Cenni di geometria descrittiva Elementi geometrici fondamentali

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1 CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE I ANNO CORSO DI DISEGNO A.A. 2009/2010 Dott. Alessia Giuffrida

2 Cenni di geometria descrittiva Elementi geometrici fondamentali punto = ente privo di estensione, la cui immagine è costituita da un corpo di dimensioni ridottissime; i punti si indicano in genere con le lettere maiuscole dell alfabeto latino. Un insieme di punti costituisce una figura; essa si dice PIANA quando tutti i suoi punti stanno su un piano, in caso contrario si dice SOLIDO linea = insieme illimitato di punti consecutivi, che si dispongono nello spazio in successioni di forme diverse, dette curve (a), spezzate (b), rette (c), ecc.

3 retta = insieme illimitato allineato di punti ( 1 elementi), che presenta un unica dimensione; le rette si indicano con le lettere minuscole dell alfabeto latino. semiretta: una parte di retta limitata dal suo punto d origine e infinita dall altro lato. segmento: una porzione di retta compresa tra due punti

4 Piano = insieme illimitato di punti ( 2 elementi), che presenta due dimensioni. Il piano è caratterizzato dal fatto che se due punti distinti di una retta giacciono sul piano, tutti i punti della retta stanno sul piano. I piani si indicano con le lettere minuscole dell alfabeto greco. Semipiano = la porzione di piano limitata da una retta è detta. Poligoni = sono le porzioni di piano delimitate da linee spezzate chiuse; i segmenti della spezzata sono detti lati del poligono e, quando questi hanno tutti la stessa lunghezza, il poligono si dice regolare.

5 Elementi impropri Punto improprio: un punto improprio, o all infinito, definisce una direzione (movimento su una retta); Retta impropria: una retta impropria, o all infinito, definisce una giacitura (movimento su un piano); Piano improprio: il piano improprio è il luogo di tutti gli elementi impropri(rette e punti) dello spazio.

6 Proprietà delle figure geometriche per 2 punti passa 1 sola retta per 3 punti passa 1 solo piano se 2 punti appartengono ad un piano, la retta che passa per essi appartiene interamente allo stesso piano

7 per un punto qualsiasi di un piano passano infinite rette appartenenti allo stesso piano (fascio di rette) per una retta passano infiniti piani (fascio di piani).

8 Angoli Angolo = è ciascuna porzione in cui viene suddiviso un piano da 2 rette incidenti appartenenti ad esso; il punto di intersezione è detto vertice dell angolo; le semirette definite dal punto sono dette lati dell angolo; la retta che passa per il vertice e divide l angolo in due parti uguali è detta bisettrice.

9 Diedro = ciascuna delle parti in cui viene suddiviso lo spazio, da due piani intersecatisi secondo una retta.

10 Superficie Si definisce superficie il luogo geometrico delle posizioni assunte da una linea, detta generatrice, nel suo movimento spaziale lungo un altra linea, detta direttrice. Si chiamano generatrici le linee che descrivono la superficie, direttrici le linee che guidano il movimento. Solido Si definisce solido il luogo dei punti contenuti all interno di una superficie chiusa.

11 Gli strumenti della modellazione tridimensionale Solidi e superfici possono essere realizzati mediante particolari strumenti che ne consentono la loro modellazione tridimensionale. Estrusione: crea superfici o solidi, mediante l ispessimento di un profilo piano, aperto o chiuso (generatrice); il profilo compie, quindi, un percorso rettilineo (direttrice), ortogonale al piano su cui esso giace, generando l oggetto tridimensionale. Esiste anche la possibilità di estrudere lungo un percorso diverso da quello rettilineo, ovvero lungo una curva, detta traiettoria, ma è un operazione poco controllabile. Sweep (flusso, movimento): crea superfici o solidi, mediante il movimento di una linea piana, aperta o chiusa (generatrice), lungo un percorso, 2D o 3 D, aperto o chiuso (direttrice); il profilo si dispone ortogonalmente alla tangente in ogni punto del percorso. Loft: crea superfici o solidi, mediante la definizione di due o più sezioni trasversali degli stessi, linee piane aperte o chiuse (generatrici), e o di una traiettoria (direttrice) lungo la quale deve svilupparsi l oggetto tridimensionale, o di linee guida (direttrici) all interno delle quali esso deve mantenersi ed a cui in ogni punti deve poggiarsi. Rivoluzione: crea superfici o solidi, mediante la rotazione di una linea, aperta o chiusa (generatrice), attorno ad un asse, esterno ad essa, comunque disposto nello spazio; la linea, che deve essere piana, durante il suo movimento di rotazione descrive un infinito numero di circonferenze, ciascuna ortogonale all asse di rivoluzione e tangente alla generatrice, che possono essere considerate come direttrici.

