Lo spazio vettoriale euclideo tridimensionale

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1 Capitolo 2 Lo spazio vettoriale euclideo tridimensionale 2.1 Introduzione Come già ricordato, lo spazio vettoriale euclideo R n si dice piano vettoriale euclideo se n = 2 e spazio vettoriale euclideo tridmensionale se n = 3. Per ragioni di tradizione i vettori della base canonica E 2 di R 2 verranno indicati con i, j invece che e 1, e 2 : i = 1 0 e j = 1. 0 Allo stesso modo, i vettori della base canonica E 3 di R 3 verranno indicati con i, j, k invece che con e 1, e 2, e 3 : j = 0, j = 1, j = Il piano vettoriale R 2 può identificarsi con il sottospazio vettoriale di R 3 generato da i, j: R 2 = [i, j] = {u R 3 u3 = 0}. Rispetto al prodotto scalare <, > definito rispettivamente su R 2 e R 3, le basi canoniche E 2 ed E 3 sono ortonormali, come già visto in generale per la base E n di R n. In particolare i := [j, k], j := [k, i], k := [i, j]. 17

2 18 CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE Ogni vettore u R 3 può pertanto scriversi in modo unico come: con i, j, k dati dalla 2.1 u =< u, i > i+ < u, j > j+ < u, k > k = u1i + u2j + u3k, In generale se B := b 1, b 2, b 3 è una base ortonormale, un vettore u R 3 può decomporsi unicamente lungo le direzioni [b 1 ], [b 2 ] e [b 3 ] secondo l uguaglianza: u =< u, b 1 > b 1 + < u, b 2 > b 2 + < u, b 3 > b Nella prima parte di questo capitolo si vuole affrontare il seguente problema. Dati due vettori u, v R 2 in quali casi, e come, un terzo vettore w R 2 può decomporsi come combinazione lineare di u e v? Similmente, dati tre vettori u, v, w R 3 in quali casi, e come, un quarto vettore può decomporsi lungo le direzioni da essi determinate? Le risposte a queste domande sono importanti e offrono il pretesto per l introduzione di un fondamentale strumento dell algebra lineare, detto determinante. Si comincerà col caso più semplice del determinante di una coppia di vettori. 2.2 Determinanti di coppie di vettori Nel seguito u = u1 u 2, v = v1 v 2, w = indicheranno tre vettori arbitrari di R 2. Il determinante di una coppia ordinata u, v R 2 R 2 è lo scalare u v definito dall uguaglianza 1 : u v =: u 1 v 1 u 2 v 2 =: u 1v 2 u 2 v Linearità e antisimmetria. Il determinante è lineare rispetto al primo argomento, ossia: w1 w 2, λu + µv w = λ u w + µ v w. 2.3 La verifica si fa... a mano: λu1 + µv λu + µv w = 1 w1 = λu 2 + µv 2 w 2 = λu 1 + µv 1 w 2 λu 2 + µv 2 w 1 = = λu 1 w 2 u 2 w 1 + µv 1 w 2 v 2 w 1 = = λ u w + µ v w, 1 Naturalmente la stessa definizione vale ance se K = C. La definizione generale di determinante verrà data più avanti

3 2.2. DETERMINANTI DI COPPIE DI VETTORI 19 come volevasi. Inoltre il determinante è antisimmetrico, cioè per ogni u, v R 2. Infatti v u = u v, 2.4 v u = v 1 u 2 u 1 v 2 = u 1 v 2 u 2 v 1 = u v. La 2.3 e la 2.4 implicano la linearità rispetto al secondo argomento: Infatti, per ogni scelta di u, v, w R 2 e λ, µ R si ha: u λv + µw = λu v + µu w. 2.5 u λv + µw = λv + µw u = per la 2.4 = λ v u µ w u = per la 2.3 = λ u v + µ u w, per la 2.4 come volevasi dimostrare. Il determinante è perciò una funzione bilineare, nel senso che è lineare rispetto sia al primo che al secondo argomento. Inoltre, come si verifica facilmente, i j = 1. Non è difficile provare, come si vedrà più avanti e più in generale, che la funzione determinante det : R 2 R 2 R u, v u v, è l unica forma 2 bilineare antisimmetrica tale che i j = Osservazioni. i L uguaglianza u u = 0 vale per ogni u R 2. Infatti, valendo l antisimmetria 2.4 per ogni coppia di vettori u, v essa vale, in particolare, per la coppia u, u. Quindi: u u = u u, ossia 2u u = 0. Siccome 3 2 0, allora u u = 0. ii il determinante della coppia u, v è nullo se uno dei due vettori è nullo, quale conseguenza della bilinearità. Infatti: dove u è un vettore arbitrario. 0 v = 0 u v = 0 u v = 0 2 Una forma bilineare è un espressione polinomiale omogenea di grado due nelle componenti di sue vettori. 3 Purtroppo la condizione 2 0 non è uno scherzo. Esistono campi in cui = 0, i cosiddetti campi di caratteristica 2. Non è però il caso di R o C o di quaslsiasi campo chescontenga Q come sottocampo.

