UNIVERSITA' DEGLI STUDI ROMA TRE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI. Facoltà di Ingegneria. Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale e dell'automazione

Transcript

1 UNIVERSITA' DEGLI STUDI ROMA TRE ROMA TRE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale e dell'automazione Tesina per il corso di Strumentazione e Misure per l'automazione Stima parametrica di un motore elettrico attraverso l'utilizzo del toolbox Matlab Ident Gruppo Luigi Carletti Attilio Priolo Anna Santostefano Docente Prof. Giovanni Ulivi Anno Accademico

2 Indice 1 Sistema reale Ingresso Modulo G36A Dinamo tachimetrica Modellazione del motore Identicazione Parametrica Raccolta dati Scelta del modello Identicazione dei parametri del modello Validazione del modello Modelli per l'identicazione Modello ARX Modello ARMAX Modello OE Modello BJ Risultati ottenuti Acquisizione delle Misure Elaborazione del modello Testing Conclusioni 29 1

3 Introduzione L'obiettivo del progetto, svolto nel Laboratorio di Automatica del Dipartimento di Informatica e Automazione, è stato quello di identicare combinazioni lineari dei parametri che caratterizzano un motore elettrico in corrente continua. Per la stima e la validazione, sono state eseguite diverse misure a particolari frequenze dei segnali di ingresso onda quadra e seno, ottenuti attraverso un generatore di segnale Philips PM Per misurare la velocità del motore è stato utilizzato un modulo G36A, composto da trasduttori di posizione e velocità collegato ad un oscilloscopio: per il progetto in esame è stato utilizzato il blocco relativo alla dinamo tachimetrica. Le uscite del modulo sono state memorizzate dall'oscilloscopio e trasferite, tramite collegamento di rete, ad un computer per la successiva manipolazione dei dati con il Toolbox di Matlab Ident per la stima dei parametri del motore in corrente continua. 1

4 Capitolo 1 Sistema reale Il materiale utilizzato nel laboratorio consiste nei seguenti elementi: Generatore di segnale PHILIPS pm 5132; Motore in corrente continua; Modulo G36A - Dinamo tachimetrica; Oscilloscopio; Computer del laboratorio per acquisizione; Software Matlab (Toolbox - Ident). Il software per la trasmissione dei dati dall'oscilloscopio al computer era stato installato precedentemente. Il generatore PM 5132 è uno strumento progettato per applicazioni che si estendono dal settore scolastico a quello generale. Produce in output segnali sinusoidali, onde quadre e triangolari, oltre ad impulsi positivi e negativi, le cui frequenze sono regolabili in 7 sotto-range da 0.1 Hz a 2 MHz. Il generatore è conforme al regolamento di sicurezza sulle misure e sulle attrezzature di controllo. Nel corso del suo utilizzo sono stati seguiti gli avvertimenti e le informazioni contenute nel suo manuale di istruzioni per mantenere lo strumento in condizioni di sicurezza. 2

5 1.1 Ingresso 1.Sistema reale Per evidenziare le prestazioni del motore è stato deciso di utilizzare ingressi sinusoidali ed a onda quadra. Per entrambe le tipologie di ingresso sono state eettuate misure a frequenze diverse (2, 5 e 10 Hz). In entrambi i casi è stato utilizzato un oset per evitare danni al motore. 1.2 Modulo G36A Il modulo G36A consente lo studio teorico-sperimentale dei trasduttori di velocità e posizione angolare e delle metodologie per il controllo automatico delle grandezze angolari. Il pannello è composto da 10 blocchi separati tra di loro, ognuno di essi svolge compiti dierenti. In generale un trasduttore converte una grandezza sica in un'altra (in genere una grandezza elettrica: una tensione, corrente, ecc.) e costituisce un disturbo al sistema analizzato. Per l'identicazione parametrica del motore in continua è stata adottata la dinamo tachimetrica come trasduttore di velocità angolare. 1.3 Dinamo tachimetrica La dinamo tachimetrica misura la velocità angolare utilizzando il campo magnetico ottenuto mediante un magnete permanente generante un usso magnetico costante di valore Φ 0. Trai poli di tale magnete sono inserite una serie di spire che ruotano a velocità angolare Ω. Il usso visto da una generica spira sarà dunque pari a: Φ (t) = Φ 0 cos (Ωt). È dunque applicando la legge di Faraday-Neumann, si ha che la tensione ai capi della spira è data da: v (t) = d dt(φ(t)) = Φ 0sin (Ωt) il cui valore massimo risulta dunque proporzionale alla velocità angolare. Dal punto di vista costruttivo la dinamo è costituita da uno statore in cui è inserito il magnete permanente, e da un rotore su cui sono avvolte N spire spaziate angolarmente tra di loro di un angolo elettrico pari a 2Π N. L'uscita viene ottenuta tramite due spazzole che prelevano, da un opportuno collettore, i valori di tensione sinusoidale forniti da ciascuna spira. Tali 3

