Il Capitale Umano: Istruzione e Formazione sul Posto di Lavoro

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Il Capitale Umano: Istruzione e Formazione sul Posto di Lavoro"

Transcript

1 Il Capitale Umano: Istruzione e Formazione sul Posto di Lavoro Dr. Giuseppe Rose (London Ph.D., M.Sc.) Università degli Studi della Calabria Economia del Lavoro Prof.ssa Patrizia Ordine (Oxford Ph.D., MPhil.) a.a Università della Calabria, Dipartimento di Economia e Statistica. Homepage: Tel Ricevimento studenti: vedi homepage.

2 1 Introduzione Il concetto di capitale umano indica l insieme delle conoscenze e delle capacità produttive acquisite da un individuo attraverso l istruzione, la formazione e l esperienza lavorativa. Tali capacità e conoscenze in uenzano non solo la sua realizzazione economica e sociale (ad esempio determinano la sua produttività e quindi il suo valore nel mercato del lavoro) ma hanno un impatto sulla società in cui egli fa parte (il capitale umano ha tipicamente delle esternalità positive). Tale concetto è stato introdotto nella letteratura economica da Gary Becker (premio Nobel per l economia). Lo studio del capitale umano viene solitamente diviso in due macroaree: 1. Il capitale umano acquisito attraverso l istruzione 2. Il capitale umano acquisito attraverso la formazione sul posto di lavoro Tale divisione è necessaria in quanto i problemi economici e le implicazioni coinvolte nei due diversi processi di accumulazione di conoscenze e capacità produttive (skills) da parte degli individui, sono concettualmente diversi e diversa è la loro rilevanza in temini di politiche e welfare. Anche noi seguiremo tale divisione. Nella prima parte delle lezioni descriveremo il meccanismo attraverso il quale l istruzione genera capitale umano. In particolare formalizzeremo il processo attraverso il quale l istruzione diventa uno strumento capace di far crescere la produttività degli individui. Inoltre, vedremo quali sono le problematiche che, da un punto di vista empirico, si riscontrano nel misurare il rendimento dell investimento in istruzione. Successivamente, ci concentreremo sul ruolo sociale che l istruzione riveste anche in totale assenza di un legame diretto tra istruzione e produttività individuale. In particolare illustreremo la teoria credenzialista di Michael Spence (premio Nobel per l economia) e dimostreremo che, in mercati caratterizzati dalla presenza di asimmetrie informative, l istruzione può rivestire un ruolo importante nel migliorare il benessere dell economia anche qualora essa non sia direttamente legata alla produttività degli individui. Nella seconda parte delle lezioni ci concentreremo su ciò che nella letteratura economica è noto come l on-the-job training, e cioè sulla formazione che si attua sul posto di lavoro al ne di incrementare la produttività dei lavoratori. Impareremo a distinguere la formazione speci ca dalla formazione generica (speci c training e general training). Vedremo come la teoria di Becker (1964), le cui conclusioni prevedevano un sostanziale fallimento di mercato per ciò che riguarda la formazione generica attuata in azienda, non sembra essere confermata dai dati che emergono da molti Paesi sviluppati. Successivamente studieremo come il modello di Acemoglu e Pisckhe (2000), attraverso la correzione di alcune ipotesi alla base del modello di Becker, sembra riuscire a riconciliare (almeno in parte) teoria economica ed evidenza empirica. Alcuni avvertimenti generali: a) Il presente materiale è solo di supporto. Gli argomenti sono trattati in maniera esaustiva durante le lezioni che è fortemente consigliato seguire.

3 b) Una revisione di alcuni concetti base di statistica quali la regressione lineare è raccomandata. c) Riferimenti bibliogra ci saranno dati durante le lezioni. 2 L Istruzione come Capitale Umano 2.1 Setup generale Il concetto di capitale umano (che in questa sede indicheremo con la lettera h) è stato introdotto nella letteratura economica da Gary Becker. L idea fondamentale del modello di Becker consiste nel fatto che l istruzione (e) fa aumentare le conoscenze e le capacità degli individui e li rende più produttivi. Il capitale umano è quindi rappresentato dagli anni di istruzione: h = e: (1) In un mercato del lavoro perfettamente concorrenziale il salario (w) ri ette esattamente la produttività degli individui. Di conseguenza gli individui tendono ad acquisire una maggiore istruzione perchè questa sarà seguita da maggiori salari che permetteranno un maggior livello di consumo e quindi una maggiore utilità (u): ( u = u(w+ ) w = w(e + ) ) u = u(w(e)): (2) Poichè gli individui possono anche provare piacere dall acquisire istruzione, al di la del valore che questa avrà poi sul mercato del lavoro, l istruzione potrebbe entrare nella funzione di utilità anche in maniera diretta: u = u(w(e) ; e ): (3) + + Per semplicità di notazione eviteremo quest ultima formulazione e ci concentreremo su quella contenuta nella (2). In realtà, l istruzione fa sorgere anche diversi costi (c) in capo all individuo che intende istruirsi. Questi costi possono essere divisi in tre tipologie: a) costi monetari diretti (tasse, libri, a tti ecc.); b) costi opportunità (i salari che si possono guadagnare anzichè stare a lezione); c) costi dello sforzo o costi non monetari (studiare, rinunciare a parte del divertimento, ecc.); Questi costi sono una funzione crescente degli anni di istruzione (c(e)) e determinano un decremento dell utilità dell individuo. Per cui la funzione di utilità di un individuo può essere scritta come:

4 Figure 1: Curve di indi erenza tra salario ed anni di istruzione u = u(w(e) ; c(e)): (4) + A questo punto abbiamo una funzione di utilità espressa in termini di salario e di anni di istruzione. Possiamo quindi disegnare le curve di indi erenza tra w ed e, così come illustrato nella Figura Valore attuale dell investimento in capitale umano Come tutti gli investimenti, per valutare l opportunità di investire in istruzione è necessario valutare il valore attuale netto (VAN) dell investimento. Dai corsi di matematica nanziaria e di nanza aziendale, voi avete appreso che, a nchè si faccia un investimento, questo deve avere un VAN maggiore di zero.

5 Il valore attuale netto dell investimento in capitale umano può essere scritto come: V AN = 65 i=18 (y laurea i y diploma i ) (1 + r) i 18 : (5) Se V AN > 0 ) un individuo avrà convenienza ad istruirsi. Quando si vuole calcolare il V AN, in realtà sorgono immediatamente dei problemi. Il primo problema è dato dal fatto che i costi non nono immediatamente misurabili. In particolare non sono misurabili i costi non monetari. Il secondo problema è dato dal fatto che, come la matematica nanziaria ci insegna, per valutare il valore attuale di un investimento in tasso di sconto che noi utilizziamo per valutarlo deve essere pari al sul tasso di rendimento. In altre parole dobbiamo dare un valore ad r che sia pari al tasso di rendimento dell istruzione. Ma quanto rende investire in istruzione? Quanto comporta in termini di aumento di reddito un anno in più di istruzione? Questo problema era già noto alle banche americane negli anni 70 e 80 che dovevano stabilire il tasso di interesse da chiedere quando concedevano prestiti per lo studio. Si può valutare r? Supponiamo che un individuo che non studia guadagni y 0 per tutta la vita, mentre un individuo che si istruisce s anni guadagna y 1 (dopo s anni) per tutta la vita. A nchè un individuo decida di istruirsi deve essere soddisfatta la seguente relazione: y 0 r y 1 1 r (1 + r) s : (6) In altre parole, gli individui decidono di istruirsi se il valore attuale del loro reddito in presenza di s anni di istruzione è almeno pari al valore attuale del reddito che si ricava quando non si investe in istruzione. Consideriamo il caso in cui la relazione (6) sia soddisfatta come un uguaglinza (la posizione al margine). Moltiplicando per r la relazione (6) e prendendo il logaritmo di entrambi i lati della (6) avremo: ovvero: Poichè: ln y 0 = ln y 1 + ln 1 (1 + r) s (7) ln y 0 = ln y 1 + ln 1 s ln(1 + r): (8) ln 1 = 0 ln(1 + r) u r (approssimazione in serie di Taylor)