12 Superfici di estrusione Esse sono il luogo geometrico dei punti descritti da una linea grafica (generatrice) che trasla lungo una retta (generatrice). Solido ottenuto dalla estrusione della modanatura

13 Le superfici estruse sono molto utilizzate nell architettura antica, ma anche in quella moderna e nel settore di produzione dei profilati in acciaio e delle tubature. N.B. La superficie cilindrica può essere generata dall estrusione di una circonferenza lungo una retta ortogonale al piano cui essa appartiene.

14 SUPERFICI SWEPT Sono superfici di estrusione generalizzate, nelle quali una qualsiasi generatrice viene fatta scorrere su una qualsiasi direttrice anche sghemba. Lo sweep è diverso dall'estrusione. Quando si esegue lo sweep di un profilo lungo un percorso, il profilo viene spostato e allineato seguendo la normale (perpendicolare) al percorso. direttrice generatrice

15 Esempio di sweep

16 SUPERFICI LOFT Esse sono descritte da una serie quanto si vuole numerosa di sezioni trasversali u (generatrici) che vengono interpolate generando una superficie. Le sezioni trasversali definiscono il profilo (forma) del solido o della superficie risultante. Le sezioni trasversali, in genere curve o linee, possono essere aperte (ad esempio un arco) o chiuse (ad esempio un cerchio). Eseguendo il LOFT viene disegnato un solido o una superficie tra le sezioni trasversali.

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21 Superfici loft, usate per descrivere gli scafi delle imbarcazioni, le ali degli aeroplani e le carrozzerie delle automobili

22 Superfici spined Le superfici spined sono sostenute da una direttrice principale detta spine (colonna vertebrale), cui si appoggiano le generatrici che possono avere forme diverse. Le generatrici devono appartenere a piani perpendicolari alla spine. generatrici spine

23 Superfici di interpolazione bidirezionale Vengono generate interpolando due schiere di generatrici u e direttrici v, che possono scambiare i propri ruoli. Le curve u e v devono intersecarsi reciprocamente, per formare una maglia il più possibile regolare.

24 Superfici Coons Sono generate dall algoritmo di Coons, che consente di interpolare quattro curve contigue. curva

25 Superfici proporzionali Rappresentano la massima generalizzazione delle superfici ottenute facendo scorrere una curva sull altra. Le direttrici e le generatrici possono essere due, una alla partenza e una all arrivo. La prima generatrice viene traslata sulle altre due e contemporaneamente deformata gradualmente in modo che all arrivo si confonda con la seconda direttrice.

26 Superfici organiche Semplificando la teoria di Thompson si può dire che l accrescimento delle conchiglie marine segue la curvatura delle spirali logaritmiche e delle eliche; così è possibile imitare una di queste forme utilizzando le curve prima studiate.

27 Superfici rigate: Le superfici si dicono rigare quando la generatrice è una retta. Anche il piano Anche il piano può essere definito anche come una superficie rigata, in cui la direttrice sia una retta e la generatrice si muova su di essa sempre parallelamente a se stessa.

28 Si definisce cono: la superficie rigata creata da una generatrice che si muove lungo una direttrice, passando sempre per un punto fisso, detto vertice. Si definisce cono circolare retto quello che è generato da una retta che si muove lungo una circonferenza ed in cui la perpendicolare dal vertice (punto proprio),al piano su cui giace la direttrice passa per il centro di essa. Quando ciò non avviene il cono si dice obliquo. Si definisce cilindro, un cono che ha come vertice un punto improprio (vertice all infinito). Se la direttrice è una circonferenza e le generatrici sono parallele alla retta ortogonale al piano della direttrice, si parla di cilindro circolare retto.