6 1.Sistema reale spazzole sono posizionate in modo da prelevare la tensione nell'intorno dei punti di picco per un intervallo di tempo che risulta pari a NΩ. 2Π La tensione varia con la velocità Ω sia come ampiezza che come andamento, essendo sovrapposta una componente costante proporzionale ad Ω una componente alternata la cui armonica fondamentale ha pulsazione N Ω, e la cui ampiezza è inversamente proporzionale ad N. La presenza di questa componente alternata è fonte di un errore, noto con il termine anglosassone ripple, che può essere espresso dal rapporto tra il valore ecace della componente alternata ed il valore della componente continua, errore che di solito risulta essere di qualche valore percentuale. Esiste, inoltre, anche una tensione di rumore dovuta alla commutazione tra le spazzole ed il collettore, che si manifesta come una serie di impulsi ad alta frequenza che si sovrappongono alla tensione indotta. Tale rumore di commutazione può, però, essere eliminato ricorrendo ad un ltraggio di tipo passa-basso, poiché presente in una banda di valore elevato. Non è invece possibile eliminare il ripple ricorrendo ad un ltraggio di tipo passa-basso, in quanto le armoniche relative sono comprese in una banda non determinabile a priori. Possiamo sintetizzare l'equazione della tensione alle spazzole della dinamo tachimetrica come: V = KΦΩ dove K è una costante che dipende dalle caratteristiche costruttive. Se il usso magnetico di statore è costante, la tensione V è proporzionale a Ω e la dinamo è un trasduttore da velocità angolare a tensione. Il parametro fondamentale che caratterizza la dinamo tachimetrica è la costante tachimetrica K, essa esprime il rapporto tra tensione di uscita della volt dinamo e la velocità di rotazione, è espressa in rad s 1, a volte la costante tachimetrica è espressa in V giri, inoltre la precisione del trasduttore è tanto min più grande quanto minore è la corrente nell'indotto. La dinamo utilizzata ha una costante tachimetrica di 3 mv rpm con una corrente massima di 30 ma (con 2 poli). 4

7 1.Sistema reale 1.4 Modellazione del motore Considerando l'induttanza L nulla si ottiene la seguente funzione di trasferimento: W = K RD + K 2 + RJ S V IN. Questa funzione possiede un unico polo. Riscritta nel seguente modo: W (S) = K RJ 1 RD+K 2 +S RJ, ponendo α = RD+K2 RJ, β = RJ, K da origine ad una risposta impulsiva del tipo: w (t) = βe αt. Poiché stiamo lavorando nel tempo discreto occirre passare dal dominio in S al dominio in Z: per questo si utilizza la trasformata di Tustin: s = 2 z 1 T z+1 W = β s+α W (z) = β(z+1) ξ(z+1) ξ(z+1) 2(z 1)+α W (z) = δ(z 1) W (z) = (z γ) In questo modo si ottiene la seguente equazione alle dierenze: Y (k) = ξ [U (k) + U (k 1)] + γy (k 1) Da qui si ottiene la stima dei parametri ξ e γ, grazie ai quali si ricaveranno i parametri α e β tramite l'antitrasformazione con il metodo di Tustin come combinazione lineare di J, D, K, R. 5

