FUNZIONI RAZIONALI. Esempi: f(x) = ( 3x 3 - x 2 +2)/(x 4-2x 2-1); f(x) = 2/x ; f(x) = (x 3-1) /(x+1)

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Lidia Franchi
4 anni fa
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1 Si chiama funzione razionale una funzione esprimibile come rapporto tra due polinomi f(x)=[a n x n +a n-1 x n-1 + +a 0 ]/[b m x m +b m-1 x m-1 + +b 0 ] m,n N a n, a n-1,, a 0, b m, b m-1,, b 0 R, a n, b m 0 Il numero max(n,m) è detto grado della funzione razionale Esempi: f(x) = ( 3x 3 - x 2 +2)/(x 4-2x 2-1); f(x) = 2/x ; f(x) = (x 3-1) /(x+1)

2 f(x) = k /x = kx -1, a 0 Rappresenta la relazione di proporzionalità inversa un punto (x,y) appartiene al grafico di f se e solo se xy=k iperbole equilatera Dominio: R/{0} Per k>0 ed x>0, quando x diventa molto piccolo, 1/x diventa molto grande M>0 δ>0 : 0 < x < δ f(x) > M lim x 0 + k/x = + limite destro

3 Per k>0 ed x<0, quando x diventa molto piccolo in valore assoluto, 1/x diventa molto grande in valore assoluto, rimanendo negativo M> 0 δ>0 : - δ < x < 0 f(x) < - M lim - x 0 k/x = - limite sinistro Il grafico di f, considerati questi limiti, si avvicina sempre di più all asse delle ordinate. Si dice che l asse delle ordinate è asintoto verticale della funzione. Per k<0, ovviamente i segni dei due limiti si scambiano

4 Per k>0 (ma anche per k<0), quando x diventa molto grande in valore assoluto, 1/x diventa molto piccolo in valore assoluto, rimanendo positivo o negativo a seconda che x >0 oppure x<0 rispettivamente (con segno contrario per k<0). ε> 0 Μ>0 : x >M o x< -M f(x) < ε lim x ± k/x = 0 Il grafico di f, considerati questi limiti, si avvicina sempre di più, al crescere di x in valore assoluto, all asse delle ascisse. Si dice che l asse delle ascisse è asintoto orizzontale della funzione. Analogamente per k<0.

5 0< x 1 < x 2 0 < 1/x 2 < 1/x 1 Se k>0, 0 < k/x 2 < k/x 1 quindi f è strettamente decrescente sulla semiretta (0, + ) analogamente, f risulta strettamente decrescente anche sulla semiretta (-, 0). Quando k<0, f risulta strettamente crescente (dimostralo!) su entrambe le semirette. Attenzione! f(x)=k/x, k>0, non è strettamente decrescente (o per k<0, strettamente crescente) sull intero dominio (perché?)

6 La funzione 1/x

7 f(x) = 1/x, zoom intorno all origine

8 Le funzioni potenza f(x) = kx p, con p razionale negativo, p Q -, si comportano in modo analogo alle funzioni k/x sulla semiretta (0, + ) Sulla semiretta (-, 0) sono definite solo per p Z -, in tal caso, se p è dispari, hanno andamento analogo a k/x su (-, 0), e a quello di k/x se p è pari Esempi: f(x)= 2x- 2/3 : f(x)= -x -3/4 ; f(x) = x -3 ; f(x) = x -4

9 Confronta i grafici di funzioni potenza con esponente intero negativo.

10 Confronta i grafici di funzioni potenza con esponente intero positivo.

11 Confronta i grafici di funzioni potenza con esponente p razionale, 0<p<1.

12 Lo studio di funzioni razionali fratte del tipo f(x)=(ax +b)/(cx+d) può essere ricondotto a quello di f(x)=k/x, infatti f(x) = (ax +b)/(cx+d) = [(a/c)x+b/c]/[x+d/c]= [(a/c)(x+d/c) +b/c -ad/c 2 ]/[x+d/c]= = a/c +[(bc-ad)/c 2 ]/(x+d/c) Posto k = (bc-ad)/c 2, dal grafico di k/x si passa a quello di k/(x+d/c) spostando il grafico di k/x a destra, se d/ c<0, a sinistra, se d/c>0. Dunque la singolarità che k/x ha per x=0, diventa per k/(x+d/c) il punto x=-d/c (asintoto verticale). Dominio, quindi, R/{-d/c}

