Prof. Gerardo Di Conza. SU UN PROBLEMA DI GEOMETRIA (maturità 1924)

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1 Prof. Gerardo Di Conza SU UN PROBLEMA DI GEOMETRIA (maturità 1924)

2 Due circonferenze, i cui raggi misurano R ed r (R>r), sono tangenti internamente nel punto A. Trovare sopra la tangente comune un punto P, tale che le rimanenti tangenti condotte per esso alle due circonferenze formino un dato angolo g. A quale condizione deve essere sottoposto g affinché il problema sia possibile? Si osservi che la misura della differenza degli angoli che la tangente comune forma con le congiungenti il punto P con i centri delle circonferenze è g/2.

3 Dall esame della figura 1, posto AP=x, possiamo immediatamente dedurre : g= APB-APC ma APC = 2arctg ( ) APB = 2 arctg ( ) Quindi : g= 2 arctg ( ) - 2 arctg ( ) (1) Dalla (1), da semplici ragionamenti di tipo geometrico, segue banalmente che deve essere: AO B < AOC Per un dato rapporto = k (k>1), possiamo scrivere la (1) in questa forma: g= 2 arctg ( ) - 2 arctg ( ) (1) la funzione g= g (x) è definita in ]- ;0[ ]0; [ e si verifica facilmente che : lim g (x) =0 lim g (x) = 0 lim g (x) =0 Si noti che nel punto 0 c è una discontinuità eliminabile. Figura 2

4 Ancora, dalla (1), derivando : g = ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) Posto g =0, possiamo scrivere, considerato che il denominatore è sempre positivo : (1 ) ( 1)= 0 (2) La quale, in virtù della posizione K>1, risulta positiva ( 1 ) nell intervallo ]- ;+ [ e si annulla per x= In conseguenza g (x) è crescente in ]- ;+ [ Interessa, ovviamente, la radice positiva. La (1) presenta dunque un massimo per x= (3) Nella figura seguente è riportato il grafico della (1) nell ipotesi k 5. Figura 3 ( 1 ) la funzione g =g (x) è una parabola che volge la concavità verso il basso, taglia l asse delle y in corrispondenza del valore (positivo) e ( 1) e l asse delle x in corrispondenza dei valori e.

5 Dunque, assegnato un certo rapporto k= R/r > 1, al variare della distanza AP l angolo g assume i valori forniti dalla (1) e con un massimo in corrispondenza del valore (3). All inverso, fissato AP mediante la (3), possiamo vedere come varia l angolo g al variare di k: g(k) = 2 arctg ( r ) - 2 arctg ( r )= 2 arctg ( ) - 2 arctg ( k ), ossia g(k) = 2 arctg ( ) - 2 arctg ( ) (4) il cui grafico è riportato in figura 4 Figura 4 Come si vede, per k=1 (i due cerchi hanno lo stesso raggio) è g=0 mentre per k>>1 il valore di g tende asintoticamente a p (180 ) : lim g(k)= 2*90-0 =180 Assunto k=5, il valore di AP che rende massimo l angolo g è AP = 2,2361. Dalla (1), (1) o (4) si ha infatti g = 83,62 = 1,46 r Riferendoci inoltre alla figura 1 di questa disamina, posto AP = x = 6,165, per k= 5, otteniamo, figura 5, g=1,04 r = 59,65

6 Figura 5 Si noti che l angolo assume lo stesso valore anche per x= 0,81. In definitiva, assunto un certo valore per i due raggi, l angolo in questione, al variare di AP, assume determinati valori e con un massimo in corrispondenza di AP= x= Il massimo assoluto, pari a 180 (figura 4), viene attinto per k>>1, in teoria per k, in corrispondenza del quale anche AP ma molto più lentamente di k. A questo punto, considerato che per un assegnato AP, l angolo formato dalle congiungenti di P con i centri delle due circonferenze è pari a g/2 ( 2 ), assunto noto g, possiamo ricavarci AP=x osservando che : OP =, O P e quindi, applicando il T. del coseno al triangolo OO P : (R-r) 2 = OP 2 O P 2 - (OP)(O P)cos g/2 ossia (R-r) 2 = ( ) 2 + ( ) 2-2 cos (g/2) (5) La (5) è un equazione di quarto grado del tipo A +B 0 (5) Con A= 4-4cos 2 (g/2) B=8Rr-4r 2 cos 2 (g/2)- 4R 2 cos 2 (g/2) (6) C= 4 R 2 r 2-4cos 2 (g/2)r 2 r 2 ( 2 ) Per convincersi di ciò, basta osservare che se r 0 i punti O e C A e quindi risulta chiaro che l angolo g è il doppio dell angolo formato dalla tangente comune con la congiungente il centro della circonferenza di raggio R.

7 che risolta rispetto a x fornisce quattro radici, di cui le due positive sono le soluzioni cercate. Per ritornare al nostro caso, assunto r=1, R=5 posizioni (6), otteniamo :, g= 59,65, dalla (5), con le 0,99-38,27, 0 Che risolta fornisce : x1 = -6,165, x2 = -0,81, x3= 0,81, x4 = 6,165 mentre se poniamo g = 83,62, ossia il valore massimo dell angolo che possiamo avere sotto l assegnato k=5, la (5) porge : 1,78-17,78, 0 La quale, questa volta, fornisce UNA SOLA RADICE POSITIVA, pari a x= 2,24 (figura 6) La (5) è quindi la relazione che ci consente di calcolare AP una volta assegnato l angolo. Si noti, infine (figura 4), che per avere un angolo pari a 90 occorre un k pari a circa 5,82 e una distanza AP= 2,41 e cosi via.