8 Capitolo 2 Identicazione Parametrica Con il termine tecniche di identicazione parametriche si intende l'insieme delle metodologie atte a denire, a partire da misurazioni sperimentali, le caratteristiche di un generico sistema. Tali metodologie sono state sviluppate prevalentemente nell'ambito dei controlli e sono state successivamente estese allo studio di un qualsiasi sistema. La procedura di identicazione di un sistema ha un suo usso logico naturale: prima vengono raccolti i dati, poi si sceglie una serie di modelli ed in seguito viene preso il miglior modello tra questi. A volte il primo modello scelto non riesce a passare le prove di convalidazione quindi si deve ritornare al punto di partenza. Il modello scelto può non essere adatto allo scopo pressato per diverse ragioni tra cui: 1. il modello non descrive esattamente la sica del sistema; 2. l'identicazione converge verso un modello diverso dalla realtà; 3. l'identicazione numerica del modello fallisce. La parte principale di una identicazione sta perciò nell'indirizzare questi problemi verso una giusta forma cosicché si possono distinguere alcune fasi salienti del processo di identicazione: Raccolta dati; Scelta del modello; Validazione del modello. 6

9 2.1 Raccolta dati 2.Identicazione Parametrica In questa fase l'utente deve decidere quali dati utilizzare per impostare il procedimento di identicazione: che serie storica di ingressi fornire al sistema, con che ampiezza e frequenza di campionamento, ecc. Spesso non è possibile impostare un esperimento, oppure la serie storica desiderata non è compatibile con i limiti sici del sistema stesso e si deve ricorrere a dati acquisiti durante il normale funzionamento dell'impianto (o durante l'osservazione del fenomeno). 2.2 Scelta del modello È dicile pensare ad un'identicazione in cui del fenomeno da identicare non si abbiano informazioni di alcun tipo, anche solo dalla osservazione delle strisciate di dati si può cominciare a trarre informazioni utili che condizionano la scelta del modello da utilizzare. Scelte più ponderate possono essere fatte nel caso in cui il fenomeno abbia una forte caratterizzazione sica e sia possibile scriverne (semplici) equazioni dinamiche, si parla in questo caso di identicazione a scatola trasparente. Si denisce identicazione a scatola nera il caso in cui non ci siano informazioni preliminari sul modello matematico. Un aspetto importante nella scelta del modello è l'uso che si deve fare del modello identicato, se nalizzato al controllo o al ltraggio, ecc. 2.3 Identicazione dei parametri del modello Una volta scelto il modello e i dati da utilizzare si procede con il calcolo dei parametri del modello. Esistono algoritmi diversi per uno stesso modello ed i problemi da risolvere in questa fase sono essenzialmente di natura numerica. 2.4 Validazione del modello Il modello appena identicato deve essere validato. Si devono quindi individuare una serie di indicatori che forniscano una sorta di misura della bontà dell'identicazione. In caso di mancata validazione il procedimento 7

10 2.Identicazione Parametrica va rianalizzato in toto per capire il motivo del fallimento dell'identicazione stessa. 8

11 Capitolo 3 Modelli per l'identicazione Si consideri il sistema generale in gura 3.1 Figura 3.1: Schema a blocchi con wn rumore bianco. Sebbene il rumore sia bianco, la sequenza di e non è bianca, in quanto la sua matrice di correlazione non è diagonale, quindi regressori e rumore sono cross-correlati. A tempo discreto il campione k-esimo dell'uscita avrà un'equazione alle dierenze del tipo y k = a 1 y k 1... a m y k m + b 0 u k + b 1 u k b m u k m + e k Dato il modello in gura 3.1, la Y (z) risulta combinazione lineare di 2 contributi: l'ingresso e il rumore Y (z) = G(z)U(z) + Q(z)W N(z) (3.1) dove Q(z)W N(z) = E(z) rumore colorato. Da questa, si ricava l'equazione generale del predittore, utilizzabile solo semplicata in casi particolari. 9