13 f(x)=(ax +b)/(cx+d) = a/c +[(bc-ad)/c 2 ]/(x+d/c) Basta ora traslare di a/c verticalmente il grafico di k/(x+d/ c) verso l alto se a/c>0, verso il basso se a/c <0. Quindi y=a/c diventa asintoto orizzontale per f(x). lim x ± f(x) =a/c ε> 0 Μ>0 : x >M o x< -M f(x)-a/c < ε

14 L asintoto verticale x =-d/c = x 0, per bc-ad >0, avrà il significato di lim x x0 + f(x) = + M> 0 δ>0 : 0< x- x 0 < δ f(x) > M e lim x x0 - f(x) = - M> 0 δ>0 : - δ < x- x 0 < 0 f(x) < - M Inoltre si osserva che tutti i punti del grafico soddisfano alla condizione (x+d/c)(y-a/c) = (bc-ad)/c 2

15 Nel caso generale la funzione razionale f(x)=[a n x n +a n-1 x n-1 + +a 0 ]/[b m x m +b m-1 x m-1 + +b 0 ] Sarà definita su tutti i reali escluso le eventuali radici del polinomio al denominatore, vale a dire esclusi quei valori di x per i quali si ha b m x m +b m-1 x m-1 + +b 0 =0 Esempio: f(x)= (x 3 +1)/(x 2-1) essendo x 2-1=0 per x=1 oppure x=-1, dunque la funzione è definita per R/{-1,1}

16 ESEMPIO GRAFICO: f(x) = 1/(x+2)

17 ESEMPIO GRAFICO: f(x)=(2x+1)/(x-1)

18 Esempio: v(p)= 0.95 (70-p)/(p+12), esprime la velocità (in cm/sec) con cui un muscolo sartorio della coscia di una rana si estende per sollevare un peso p (in grammi). Come funzione v(p) è definita per p -12; per il suo significato biologico deve essere p 0; a=-0.95, b=70 (0.95)=66.5, c=1, d=12, dunque k=(bcad)/c 2 = 77.9>0 per cui v è strettamente decrescente per p>-12 e quindi per p 0 (maggiore è il peso, minore la velocità di estensione), quindi la velocità massima di estensione si ha per p=0, v(0) 5.54 cm/sec. v(p)=0 per p=70, la rana non riesce a sollevare un peso p 70 grammi

19 LIMITI Quale significato dare a lim x x0 f(x)=l? ε>0, δ>0 tale che 0< x-x 0 <δ f(x) - l <ε Possiamo usare il concetto di limite per definire la continuità di una funzione f: I R R, dove I è un intervallo, è continua in un punto x 0 I, se lim x x0 f(x)= f(x 0 ). La funzione è continua in I se lo è per ogni punto di I.

20 LIMITI Proprietà algebriche dei limiti, valide per limiti finiti: lim x x0 [f(x) ± g(x)] = lim x x0 f(x) ± lim x x0 g(x) lim x x0 [f(x) g(x)] = lim x x0 f(x) lim x x0 g(x) lim x x0 f(x)/ g(x) = lim x x0 f(x)/ lim x x0 g(x) Quest ultima valida se lim x x0 g(x) 0 Alcune di queste regole valgono anche per limiti infiniti, ad esempio vale ± ± = ±, ma non vale, in generale per + -!

21 Non creano problemi: ± ± = ± LIMITI c ± = ± c / ± =0 c (± ) =± /c=±, per c>0 c (+ ) = + /c = -, c ( ) = /c = +, per c<0

22 LIMITI Forme indeterminate (quando abbiamo bisogno di avere maggiori informazioni per decidere se il limite esiste e, se esiste, quanto vale): + - ± 0 ± / ± 0/0

23 Nel caso delle funzioni razionali f(x)=[a n x n +a n-1 x n-1 + +a 0 ]/[b m x m +b m-1 x m-1 + +b 0 ] Quando x tende all infinito, il numeratore si comporta come a n x n ed il denominatore come b m x m, quindi f(x) si comporta come a n x n / b m x m = a n / b m x n-m 0 se n<m lim x ± f(x) = lim x ± a n / b m x n-m = a n / b m se n=m ± se n > m

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