4 20 CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE Proposizione. Due vettori u, v R 2 sono collineari se e solo se u v = 0 Dimostrazione. Se u [v] allora u = λv da cui u v = λv v = 0 per l Osservazione i. Viceversa, supponiamo che u v = 0. Se u = 0 non c è nulla da provare per ii. Se u 0 allora almeno una componente è non nulla. Sia, per esempio, u 1 0. Se λ è l unico scalare tale che v 1 = λu 1, allora: 0 = u v = u 1 v 1 u 2 v 2 = = u 1 v 2 u 2 v 1 = u 1 v 2 u 2 λu 1 = = u 1 v 2 λu 2, da cui si ottiene v 2 = λu 2, poiché u 1 0. Pertanto v = λu e i due vettori sono collineari. 2.3 Sistemi lineari di due equazioni in due incognite Sia a 1 x + b 1 y = c 1, 2.6 a 2 x + b 2 y = c 2 un sistema di due equazioni di primo grado nelle incognite x e y. L uguaglianza 2.6 può scriversi equivalentemente nella forma ossia ancora dove a = a1 a 2 a1 x + b 1 y = a 2 x + b 2 y, b = L uguaglianza 2.7 implica ovviamente: c1 c 2 xa + yb = c, 2.7 b1 b 2 e c = xa + yb b = c b c1 c 2.

5 2.4. COLLINEARITÀ E COMPLANARITÀ IN R 3 21 da cui, xa b + yb b = c b avendo usato la linearità rispetto al primo argomento e siccome b b = 0 si ha, finalmente: Similmente si ottiene da cui xa b = c b. a xa + yb = a c, y a b = a c. Se il determinante dei coefficienti dell equazione è diverso da zero, il sistema ha soluzione unica data da: c b x, y = a b, a c. 2.8 a b Se invece fosse a b = 0, si avrebbero due possibilità: o c b = a c = 0, nel qual caso il sistema avrebbe infinite soluzioni, oppure almeno uno tra c b o a c è non nullo. In quest ultimo caso il lettore converrà con l autore che il sistema è manifestamente impossibile. La 2.8 esprime la classica regola di Cramer che risolve i sistemi di due equazioni lineari in due incognite, detti anche sistemi di Cramer Decomposizione di vettori lungo due direzioni date. Siano u e v vettori non collineari. Allora è possibile decomporre ogni w R 2 come somma di due vettori w 1 + w 2 tali che w 1 [u] e w 2 [v]. Esistono infatti λ, µ R tali che poiché, trascrivendo la 2.8, basta prendere w = λu + µv, λ = w v u v e µ = u w u v. In conclusione, se due vettori u e v non sono collineari, si ha che R 2 = [u, v], ossia u, v sono generatori di R 2. Si vedrà che il piano vettoriale R 2 può immergersi nello spazio vettoriale R 3 delle terne di numeri reali elencati per colonna. 2.4 Collinearità e complanarità in R 3 Sarà utile considerare, nel seguito, per ogni 1 i 3, la funzione q i : R 3 R 2