12 3.Modelli per l'identicazione Ŷ = (1 1 Q )Y + G Q (3.2) Quindi il predittore ottimo contiene Q(z) e nella sua equazione con compare il rumore W N. Il predittore Ŷ è quindi una variabile diversa da Y (l'equazione 3.1 risulta diversa dalla 3.2) e per calcolarlo possono essere necessari i suoi campioni precedenti. L'errore di predizione sarà quindi lo scostamento tra Ŷ e Y cioè 3.1 Modello ARX E = Ŷ Y I modelli ARX (AutoRegressione X-ingresso) sono caratterizzati dall'equazione con y(k) = G(z θ)u(k) + Q(z θ)w N(z) G(z) = B(z) A(z) e Q(z) = 1 A(z) si fa quindi l'ipotesi che il rumore abbia gli stessi poli del sistema. Lo schema a blocchi del sistema risulta quindi dalla gura 3.2. Figura 3.2: Modello ARX dove A(z) = 1 + a 1 z a n z n 10

13 3.Modelli per l'identicazione B(z) = b 1 z b m z m θ = {a 1,..., a n, b 1,..., b m } R n+m dove n, m sono indici strutturali del modello. Il modello ARX non ha grandi giusticazioni siche, ma è molto usato per la sua semplicità. La forma di predizione risulta infatti Ŷ = (1 A)Y + BU L'errore di predizione è quindi legato ai parametri a e b tramite la relazione lineare e(t) = wn(t) = y(t) + a 1 y(t 1) +... b 1 u(t 1)... Ricordando il vettore dei parametri θ e denendo il regressore φ(k) θ = [a 1,..., a n, b 1,..., b m ] T φ(k) = [ y(k 1),..., y(k n), u(k 1),..., u(k m)] si può scrivere l'errore in forma compatta come: e(t θ) = y(k) φ T (k)θ Se il distrurbo non è elevato, è conveniente usare modelli ARX. 3.2 Modello ARMAX I modelli ARMAX (AutoRegressione Moving Average X-ingresso) sono caratterizzati dall'equazione: y(k) = G(z θ)u(k) + Q(z θ)w N(z) Lo schema a blocchi del sistema risulta quindi dalla gura

14 3.Modelli per l'identicazione Figura 3.3: Modello ARMAX dove G(z) = B(z) A(z) e Q(z) = C(z) A(z) A(z) = 1 + a 1 z a n z n B(z) = b 1 z b m z m C(z) = 1 + c 1 z c p z p θ = {a 1,..., a n, b 1,..., b m, c 1,..., cp} R n+m+p dove n, m e c sono indici strutturali del modello. La forma di predizione risulta Ŷ = (C A) Y + B C C U L'errore di predizione è quindi legato ai parametri a e b tramite la relazione lineare, mentre è legato a c in modo non lineare e(t) + c 1 e(t 1) +... = y(t) + a 1 y(t 1) +... b 1 u(t 1)... Ricordando il vettore dei parametri θ e denendo il regressore φ(k) θ = [a 1,..., a n, b 1,..., b m, c 1,..., c p ] T φ(k) = [ y(k 1),..., y(k n), u(k 1),..., u(k m), e(t 1 θ),..., e(t p θ)] 12

15 3.Modelli per l'identicazione si può scrivere l'errore in forma compatta come: 3.3 Modello OE e(t θ) = y(k) φ T (k)θ I modelli OE (Output Error) sono caratterizzati dall'equazione: y(k) = G(z θ)u(k) + H(z θ)e(k) Lo schema a blocchi del sistema risulta quindi dalla gura 3.4. con Figura 3.4: Modello OE dove G(z) = B(z) A(z) e H(z) = 1 A(z) = 1 + a 1 z a n z n B(z) = b 0 + b 1 z b m z m θ = {a 1,..., a n, b 0,..., b m, } R n+m+1 dove n e m sono indici strutturali del modello. Riguardo l'errore abbiamo: 13