6 possiamo scrivere: ln y 1 = ln y 0 + rs: (9) Se utilizziamo dati sui redditi degli individui possiamo stimare i parametri della seguente relazione che rappresenta il salario in funzione degli anni di istruzione: z i = + x i : 1 (10) La stima del parametro con il metodo degli OLS ci da una stima di r: Quando si stima la regressione lineare (10) bisogna quindi includere tutte le altre variabili che possono determinare il reddito di un individuo, quali l età (sia lineare che al quadrato) la localizzazione geogra ca del luogo di lavoro (che " ltra" le caratteristiche ambientali), il tipo di impresa nella quale l individuo lavora, la posizione professionale rivestita dall individuo, il sesso, ecc. Quando si utilizzano dati sugli individui e si stima la relazione (10) il parametro risulta essere pari a circa 0.17, ovvero r = 17%: Da questa stima si deduce che ogni anno di istruzione sul mercato genera circa il 17% di incremento del reddito. Ma tale stima è corretta? A nchè le stime che si ottengono applicando il metodo degli OLS al modello di regressione lineare siano signi cative ed af- dabili è necessario che siano soddisfatte alcune ipotesi (che saranno da voi approfondite durante il corso di econometria). Una di queste ipotesi ci dice che, a nchè i parametri che scaturiscono dalla stima di un modello di regressione lineare siano a dabili, è necessario che il modello sia correttamente speci cato, ovvero tutte le variabili che teoricamente possono in uenzare la variabile dipendente (z) devono essere incluse nel lato destro della relazione. Intuitivamente, l omissione nel modello di regressione di una delle possibili variabili che possono teoricamente determinare (z) fa si che tutte le altre variabili incluse devono spiegare il comportamento della variabile z (anche quella parte del comportamento di z determinato dalla variabile omessa) e questo genera chiaramente degli errori nelle stime. Possiamo includere veramente tutte le variabili che determinano il salario? La risposta è no. In particolare, una variabile che non si osserva ma che in uenza il salario è l abilità innata degli individui. Noi abbiamo ipotizzato che il salario è esclusivamente funzione dell istruzione: w = w(e): In realtà a parità di anni di istruzione un individuo più abile è più produttivo e potrebbe guadagnare di più. Gra camente l e etto dell abilità sul reddito è illustrato nella Figura 2. Nella stima dell equazione (10) noi non abbiamo incluso l abilità (che teoricamente spiega la variabile z e cioè il reddito dell individuo) quindi la stima di è distorta (non è veritiera). Come possiamo includere variabili che ci permettono di controllare per l abilità innata degli individui? In realtà non esistono misure oggettive per l abilità di ogni singolo individuo. Alcuni economisti hanno 1 z i = ln y 1 ; x i = s; = r

7 Figure 2: Produttività di individui con diversa abilità

8 però avuto un idea geniale: valutiamo utilizzando solo un campione di gemelli (twins). Se valutiamo dei gemelli omozigoti che sono geneticamente identici e che, tra l altro, hanno avuto presumibilmente la stessa educazione e lo stesso background famigliare, qualora questi avessero deciso di studiare una quantità di anni diversi, i di erenziali salariali di questi individui non possono essere frutto di una diversa abilità (i gemelli omozigoti sono geneticamente identici) ma sono solo frutto dell e etto dell istruzione sulla loro produttività. La stima di utilizzando un campione di gemelli è pari a e cioè r = 2; 5%: Stime fatte su gemelli eterozigoti (che hanno lo stesso background famigliare e le stesse opportunità in termini sociali ma che possono avere diversa abilità in quanto sono geneticamente di erenti l uno dall altro) portano a delle stime di r = 7%: Il tasso di rendimento dell istruzione sembra quindi essere circa pari al 2.5% Altri problemi nella misurazione del rendimento dell istruzione. In realtà esistono altre variabili che andrebbero inserite nel modello di regressione lineare (poichè il reddito potrebbe essere in uenzato anche da questi fattori) che sono però di di cile misurazione. Vediamone qualcuna. 1. Background Familiare - Si considerino due individui con stessa istruzione ma con diverso background famigliare. E probabile che l individuo più agiato ha migliori "contatti" che lo mettono in condizioni di guadagnare di più rispetto ad un individuo che ha la sua stessa istruzione ma che non è immediatamente inserito in maniera privilegiata nel mondo del lavoro. Questo distorce le stime del rendimento dell istruzione. Utilizzando i gemelli si elimina il problema del background famigliare. Diversamente, nella regressione lineare bisogna includere una variabile che tiene conto del titolo di studio dei genitori e, possibilmente, anche del reddito. 2. Di erenziali Compensativi - In alcuni Paesi un minatore senza istruzione guadagna quanto insegnanti laureati o anche di più. Questo farebbe pensare che l istruzione non rende. In realtà quello che sta accadendo è che, poichè fare il minatore è un lavoro molto faticoso, per indurre le persone a farlo è necessario compensare questa maggiore penosità con un più alto salario. Immaginiamo che il salario compensi sia l istruzione di un individuo (F (e)) sia il valore (N) delle ore che l individuo trascorre in cattive condizioni: w = F (e) + N: (11) De niamo N = ak dove k sono le ore di lavoro trascorse in cattive condizioni ed a rappresenta il compenso dato per ogni ora di lavoro svolto in condizioni penose. Avremo quindi: w = F (e) + ak: (12) Si consideri la Figura 3 nella quale sull asse delle ordinate si riporta il salario, mentre sull asse delle ascisse si riportano le ore di lavoro in cattive condizioni (k). In questo sistema di assi cartesiani sono rappresentati sia

9 Figure 3: Massimizzazione dell utilità degli individui e rilevanza dei di erenziali compensativi le curve di indi erenza tra w e k degli individui e sia l andamento del salario come funzione di k per due individui con diversi anni di istruzione (la relazione (12)). La massimizzazione dell utilità degli individui porta a scelte diverse di ore di lavoro penose a seconda dell istruzione posseduta dagli individui. Tali scelte, come illustrato nella Figura 3, potrebbero portare allo stesso salario. Quando si valuta il rendimento dell istruzione è quindi opportuno controllare per i di erenziali compensativi, includendo nella regressione le ore di lavoro che gli individui trascorrono in cattive condizioni. Questo permette di ottenere una valore non distorto dei parametri che stimiamo. 3. Distorsione da Selezione (Selectivity Bias) generata da problemi attitudinali - Gli individui possono avere diversa attitudine per lo stesso tipo di