6 22 CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE che dimentica l i-esima componente: u2 q 1 u =, q 2 u = u 3 u1 u 3, q 3 u = u1 u dove u è come in Il lettore verificherà per esercizio che q i è un applicazione lineare, per ogni i {1, 2, 3}, cioè rispetta le combinazioni lineari nel senso seguente: q i λu + µv = λ q i u + µ q i v Così come visto in generale in R n, una colonna non nulla u 1 u := u 2 R u 3 genera una retta vettoriale di R 3, indicata con [u], che è l insieme {λu λ R}. Chiaramente [0] = {0}. L insieme RP 2 = {[u] u R 3 \ {0}} di tutte le direzioni di R 3 si dice piano proiettivo reale. La definizione di collinearità di due vettori di R 3 è come quella per vettori a due componenti. Due vettori u e v sono collineari se e solo se v [u] oppure u [v]. Quindi il vettore nullo è collineare con qualsiasi altro vettore di R 3, poiché 0 = 0 u [u]. Se u e v sono entrambi non nulli, le due condizioni sono equivalenti, ed entrambi equivalenti all uguaglianza [u] = [v]. I determinanti di coppie di vettori forniscono il seguente criterio: Proposizione. Due vettori u, v R 3 sono collineari se e solo se per ogni i {1, 2, 3}. q i u q i v = Più esplicitamente: q 1 u q 1 v = q 2 u q 2 v = q 3 u q 3 v = u 2 v 2 u 3 v 3 = u 2 v 3 u 3 v 2 = 0, u 1 v 1 u 3 v 3 = u 1 v 3 u 3 v 1 = 0, u 1 v 1 u 2 v 2 = u 1 v 2 u 2 v 1 = Dimostrazione. Infatti, se u e v sono collineari, tutte le loro rispettive componenti sono proporzionali e, quindi, tutti i determinantii 2.13 si annullano. Viceversa, si supponga

7 2.4. COLLINEARITÀ E COMPLANARITÀ IN R 3 23 che 2.12 sia verificata per ogni i {1, 2, 3}. Se u = 0 non c è nulla da provare. Se u 0 esiste almeno un indice 1 i 3 tale che l i-esima componente u i di u sia non nulla. Per fissare le idee, si supponga che sia u 3 0. Allora l equazione q 1 u q 1 v = 0 implica l esistenza di λ K tale che { v2 = λ u 2 v 3 = λ u La seconda delle 2.13, utilizzando la seconda delle 2.14, dà: 0 = u 1 v 3 u 3 v 1 = λu 1 u 3 u 3 v 1 = u 3 λu 1 v 1 da cui, dividendo primo e ultimo membro per u 3 0, si ottiene v 1 = λ u 1, sufficiente per concludere che v = λ u, cioè v [u] secondo quanto asserito Sia [u, v] := {λu + µv λ, µ R} 2.15 l insieme di tutte le combinazioni lineari di u e v a coefficienti reali. Se v = 0, allora [u, 0] = [u]. Se u e v sono entrambi non nulli e collineari, si ha l uguaglianza: [u, v] = [u] = [v]. Se [u] [v], l insieme 2.15 si dice piano vettoriale generato da u e v. Se [u, v] è un piano vettoriale, una qualsiasi coppia di vettori u, v tali che che [u, v] = [u, v ] si dice base del piano vettoriale [u, v]. In particolare u, v è una base di [u, v] Tre vettori u, v, w R 3 si dicono complanari se appartengono allo stesso piano vettoriale, ossia se almeno uno è combinazione lineare degli altri due.

