FUNZIONI POTENZA. Le funzioni del tipo f(x)= ax p, dove a è una costante 0, p è un numero razionale, sono chiamate funzioni potenza

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1 FUNZIONI POTENZA Le funzioni del tipo f(x)= ax p, dove a è una costante 0, p è un numero razionale, sono chiamate funzioni potenza Se p N la funzione f(x)= ax p è una particolare funzione polinomiale, costituita dal solo monomio ax p ed è quindi definita su tutto R. Esempi: a) f(x)= 2x, b) f(x)=-3x 2 ; c) f(x)=5x 4.

2 FUNZIONI POTENZA Se p è un numero intero negativo la funzione f(x)= ax p è una particolare funzione razionale ed è definita su R/{0}. Esempi: a) f(x)= (2/3)x -1, b) f(x)=-3/x 2 ; c) f(x)=5x -4. Se p è un numero razionale non intero, la funzione f(x)= ax p è definita solo per x>0 f:r + /{0} R Esempi: a) f(x)= 2x 2/3 b) f(x)=(-3/4)x -3/5 ; c) f(x)=5x 1/2.

3 FUNZIONI POTENZA: VOLUMI E SUPERFICI Il volume di un corpo di qualsiasi forma è proporzionale al cubo di una qualunque delle sue dimensioni lineari V l 3 La superficie di un corpo di qualsiasi forma è proporzionale al quadrato di una qualunque delle sue dimensioni lineari S l 2 Considerando individui diversi di una stessa specie i coefficienti di proporzionalità saranno diversi, ma non troppo quindi l potrà essere considerata una lunghezza caratteristica di quella specie

4 FUNZIONI POTENZA: VOLUMI E SUPERFICI Branchie, polmoni, intestini e reni per gli animali, radici e foglie per le piante sono mezzi per aumentare la superficie e quindi favorire, in generale, fenomeni di scambio con l esterno, quali, ad esempio, assorbimento di energia, emissione calore o nel caso delle piante anidride carbonica ecc. tali fenomeni avranno andamento proporzionale alla superficie. Molti fenomeni metabolici, ad esempio consumo di ossigeno, sono proporzionali al volume.

5 FORMICHE GIGANTI E LILLIPUZIANI Perché non saremo mai invasi dalle formiche giganti? Se una comune formica lunga 3 mm venisse ingrandita con un coefficiente 1000, la formica avrebbe lunghezza 3 metri, il suo volume diventerebbe 10 9 volte quello originale, mentre l area di una sezione di una zampa sarà 10 6 volte quella originale. L insetto sarà un miliardo di volte più pesante e poggerà su zampe la cui sezione è solo un milione di volte maggiore, la pressione che il corpo eserciterà sulle zampe è 1000 volte quella originale e quindi se non resterà schiacciato, certamente non potrà muoversi!

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7 FORMICHE GIGANTI E LILLIPUZIANI Nei viaggi di Gulliver, i lillipuziani erano piccoli ometti alti cm. Riducendo di 10 volte l altezza di un uomo, la perdita di calore attraverso l epidermide (proporzionale alla superficie del corpo) si ridurrebbe di 1/100. La produzione di calore, però, è proporzionale al volume e quindi si ridurrebbe di 1/1000. Il lillipuziano perderebbe calore attraverso l epidermide 10 volte di più di quanto ne produrrebbe, probabilmente morirebbe di freddo!

8 LEGGI ALLOMETRICHE Una legge che descrive come variano due parti dello stesso corpo di un organismo è detta allometrica. Se x e y indicano le misure relative a due parti del corpo di un organismo, una legge allometrica è espressa come una funzione potenza y=f(x)= ax p, dove a e p sono costanti positive. Nel rapporto tra peso dell organismo e peso dello scheletro, l esponente più spesso osservato nelle misure sperimentali è p 2/3.