10 lavoro e questo distorce il calcolo del rendimento dell istruzione. Si consideri il seguente esempio. Due individui (Bill e Wendy) hanno la seguente produttività (salario) per due tipologie di lavoro: Lav. manuale (zero anni di istr.) Lav. non manuale (1 anno di istr.) Bill Wendy Supponiamo che r sia pari al 10% e che gli individui debbano decidere se istruirsi e fare un lavoro non manuale oppure rinunciare all istruzione e fare un lavoro del tipo unskilled. Supponiamo che esistano due periodi nella vita degli individui. Se Bill non studia egli guadagnerà in entrambi i periodi per cui il valore netto della sua decisione di non studiare è dato da: Bill(y 0 ) = 20: :000(1 + 0:1) 1 = 38:192 (13) Se egli invece decidesse di studiare un anno e fare un lavoro di tipo intellettuale avremmo: Consideriamo adesso Wendy: Bill(y 1 ) = :000(1 + 0:1) 1 = 36:363 (14) W endy(y 0 ) = 15: :000(1 + 0:1) 1 = 28:636 (15) W endy(y 1 ) = :000(1 + 0:1) 1 = 37:293 (16) Questo esempio ci fa intuire due cose: la prima è che Bill guadagna di più non studiando quindi deciderà di fare il lavoro manuale. Allo stesso tempo Wendy deciderà di fare il lavoro non manuale. La seconda considerazione è che Bill ha un reddito più alto di Wendy il che ci porterebbe a dire che l istruzione non rende. In altre parole se noi non conoscessimo r ed osservassimo solo gli anni di istruzione di Bill e Wendy ed il loro reddito troveremmo, dalla regressione lineare un tasso di rendimento dell istruzione negativo. In realtà tale stima è totalmente distorta da un problema che è noto in letteratura come sample selection bias o incidential truncation. Il meccanismo dovrebbe essere chiaro dall esempio fatto: gli individui più portati per il lavoro manuale hanno rinunciato ad istruirsi e si sono istruiti solo gli individui che non erano portati per il lavoro manuale. Noi confrontiamo il loro salario degli individui istruiti con il salario degli individui non istruiti, ma quelli che non si sono istruiti non lo hanno fatto proprio perchè erano portati per il lavoro manuale. Quindi, quando cerchiamo di stimare il rendimento dell istruzione noi tendiamo a sottostimarlo perchè probabilmente chi ha scelto di non istruirsi era particolarmente portato per il lavoro manuale lare. Se si conoscono le variabili che generano la selezione (gli elementi che inducono una particolare predisposizione per il lavoro manuale, ad esempio l essere uomo o il continuare un mestiere

11 di famiglia) le stime ritornano corrette con i modelli di regressione a due stadi detti anche Heckman selection models (Heckman, premio Nobel per l economia). Riassumendo, possiamo avere 4 cause che rendono distorta la stima che facciamo del tasso di rendimento dell istruzione anche qualora il modello sia ben speci cato (inserendo i normali controlli di età, sesso, localizzazione geogra ca, ecc.) con la regressione lineare. Le soluzioni che possiamo applicare sono: 1) controllare per l abilità; 2) controllare per il background famigliare; 3) tenere in considerazione le ore di lavoro svolte in cattive condizioni; 4) considerare possibili problemi di selezione. 2.3 L istruzione ed il suo ruolo sociale: un segnale dell abilità Come abbiamo discusso nelle sezioni precedenti, giungere ad una stima corretta e che non lasci dubbi riguardo al rendimento dell istruzione non è una cosa semplice. E pur vero che se ancora oggi non è una cosa semplice, alla luce dei miglioramenti delle tecniche di stima e di tutte le ricerche che hanno individuato e superato diverse problematiche, è facile immaginare le divergenze di opinione che caratterizzavano le discussioni accademiche durante gli anni 70. Infatti, se si ragiona su quelle che sono le implicazioni politiche della teoria di Becker (e si ritorna negli anni 60 negli Stati Uniti - in piena rivoluzione afro-americana, Malcom-X, Mohamed Alì, Martin Luther King) si giunge alla seguente conclusione: bisogna investire in istruzione pubblica se si vuol far crescere la produttività degli individui che non possono permettersi un istruzione privata. Se si vogliono dare pari opportunità a bianchi e neri bisogna investire in un tipo di istruzione accessibile a tutti. Gli studiosi contrari a tali politiche sostenevano che, quello che gli alcuni economisti spacciavano come stima del rendimento dell istruzione (r) altro non era che l e etto dell abilità individuale non osservata (quello di cui abbiamo discusso sopra, il modello dei gemelli non era ancora stato inventato). Di conseguenza non era a atto necessario investire in istruzione per far crescere la produttività degli individui poichè è solo la maggiore abilità individuale che genera un maggiore salario. A questo punto un economista di Harvard, Michael Spence, dimostrò che anche qualora l istruzione non incrementasse la produttività degli individui, investire in una forma di istruzione accessibile a tutti migliora il benessere sociale. Il modello di Spence (1974) noto come il the job market signalling game, dimostra come l istruzione funzioni come un segnale dell abilità degli individui in presenza di asimmetrie informative. Grazie al suo ruolo di segnale, l istruzione migliora il benessere sociale. Prima di entrare in dettaglio nel modello di Spence, cerchiamo di capire cosa è un asimmetria informativa. L informazione è completa quando tutti gli agenti coinvolti in un processo di interazione sono a conoscenza di tutti gli elementi rilevanti in tale processo e tutti gli agenti sanno che tutti sono a conoscenza di tali elementi e tutti

12 sanno che tutti sanno che tutti sono a conoscenza e così via per in niti stadi di conoscenza. L informazione è incompleta se uno stesso attributo di diversi agenti non è noto agli altri agenti. Ad esempio in una contrattazione l acquirente non conosce il valore che il venditore da ad un bene ed il venditore non conosce il valore che l acquirente da ad un bene. Entrambi gli agenti sanno che l altro non conosce e sanno che l altro sa che loro non conoscono ecc. L informazione è asimmetrica quando una caratteristica rilevante in un processo di interazione è nota solo ad una agente economico ed è ignota agli altri agenti economici. L agente che possiede tale informazione sa che gli altri non la conoscono e gli altri sanno che lui sa che loro non sanno e così via. Che cosa comporta l informazione incompleta? Che cosa comporta l informazione asimmetrica? Intuitivamente, il primo ed il secondo teorema dell economia del benessere sanciscono in sostanza l e cienza Paretiana dell equilibrio che si raggiunge in una economia di mercato. Tali teoremi si basano, tra l altro, sull ipotesi che l informazione sia completa. Quando l informazione è incompleta o asimmetrica l e cienza dell economia di mercato sparisce e può essere necessario l intervento pubblico. Qui focalizzeremo l attenzione su alcuni problemi di asimmetria informativa e tralasceremo i problemi dell informazione incompleta (che probabilmente saranno da voi approfonditi nel corso di teoria dei giochi). Un esempio di ine cienza generata da problemi di asimmetria informativa è la legge di Gresham: "la moneta cattiva scaccia quella buona". Si immagini una moneta d oro che può essere ri lata al ne di coniare, con l oro sottratto da diverse monete, ulteriori monete. Si immagini che ogni moneta non ri lata acquista una certa quantità di beni (6 pecore) e che quando un venditore vede la moneta non è in grado di stabilire se tale moneta è stata ri lata oppure se e ettivamente si tratta di una moneta buona (asimmetria informativa). In questo modo, nel dubbio il venditore non è disposto a vendere più sei pecore in cambio di una moneta, ma ne venderà una quantità inferiore. A questo punto chi è in possesso di una moneta buona, anche se fosse un uomo completamente onesto, poichè non otterrà 6 pecore in cambio della sua moneta, ma ne avrà una quantità minore, egli ri lerà la sua moneta e tratterrà con se l oro in eccesso. La conclusione è che alla ne, per colpa di un asimmetria informativa circa l e ettivo quantitativo di oro all interno di una moneta, non esisteranno più monete buone, ma verranno scambiate solo monete ri late. Così come l asimmetria informativa ha fatto sparire dal mercato la moneta che valeva di più, qualora le asimmetrie informative riguardino le caratteristiche di un bene o di un lavoratore, il risultato potrebbe essere che certi beni spariscono dal mercato. L economista Akerlof (premio Nobel per l economia) ha scritto un famoso articolo intitolato "The Market of Lemons" che tradotto in italiano signi ca "il mercato dei bidoni" (un "bidone" in inglese è un "lemon", mentre un "affare" è un "peach") nel quale prende ad esempio il mercato delle auto usate e spiega come l asimmetria informativa riguardo all e ettiva qualità di un auto

