Geometria degli spazi di Banach Marco Baronti Universita di Genova

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1 Geometria degli spazi di Banach Marco Baronti Universita di Genova Temi principali Genova, 19 Maggio 2016 Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 1 / 16

2 Di che si occupa? 1 Proiezioni Metriche - Proiezioni Lineari (Teoria della Migliore Approssimazione) Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 2 / 16

3 Di che si occupa? 1 Proiezioni Metriche - Proiezioni Lineari (Teoria della Migliore Approssimazione) 2 Estendibilitá di funzioni convesse continue da sottospazi Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 2 / 16

4 Di che si occupa? 1 Proiezioni Metriche - Proiezioni Lineari (Teoria della Migliore Approssimazione) 2 Estendibilitá di funzioni convesse continue da sottospazi 3 Caratterizzazioni di spazi di Hilbert utilizzando proprietá geometriche Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 2 / 16

5 Di che si occupa? 1 Proiezioni Metriche - Proiezioni Lineari (Teoria della Migliore Approssimazione) 2 Estendibilitá di funzioni convesse continue da sottospazi 3 Caratterizzazioni di spazi di Hilbert utilizzando proprietá geometriche 4 Applicazioni di risultati generali di geometria di spazi di Banach alla teoria dei punti fissi e quindi alle equazioni differenziali e integrali. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 2 / 16

6 Il primo problema: Una delle prime nozioni da estendere é sicuramente l ortogonalitá Ne sono stati introdotte varie dal 1945 e precisamente: 1 x, y X, x J y se e solo se x x + ty t R Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 3 / 16

7 Il primo problema: Una delle prime nozioni da estendere é sicuramente l ortogonalitá Ne sono stati introdotte varie dal 1945 e precisamente: 1 x, y X, x J y se e solo se x x + ty t R 2 x, y S(X ), x i y se e solo se x + y = x y Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 3 / 16

8 Il primo problema: Una delle prime nozioni da estendere é sicuramente l ortogonalitá Ne sono stati introdotte varie dal 1945 e precisamente: 1 x, y X, x J y se e solo se x x + ty t R 2 x, y S(X ), x i y se e solo se x + y = x y 3 x, y S(X ), x + P y se e solo se x + y 2 = 2 Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 3 / 16

9 Il primo problema: Una delle prime nozioni da estendere é sicuramente l ortogonalitá Ne sono stati introdotte varie dal 1945 e precisamente: 1 x, y X, x J y se e solo se x x + ty t R 2 x, y S(X ), x i y se e solo se x + y = x y 3 x, y S(X ), x + P y se e solo se x + y 2 = 2 4 x, y S(X ), x P y se e solo se x y 2 = 2 Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 3 / 16

10 Teoremi noti utilizzano le equivalenze tra le diverse nozioni come proprietá caratterizzanti l hilbertianitá. Uno dei teoremi piú importanti é senza dubbio il seguente: 1 x, y X, x J y se e solo se esiste un funzionale f di norma 1 tale che f (x) = x e f (y) = 0. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 4 / 16

11 Teoremi noti utilizzano le equivalenze tra le diverse nozioni come proprietá caratterizzanti l hilbertianitá. Uno dei teoremi piú importanti é senza dubbio il seguente: 1 x, y X, x J y se e solo se esiste un funzionale f di norma 1 tale che f (x) = x e f (y) = 0. 2 (M.B.) x, y S(X ), x J y allora x + y J x y se e solo se X é Hilbert. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 4 / 16

12 Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 5 / 16

13 Perché l ortogonalitá di James ha avuto piú successo? Sia M un sottospazio chiuso di X e siano x X e y 0 M tale che dist(x, y 0 ) = dist(x, M) equivale x y 0 x y per ogni y M il che equivale x y 0 x y 0 + ty per ogni t reale e quindi x y 0 J M. Dunque questo tipo di ortogonalitá é utile nella Teoria della migliore approssimazione. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 6 / 16

14 DEFINIZIONE: P : X M é una proiezione se e solo se P é lineare, continua e idempotente cioé P 2 = P OSSERVAZIONE: se P é una proiezione allora anche I P é una proiezione e dal fatto che le proiezioni sono idempotenti si ha subito che: P 1 e I P 1. Sia P : X M una proiezione x Px = x + y P(x + y) = (I P)(x + y) I P x + y per ogni y M. Quindi se I P = 1 allora Px é la migliore approssimazione di x in M. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 7 / 16

15 DEFINIZIONE: P : X M é una proiezione se e solo se P é lineare, continua e idempotente cioé P 2 = P OSSERVAZIONE: se P é una proiezione allora anche I P é una proiezione e dal fatto che le proiezioni sono idempotenti si ha subito che: P 1 e I P 1. Sia P : X M una proiezione x Px = x + y P(x + y) = (I P)(x + y) I P x + y per ogni y M. Quindi se I P = 1 allora Px é la migliore approssimazione di x in M. Di qui l importanza di caratterizzare le proiezioni di norma 1 e quindi caratterizzare iperpiani e /o sottospazi chiusi che sono rango di proiezioni di norma 1. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 7 / 16