9 LEGGI ALLOMETRICHE La potenza p 3/4 si presenta con una certa frequenza nelle misure di uno stesso organo in specie diverse (misure interspecifiche ), ma anche nei confronti tra organi diversi all interno della stessa specie (misure intraspecifiche )

10 IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY Uno dei primi modelli di crescita tumorale proposto intorno agli anni 60 del secolo scorso. Gli elementi funzionali di un organismo sono assunti come processi continui di interazione, in cui si sommano accrescimento e decadimento. Accrescimento e dcadimento sono modellizzati mediante funzioni potenza. Bertalanffy propone di definire il tasso di crescita di un tumore di massa m, nel modo seguente T(m) = am α - bm β dove a,b, α e β sono costanti positive.

11 IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY T(m) = am α - bm β è la somma di due funzioni potenza, la prima am α rappresenta l accrescimento della massa tumorale e porta un contributo positivo a T(m), l altra - bm β rappresenta il decadimento, la massa di tumore che si degrada per morte cellulare nell unità di tempo e porta un contributo negativo. In genere si pone β=1, cioè si suppone che la mortalità delle cellule sia proporzionale al numero delle cellule stesse. Invece si pone α=2/3.

12 IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY Il valore 2/3 viene ottenuto pensando ad un tumore approssimativamente sferico e ritenendo che la crescita sia proporzionale alla misura della superficie, proprio perché la quantità di nutrimento arriva alle cellule tumorali attraverso di essa. Poiché il raggio r del tumore è proporzionale al volume V elevato a 1/3, l area della superficie, che è proporzionale al raggio al quadrato, è proporzionale a V 2/3. Supponendo la densità costante, si ottiene lo stesso esponente anche per la dipendenza dalla massa.

13 IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY Esempio: prendendo T(m) =3m 2/3-2m cosa prevede il modello? Naturalmente la funzione ha interesse solo se m 0, Inoltre si può dire che, se T(m) >0, la massa tumorale cresce, se T(m)<0, la massa tumorale diminuisce ponendo 3m 2/3-2m >0, essendo m>0, si ha 3/2 > m 1/3, da cui m<27/8=3.375 Il modello predice che il tumore ha una crescita limitata, non sorpassa la dimensione critica m=3.375.

14 IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY Dal grafico di T(m), si deduce che il modello prevede una crescita che aumenta con le dimensioni fino ad m=1, per m> 1 la massa tumorale continua a crescere ma rallentando la crescita, infatti T(m) diminuisce all aumentare di m, per m>1 (Vedi pag. 210 Matematica per le Scienze della vita Benedetto-Degli Esposti-Maffei)

15 FUNZIONI RAZIONALI Si chiama funzione razionale una funzione esprimibile come rapporto tra due polinomi f(x)=[a n x n +a n-1 x n-1 + +a 0 ]/[b m x m +b m-1 x m-1 + +b 0 ] m,n N a n, a n-1,, a 0, b m, b m-1,, b 0 R, a n, b m 0 Il numero max(n,m) è detto grado della funzione razionale Esempi: f(x) = ( 3x 3 - x 2 +2)/(x 4-2x 2-1); f(x) = 2/x ; f(x) = (x 3-1) /(x+1)

16 FUNZIONI RAZIONALI f(x) = k /x = kx -1, k 0 Rappresenta la relazione di proporzionalità inversa un punto (x,y) appartiene al grafico di f se e solo se xy=k iperbole equilatera Dominio: R/{0} Per k>0 ed x>0, quando x diventa molto piccolo, 1/x diventa molto grande M>0 δ>0 : 0 < x < δ f(x) > M lim x 0 + k/x = + limite destro

17 FUNZIONI RAZIONALI Per k>0 ed x<0, quando x diventa molto piccolo in valore assoluto, 1/x diventa molto grande in valore assoluto, rimanendo negativo M> 0 δ>0 : δ < x < 0 f(x) < M lim - x 0 k/x = limite sinistro Il grafico di f, considerati questi limiti, si avvicina sempre di più all asse delle ordinate. Si dice che l asse delle ordinate è asintoto verticale della funzione. Per k<0, ovviamente i segni dei due limiti si scambiano