8 24 CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE Se [u] = [v] = [w], allora u, v, w sono ovviamente complanari. Se invece, diciamo, [u] [v] 4, allora u, v, w sono complanari se e solo se w appartiene al piano vettoriale [u, v] generato da u e v. Se tre vettori u, v, w, a due a due non collineari, sono complanari, allora W := [u, v] = [u, w] = [v, w]. e u, v, u, w e v, w sono tre basi ma non le sole di W Esercizio. Si provi che se [u] [v], allora ogni w [u, v] può essere scritto come combinazione lineare di u e v in modo unico Definizione. Se u, v, w sono tre vettori di R 3 tali che: [u, v, w] = R 3 ossia: se ogni vettore di R 3 si può scrivere come combinazione lineare di u, v, w, allora la terna ordinata u, v, w si dice base di R Indipendenza lineare. Se la terna ordinata u, v, w è una base di R 3 allora u, v, w sono vettori linearmente indipendenti nel senso che l uguaglianza λu + µv + νw = 0 implica λ = µ = ν = 0. Infatti se, per esempio, λ 0, si avrebbe u = µ λ v ν λ w, cioè u apparterrebbe al sottospazio vettoriale [v, w] e i vettori u, v, w sarebbero complanari, contraddicendo l ipotesi di indipendenza lineare. 2.5 Determinanti di terne di vettori La lettura di questo paragrafo presuppone quella di 2.2, riguardante la definizione di determinante di una coppia di colonne di R 2, così come un ripasso delle funzioni q i : R 3 R 2, che dimenticano l i-esima componente di una colonna di R 3 si veda Il determinante di una terna ordinata u, v, w di vettori di R 3 è lo scalare u v w definito da: u v w := u 1 q 1 v q 1 w + u 2 q 2 v q 2 w + u 3 q 3 v q 3 w Che, per la Proposizione è equivalente a q iu q iv 0, per almeno un i {1, 2, 3}.

9 2.5. DETERMINANTI DI TERNE DI VETTORI 25 Più esplicitamente: u 1 v 1 w 1 u v w : = u 2 v 2 w 2 u 3 v 3 w 3 := u 1 v 2 w 2 v 3 w 3 u 2 v 1 w 1 v 3 w 3 + u 3 v 1 w 1 v 2 w 2 = = u 1 v 2 w 3 v 3 w 2 u 2 u 1 w 3 u 3 w 1 + u 3 u 1 v 2 u 2 v dove, per ogni 1 i 3, u i, v i, w i denotano le i-esime componenti dei vettori u, v, w rispettivamente. Il lettore verificherà, in particolare, che: i j k = Linearità rispetto ad un argomento. Il determinante di tre vettori è lineare rispetto al primo argomento: λu 1 + µu 2 v w = λ u 1 v w + µ u 2 v w per ogni quadrupla u 1, u 2, v, w R 3. Infatti, applicando la definizione 2.16: λu 1 + µu 2 v w = = λu 1 + µu 2 1 q 1 v q 1 w + λu 1 + µu 2 2 q 2 v q 2 w + λu 1 + µu 2 3 q 3 v q 3 w = 2.19 dove per ogni 1 i 3, l espressione λu 1 + µu 2 i denota la i-esima componente della combinazione lineare di u 1 e u 2 con coefficienti λ e µ. Indicando con u j i la i- esima componente del vettore u j, per j = 1, 2, e invocando la definizione di combinazione lineare di colonne, l espressione 2.19 uguaglia la somma: = λu µu 2 1 q 1 v q 1 w + λu µu 2 2 q 2 v q 2 w + da cui, riorganizzando gli addendi: + λu µu 2 3 q 3 v q 3 w = = λu 1 1 q 1 v q 1 w + u 1 2 q 2 v q 2 w + u 1 3 q 3 v q 3 w + = µ u 2 1 q 1 v q 1 w + u 2 2 q 2 v q 2 w + u 2 3 q 3 v q 3 w = come volevasi. = λ u 1 v w + µ u 2 v w,