13 di seconda mano, fa si che si vendano solo "bidoni". 2 Si consideri la seguente situazione: Acquirente venditore Peach Lemon Esistono sul mercato auto usate buone (peach) e auto che sono dei bidoni (lemon). I prezzi a cui il venditore e l acquirente sono rispettivamente disposti a vendere e ad acquistare le due tipologie di automobili sono indicati sopra. Si supponga che l acquirente non sia in grado di distinguere un peach da un lemon, mentre il venditore conosce esattamente l auto che sta vendendo (asimmetria informativa sulla qualità dell auto). Si assuma che il venditore abbia 3 auto e che solo una di queste è un peach mentre due sono dei lemon e si assuma inoltre che l acquirente conosce tale distribuzione di probabilità. Data questa distribuzione, il valore che un acquirente è disposto a spendere per un auto usata è dato dal seguente valore atteso: V a = 1= = = 2:333: (17) L acquirente non è disposto a spendere più di per avere un auto usata. Si noti che, viste le valutazioni del venditore, egli non sarà mai disposto a vendere un auto peach al prezzo di poichè questa ha per lui un valore di L acquirente sa, quindi, che egli non otterrà mai un auto buona da questo venditore, di conseguenza egli non sarà disposto a pagare più di In questa situazione, il mercato delle auto usate sarà caratterizzato solo da bidoni. Non esiste mercato per le auto usate di buona qualità. Si noti inoltre che, una eventuale garanzia o erta sulle auto può funzionare come segnale della qualità dell auto e ristabilire il mercato solo se tale garanzia è costosa per il venditore e se vale quella che tra un attimo verrà de nita come single crossing property. Intuitivamente se la garanzia non è costosa da o rire per il venditore (ad esempio le riparazioni sono rimborsate da un assicurazione) egli o rirà tale garanzia su tutte le auto e la situazione è immutata rispetto a prima. Ma se la garanzia è costosa per il rivenditore è probabile che egli o rirà la gartanzia solo sulle macchine buone che hanno poca probabilità di risultare difettose e di far sorgere costi aggiuntivi in capo al venditore (questi sono tipici problemi che vengono analizzati nel corso di economia industriale). Il lavoro di Akerlof fa capire come qualora ci sia un asimmetria informativa su una caratteristica di un bene, il bene di migliore qualità rischia di uscire dal mercato. Ritornando al mercato del lavoro e dell istruzione, Spence ha applicato il concetto introdotto da Akerlof mostrando come, se esiste una asimmetria informativa su una caratteristica del lavoratore si può giungere a dei risultati 2 Si noti che il lavoro di Akerlof è particolarmente importante in virtù dei concetti che formalizza. La sua rilevanza va molto al di la della modesta importanza del mercato delle auto usate, usato dall autore solo come esempio in virtù del fatto che la valutazione dell e ettivo valore di un auto usata è un problema che tipicamente "terrorizza" molti studenti.

14 ine cienti nel mercato del lavoro. Inoltre egli mostra come, sotto certe condizioni, l istruzione può funzionare da segnale riguardo a tale caratteristica dell individuo (come una garanzia nel caso delle automobili) a patto che tale segnale porti dei costi diversi in capo ad individui con caratteristiche diverse. Spence parte dell ipotesi che l istruzione non aumenta la produttività degli individui ma che esistono individui high ability ( h ) e low ability ( l ) i quali hanno rispettivamente una elevata ed una bassa produttività. Indichiamo con w h > w l i salari corrispondenti alla produttività di tali individui. Si assuma che le imprese che vogliono assumere gli individui non conoscono quale sia la loro abilità e devono fare loro un a erta salariale. Si consideri il fatto che gli individui possono decidere di acquisire istruzione la quale, come in precedenza, è costosa, ma non genera incrementi nella loro produttività. In questo contesto l utilità degli individui è data da: u = u(w(); c(e)): (18) Si supponga che la funzione di costo dell istruzione non sia uguale per le due tipologie di individui, ma che questa dipenda dalla abilità degli individui: Si supponga che valga la seguente proprietà: c = c(e; ): (19) c e (e; l ) > c e (e; h ): (20) Tale proprietà ci dice che il costo che deve sostenere un individuo con bassa abilità per acquisire un anno in più di istruzione è maggiore del costo che deve sostenere un individuo con elevata abilità. Si consideri adesso la seguente funzione di utilità: u = w() c(e; ): (21) Noi sappiamo che una funzione di utilità può essere rappresentata da curve di indi erenza e che la pendenza di una curva di indi erenza in un punto è data dal saggio marginale di sostituzione tra i beni che è pari al rapporto tra le loro utilità marginali cambiato di segno. Il saggio marginale di sostituzione tra salario e istruzione è quindi dato da: sms w;e = = c e(e; ): (22) Poichè abbiamo supposto che c e (e; l ) > c e (e; h ); la curva di indi erenza per un individuo con bassa abilità rispetto alla curva di indi erenza di un individuo con elevata abilità è più pendente nello stesso punto. Le curve di indi erenza dei due individui si intersecano in un punto solo. Questo è dovuto all ipotesi che abbiamo fatto riguardo al costo marginale dell istruzione per le due tipologie di individui (20). Per questa ragione l ipotesi (20) è anche detta single crossing property.