16 3.Modelli per l'identicazione ɛ(k) = y(k) B(z 1 ) A(z 1 ) u(k) A(z 1 )ɛ(k) = A(z 1 )y(k) B(z 1 )u(k) L'errore di predizione è legato ai parametri a e b tramite la relazione non lineare: ɛ(k) + a 1 (k 1) +... = y(k) + a 1 y(k 1) +... b 0 u(k) b 1 u(k 1)... La forma di predizione risulta Ŷ = B A U Ricordando il vettore dei parametri θ θ = [a 1,..., a n, b 1,..., b m ] T con alcuni passaggi possiamo osservare che: ɛ(k) = y(k) + a 1 (y(k 1) ɛ(k 1)) + a 2 (y(k 2) ɛ(k 2)) +... b 0 u(k) b 1 (k 1)... = y(k) + a 1 ŷ(k 1) + a 2 ŷ(k 2) +... b 0 u(k) b 1 u(k 1) l'errore di predizione è combinazione lineare non delle uscite, ma bensì delle predizioni delle uscite, quindi denendo il regressore φ(k): φ(k) = [ ŷ(k 1),..., ŷ(k n), u(k 1),..., u(k m)] si può scrivere l'errore in forma compatta come: ɛ(k θ) = y(k) φ T (k)θ In questo caso in φ(k) non ci sono i dati, ma qualcosa di ricavato dai dati per un certo particolare valore di θ, ŷ(k 1) = ŷ(k 1 θ). 14

17 3.Modelli per l'identicazione Anche il vettore φ(k) è legato a θ ed infatti φ(k θ) viene chiamato vettore di pseudo regressione ed è utile per estendere gli algoritmi per modelli ARX ad altri modelli. 3.4 Modello BJ I modelli BJ (Box-Jenkins) sono caratterizzati dall'equazione: y(k) = G(z θ)u(k) + H(z θ)e(k) Lo schema a blocchi del sistema risulta quindi dalla gura 3.5. con Figura 3.5: Modello BJ dove G(z) = B(z) A(z) e H(z) = C(z) D(z) A(z) = 1 + a 1 z a n z n B(z) = b 0 + b 1 z b m z m C(z) = 1 + c 1 z c q z q D(z) = 1 + d 1 z d h z h θ = {a 1,..., a n, b 0,..., b m, c 1,..., c q, d 1,..., d h, } R n+m+q+h+1 dove n, m, q e h sono indici strutturali del modello. 15

18 Riguardo l'errore abbiamo: 3.Modelli per l'identicazione ɛ(k) = D(z 1 ) c(z 1 ) (y(k) B(z 1 ) A(z 1 ) u(k) A(z 1 )C(z 1 )ɛ(k) = D(z 1A(z 1 )y(k) D(z 1 )B(z 1 )u(k) Il modello BJ spesso ha troppi parametri per essere utilizzato. 16

19 Capitolo 4 Risultati ottenuti Il motore in corrente continua può essere considerato come un ltro passa basso. La frequenza di taglio di tale ltro può essere stimata intorno ad una frequenza tra i 30 ed i 50Hz (frequenza relativamente bassa). Risulta quindi inutile utilizzare segnali di riferimento con frequenze elevate, poichè verrebbero tagliate dal motore; inoltre le forme d'onda più utili al ne di questa analisi appaiono essere (tra quelle messe a disposizione dal generatore di segnale) la sinusoide e l'onda quadra poichè, con il giusto contributo di componente continua, permettono di raggiungere velocità di rotazione sia elevate che molto basse, potendo così evidenziare il comportamento del sistema in dierenti situazioni. Un aspetto del quale si è dovuto tener conto durante i test condotti, è stato che il sistema da analizzare non è un sistema ideale, bensì un sistema reale; ne consegue che in tale sistema si possono generare dei disturbi causati da ingressi non modellati, dal carico inerziale proprio del motore, oppure da coppie di disturbo. Nel caso dell'analisi oggetto di questa tesi, si è dovuta porre particolare attenzione all'attrito secco, una non linearità del sistema dovuta alla particolare struttura del motore elettrico. E' stato possibile ridurre l'eetto dell'attrito secco aggiungendo al segnale di riferimento una opportuna componente continua in grado di impedire al motore di arrestare la sua rotazione. La soluzione dell'aspetto precedente ha portato un ulteriore problema nella ricerca del modello del sistema: nella elaborazione dei dati con Ident, 17