10 26 CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE Esercizio. Il lettore verificherà che il determinante u v w cambia di segno scambiando u con v e u con w. E sufficiente osservare che scambiando u i con v i o u i con w i nella 2.17, si ottiene la 2.17 cambiata di segno Linearità rispetto ad ogni argomento. L antisimmetria implica, di nuovo, la linearità del determinante di tre vettori rispetto ad ogni argomento. A titolo di esempio verifichiamo quella rispetto al terzo. Si ha: u v λw 1 µw 2 = λw 1 + µw 2 v u = da cui, applicando la 2.18, già verificata, e nuovamente l antisimmetria: = λ w 1 v u µ w 2 v u = λ u v w 1 + µ u v w 2 come si voleva dimostrare. Riassumendo, la funzione determinante R 3 R 3 R 3 R è una forma tri-lineare antisimmetrica tale che i j k = Osservazione. Come nel caso dei determinanti 2 2, la linearità rispetto a ciascun argomento implica l annullarsi del determinante di tre vettori di R 3 qualora almeno una colonna sia nulla. Similmente, l antisimmetria implica l annullarsi del determinante di tre vettori qualora due colonne coincidessero. La verifiche si eseguono esattamente come in i e in ii e il lettore è invitato a ripercorrerle in questo caso. In particolare, per ogni u, v R 3, si hanno le equazioni: u 1 q 1 u q 1 v + u 2 q 2 u q 2 v + u 3 q 3 u q 3 v = v 1 q 1 u q 1 v + v 2 q 2 u q 2 v + v 3 q 3 u q 3 v = 0 che sono lo sviluppo 2.16 delle identità: u u v = 0 e v u v = 0, in cui almeno due argomenti del determinante siano uguali Proposizione. Tre vettori di u, v, w R 3 sono complanari se e solo se u v w = 0. Dimostrazione. Se i tre vettori sono complanari, almeno uno, diciamo w, è della forma λu + µv per opportuni λ, µ R. Allora u v w = u v λu + µv = λ u v v + µ u v v = 0

11 2.5. DETERMINANTI DI TERNE DI VETTORI 27 per la Viceversa, supponiamo che u v w = 0. Se [v] = [w], i tre vettori sono sicuramente complanari, in quanto, per esempio, w [u, v]. Supponiamo allora che [v] [w]. Nell espressione 2.16 esiste allora almeno un 1 i 3 tale che q i v q i w 0, altrimenti v e w sarebbero paralleli. Non è restrittivo supporre che sia i = 3. Siano λ, µ R le soluzioni del sistema lineare q 1 u = λq 1 v + µq 1 w 2.21 e proviamo che esse implicano u = λv + µw L equazione 2.21 equivale a u 2 = λv 1 +µw 2 e u 3 = λv 3 +µw 3, pertanto per provare 2.22 è sufficiente provare che u 1 = λv 1 + µw 1. L equazione u v w = 0 e la 2.16 implicano l uguaglianza: cioè, usando la 2.21: u 1 q 1 v q 1 w = u 2 q 2 v q 2 w u 3 q 3 u q 3 w 2.23 = λv 2 + µw 2 q 2 v q 2 w λv 3 + µw 3 q 3 u q 3 w da cui, mettendo in evidenza λ e µ: Utilizzando di nuovo la 2.20 si ottiene: = λ v 2 q 2 v q 2 w v 3 q 3 v q 3 w + + µ w 2 q 2 v q 2 w w 3 q 3 v q 3 w. = λv 1 q 3 v q 3 w + µw 1 q 3 v q 3 w = = λv 1 + µw 1 q 3 v q 3 w Dall uguaglianza del primo membro della 2.23 e l ultimo membro della 2.24 si ottiene finalmente: u 1 q 3 v q 3 w = λv 1 + µw 1 q 3 v q 3 w, che implica la 2.22 in forza dell ipotesi q 3 v q 3 w 0.

12 28 CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE 2.6 La regola di Cramer per i sistemi Generalizzando la situazione esposta in 2.3, si consideri il sistema di tre equazioni e tre incognite u 1 x + v 1 y + w 1 z = b 1, u 2 x + v 2 y + w 2 z = b 2, 2.25 u 3 x + v 3 y + w 3 z = b 3. La tabella u 1 v 1 w 1 u, v, w := u 2 v 2 w 2, u 3 v 3 w 3 si dice anche matrice dei coefficienti del sistema 2.25, il quale può scriversi equivalentemente come xu + yv + zw = b, 2.26 con si spera ovvio significato dei simboli: b è la colonna dei termini noti e x, y, z sono le incognite. L uguaglianza 2.26 implica, ovviamente, le seguenti tre uguaglianze: xu + yv + zw v w = b v w u xu + yv + zw w = u b w u v xu + yv + zw = u v b Applicando la trilinearità e il fatto che il determinate di triple di vettori con due argomenti uguali si annulla, si ottiene: xu v w = b v w yu v w = u b w 2.27 zu v w = u v b Se il determinante u v w della matrice dei coefficienti è non nullo, l unica soluzione del sistema è: b v w x, y, z = u v w, u b w u v w, u v b, u v w che esprime la regola di Cramer per la soluzione dei sistemi di tre equazioni lineari cioè di primo grado in tre incognite. Se u v w = 0, le tre colonne u, v, w sono complanari. Si hanno due casi a seconda che i determinanti a secondo membro della 2.27 siano tutti nulli o meno. Nel primo caso il sistema ammette infinite soluzioni. Nel secondo caso, se almeno uno fosse non nullo, il sistema sarebbe evidentemente impossibile.