15 Si consideri adesso la Figura 4 dove vengono rappresentate le curve di indifferenza delle due tipologie di individui e le loro produttività. Poichè, a causa dell asimmetria informativa, l impresa non distingue tra le due tipologie di individui, in assenza del sistema dell istruzione, essa pagherebbe ad entrambe le tipologie un salario pari al salario medio w: Questa situazione implica che fattori produttivi con diversa produttività marginale sono pagati con lo stesso prezzo e questo equilibrio è chiaramente ine ciente (in realtà è molto e ciente per il lavoratore meno abile) ed è quello che si raggiunge se non ci fosse istruzione. In realtà, questa situazione dove l impresa paga un salario pari a w e gli individui non si istruiscono non è un equilibrio in presenza di un sistema di istruzione. 3 Si noti infatti che l individuo l non vorrà mai acquisire un istruzione e s neanche se egli fosse pagato con un salario pari a w h : Piuttosto egli preferisce essere pagato un salario w l ed acquisire zero istruzione perchè cosi facendo raggiunge una curva di indi erenza più alta. Si consideri ora l individuo h : Questo individuo preferisce acquisire un istruzione e s ed essere pagato un salario w h piuttosto che non acquisire istruzione ed essere pagato w: Questo implica che, un impresa ragionevole, che osserva un livello di istruzione pari ad e s non può far altro che pensare che l individuo che ha acquisito un tale livello di istruzione deve essere necessariamente un tipo high ability e quindi è disposta a pagare un salario w h quando osserva un istruzione e s : Questo fa si che tutti gli individui abili acquisiranno istruzione (e s ) e saranno pagati un salario pari alla loro produttività (w h ), mentre gli individui meno abili non acquisiranno istruzione e saranno anch essi pagati con un salario pari alla loro produttività (w l ). In questo modo Spence ha dimostrato come l istruzione possa servire a raggiungere un risultato più e ciente in termini di allocazione delle risorse anche qualora essa non servisse ad incrementare la produttività. E quindi fondamentale investire in istruzione e fare in modo che tale istruzione sia accessibile a tutti in modo tale che tutti possano segnalare la propria abilità. Allo stesso tempo si noti ancora una volta che è fondamentale che l istruzione sia più costosa in termini di sforzo per gli individui meno abili rispetto a quelli più abili. La qualità dell istruzione deve essere tale da generare la single crossing property. Si noti, in ne, che è stato dimostrato che l istruzione funziona come segnale dell abilità individuale anche in presenza di un istruzione che fa crescere la produttività (il capitale umano) degli individui. 3 La Formazione sul Posto di Lavoro ovvero l on the job training Nella sezione precedente ci siamo occupati delle problematiche che riguardano l istruzione, la misurazione del suo rendimento e del suo ruolo di strumento che permette agli individui di segnalare la loro abilità alle imprese in presenza di 3 In gergo tecnico questa equilibrio di de nisce equilibrio non ragionevole (unreasonable). Il corso di teoria dei giochi approfondirà tali argomenti.

16 Figure 4: L equilibrio nel gioco dei segnali nel mercato del lavoro

17 asimmetrie informative. Abbiamo supposto che l istruzione facesse crescere la produttività degli individui perchè favoriva l accumulazione di capitale umano. Abbiamo inoltre supposto che la formazione che l individuo ottiene tramite l istruzione fosse di tipo generico e cioè fosse spendibile in ogni tipologia di impresa. Un altro canale attraverso il quale gli individui possono far crescere l insieme dei loro skills e delle loro conoscenze è la formazione sul posto di lavoro. Lo studio del processo di interazione che si genera tra imprese ed individui nella decisione di fare formazione sul posto di lavoro è stato e ettuato per la prima volta da Gary Becker. Becker distinse la formazione che viene fatta in azienda in due tipologie: investimento in capitale umano speci co ed investimento in capitale umano generico. La distinzione tra le due tipologie di training consiste nel fatto che, qualora gli strumenti che si acquisiscono durante la formazione sono applicabili e spendibili anche presso altre imprese (diverse da quella che ha fatto la formazione) la formazione si de nisce generica. Dall altro lato, se le competenze che vengono trasferite al lavoratore tramite la formazione in azienda sono unicamente applicabili all interno dei processi produttivi dell impresa che le sta fornendo si tratta di formazione speci ca. E opportuno tenere presente che l analisi di Becker si basa sull ipotesi che il mercato del lavoro sia perfettamente concorrenziale per cui il salario aumenta se cresce la produttività dell individuo. 3.1 L investimento in capitale umano generico La prima domanda che bisogna porsi è la seguente: chi guadagna dall investimento in capitale umano generico? Poichè l ipotesi del modello di Becker è che i mercato sono perfettamente concorrenziali, le imprese fanno sempre zero pro tti qualunque sia la produttività del lavoratore (se il lavoratore è più produttivo l impresa pagherà un salario più alto pari alla sua produttività facendo zero pro tti). Quindi l impresa non guadagna. Come abbiamo visto sopra, il lavoratore ha un utilità che cresce al crescere del salario che lui percepisce, pertanto egli ha un interesse ad investire in capitale umano generico. Questo ci porta a concludere che i costi dell investimento in capitale umano generico li dovrà sostenere il lavoratore. Immaginiamo che ci siano due periodi. Nel primo periodo il lavoratore ha una produttività MP L 1 : Se il lavoratore fa formazione nel periodo 1 (la formazione costa H), la sua produttività nel periodo 2 diventa MP L 2 > MP L 1 : Il lavoratore deve sostenere il costo della formazione. Tipicamente il costo della formazione consiste in una riduzione del salario del lavoratore. Tale riduzione deve necessariamente avvenire nel primo periodo in quanto se il lavoratore chiedesse all impresa di avere una riduzione salariale nel secondo periodo (w 2 < MP L 2 ), tale situazione sarebbe caratterizzata dal così detto problema dell incoerenza temporale. Infatti il lavoratore che non ha sostenuto il costo dell investimento nel primo periodo e che deve accettare un riduzione salariale nel secondo periodo, dopo aver fatto formazione sarebbe tentato a trasferirsi in un altra azienda che pagherebbe un salario w 2 = MP L 2 poichè essa non ha sostenuto i costi del training (cherry picking). L impresa sa quindi che, se il lavoratore vuole formarsi sul posto di lavoro davrà accettare una riduzione del salario nel primo

18 periodo: w 1 = MP L 1 H (contratti di apprendistato, formazione, stage). Becker ha osservato che una tale situazione può portare ad un sottoinvestimento in capitale umano generico poichè i lavoratori possono trovarsi in condizioni tali da non poter accettare riduzioni salariali. Inoltre le imprese stesse potrebbero decidere di attuare un comportamento scorretto del tipo: non fornire nessun strumento aggiuntivo al lavoratore durante il suo primo periodo di lavoro e sfruttare esclusivamente la rendita che deriva dal fatto che il salario contrattato con il lavoratore è più basso della sua produttività realizzando cosi un pro tto. L investimento in capitale umano generico rischia di essere caratterizzato da un sostanziale fallimento di mercato. 3.2 L investimento in capitale umano speci co L investimento in capitale umano speci co consiste nel fatto che gli individui acquisiscono in azienda degli strumenti che non possono essere spesi presso altre aziende. In particolare, la produttività degli individui che fanno formazione speci ca è cresciuta solo se il gli individui continuano a lavorare all interno dell impresa che ha fornito la formazione. Questa situazione è tale da far si che, una volta che il lavoratore è stato formato, l impresa può pagare un salario più basso alla sua produttività (w 2 < MP L 2 ) poichè le altre imprese al massimo pagheranno a tale lavoratore un salario pari a w 1 = MP L 1 : Da questa situazione emerge che, nel caso dell investimento in capitale umano speci co, sia il lavoratore e sia l impresa hanno un interesse a far si che la formazione abbia luogo. Infatti, il lavoratore vedrebbe aumentare il suo salario (w 2 > w 1 ) mentre l impresa vedrebbe aumentare i suoi pro tti. E però possibile mostrare che ne il lavoratore ne l impresa hanno interesse a sostenere interamente i costi della formazione. Infatti: Caso a) Il lavoratore sostiene tutti i costi H L impresa potrebbe sfruttare il lavoratore pagato ad un salario più basso e non fornire nessuna formazione e poi o rire w 1 = MP L 1 anche nel secondo periodo. Caso b) L impresa sostiene tutti i costi H Nel secondo periodo c è il rischio che il lavoratore comunque si licenzi e vada a lavorare per un salario w 1 = MP L 1 anzichè accettare w 2 < MP L 2 : Ciò che accade e che comincia un meccanismo di contrattazione tra le parti per cui si può dimostrare che l investimento in capitale umano speci co viene fatto ed i costi sono sostenuti in parte dall impresa ed in parte dai lavoratori. 3.3 Evidenza empirica ed il modello di Acemoglu e Pischke Il modello di Becker sul training di tipo generico porta a delle conclusioni che devono essere analizzate con attenzione. Ciò che abbiamo visto in precedenza è che la formazione di tipo generico rischia di non essere e ettuata ne dalle imprese ne dai lavoratori. Questo potrebbe essere un problema all interno di diverse economie poichè, ancora una volta a causa della presenza di esternalità