29 Superfici di rotazione o rivoluzione La superficie di rotazione si ottiene dalla rotazione di una generatrice g intorno ad una asse r, detto asse di rotazione della superficie. La generatrice può essere una curva piana, complanare o meno, rispetto all asse di rotazione, o una curva sghemba. r g

30 La superficie sferica: si ottiene mediante la rotazione di una semicirconferenza attorno ad una retta passante per i due estremi del diametro che la delimita; semicerchio Asse di rotazione sfera La superficie torica: si ottiene dalla rotazione di una circonferenza attorno ad un asse, esterno ad essa. cerchio Asse di rotazione Toro N.B. Il cono circolare retto: oltre ad essere una superficie rigata, si può pensare prodotto dalla rotazione di una retta attorno ad un asse, che la interseca in un punto (o parallelo ad essa, ottenendo il cilindro circolare retto).

31 Altri esempi di superfici di rivoluzione

32 Posizione reciproca tra rette Due rette si dicono parallele se non esiste un punto proprio in comune Due rette appartenenti allo stesso piano, si dicono incidenti quando esiste un punto proprio del piano appartenente ad entrambe Due rette, complanari ed incidenti, si dicono perpendicolari se formano quattro angoli uguali, che misurano 90 e vengono detti angoli retti. Due rette non appartenenti allo stesso piano, si dicono sghembe.

33 Posizione reciproca tra piani Due piani si dicono incidenti quando esiste una retta appartenente ad entrambi. Due piani si dicono paralleli se non esiste una retta propria in comune.

34 Posizione relativa tra rette e piani Una retta appartiene ad un piano se tutti i punti della retta appartengono al piano Una retta non appartenente ad un piano, è secante se ha un punto in comune con esso. Una retta è parallela ad un piano se non ha alcun punto proprio in comune col piano, ovvero è parallela ad una retta del piano. Una retta non appartenente al piano è perpendicolare ad esso se risulta perpendicolare almeno a due rette del piano.

35 Distanze Distanza tra un punto ed una retta : è il segmento avente per estremi l intersezione tra la perpendicolare alla retta data, passante per il punto, ed il punto stesso. Per un punto si può condurre una ed una sola perpendicolare alla retta: essa costituisce la distanza minima tra i due enti geometrici. Distanza tra un punto ed un piano: è il segmento avente per estremi l intersezione tra la perpendicolare al piano dato, passante per il punto, ed il punto stesso.

36 Circonferenza: è il luogo dei punti di un piano equidistanti da un punto interno, detto centro. Cerchio: è l area interna alla circonferenza.

37 COSTRUZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI Asse di un segmento dato AB Dai due estremi del segmento dato, si tracciano due archi di circonferenza, aventi raggio maggiore della metà del segmento stesso. La retta passante per i punti di incontro, C e D, dei due archi rappresenta l asse.

38 Perpendicolare ad una retta per un suo punto P Data una retta generica r e un punto P, appartenente ad essa, si tracci una semicirconferenza di centro P e di raggio a piacere; dai punti A e B di intersezione di questa, con la retta r, si tracciano due archi di circonf. di raggio maggiore della distanza PA. Unendo l intersezione di questi due archi con il punto P, si avrà la perpendicolare richiesta. Perpendicolare ad una retta per un punto esterno ad essa Facendo centro nel punto P, esterno alla retta data r, si tracci una semicirconferenza di raggio a piacere, ma tale da intersecare la retta r e, a partire dai due punti di intersezione, A e B, si traccino, preferibilmente dalla parte opposta di P, rispetto ad r, due archi di circonf., di raggio superiore alla metà del segmento AB. Il punto di intersezione di questi, unito a P, individua la perpendicolare.