13 2.7. IL PRODOTTO VETTORE Conseguenza. Una tripla ordinata B := u, v, w di vettori di R 3 è una base di R 3 se e solo se il suo determinante è diverso da zero. Infatti se i vettori di B fosser linearmente indipendenti essi non sarebbero complanari e il determinante non sarebbe nullo. Essi genererebbero pertanto R 3, poiché ogni b R 3 si potrebbe scrivere in modo unico come combinazione lineare di u, v, w con coefficienti uguali alle soluzioni uniche del sistema Viceversa, se u v w 0, il sistema lineare 2.25 ha soluzione per ogni scelta della colonna b, ossia ogni b R 3 è combinazione lineare unica di u, v, w Definizione. Una base u, v, w si dice orientata positivamente se e solo se e orientata negativamente se e solo se u v w > 0 u v w < Il prodotto vettore Definizione. Il prodotto vettore euclideo standard su R 3 è l unica funzione { : R 3 R 3 R 3 u, v u v lineare rispetto al primo argomento, antisimmetrica e tale che: i j = k, j k = i, k i = j La condizione 2.28 spesso si riassume con il diagramma: i j k che suggerisce che la prima delle 2.28, in cui i vettori compaiono in ordine alfabetico, è sufficiente per ricostruire le rimanenti, seguendo il senso orario La linearità rispetto al primo argomento significa l uguaglianza: mentre l antisimmetria: λu + µv w = λ u w + µ v v, u, v, w R u v = v u, u, v R Il lettore smaliziato è già conscio del fatto che la 2.29, insieme alla 2.30, implicano la linearità rispetto al secondo argomento, ossia Infatti u λv + µw = λ u v + µ u w 2.31

14 30 CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE u λv + µw = λv + µw u = usando la 2.30 = λ v u µ w u = usando la 2.29 = λ u v + µ u w usando nuovamente la Siccome la 2.30 vale per ogni coppia di vettori u, v R 3 R 3, essa vale in particolare per la coppia u, u, con u vettore arbitrario, da cui l uguaglianza: u u u u 2 u u = 0 che, essendo 2 0 nel campo dei numeri reali, implica: u u = 0, u R Verremo ora a scrivere un espressione esplicita per il prodotto vettore, attraverso l elenco esplicito delle componenti. Se u i e v i denotano come al solito la i-esima componente, rispettivamente, di due vettori u, v R 3, per ogni 1 i 3, si ha: u v = u 1 i + u 2 j + u 3 k v 1 i + v 2 j + v 3 k da cui, invocando la linearità rispetto al primo argomento: u v = u 1 i v 1 i + v 2 j + v 3 k + u 2 j v 1 i + v 2 j + v 3 k + u 3 k v 1 i + v 2 j + v 3 k La linearità rispetto al secondo argomento e l antisimmetria in particolare il fatto che i i = j j = k k = 0, implicano quindi: u v = u 1 v 1 i i + u 1 v 2 i j + u 1 v 3 i k + u 2 v 1 j i + u 2 v 2 j j + u 2 v 3 j k + + u 3 v 1 k i + u 3 v 2 k j + u 3 v 3 k k = = u 2 v 3 u 3 v 2 j k u 1 v 3 u 3 v 1 k i + u 1 v 2 u 2 v 1 i j = u 2 v 3 u 3 v 2 i + u 3 v 1 u 1 v 3 j + u 1 v 2 u 2 v 1 k 2.33 avendo usato nell ultima uguaglianza le espressioni Equivalentemente, in modo più pratico: u 2 v 3 u 3 v 2 u v = u 3 v 1 u 1 v 3. u 1 v 2 u 2 v Si noterà che la 2.33 può essere riscritta utilizzando la funzione q i : R 3 R 2 che dimentica la i-esima componente si veda 2.9: u v = q 1 u q 1 vi + q 2 u q 2 vj + q 3 u q 3 vk

