avambraccio rispetto all articolazione del gomito la forza da applicare è minima in A e C massima in B 100

101 Le curve di forza PROVA TU Disegna la curva di forza Prova a fare un semplice esercizio che coinvolge la parte anteriore del deltoide (un muscolo delle spalle). Stando in piedi, impugna un peso, per esempio una bottiglia d acqua, tenendo inizialmente il braccio rilassato a lato del corpo; solleva poi il braccio teso fino a portarlo in posizione parallela al suolo. Considerando l angolo formato fra il braccio e il busto, prova a disegnare la curva di forza di questo esercizio 101