39 Perpendicolare ad un segmento per un suo estremo Si traccia una circonferenza di centro P, esterna al segmento AC, e di raggio PA. Tracciando il diametro per il punto B, in cui interseca AC si ricava il punto D, che unito ad A determina la perpendicolare cercata (un angolo iscritto in una circonferenza infatti è sempre retto). Parallela ad una retta r per un punto assegnato a Per il punto dato A, esterno alla retta a, si tracci un arco di circonferenza che intersechi la retta stessa; da B, con la stessa apertura di compasso, si delinea l arco di circonferenza che interseca la retta a in C; quindi da B con raggio CA si determina il punto D. La retta AD è la parallela cercata.

40 Bisettrice di un angolo Dato l angolo di vertice O si vuole trovare la sua bisettrice. Da O con raggio a piacere, si manda un arco di circonf. e dai suoi punti di incontro con i lati dell angolo (E ed D), si tracciano con raggio adeguato, due archi che determinano il punto F, il quale congiunto con O, dà la bisettrice cercata.

41 COSTRUZIONI DI POLIGONI Costruzione di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza Si traccia il diametro verticale e si considera il punto A come vertice del triangolo cercato; dal punto D si costruisce l arco di raggio uguale a quello del cerchio assegnato, che interseca la circonf. nei punti B e C che con il punto A costituiscono i vertici del triangolo. D Costruzione di un quadrato inscritto in una circonferenza Sulla circonferenza data si tracciano due diametri, tra loro ortogonali, che la dividono in quattro parti individuando i vertici A,B,C,D, del quadrato richiesto.

42 Costruzione di un pentagono inscritto in una circonferenza Sulla circonferenza data si traccino due diametri tra loro ortogonali e si divida il raggio OA in due parti uguali; dal punto di mezzo B e con apertura BC, si traccia l arco di circonferenza, che individua il punto D sul diametro orizzontale. Facendo centro in C e con apertura CD, si determinano i due lati del pentagono CF e CE sulla circonferenza. A partire dai punti F ed E, si riportano gli altri lati del pentagono iscritto. Costruzione di un esagono inscritto in una circonferenza Tracciato sulla circonferenza assegnata, ad esempio, il diametro AB, a partire dagli estremi di esso, si rappresentano due archi di circonferenza di raggio uguale a quello della circonferenza stessa. I 4 punti individuati insieme ad A e B rappresentano i vertici dell esagono.

43 LE CONICHE Si definisce cono circolare retto quello che è generato da una retta che si muove lungo una circonferenza ed in cui la perpendicolare dal vertice (punto proprio),al piano su cui giace la direttrice passa per il centro di essa. Considerando una porzione finita di cono circolare, generata dalle semirette definite dal vertice, le sezioni di esso ottenute mediante piani che assumano diverse posizioni nello spazio e che non passino per il vertice, generano delle figure piane dette coniche Immagini di un cono sezionato da un piano in tre diverse posizioni

44 CASO 1: Si ottiene un l ellisse quando il piano seca tutte le generatrici (se il piano è parallelo al piano della direttrice, si ha una circonferenza). CASO 2: Si ottiene la parabola quando il piano seca anche la direttrice e risulta parallelo ad una sola generatrice del cono. CASO 3: Si ottiene l iperbole quando il piano seca anche la direttrice e risulta parallelo a due generatrici

45 I RACCORDI Spesso nel disegno geometrico si ha la necessità di raccordare linee di specie uguale o diversa con curve, in particolare con archi di circonferenza, in modo da non avere bruschi cambiamenti di direzione. Raccordare due o più linee significa unirle graficamente senza che in esse si abbiano punti di arresto o di discontinuità nei punti di giunzione. L arte di raccordare le linee si basa su due principi che fanno parte della teoria delle tangenti: -Un arco di cerchio ed una retta sono raccordabili se il centro dell arco è sulla perpendicolare mandata alla retta nel punto di contatto; - due archi di cerchio si raccordano quando i due centri e il punto di contatto sono su una linea retta. Quindi si può affermare che due linee, di specie uguale o diversa, sono raccordate quando nel loro punto di giunzione esse ammettono la stessa tangente.