15 2.7. IL PRODOTTO VETTORE 31 che suggerisce anche che il prodotto vettore può calcolarsi per mezzo dello sviluppo di un determinante formale: i u 1 v 1 u v = j u 2 v 2. k u 3 v 3 In particolare < u v, w >= q 1 u q 1 vw 1 + q 2 u q 2 vw 2 + q 3 u q 3 vw 3 u v w. L espressione < u v, w > è nota come prodotto misto e coincide di fatto col determinante dei tre vettori u, v, w. Utilizzando l espressione esplicita 2.33 possono provarsi le seguenti proprietà: Proprietà del prodotto vettore. Per ogni u, v, w R 3 e ogni λ, µ R si ha: a u v = 0 se e solo se u e v sono paralleli; b u v è un vettore ortogonale sia ad u che a v; c Vale la formula: u v w =< u, w > v < v, w > u Dimostrazione. Se v = λu si ha u v = u λu = λu u = 0 e ciò prova la a. Per verificare che u v è orfogonale a u e v è sufficiente calcolarne il prodotto scalare con u e v ottenendo:: < u v, u >= u v u = 0 e < u v, v >= u v v = 0 poiché il determinate di tre vettori è nullo se due argomenti sono uguali. Per quanto riguarda la c vi sono due metodi: uno diretto e uno indiretto. Quello diretto consiste nel calcolare separatamente il primo membro e il secondo membro e verificare che sono uguali. Il secondo consiste nell osservare che è sufficiente verificare la proposizione per u v u dove u e v sono due qualsiasi vettori distinti della base canonica Esercizio. Provare che il prodotto vettore non è associativo, ossia che esiste almeno una terna di vettori u, v, w tali che u v w u v w.

16 32 CAPITOLO 2. LO SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO TRIDIMENSIONALE Osservazione importante. Lo spazio vettoriale R 3, rispetto al prodotto vettore, è un algebra di Lie 5, ossia verifica le proprietà pv1, pv2, pv3 e l identità di Jacobi: u v w + v w u + w u v = per ogni scelta di u, v, w. Il lettore è invitato a provare tale identità in almeno uno dei tanti modi possibili, per esempio usando la Siano u, v R 3. Il seno dell angolo compreso tra u, v è definito dall uguaglianza: u v = u v sinu, v. Esso è indeterminato se almeno uno tra i due vettori u o v è nullo Volume. Il volume euclideo di tre vettori in R 3 è per definizione V olu, v, w =< u v, w >. Immaginando i vettori come delle freccette, il volume corrisponde intuitivamente al volume del parallelepipedo avente spigoli di lunghezza u, v, w. Per esempio, se u, v, w fossero due a due ortogonali si avrebbe: V olu, v, w =< u v, w >= u v v Osservazione. La definizione data di prodotto vettore ha l indubbio vantaggio di essere ready for use. Non è comunque quella preferita dall autore. Il prodotto vettore di due vettori u, v può definirsi come l unico vettore di R 3 tale che < u v, w >= u v w Tale definizione, usando le proprietà di bilinearità del prodotto scalare e trilinearità e antisimmetria del determinante, mostra immediatamente che il prodotto vettore definisce una funzione R 3 R 3 R 3 bilineare, antisimmetrica, tale che i j = k. Inoltre l uguaglianza: dà immediatamente u v =< u v, i > i+ < u v, j > i+ < u v, k > k < u v, i > = u v i = u 2 v 3 u 3 v 2 < u v, j > = u v j = u 3 v 1 u 1 v 3 < u v, k > = u v k = u 1 v 2 u 2 v 1 in accordo con l espressione Il modo più diretto usato per definire il prodotto vettore si basa sul procedimento col quale s definisce un algebra per mezzo delle costanti di struttura, che sono esattamente i coefficienti di i, j, k nell espressione di u v come combinazione lineare di i, j, k quando u, v siano due qualsiasi vettori della base canonica i, j, k. 5 Dal nome del matematico norvegese Sophus Lie 17 dicembre febbraio 1899.