19 (ignorate dai teoremi dell economia del benessere) si rischia di avere il fallimento di un mercato. In altre parole, la quantità di formazione generica potrebbe essere al di sotto del suo livello ottimale, pregiudicando così la crescita e la produttività di una nazione. In realtà, quando si analizzano i dati sulla formazione fatta dalle imprese sul posto di lavoro, si nota come le imprese tendono a sostenere i costi di formazione dei propri lavoratori anche qualora questa formazione sia praticamente generica e spendibile in altre aziende. In Giappone e Germania le imprese tendono a formare e a sostenere i costi della formazione di circa l 80% dei loro lavoratori. Anche negli Stati Uniti ed in Inghilterra, se pur in misura minore, le imprese tendono a sostenere i costi della formazione dei dipendenti anche quando tale formazione è sostanzialmente di tipo generico. Daron Acemoglu e Jorn-Ste en Pischke (2000), partendo da queste considerazioni di incoerenza tra la realtà e la teoria di Becker, hanno elaborato un modello capace di spiegare perchè le imprese possono avere un incentivo ad investire in capitale umano generico. Questi autori osservano che il modello di Becker è in contrasto con la realtà in qanto l ipotesi di mercati del lavoro perfettamente competitivi non è realistica. Le imprese hanno un incentivo ad investire in capitale umano generico quando il mercato del lavoro è imperfetto (mercato non concorrenziale nel quale il salario pagato ai lavoratori è minore della loro produttività) e allo stesso tempo è caratterizzato struttura salariale compressa. Un economia è caratterizzata da una struttura salariale compressa quando la distanza tra il salario e la produttività cresce al crescere del capitale umano posseduto dall individuo. In Figura 5 è illustrata gra camente la di erenza tra un mercato del lavoro non competitivo ed mercato del lavoro non competitivo con struttura salariale compressa. Sull asse delle ascisse troviamo la quantità di formazione fatta dal lavoratore ( dall inglese training). Il costo della formazione è dato da c() ed è rappresentato da una funzione crescente(c 0 () > 0) e convessa (c 00 () > 0). La produttività degli individui è rappresentata dalla curva f() crescente (f 0 () > 0) e concava (f 00 () < 0). Solo se la rendita dell impresa cresce al crescere della formazione fatta dall individuo (() con 0 () > 0 e 00 () < 0) si avrà che l investimento in capitale umano generico sarà sostenuto dall impresa. Il livello di formazione fatta dall impresa sarà pari al valore che massimizza i suoi pro tti (): FOC: () = () c() (23) 0 ( ) = c 0 ( ): (24) Salario minimo e salari di e cienza sono solo alcuni degli elementi che possono generare compressione salariale.

20 Figure 5: L investimento in capitale umano generico in mercati non concorrenziali

1 Il criterio Paretiano e la "Nuova economia del Benessere"

1 Il criterio Paretiano e la Nuova economia del Benessere 1 Il criterio Paretiano e la "Nuova economia del Benessere" 1.1 L aggregazione di preferenze ordinali inconfrontabili e il criterio di Pareto L aggregazione delle preferenze individuali è problematica

Dettagli

Equilibrio generale ed efficienza dei mercati (Frank, Capitolo 15)

Equilibrio generale ed efficienza dei mercati (Frank, Capitolo 15) Equilibrio generale ed efficienza dei mercati (Frank, Capitolo 15) EQUILIBRIO ECONOMICO GENERALE Esistono molteplici relazioni tra mercati Per comprendere il funzionamento dell economia è quindi indispensabile

Dettagli

Corso di Politica Economica

Corso di Politica Economica Corso di Politica Economica Lezione 6: Equilibrio economico generale (part 2) David Bartolini Università Politecnica delle Marche (Sede di S.Benedetto del Tronto) d.bartolini@univpm.it (email) http://utenti.dea.univpm.it/politica

Dettagli

Equilibrio economico generale e benessere

Equilibrio economico generale e benessere Scambio Equilibrio economico generale e benessere Equilibrio economico generale e benessere (KR 12 + NS 8) Dipartimento di Economia Politica Università di Milano Bicocca Outline Scambio 1 Scambio 2 3 4

Dettagli

I beni pubblici come causa del fallimento del mercato. Definizioni e caratteristiche

I beni pubblici come causa del fallimento del mercato. Definizioni e caratteristiche I beni pubblici come causa del fallimento del mercato. Definizioni e caratteristiche (versione provvisoria) Marisa Faggini Università di Salerno mfaggini@unisa.it I beni pubblici rappresentano un esempio

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Effetto reddito ed effetto sostituzione.

Effetto reddito ed effetto sostituzione. . Indice.. 1 1. Effetto sostituzione di Slutsky. 3 2. Effetto reddito. 6 3. Effetto complessivo. 7 II . Si consideri un consumatore che può scegliere panieri (x 1 ; ) composti da due soli beni (il bene

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3)

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) L'INSIEME OPPORTUNITÁ E IL VINCOLO DI BILANCIO Un paniere di beni rappresenta una combinazione di beni o servizi Il vincolo di bilancio o retta

Dettagli

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso Esercizio 1 Data la funzione di domanda: ELASTICITÀ Dire se partendo da un livello di prezzo p 1 = 1.5, al produttore converrà aumentare il prezzo fino al livello p 2 = 2. Sarebbe conveniente per il produttore

Dettagli

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia

Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia Applicazioni dell'analisi in più variabili a problemi di economia La diversità tra gli agenti economici è alla base della nascita dell attività economica e, in generale, lo scambio di beni e servizi ha

Dettagli

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione

Guido Candela, Paolo Figini - Economia del turismo, 2ª edizione 8.2.4 La gestione finanziaria La gestione finanziaria non dev essere confusa con la contabilità: quest ultima, infatti, ha come contenuto proprio le rilevazioni contabili e il reperimento dei dati finanziari,

Dettagli

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze

Misure di base su una carta. Calcoli di distanze Misure di base su una carta Calcoli di distanze Per calcolare la distanza tra due punti su una carta disegnata si opera nel modo seguente: 1. Occorre identificare la scala della carta o ricorrendo alle

Dettagli

IMPRENDITORIALITA E INNOVAZIONE

IMPRENDITORIALITA E INNOVAZIONE Università degli studi di Bergamo Anno accademico 2005 2006 IMPRENDITORIALITA E INNOVAZIONE Docente: Prof. Massimo Merlino Introduzione Il tema della gestione dell innovazione tecnologica è più che mai