46 Disegnare il raccordo di raggio r tra due rette perpendicolari Centrando in O con raggio r, si tracciano due archi, che intersecano le rette a e b rispettivamente nei punti T1 e T2. Con la stessa apertura si centra in T1 e T2 conducendo altri due archi che individuano C. L arco TT1 di centro C è il raccordo richiesto. T2

47 Raccordo tra due rette parallele in un punto P Tracciata per P la perpendicolare alla retta a, si individua su b il punto Q; quindi si trova O, punto medio di PQ. La semicirconferenza PQ è il raccordo cercato.

48 Raccordo di raggio r tra due semirette oblique Condotte le perpendicolari alle rette a e b in punti qualsiasi, si tracciano le due parallele a e b a distanza r; queste si intersecano in C, da cui si conducono le normali alle rette a e b, ottenendo così i punti T1 e T2. L arco T1T2 di centro C è il raccordo cercato. a b N.B. Questa costruzione è valida per semirette, sia che esse formino un angolo acuto che un angolo ottuso.

49 Circonferenza tangente a tre rette date Si costruiscono le bisettrici dei due angoli formati dalle rette a, b, r, e si trova la loro intersezione in O. Da O si conducono le perpendicolari alle rette ottenendo su di esse rispettivamente T1, T2 e T3; questi saranno i punti di tangenza della circonferenza di centro O e raggio OT1=OT2=OT3

50 Raccordare una retta e una circonferenza con un arco di raggio r Si conduce la parallela alla retta a a distanza r; essa interseca in O l arco di centro C e raggio R+r. Si individua T1(piede della perpendicolare da O alla retta) e T2 (intersezione di OC con la circonferenza). L arco T1T2 di centro O è il raccordo cercato. a

51 Raccordare due circonferenze con arco di raggio r Si conducono con centri in C1 e C2, due archi, rispettivamente di raggio R1+r e R2+r; essi determinano come intersezione il punto O. I segmenti OC1 e OC2 tagliano le due circonferenze rispettivamente in T1 e T2. L arco T1T2 di centro O è il raccordo cercato.

52 Raccordare una circonferenza e un punto P con un arco di raggio r Immaginando che il punto P sia una circonferenza di centro P e raggio nullo, si possono ottenere i raccordi richiesti come nel caso precedente, sostituendo ad uno dei raggi dati il valore zero.

53 ARCHI Si definisce arco da un punto di vita costruttivo, una struttura che limita superiormente di norma, un apertura, in grado di portare un sovraccarico e costituita da elementi che si reggono per mutuo contrasto. L arco a sua volta poggia su piedritti. l= luce o corda f= freccia c= chiave i= intradosso e= estradosso pi= piano d imposta

54 ARCO A TUTTO SESTO ARCO A SESTO RIBASSATO O E l arco più comune; ha l intradosso formato da una semicirconferenza con centro sul piano di imposta. Assegnati i due punti di appoggio A e B e il punto di chiave C (con freccia minore della metà del segmento AB), si tracciano la corda AC e la perpendicolare per il punto medio della corda stessa; il punto di incontro di questa con la perpendicolare ad AB condotta da C determina il centro O dell arco di circonferenza d intradosso A, C, B.

55 ARCO POLICENTRICO ARCO OGIVALE O O1 Assegnati i punti A e B estremi della corda, e C, sulla freccia, si determinano i punti O e O (di solito alla distanza 1/5 o 1/6 della corda dei piedritti); si riporta sulla freccia a partire da C, un segmento pari ad O A e si determina il punto D; si unisce poi D con O e si traccia l asse del segmento O D fino ad incontrare la freccia, punto O. I punti O, O e O sono I centri dell arco cercato. Fissata la corda AB e la freccia CD, si congiunge C con A e con B e si determinano gli assi dei segmenti ottenuti. I punti di incontri O e O1 di esse con la corda sono i centri cercati

56 LE VOLTE Abbiamo già descritto le caratteristiche geometriche delle superfici rigate: ad esse si fa risalire la configurazione geometrica elementare di alcune strutture, appartenenti alla famiglia delle volte, elementi costruttivi fondamentali. Le volte sono utilizzate per realizzare coperture di ambienti, chiusi o in parte aperti. Esse sono sostenute da elementi verticali, le cui caratteristiche variano a seconda del tipo di volta (setti portanti, pilastri, ecc.). Parallelamente a quanto visto per gli archi, il piano che divide gli elementi portanti verticali dalla superficie voltata è detto piano d imposta; il punto, o i punti, o le generatrici appartenenti alla volta e giacenti alla massima quota sono detti elementi di chiave.