20 4.Risultati ottenuti la componente continua diminuisce fortemente la percentuale di t (percentuale che descrive la somiglianza di due segnali) che si riscontra tra l'uscita del sistema reale con quello in uscita dal modello. E' possibile annullare tale dierenza grazie ad una semplice fase di preprocessing degli ingressi e delle uscite; in particolare grazie ad un opzione presente in Ident è possibile eliminare il valor medio dei segnali permettendo così di incrementare notevolmente la percentuale di t Acquisizione delle Misure L'acquisizione delle misure sul sistema, ha richiesto una fase di progettazione consistente nello scegliere i segnali da porre in ingresso al sistema e le loro caratteristiche utili per evidenziare il comportamento del modello in diversi casi. Sono stati selezionati, tra i segnali messi a disposizione dal generatore Philips PM 5132 i seguenti segnali Sinusoide Onda Quadra Le frequenze che tali forme d'onda devono assumere sono ovviamente limitate superiormente dalla banda passante che caratterizza il motore stimata intorno ai 50Hz. Con l'ausilio dell'oscilloscopio sono state scelte 3 frequenze campione attorno alle quali sono state condotte delle stime parametriche e dei test di coerenza a valle della scelta del modello. Tali frequenze sono: 2Hz 5Hz 10Hz Il trasduttore utilizzato per tradurre la velocità di rotazione angolare dell'asse del motore in una dierenza di potenziale è la dinamo tachimetrica. Le misure sono state inviate tramite porta ethernet da un Web Service presente sull'oscilloscopio, in grado di fotografare entrambi i canali sia d'ingresso che di uscita e di salvarli su di un le compatibile con Matlab. 18

21 4.Risultati ottenuti Elaborazione del modello La scelta a priori di un modello che si adattasse bene al sistema considerato, non è stata immediata. Si è optato per procedere vericando le caratteristiche assunte dai vari modelli ottenuti a valle della identicazione parametrica svolta da Ident. I modelli presenti nel toolbox Ident sono: ARX ARMAX OE BJ Tenendo conto dei risultati ottenuti (vedi g ), si è scelto di utilizzare il modello OE; esso richiede un numero di parametri inferiori rispetto al modello armax (poichè possiede una funzione di colorazione del rumore in ingresso unitaria) garantendo la massima percentuale di t ottenibile dalle misure rilevate. Figura 4.1: Modello stimato sui dati provenienti da un onda quadra a 2Hz 19

22 4.Risultati ottenuti Figura 4.2: Modello stimato sui dati provenienti da un onda quadra a 5Hz 20

23 4.Risultati ottenuti Figura 4.3: Modello stimato sui dati provenienti da un seno a 2Hz 21

24 4.Risultati ottenuti Figura 4.4: Modello stimato sui dati provenienti da un seno a 5Hz Figura 4.5: Modello stimato sui dati provenienti da un seno a 10Hz 22

25 4.Risultati ottenuti Le immagini mostrate evidenziano come il modello OE riesca a seguire con ottima approssimazione la forma d'onda del segnale in uscita dal sistema reale. La percentuale di t, alta per ogni segnale, è identica tra armax2221 ed oe221 nella totalità dei casi considerati; per cui la decisione presa è basata su una maggiore semplicità del modello OE rispetto al modello ARMAX. Il calcolo dei parametri che il modello deve assumere, è stato svolto elaborando la stima parametrica su ogni coppia di segnali ingresso-uscita, cercando di trovare i parametri in grado di riprodurre al meglio la forma d'onda dell'uscita. Il miglior modello ottenuto a valle di questa analisi è quello generato dall'identicazione condotta sull'onda quadra a 5Hz; è possibile quindi rappresentarlo come: Dove B ed A (H non si considera perchè unitario), assumono i valori: B = q q 2 A = q q 2 23