18 FUNZIONI RAZIONALI Per k>0 (ma anche per k<0), quando x diventa molto grande in valore assoluto, 1/x diventa molto piccolo in valore assoluto, rimanendo positivo o negativo a seconda che x >0 oppure x<0 rispettivamente (con segno contrario per k<0). ε> 0 Μ>0 : x >M o x< -M f(x) < ε lim x ± k/x = 0 Il grafico di f, considerati questi limiti, si avvicina sempre di più, al crescere di x in valore assoluto, all asse delle ascisse. Si dice che l asse delle ascisse è asintoto orizzontale della funzione. Analogamente per k<0.

19 FUNZIONI RAZIONALI 0< x 1 < x 2 0 < 1/x 2 < 1/x 1 Se k>0, 0 < k/x 2 < k/x 1 quindi f è strettamente decrescente sulla semiretta (0, + ) analogamente, f risulta strettamente decrescente anche sulla semiretta (-, 0). Quando k<0, f risulta strettamente crescente (dimostralo!) su entrambe le semirette. Attenzione! f(x)=k/x, k>0, non è strettamente decrescente (o per k<0, strettamente crescente) sull intero dominio (perché?)

20 La funzione 1/x

21 f(x) = 1/x, zoom intorno all origine

22 FUNZIONI RAZIONALI Le funzioni potenza f(x) = kx p, con p razionale negativo, p Q, si comportano in modo analogo alle funzioni k/x sulla semiretta (0, + ) Sulla semiretta (-, 0) sono definite solo per p Z, in tal caso, se p è dispari, hanno andamento analogo a k/x su (-, 0), e a quello di k/x se p è pari Esempi: f(x)= 2x- 2/3 : f(x)= -x -3/4 ; f(x) = x -3 ; f(x) = x -4

23 Confronta i grafici di funzioni potenza con esponente intero negativo.

24 Confronta i grafici di funzioni potenza con esponente intero positivo.

25 Confronta i grafici di funzioni potenza con esponente p razionale, 0<p<1.

26 FUNZIONI RAZIONALI Lo studio di funzioni razionali fratte può essere ricondotto a quello di f(x)=k/x, infatti f(x) = (ax +b)/(cx+d) = [(a/c)x+b/c]/[x+d/c]= [(a/c)(x+d/c) +b/c ad/c 2 ]/[x+d/c]= = a/c +[(bc-ad)/c 2 ]/(x+d/c) Posto k = (bc-ad)/c 2, dal grafico di k/x si passa a quello di k/(x+d/c) spostando il grafico di k/x a destra, se d/c<0, a sinistra, se d/c>0. Dunque la singolarità che k/x ha per x=0, diventa per k/(x+d/c) il punto x=-d/c (asintoto verticale). Dominio, quindi, R/{-d/c}

27 FUNZIONI RAZIONALI f(x)=(ax +b)/(cx+d) = a/c +[(bc-ad)/c 2 ]/(x+d/c) Basta ora traslare di a/c verticalmente il grafico di k/(x+d/c) verso l alto se a/c>0, verso il basso se a/c <0. Quindi y=a/c diventa asintoto orizzontale per f(x). lim x ± f(x) =a/c ε> 0 Μ>0 : x >M o x< -M f(x)-a/c < ε

28 FUNZIONI RAZIONALI L asintoto verticale x =-d/c = x 0, per bc-ad >0, avrà il significato di lim x x0 + f(x) = + M> 0 δ>0 : 0< x- x 0 < δ f(x) > M e lim x x0 - f(x) = - M> 0 δ>0 : δ < x- x 0 < 0 f(x) < M Inoltre tutti i punti del grafico soddisfano alla condizione (x+d/c)(y-a/c) = (bc-ad)/c 2

29 ESEMPIO GRAFICO: f(x) = 1/(x+2)

30 ESEMPIO GRAFICO: f(x)=(2x+1)/(x-1)