16 DEFINIZIONE: P : X M é una proiezione se e solo se P é lineare, continua e idempotente cioé P 2 = P OSSERVAZIONE: se P é una proiezione allora anche I P é una proiezione e dal fatto che le proiezioni sono idempotenti si ha subito che: P 1 e I P 1. Sia P : X M una proiezione x Px = x + y P(x + y) = (I P)(x + y) I P x + y per ogni y M. Quindi se I P = 1 allora Px é la migliore approssimazione di x in M. Di qui l importanza di caratterizzare le proiezioni di norma 1 e quindi caratterizzare iperpiani e /o sottospazi chiusi che sono rango di proiezioni di norma 1. Non sono peró molti, infatti: Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 7 / 16

17 DEFINIZIONE: P : X M é una proiezione se e solo se P é lineare, continua e idempotente cioé P 2 = P OSSERVAZIONE: se P é una proiezione allora anche I P é una proiezione e dal fatto che le proiezioni sono idempotenti si ha subito che: P 1 e I P 1. Sia P : X M una proiezione x Px = x + y P(x + y) = (I P)(x + y) I P x + y per ogni y M. Quindi se I P = 1 allora Px é la migliore approssimazione di x in M. Di qui l importanza di caratterizzare le proiezioni di norma 1 e quindi caratterizzare iperpiani e /o sottospazi chiusi che sono rango di proiezioni di norma 1. Non sono peró molti, infatti: Teorema (Kakutani) Sia X uno spazio di Banach di dimensione 3. allora X é Hilbert se e solo se ogni iperpiano é rango di una proiezione di norma 1. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 7 / 16

18 DEFINIZIONE: P : X M é una proiezione se e solo se P é lineare, continua e idempotente cioé P 2 = P OSSERVAZIONE: se P é una proiezione allora anche I P é una proiezione e dal fatto che le proiezioni sono idempotenti si ha subito che: P 1 e I P 1. Sia P : X M una proiezione x Px = x + y P(x + y) = (I P)(x + y) I P x + y per ogni y M. Quindi se I P = 1 allora Px é la migliore approssimazione di x in M. Di qui l importanza di caratterizzare le proiezioni di norma 1 e quindi caratterizzare iperpiani e /o sottospazi chiusi che sono rango di proiezioni di norma 1. Non sono peró molti, infatti: Teorema (Kakutani) Sia X uno spazio di Banach di dimensione 3. allora X é Hilbert se e solo se ogni iperpiano é rango di una proiezione di norma 1. Ma come sono fatte le proiezioni? Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 7 / 16

19 Sia M = f 1 (0) un iperpiano con f S(X ), sia P : X M una proiezione. Si prova facilmente che esiste z X tale che f (z) = 1 e Px = x f (x)z. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 8 / 16

20 Si prova che P = 1 se e solo se M J z Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 9 / 16

21 Si prova che P = 1 se e solo se M J z se dim(x ) = 2 allora l iperpiano M ha dimensione 1 quindi M = span{y 0 } ed allora esiste anche z 0 tale che y 0 J z 0 quindi ogni iperpiano é rango di una proiezione di norma 1, ecco il perché dell ipotesi del teorema di Kakutani sulla dimensione dello spazio! Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 9 / 16

22 Nasce cosí naturale considerare la COSTANTE DI PROIEZIONE ovvero: λ(x, M) = inf { P : P M, P proiezione} Ovviamente si ha sempre: λ(x, M) 1. Consideriamo ora un iperpiano M = f 1 (0) con f S(X ) e sia P una qualsiasi proiezione con f (z) = 1 Chiaramente si ha: quindi Px = x f (x)z Px x (1 + z ) P 1 + z Poiché f = 1 esiste w X tale che w = 1 e f (w) = 1. Scegliendo allora la proiezione individuata da w si ha: 1 λ(x, M) 2 Tale Parametro indica essenzialmente se le proiezioni lineari sono buone approssimazioni metriche oppure no. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 10 / 16

23 Sono state ampiamente studiate proprietá legate a tale parametro e in particolare sono stati studiati in vari spazi classici di successioni iperpiani (e non solo) rango di proiezioni di norma 1. A titolo di esempio: Teorema (P.L.Papini-M.B) 1 X = l p ; f = (f n ) l q ; M = f 1 (0) é rango di una proiezione di norma 1 se e solo se esistono al piú i j con f i f j 0. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 11 / 16