26 4.Risultati ottenuti I diagrammi di bode rappresentativi del sistema a ciclo aperto sono partendo dai quali è possibile evidenziare 2 aspetti: il margine di fase(margine di guadagno) e la omega di attraversamento. Il margine di fase positivo (circa 45 gradi) fa capire che il sistema a ciclo aperto è stabile mentre, in modo coerente a quanto supposto per il motore in corrente continua, la banda passante si attesta intorno al valore di 50Hz. I parametri ottenuti dalle altre stime parametriche, sono riportati di seguito al ne di mettere in evidenza lo spostamento degli zeri del modello: OndaQuadra 2Hz: B = q q 2 A = q q 2 E' facile notare che il denominatore della funzione di trasferimento rimane identico al precedente mentre gli zeri si spostano (anche se di una quantità non considerevole). OndaQuadra 10Hz: 24

27 4.Risultati ottenuti B = q q 2 A = q q 2 Questi valori evidenziano un comportamento dierente rispetto ai precedenti, in quanto varia addirittura il segno dei coecienti a denominatore. Questa coppia di A e B può essere scartata alla luce di una non coerenza evidenziata solo in questa stima. Seno 2Hz: B = q q 2 A = q q 2 Questa coppia possiede un denominatore coerente con quanto evidenziato dai segnali ad onda quadra, ma il numeratore cambia fortemente(invertendo i segni dei coecienti). Seno 5Hz: B = 3.231e 05 q e 06 q 2 A = q q 2 Il denominatore rimane costante mentre il segno dei coecienti del numeratore ritorna coerente. Seno 10Hz B = q q 2 A = q q 2 In questo caso il denominatore è identico, mentre i coecienti del numeratore crescono di un ordine di grandezza. Nella sezione 4.1 saranno mostrati i risultati dei test incrociati condotti sul modello elaborato evidenziandone l'ecacia nella totalità dei casi presi in considerazione. 25

28 4.Risultati ottenuti 4.1 Testing Figura 4.6: Confronto tra il sistema reale ed il modello con un seno a frequenza 2Hz in ingresso Il modello del sistema reale è stato ottenuto elaborando una stima dei parametri su un segnale Onda Quadra a 5Hz. Per validare il comportamento del risultato ottenuto, è necessario confrontare l'uscita del modello con quella del sistema imponendo come dati per la validazione dierenti forme d'onda a diverse frequenze. La gura 4.6 mostra come i valori stimati siano in grado di seguire perfettamente questa forma d'onda (anche se il modello è stato ottenuto da un onda quadra). Nella g.4.7 non si notano sostanziali scostamenti tra i due segnali, tranne un lieve anticipo da parte del sistema simulato. Nella g.4.8, invece, si può notare come il sistema modellato non raggiunga gli stessi picchi del sistema reale, anche se lo scostamento è minimo. Per quanto concerne le g. 4.9 e 4.10 si nota che nella prima si hanno i peggiori risultati (lieve anticipo e tensioni di picco non raggiunte) anche se la forma d'onda è seguita con buona approssimazione, mentre la seconda mostra una coerenza perfetta. A valle di quanto esposto, è possibile aermare che il sistema trovato può essere considerato come un modello rappresentativo del sistema reale. 26

29 4.Risultati ottenuti Figura 4.7: Confronto tra il sistema reale ed il modello con un seno a frequenza 5Hz in ingresso Figura 4.8: Confronto tra il sistema reale ed il modello con un seno a frequenza 10Hz in ingresso 27

30 4.Risultati ottenuti Figura 4.9: Confronto tra il sistema reale ed il modello con un onda quadra a frequenza 2Hz in ingresso Figura 4.10: Confronto tra il sistema reale ed il modello con un onda quadra a frequenza 10Hz in ingresso 28

31 Conclusioni 29