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Le imprese nell economia. esportazioni, multinazionali. Capitolo 8. adattamento italiano di Novella Bottini (ulteriore adattamento di Giovanni Anania)

Le imprese nell economia. esportazioni, multinazionali. Capitolo 8. adattamento italiano di Novella Bottini (ulteriore adattamento di Giovanni Anania) Capitolo 8 Le imprese nell economia globale: esportazioni, outsourcing e multinazionali [a.a. 2012/13] adattamento italiano di Novella Bottini (ulteriore adattamento di Giovanni Anania) 8-1 Struttura della

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ

COME MASSIMIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ icroeconomia Douglas Bernheim, ichael Whinston Copyright 009 The cgraw-hill Companies srl COE ASSIIZZARE UNA FUNZIONE DI UTILITÀ Supponiamo che il reddito mensile di Elena sia pari a Y e sia interamente

Dettagli

Capitolo 5. Il mercato della moneta

Capitolo 5. Il mercato della moneta Capitolo 5 Il mercato della moneta 5.1 Che cosa è moneta In un economia di mercato i beni non si scambiano fra loro, ma si scambiano con moneta: a fronte di un flusso reale di prodotti e di servizi sta

Dettagli

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMICA DEFINIZIONE: Dato un numero reale a che sia a > 0 e a si definisce funzione esponenziale f(x) = a x la relazione che ad ogni valore di x associa uno e un solo

Dettagli

Lezione XII: La differenziazione del prodotto

Lezione XII: La differenziazione del prodotto Lezione XII: La differenziazione del prodotto Ci sono mercati che per la natura del loro prodotto, la numerosità dei soggetti coinvolti su entrambi i lati del mercato (e in particolare, la bassa concentrazione

Dettagli

Le competenze linguistiche e matematiche degli adulti italiani sono tra le più basse nei paesi OCSE

Le competenze linguistiche e matematiche degli adulti italiani sono tra le più basse nei paesi OCSE ITALIA Problematiche chiave Le competenze linguistiche e matematiche degli adulti italiani sono tra le più basse nei paesi OCSE La performance degli italiani varia secondo le caratteristiche socio-demografiche

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee

Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Algoritmo euclideo, massimo comun divisore ed equazioni diofantee Se a e b sono numeri interi, si dice che a divide b, in simboli: a b, se e solo se esiste c Z tale che b = ac. Si può subito notare che:

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

L apertura di una economia ha 3 dimensioni

L apertura di una economia ha 3 dimensioni Lezione 19 (BAG cap. 6.1 e 6.3 e 18.1-18.4) Il mercato dei beni in economia aperta: moltiplicatore politica fiscale e deprezzamento Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Università di Pavia Economia

Dettagli

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Microeconomia venerdì 29 febbraio 2008 La struttura della lezione

Dettagli

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo

Logica Numerica Approfondimento 1. Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore. Il concetto di multiplo e di divisore. Il Minimo Comune Multiplo Logica Numerica Approfondimento E. Barbuto Minimo Comune Multiplo e Massimo Comun Divisore Il concetto di multiplo e di divisore Considerato un numero intero n, se esso viene moltiplicato per un numero

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA CENNI DI RICERCA OPERATIVA ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA CENNI DI RICERCA OPERATIVA ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA CENNI DI RICERCA OPERATIVA ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 La ricerca operativa 2 1.1 Introduzione......................................... 2 1.2 Le fasi della ricerca operativa...............................

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

Lezione 13- I due teoremi fondamentali dell economia del benessere e il second best

Lezione 13- I due teoremi fondamentali dell economia del benessere e il second best Lezione 13- I due teoremi fondamentali dell economia del benessere e il second best La mano invisibile e i due teoremi fondamentali dell economia del benessere Nel 1776 Adam Smith nella Ricchezza delle

Dettagli

Nota su Crescita e Convergenza

Nota su Crescita e Convergenza Nota su Crescita e Convergenza S. Modica 28 Ottobre 2007 Nella prima sezione si considerano crescita lineare ed esponenziale e le loro proprietà elementari. Nella seconda sezione si spiega la misura di

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS 1 UTILITÀ Classicamente sinonimo di Desiderabilità Fisher (1930):... uno degli elementi che contribuiscono ad identificare la natura economica di un bene e sorge

Dettagli

Economia del Lavoro 2010

Economia del Lavoro 2010 Economia del Lavoro 2010 Capitolo 1-3 Offerta di lavoro -Le preferenze del lavoratore 1 Offerta di lavoro Le preferenze del lavoratore Il comportamento dell offerta di lavoro è analizzato dagli economisti

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

Scelta sotto incertezza

Scelta sotto incertezza Scelta sotto incertezza 1. Introduzione Nei capitoli 1 e 2 della microeconomia standard si studia la scelta dei consumatori e dei produttori, che hanno un informazione perfetta sulle circostanze che caratterizzano

Dettagli

LA PROGETTAZIONE Come fare un progetto. LA PROGETTAZIONE Come fare un progetto

LA PROGETTAZIONE Come fare un progetto. LA PROGETTAZIONE Come fare un progetto LA PROGETTAZIONE 1 LA PROGETTAZIONE Oggi il raggiungimento di un obiettivo passa per la predisposizione di un progetto. Dal mercato al terzo settore passando per lo Stato: aziende, imprese, organizzazioni,

Dettagli

L Economia del Benessere

L Economia del Benessere L Economia del Benessere L'Economia del Benessere è la branca normativa della Scienza Economica. In quest'area della ricerca vengono studiate e definite delle regole (o dei metodi) per poter classificare,

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi

risparmio, dove lo metto ora? le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi il risparmio, dove lo ora? metto le risposte alle domande che i risparmiatori si pongono sul mondo dei fondi Vademecum del risparmiatore le principali domande emerse da una recente ricerca di mercato 1

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

Effetti delle imposte nel mercato internazionale dei capitali. Economia dei tributi_polin 1

Effetti delle imposte nel mercato internazionale dei capitali. Economia dei tributi_polin 1 Effetti delle imposte nel mercato internazionale dei capitali Economia dei tributi_polin 1 Allocazione internazionale del capitale Si possono definire due principi di neutralità della tassazione del capitale

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli

FORWARD RATE AGREEMENT

FORWARD RATE AGREEMENT FORWARD RATE AGREEMENT FLAVIO ANGELINI. Definizioni In generale, un contratto a termine o forward permette una compravendita di una certa quantità di un bene differita a una data futura a un prezzo fissato

Dettagli

La ricerca empirica: una definizione

La ricerca empirica: una definizione Lucido 35/51 La ricerca empirica: una definizione La ricerca empirica si distingue da altri tipi di ricerca per tre aspetti (Ricolfi, 23): 1. produce asserti o stabilisce nessi tra asserti ipotesi teorie,

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f.