24 Sono state ampiamente studiate proprietá legate a tale parametro e in particolare sono stati studiati in vari spazi classici di successioni iperpiani (e non solo) rango di proiezioni di norma 1. A titolo di esempio: Teorema (P.L.Papini-M.B) 1 X = l p ; f = (f n ) l q ; M = f 1 (0) é rango di una proiezione di norma 1 se e solo se esistono al piú i j con f i f j 0. 2 X = l p M un sottospazio di codimensione finita n é rango di una proiezione di norma 1 se e solo se M é intersezione di n iperpiani 1-complementati. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 11 / 16

25 Altri Parametri studiati spesso. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 12 / 16

26 Altri Parametri studiati spesso. COSTANTE di JOLY dove COSTANTE RADIALE J(X ) = sup{j(x, y) : x, y S(X ) x J y} 1 + t J(x, y) = sup t R x + ty Rx Ry K(X ) = sup{ x y : x y} dove Rx = { x x x 1, x altrimenti. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 12 / 16

27 Questi parametri sono stati utilizzati per dare ad esempio caratterizzazioni di spazi di Hilbert. A titolo di esempio: 1 (Joly,Benitez,Del Rio) J(X ) [ 2, 3] e J(X ) = 2 se e solo se X é Hilbert. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 13 / 16

28 Questi parametri sono stati utilizzati per dare ad esempio caratterizzazioni di spazi di Hilbert. A titolo di esempio: 1 (Joly,Benitez,Del Rio) J(X ) [ 2, 3] e J(X ) = 2 se e solo se X é Hilbert. 2 (Thele,Karlovitz,Franchetti) K(X ) [1, 2] e k(x ) = 1 se e solo se l ortogonalitá é simmetrica. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 13 / 16

29 Questi parametri sono stati utilizzati per dare ad esempio caratterizzazioni di spazi di Hilbert. A titolo di esempio: 1 (Joly,Benitez,Del Rio) J(X ) [ 2, 3] e J(X ) = 2 se e solo se X é Hilbert. 2 (Thele,Karlovitz,Franchetti) K(X ) [1, 2] e k(x ) = 1 se e solo se l ortogonalitá é simmetrica. 3 dim(x ) 3, k(x ) = 1 se e solo se X é Hilbert. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 13 / 16

30 Questi parametri sono stati utilizzati per dare ad esempio caratterizzazioni di spazi di Hilbert. A titolo di esempio: 1 (Joly,Benitez,Del Rio) J(X ) [ 2, 3] e J(X ) = 2 se e solo se X é Hilbert. 2 (Thele,Karlovitz,Franchetti) K(X ) [1, 2] e k(x ) = 1 se e solo se l ortogonalitá é simmetrica. 3 dim(x ) 3, k(x ) = 1 se e solo se X é Hilbert. 4 (M.B) K(X ) = sup{ P M : M prossiminale} dove P M = sup{ y : y migliore approssimazione in M di x; x 1} Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 13 / 16

31 PROBLEMA PARZIALMENTE APERTO Sia X uno spazio bidimensionale. Vale la seguente disuguaglianza? cioé: L(arc(x, y)) L(seg(xy)) + 2L(seg(mh))? L(arc(x, y)) x y + 2(1 x + y ) = x y x + y + 2? 2 Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 14 / 16

32 Alcuni risultati (C.Franchetti,P.L.Papini, M.B.) Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 15 / 16

33 Alcuni risultati (C.Franchetti,P.L.Papini, M.B.) 1 min{l(arc(x, h)), L(arc(h, y))} m h + x y 2 Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 15 / 16

34 Alcuni risultati (C.Franchetti,P.L.Papini, M.B.) 1 min{l(arc(x, h)), L(arc(h, y))} m h + x y 2 2 max{l(arc(x, h)), L(arc(h, y))} m h + x y 2 vale per ogni scelta di x, y S(X ) nei seguenti casi: R 2, l p, per p in un intorno di 2, S(X ) esagono regolare affine. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 15 / 16

35 Alcuni risultati (C.Franchetti,P.L.Papini, M.B.) 1 min{l(arc(x, h)), L(arc(h, y))} m h + x y 2 2 max{l(arc(x, h)), L(arc(h, y))} m h + x y 2 vale per ogni scelta di x, y S(X ) nei seguenti casi: R 2, l p, per p in un intorno di 2, S(X ) esagono regolare affine. 3 max{l(arc(x, h)), L(arc(h, y))} m h + x y 2 NON vale in l p con p [1, 1.37]. Il problema appena esposto ha risposta negativa in generale Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 15 / 16

36 ma rimane la congettura che la risposta sia positiva almeno in spazi con molte simmetrie ad esempio in tutti gli l p. Marco Baronti (Universita of Genova) Geometria degli spazi di Banach 16 / 16