57 Analizziamo innanzitutto quella che è considerata una volta semplice, ovvero la volta a botte, superficie che ha per generatrice una retta e per direttrice un arco; se la retta è orizzontale e la direttrice è una semicirconferenza che giace su un piano ortogonale alla retta generatrice, si ha la volta a botte a tutto sesto. volta a botte a tutto sesto direttrice generatrice volta a botte rampante volta a botte a sesto acuto Se la direttrice è un arco ogivale, si ottiene la volta a botte a sesto acuto; inoltre, la generatrice può non essere ortogonale al piano su cui giace la direttrice, ma inclinata, dando luogo alla volta a botte rampante. generatrice direttrice Staticamente la volta a botte scarica il suo peso sui due muri di bordo su cui poggia.

58 Dall'intersezione di due volte a botte, si generano le volte complesse.

59 La VOLTA A PADIGLIONE è generata dall'intersezione di due volte a botte, considerando per ciascuna di esse due FUSI. Essi sono formati dalla superficie data dalla porzione di rette generatrici compresa tra il piano d'imposta e le curve di intersezione. Curve di intersezione FUSO fuso generatrici Staticamente la volta a padiglione scarica il suo peso sulla muratura di bordo su cui poggia.

60 La VOLTA A CROCIERA è generata dall'intersezione di due volte a botte, considerando per ciascuna di esse due UNGHIE. Esse sono formate dalla superficie data dalla porzione di rette generatrici compresa tra la curva direttrice e le curve di intersezione. Curve di intersezione UNGHIA unghia direttrice generatrici Staticamente la volta a crociera scarica il suo peso sui pilastri su cui poggia.

61 Intersezione di due volte a botte di uguale luce Volte a botte Intersezione di due volte a botte Elementi risultanti dall intersezione delle due volte a botte Vista iposcopica Vista iposcopica

62 Anche dalle superfici di rotazione, hanno origine alcune conformazioni geometriche, che danno vita ad alcuni tipi di volte: semicerchio asse di rotazione sfera cupola La cupola: : è una copertura in genere a forma di semisfera, quindi ottenuta dalla rotazione di un quarto di circonferenza, attorno ad un asse passante per un suo estremo ed ortogonale al raggio passante per l altro estremo. Se la curva è un semicerchio, la cupola è una semisfera. Se la curva è un semiellisse, la cupola è un ellissoide. semiellisse asse di rotazione ellissoide cupola

63 Si osserva che essendo la cupola una sup. di rotazione, un generico punto sulla cupola per effetto di questo movimento descrive una circonferenza, per cui qualunque sia la forma della generatrice; Le seziono effettuate con piani orizzontali, paralleli quindi al piano di base, sono sempre delle circonferenze. Operando invece dei tagli con piani verticali, la forma delle sezioni dipende dalla curva generatrice; Le sezioni sono semicerchi per le cupole semisferiche, semielleissi per le cupole semiellissodiche. Staticamente la volta a cupola scarica il suo peso sulla muratura di bordo circolare su cui poggia. semisfera semiellissoide semicerchio semiellisse cerchio cerchio

64 La volta torica: è data da una superficie torica, sezionata dal piano contenente il centro della circonferenza generatrice in tutte le posizioni da essa assunte durante la rotazione; Rappresentazione a fil di ferro Rappresentazione con lo spessore

65 Volta a vela La volta a vela: si ottiene da una cupola (semisfera), sezionata da quattro piani ortogonali al piano d imposta, che abbiano come tracce i lati di un quadrato inscritto nella circonferenza all imposta. Cupola Volta a vela Piano di imposta Piano di sezione