La funzione è continua nel suo dominio perchè y = f(x) è composizione di funzioni continue. Il punto x = 0 è un punto isolato per D f. FUNZIONI CONTINUE - ALCUNI ESERCIZI SVOLTI SIMONE ALGHISI 1. Continuità di una funzione Dati un insieme D R, una funzione f : D R e x 0 R, si è detto che f è continua in x 0 se sono soddisfatte le seguenti

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

Capitolo 12 Il monopolio. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl

Capitolo 12 Il monopolio. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 12 Il monopolio IL MONOPOLIO Il monopolio è una forma di mercato in cui un unico venditore offre un bene che non ha stretti sostituti, ad una moltitudine di consumatori La differenza fondamentale

Dettagli

Principio contabile internazionale n. 12 Imposte sul reddito

Principio contabile internazionale n. 12 Imposte sul reddito Principio contabile internazionale n. 12 Imposte sul reddito Finalità La finalità del presente Principio è quella di definire il trattamento contabile delle imposte sul reddito. L aspetto principale della

Dettagli

Capitolo 10 Costi. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl

Capitolo 10 Costi. Robert H. Frank Microeconomia - 5 a Edizione Copyright 2010 - The McGraw-Hill Companies, srl Capitolo 10 Costi COSTI Per poter realizzare la produzione l impresa sostiene dei costi Si tratta di scegliere la combinazione ottimale dei fattori produttivi per l impresa È bene ricordare che la categoria

Dettagli

Economia monetaria e creditizia. Slide 3

Economia monetaria e creditizia. Slide 3 Economia monetaria e creditizia Slide 3 Ancora sul CDS Vincolo prestatore Vincolo debitore rendimenti rendimenti-costi (rendimenti-costi)/2 Ancora sul CDS dove fissare il limite? l investitore conosce

Dettagli

Legami familiari ed accesso alle professioni in Italia

Legami familiari ed accesso alle professioni in Italia Legami familiari ed accesso alle professioni in Italia Michele Pellizzari, Gaetano Basso, Andrea Catania, Giovanna Labartino, Davide Malacrino e Paola Monti 1 Premessa Questo rapporto analizza il settore

Dettagli

71 MICROCREDITO E GARANZIA PER I GIOVANI: UN BINOMIO POSSIBILE (SE SI VUOLE)

71 MICROCREDITO E GARANZIA PER I GIOVANI: UN BINOMIO POSSIBILE (SE SI VUOLE) 71 MICROCREDITO E GARANZIA PER I GIOVANI: UN BINOMIO POSSIBILE (SE SI VUOLE) di TIZIANA LANG * Finalmente è partita: dal 1 maggio i giovani italiani possono iscriversi on line al programma della Garanzia

Dettagli

CELTA IUSTA. Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi

CELTA IUSTA. Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi ONDI OMUNI: AI A CELTA IUSTA Cosa, come, quando, quanto e perché: quello che dovresti sapere per investire i tuoi risparmi CONOSCERE I FONDI D INVESTIMENTO, PER FARE SCELTE CONSAPEVOLI I fondi comuni sono

Dettagli

Governance e performance nei servizi pubblici locali

Governance e performance nei servizi pubblici locali Governance e performance nei servizi pubblici locali Anna Menozzi Lecce, 26 aprile 2007 Università degli studi del Salento Master PIT 9.4 in Analisi dei mercati e sviluppo locale Modulo M7 Economia dei

Dettagli

Politica economica in economia aperta

Politica economica in economia aperta Politica economica in economia aperta Economia aperta L economia di ciascun paese ha relazioni con il Resto del Mondo La bilancia dei pagamenti (BP) è il documento contabile che registra gli scambi commerciali

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Beni pubblici e analisi costi benefici

Beni pubblici e analisi costi benefici Beni pubblici e analisi costi benefici Arch. Laura Gabrielli Valutazione economica del progetto a.a. 2005/06 Economia pubblica L Economia pubblica è quella branca della scienza economica che spiega come

Dettagli

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +

Dettagli

LA CORRETTA SCELTA DI UN IMPIANTO PER LA TEMPRA AD INDUZIONE Come calcolare la potenza necessaria

LA CORRETTA SCELTA DI UN IMPIANTO PER LA TEMPRA AD INDUZIONE Come calcolare la potenza necessaria LA CORRETTA SCELTA DI UN IMPIANTO PER LA TEMPRA AD INDUZIONE Come calcolare la potenza necessaria Quale frequenza di lavoro scegliere Geometria del pezzo da trattare e sue caratteristiche elettromagnetiche

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Tirocini: uno sguardo all Europa

Tirocini: uno sguardo all Europa www.adapt.it, 18 luglio 2011 Tirocini: uno sguardo all Europa di Roberta Scolastici SCHEDA TIROCINI IN EUROPA Francia Spagna Lo stage consiste in una esperienza pratica all interno dell impresa, destinata

Dettagli

10 1 Gli obiettivi dell OMC 2 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese piccolo 3 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese grande 4

10 1 Gli obiettivi dell OMC 2 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese piccolo 3 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese grande 4 I SUSSIDI ALLE ESPORTAZIONI NELL AGRICOLTURA E NEI SETTORI AD ALTA TECNOLOGIA 10 1 Gli obiettivi dell OMC 2 I sussidi alle esportazioni agricole in un Paese piccolo 3 I sussidi alle esportazioni agricole

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

VC-dimension: Esempio

VC-dimension: Esempio VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Ottimizzare gli sconti per incrementare i profitti

Ottimizzare gli sconti per incrementare i profitti Ottimizzare gli sconti per incrementare i profitti Come gestire la scontistica per massimizzare la marginalità di Danilo Zatta www.simon-kucher.com 1 Il profitto aziendale è dato da tre leve: prezzo per

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Capitolo 10 Z Elasticità della domanda

Capitolo 10 Z Elasticità della domanda Capitolo 10 Z Elasticità della domanda Sommario Z 1. L elasticità della domanda rispetto al prezzo. - 2. La misura dell elasticità. - 3. I fattori determinanti l elasticità. - 4. L elasticità rispetto

Dettagli

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni

Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Modelli Binomiali per la valutazione di opzioni Rosa Maria Mininni a.a. 2014-2015 1 Introduzione ai modelli binomiali La valutazione degli strumenti finanziari derivati e, in particolare, la valutazione

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo.

Siamo così arrivati all aritmetica modulare, ma anche a individuare alcuni aspetti di come funziona l aritmetica del calcolatore come vedremo. DALLE PESATE ALL ARITMETICA FINITA IN BASE 2 Si è trovato, partendo da un problema concreto, che con la base 2, utilizzando alcune potenze della base, operando con solo addizioni, posso ottenere tutti

Dettagli

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

COSTI DI TRANSIZIONE (Switching costs)

COSTI DI TRANSIZIONE (Switching costs) COSTI DI TRANSIZIONE (Switching costs) Spesso la tecnologia dell informazione assume la forma di un sistema, ovvero un insieme di componenti che hanno valore quando funzionano insieme. Per esempio, hardware

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE PER VARIABILI QUALITATIVE

STATISTICA INFERENZIALE PER VARIABILI QUALITATIVE STATISTICA INFERENZIALE PER VARIABILI QUALITATIVE La presentazione dei dati per molte ricerche mediche fa comunemente riferimento a frequenze, assolute o percentuali. Osservazioni cliniche conducono sovente

Dettagli

Capitolo 12 La regressione lineare semplice

Capitolo 12 La regressione lineare semplice Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara

Dettagli

Progettazione di un DB....in breve

Progettazione di un DB....in breve Progettazione di un DB...in breve Cosa significa progettare un DB Definirne struttura,caratteristiche e contenuto. Per farlo è opportuno seguire delle metodologie che permettono di ottenere prodotti di

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007 A STATISTICA (A-K) a.a. 007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 007 STESS N.O. RD 00 GORU N.O. RD 006 ) La distribuzione del numero degli occupati (valori x 000) in una provincia

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli