8. Circuiti magnetici

Transcript

1 8. Circuiti magnetici Campi magnetici Un campo magnetico è indotto dal moto di ca- riche. In particolare una corrente elettrica i induce un campo magnetico H secondo la prima legge di Mawell (legge di Ampere o anche legge della circuitazione) che in forma integrale è: ) H dl = i ( Dove l è una linea chiusa e ic è la corrente elettrica concatenata con tale linea chiusa. Qualora la linea chiusa l coincida con una linea di flusso del campo H e la corrente ic concatenata con l sia dovuta ad una corrente i che attra- versa N volte una superficie con contorno l. La corrente i infatti fluisce in una bobina di N avvolgimenti, per cui ic = Ni. Per la prima legge di Mawell quindi si ha: H l = N i dove ic = N i induce il campo magnetico H lungo l. Perciò N i è la forza magneto- motrice f.m.m. (magneto- motive force) analogamente alla tensione alla f.e.m. di un circuito elettrico. Il verso della della f.m.m. è definito dalla regola della mano destra come indicato nella prima figura di questa pagina. Nel Sistema Internazionale di Misura (SI) la f.m.m N i si misura in ampere. Nella tecnica, poi- chè molto spesso si utilizzano bobine, la f.m.m. si esprime in ampere spire (ampere turn) [simbolo: A t]. Infatti in tal modo una bobina di una spira percorsa da una corrente pari ad N ampere produce la stessa f.m.m. di una corrente di 1 A in una bobina di N spire. Poiché però il numero di spire è un numero puro l ampere turn ha le stesse dimensioni dell ampere e quindi le dimensioni di H sono A t/m = A/m. Nel caso di una corrente in un filo conduttore rettilineo di lunghezza infi- nita (figura a fianco), per la simmetria del sistema le linee di flusso di H sono circolari con centro in l. Dalla prima legge di Mawell si ha: 2πr H = i H = / 012 [A/m] dove H è il modulo di H, i è la corrente che genera H. ed r il raggio della circonferenza della linea chiusa l. Nel caso di un anello di materiale magnetico su cui è avvolta una bobina di N spire, supposto che le linee di flusso del campo H siano confinate all interno dell anello e siano parallele all asse dell anello di forma circolare, il valore H del campo lungo tale asse di lunghezza 2πr (r raggio dell asse circolare) è: 2πr H = i 3 = Ni H = N i 2πr [A/m] ic è la corrente concatenata con l anello. Quindi ic = Ni è la forza magneto- motrice. Nell ipotesi in cui il materiale magnetico Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 1

2 sia lineare con B = µh, si ha: B = µμ N i 2πr [T] Poiché la permeabilità magnetica µ del materiale ferromagnetico con cui l anello è costituito, è molto maggiore di quella dell aria µ0, B nell anello è molto più elevato di quanto sia B nell aria circostante. In generale quando la permeabilità magnetica relativa dell anello µμ = = µμ µμ > è sufficientemente elevata, i tubi di flusso di B sono quasi completamente contenuti all interno dell anello. L anello in tal caso diviene il nucleo magnetico (magnetic core) del sistema magnetico anello- bobina. Legge di Hopkinson Cme visto, per una permeabilità magnetica relativa dell anello µμ = sufficientemente elevata, l anello si può considerare un tubo di flusso di B. Inoltre, qualora B sia uniformemente distribuito lungo la superficie trasversale A dell anello perpendicolare al suo asse circolare, il flusso magnetico è da- to da Φ = A B [Wb]. Si ottiene quindi: Φ =?@ 012 Ni N i = R Φ L equazione trovata è la legge di Hopkinson (Hopkinson law). Essa è analoga alla legge di Ohm v = R i per i circuiti elettrici. Nel caso in esame N i è la forza magneto- motrice, R = l/µμa è la riluttanza magnetica (magnetic reluctance) dove l = 2πr è la lunghezza dell asse dell anello. Il verso della della f.m.m. è dato dalla regola della mano destra come indicato nella prima figura di questo capitolo. In generale la legge di Hopkinson è: ) N i = R Φ dove la riluttanza è: R =?@ dove Δl è la lunghezza del tubo di flusso o del ramo ove il mezzo è di permeabilità magnetica µμ, A è l area della sezione del tubo di flusso o del ramo, sezione perpendicolare alle linee di flusso del campo. Le approssimazioni fatte per considerare la struttura magnetica come un circuito magnetico sono: 1. Tutto il tubo di flusso magnetico è concatenato con tutte le spire dell avvolgimento. 2. Il flusso è confinato esclusivamente all interno del nucleo magnetico. 3. Il campo B è uniforme in A. La prima assunzione è tanto più valida quanto gli avvolgimenti della bobina sono molto vicini fra loro. Alcune linee di flusso comunque non comprendono tutte le spire alle estremità della bobina. Per la seconda assunzione la permeabilità del materiale del nucleo magnetico è necessario sia molto maggiore di quello dell aria che lo circonda. Solitamente i materiali magnetici hanno una permeabilità relativa di Nel caso dei circuiti elettrici il rapporto fra condu- cibilità elettrica del rame e quella dell aria è circa In tal caso l approssimazione circuitale è molto migliore di quella magnetica. In strutture magnetiche a causa della permeabilità relativa ridotta, una parte del flusso magnetico, solitamente una frazione non elevata, non è confi- Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 2

3 nata entro il nucleo magnetico (flusso disperso leakage flu). Infine l ultima assunzione per cui B si considera uniformemente distribuito sulla superficie A, risulta una comoda assunzione per il calcolo del comportamento approssimativo di Φ, pur non essendo verificata a causa del valore finito di μ. Circuiti magnetici Il sistema magnetico di figura presenta un nucleo di forma quadrangolare, con un traferro sot- tile di spessore δ, perpendicolare ad un ramo del nucleo in ferro e quindi perpendicolare al tubo di flusso di B. Tramite l approssimazione circuitale, il sistema è descritto dalla legge di Hopkinson come segue: N i = R Φ dove: R = R l1 + 2R l2 + R 1 a + R 1 b + R δ R è la somma delle riluttanze dei segmenti del del circuito magnetico ove si assume risieda il flusso magnetico Φ. Con rife- rimento ai rami indicati in figura, si ha: R l1 = ) E FG ; R l 2 = ) H FG ; R l1 a = ) EI FG ; R l1b = ) EJ FG ; R δ = K F L G. La permeabilità magnetica µμ del nucleo, realizzato in ghisa (cast- iron),o in acciaio fuso (cast- steel), oppure anche in lamiera (sheet- steel), è molto maggiore di quella dell aria µμ > con µμ = = µμ µμ > Perciò la riluttanza del traferro solitamente è molto maggiore della riluttanza dei rami in materiale magnetico: R δ R l 1, R l2, R 1 a, R 1 b e per il circuito magnetico in esame diviene: N i = R δ Φ L analogia fra circuiti magnetici e circuiti elettrici (in c.c.) è mostrata in figura. I generatori di f.m.m. Nkik sono gli analoghi dei generatori indipendenti di tensione vk e le riluttanze R k sosti- tuiscono i resistori Rk. Nel circuito magnetico di figura i due generatori di tensione magnetica N1i1 e N2i2 sono analoghi ai generatori di tensione v1 e v2 di un circuito elettrico e le riluttanze R1 e R2 sono analoghe alle resistenze R1 e R2. Il circuito magnetico di figura con queste posizioni è quindi analogo al circuito elettrico sottostante. Un circuito magnetico, in analogia con i circuiti elettrici, può essere risolto con il metodo di sostituzione delle tensioni (magnetiche) definito dalle seguenti equazioni: P Φ P = 0 (n- 1 eq.i, incognite Φ _ ) a R a Φ a + a N ca i ca = 0 (r- n+1 eq.i) Questo sistema è di r equazioni nelle r incognite Φ _ (k = 1,2,...,r) dove r è il numero dei rami del circuito ma- Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 3

4 gnetico e Φ _ è il flusso magnetico di ramo. Il primo gruppo delle equazioni viste è l analogo magnetico delle equazioni di Kirchhoff delle correnti. Il secondo gruppo di equazioni deriva della legge di Kirchhoff delle tensioni dove la tensione magnetica è espressa tramite l equazione caratteristica di ramo data dalla legge di Hpkinson. Il circuito di figura è descritto da: dove: Φ1 - Φ2 - Φ3 = 0 R1Φ1 + R2Φ3 N1i1 = 0 R2Φ3 N2i2 = 0 R 1 = K E F L G ; R 2 = K H F L G. Nel caso in cui la struttura elettromagnetica sia caratterizzata da: δ1 = δ2 =1 mm; S = 1000 cm 2 ; µμ > = 1, H/m R1 = R2 = 8000 H - 1 i1 =1 A; i2 = 2 A; N1 = N2 = 100. Il sistema di equazioni risolvente diviene: Φ1 - Φ2 - Φ3 = Φ Φ3 = Φ3 = 200 Quindi i flussi quindi risultano essere: Φ1 = - 1, Wb; Φ2 = - 3, Wb; Φ3 = 2, Wb. Calcolo dei coefficienti di auto e mutua induttanza Il flusso concatenato con la bobina 1 di N1 spire è generato dalla corrente i1 e dalla corrente i2. Esso è espresso da: ΦC1 = N1[Φ1(i1) + Φ1(i2)] = = N1Φ1(i1) + N1Φ1(i2) dove Φ1(i1) è il contributo al flusso attraverso una spira della bobina 1 generato dalla corrente i1 e Φ1(i2) è il contributo al flusso attraverso una spira della bobina 1 generato da i2. Analogamente il flusso concatenato con la bobina 2 è: ΦC2 = N2[Φ2(i1) + Φ2(i2)] = N2Φ2(i1) + N2Φ2(i2) dove Φ2(i1) è il contributo al flusso attraverso una spira della bobina 2 generato dalla corrente i1 e Φ2(i2) è il contributo al flusso attraverso una spira della bobina 2 generato da i2. Nell ipotesi lineare è: N1Φ1(i1) = L1i1; N1Φ1(i2) = M12i2 N2Φ2(i2) = L2i2; N2Φ2(i1) = M21i1 con M12 = M21. Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 4

5 Nella figura a fianco è raffigurato il circuito magnetico considerato precedentemente. Per gli N1 ed N2 avvolgimenti delle bobine 1 e 2 si vuole cal- colare L1, L2, M12 ed M21. Per il calcolo di L1 ed M21 si azzera la corrente i2 (circuito A in figura) e si calcolano i flussi magnetici Φ1(i1) e Φ2(i1), concatenati con la bobina 1 e la bobina 2, e generati dalla sola corrente i1. Si ottiene: Φ3 = 0; Φ1 = Φ2 = N1i1/R 1 N1Φ1(i1) = L1i1; N2Φ2(i1) = M21i1 L1 = N1Φ1/ i1; L1 = N1 2 /R 1 ; M21 = N2Φ2/i1; M21 = N1N2/ R 1. Per il calcolo di L2 ed M12 si azzera la corrente i1 (circuito B in figura) e si calcolano i flussi magnetici Φ1(i2) e Φ2(i2), concatenati con la bobina 1 e la bobina 2, e generati dalla sola corrente i2. Si ottiene: Φ1 = Φ2 + Φ3 R 1 Φ1 + R 3 Φ3 = 0 R 3 Φ3 - N2i2 = 0 Φ3 = N2i2/R 3 ; Φ1 = Φ3R 3 /R 1 = N2i2/R 1 ; Φ2 = Φ1 - Φ3 = N2i2/R 1 - N2i2/R 3 = (1/R 1-1/R 3 ) N2i2 N2Φ2(i2) = L2i2; N1Φ1(i2) = M12i2 L2 = N2Φ2/ i2; L1 = N2 2 (1/R 1 1/R 3 ); M12 = N1Φ1/i2; M12 = N1N2/ R 1 (M12 = M21 come anticipato) Energia magnetica Si consideri il campo magnetico ed il relativo flusso magnetico Φ in un anello di materiale ferromagnetico. Nell ipotesi lineare il flusso concatenato con la corrente i è dato da ΦC = NΦ = Li, dove N è il numero di spire dell avvolgimento per- corso da i attorno all anello ed L è l induttanza dell avvolgimento. Il lavoro magnetico infinitesimo compiuto per ottenere un incremento infinitesimo del flusso magnetico concatenato è: dem = PM = iv = i rs t ru = i dφc Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 5

6 L energia magnetica immagazzinata nel campo magnetico è: EM = P yz w = iv s { = i dφ yz > 3 / = i d Li > Nell espressione ottenuta a t = - la corrente i e il flusso ΦC si suppongono nulli. Per un valore di L costante l energia magnetica totale immagazzinata nel campo magnetico all istante t è data da: EM = / > Li di = ½ Li 2 = ½ iφc = ½ NiΦ La relazione ottenuta è valida per mezzi lineari ove risulta ΦC = NΦ = Li. Un sistema magnetico costituito da due avvolgimenti rispettivamente di N1 e di N2 spire, sono percorsi il primo dalla corrente i1 ed il secondo dalla corrente i2. Essi sono accoppiati magneticamente dai flussi magnetici con essi concatenati e generati dalle due correnti i1 ed i2 (si veda figura a fianco). Il flusso concatenato con l avvolgimento 1, ΦC1, e quello concatenato con l avvolgimento 2, ΦC2 sono rispettivamente: ΦC1 = N1[Φ1(i1) + Φ1(i2)] = N1Φ1(i1) + N1Φ1(i2) = L1i1 + M12i2 ΦC2 = N2[Φ2(i1) + Φ2(i2)] = N2Φ2(i1) + N2Φ2(i2) = L2i2 + M12i1 dove Φ1(i1) è il contributo al flusso attraverso una spira dell avvolgimento 1 generato dalla corrente i1 e Φ1(i2) è il contributo al flusso attraverso la spira dell avvolgimento 1 generato dalla corrente i2. Analogamente Φ2(i1) è il contributo al flusso attraverso una spira dell avvolgimento a 2 generato dalla corrente i1 e Φ2(i2) è il contributo al flusso attraverso la spira dell avvolgimento 2 generato da i2. L energia magnetica infinitesima dovuta ad un incremento infinitesimo del campo magnetico è data da: dem = PM = (i1v1 +i2v2) = i } rs te ru + i 0 rs th ru L energia magnetica immagazzinata nel campo magnetico è: EM = yz yz i 1 dφ C1 = L 1 i 1 di 1 yz + i 2 dφ C2 + M 12 i 1 di 2 > = i 1 d L 1 i 1 +M 12 i 2 + L 2 i 2 di 2 = d 1 2 L 1 i M i 1 i L 2 i 2 2 = i1 dφc1 + i2 dφc2 Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 6 + M 21 i 2 di 1 + i 2 d L 2 i 2 +M 21 i 1 = (dove: M = M12 = M21) Quindi l energia magnetica totale immagazzinata nel campo al tempo t è data da: EM = } L 0 0 }i } + M i } i 0 + } L 0 0 0i 0 Questa relazione mostra che l energia magnetica è dovuta a tre contributi: il primo e l ultimo termine di EM sono legati rispettivamente al circuito 1 ed al circuito 2 (L1i1 2 /2 e L2i2 2 /2), il secondo termine è l energia magnetica mutua dei due circuiti. Ciò mostra anche che nel caso =

7 dell energia non vale la sovrapposizione degli effetti in quanto l energia dei due circuiti alimentati contemporaneamente è maggiore o minore (dipendentemente dal segno di M) della somma delle energie prodotte dai due circuiti alimentati con le stesse correnti in modo sepa- rato. EM può anche essere espressa come: EM = } 0 i } L } i } + Mi 0 + } 0 i 0 L 0 i 0 + Mi } EM = } 0 i }Φ 3} + } 0 i 0Φ 30 Questa relazione esprime l energia magnetica come funzione delle correnti e dei flussi concatenati ai circuiti. In generale in un sistema ad n circuiti accoppiati magneticamente si ha: EM = } 0 } i Φ 3 Forza di un elettromagnete Nella figura a fianco è riportato un elettromagnete che agisce su un ancora. Si desidera determinare la forza che l elettromagnete esercita su di essa. Il sistema magnetico può essere visto come un circuito magnetico di quattro rami di sezione S e due traferri di spessore. L elettromagnete esercita una forza F sull ancora che viene contrastata da una forza equilibrante Fe esercitata dall esterno. La variazione infinitesima dell energia magnetica immagazzinata nel campo, pari a d(½iφc), è data dal lavoro magnetico infinitesimo compiuto idφc e dal lavoro meccanico compiuto dalla forza equilibrante per ottenere lo spostamento d: d(½iφc ) = Fe d + i dφc Per una corrente i costante si ottiene: Fe d = - ½ i dφc = - ½ i d(li) = - ½ i 2 dl Dalla legge di Hopkinson e dall ipotesi di linearità: ½i dφc + ½ΦC di = Fe d + i dφc Ni = RΦ e ΦC = NΦ = Li L = ƒs = ƒh e R = 2 µμ 0 S Quindi la forza esercitata dall elettromagnete sull ancora diviene: Fe = - ½ i 2 rˆ r rˆ r = - ½ i2 r r = ƒh H } H? L G = sh? L G = Š H? L La pressione magnetica, data dalla forza magnetica per unità di superficie, risulta è data da: pm = Œ 0G = H 0? L Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 7

8 Coppia fra bobine Un sistema elettromagnetico costituito da due bobine concentriche sono percorse rispettivamente dalle correnti i1 ed i2 (vedi figura). La prima è fissa e la seconda ruota attorno ad un asse perpendicolare al foglio, diametro delle bobine e passante per il punto O. Si consideri una rotazione dell angolo infinitesimo dα a correnti i1 ed i2 costanti. La variazione infinitesima dell energia magnetica immagazzinata nel campo per ottenere la rotazione infinitesima corrispondente a dα, pari d(½i1φc1 + ½i2ΦC2), è data dal lavoro magnetico infinitesimo compiuto i1dφc1 + i2dφc2 e dal lavoro meccanico Cedα compiuto dalla coppia equilibrante: d(½i1φc1 + ½i2ΦC2) = Cedα + i1dφc1 + i2dφc2 ½i1 dφc1 + ½i2 dφc2 = Cedα + i1dφc1 + i2dφc2 Ce = - ½ i } rs te r + ½ i 0 rs th r = - r r / E. = - r i1i2 r / H. Infatti a causa della rotazione dα i coefficienti di autoinduzione L1 e L2 non subiscono varia- zioni. M invece varia a causa della variazione della posizione reciproca delle bobine. Dalla variazione di M dipende la coppia magnetica Ce. Materiali ferromagnetici I materiali ferromagnetici per valori limitati dell induzione magnetica hanno un comportamento quasi- lineare con per- meabilità magnetiche sostenute corrispondenti a bassi valori del campo magnetico e delle correnti. All aumentare della corrente e del campo magnetico oltre a tali valori si verifica un ri- dotto incremento del campo di induzione e quindi ad una sua saturazione. Si consideri il circuito magnetico di figura costituito da un anello in materiale ferromagnetico con una bobina avvolta su di esso. Il campo magnetico H = Ni/(2πr) viene alimentato dalla corrente i della bobina con N avvolgimenti. Si consideri la prima magnetizzazione, che avviene quando nel materiale è indotto un campo magnetico per la prima volta. All aumento di i, H aumenta in modo proporzionale. Nella figura a fianco è mostrato l andamento del campo di induzione magnetica all aumento del campo H e quindi della corrente i. Al crescere di H il campo B sale in modo quasi lineare sino alginocchio della curva H- B. Per un aumento ulteriore di i e di H, la crescita di B è Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 8

9 molto lenta. Questa regione, in cui H ed i sono superiori ai valori corrispondenti a tale ginocchio, è la regione di saturazione. Nella figura a fianco è descritto il comportamento dell anello in materiale ferromagnetico dopo la prima magnetizzazione. Rag- giunto un determinato valore di H che in figura è indicato con HM, Il campo H decresce in seguito ad una diminuzione della corrente. La curva H- B non segue più l andamento della curva di prima magnetizzazione ma il valore di B corrispondente ad un determinato valore di H, è superiore al valore precedente. Per i = 0 ed H = 0 il valore di B rimane positivo ed uguale a BR, campo di induzione magnetica residuo (residual magnetic flu density). Il campo B si annulla per un valore negativo di H = - HC campo magnetico coercitivo (coercitive magnetic field). Con un andamento della corrente che passa da un valore minimo ad un massimo e da un massimo ad un minimo in modo pe- riodico ed il campo H si sposta fra HM ed HM si ottiene la curva di isteresi (hysteresis curve) rappresentata in figura. L energia magnetica infinitesima dovuta ad un incremento infinitesimo dell induzione magnetica è data da: dem = PM = iv = i dφc = 2πrS HdB Tale espressione è ottenuta tenendo conto che per l anello ferromagnetico H = Ni/(2πr) e ΦC = NSB dove S è la sezione dell anello perpendicolarmente all asse circolare interno ad esso. Quindi 2πrS è il volume del materiale ferromagnetico che costituisce l anello. Quindi si ha che: dem = HdB dove dem è l incremento infinitesimo di energia magnetica per unità di volume del materiale magnetico corrispondente ad un incremento infinitesimo del campo di induzione db. Essa viene spesa per la costituzione del campo ed immagazzinata nel campo stesso. Quando il campo diminuisce la restituzione dell energia magnetica restituita inferiore come è mostrato figura a causa del ciclo di isteresi. Durante un ciclo di isteresi completo la quantità di energia non resa e dissipata (perdite per isteresi hysteresis losses) è data dalla superficie interna del ciclo H- B. Infatti l energia dissipata da un ciclo di isteresi per unità di volume è: em = y HdB y HdB pari alla superficie interna al ciclo di isteresi. Materiali ferromagnetici soffici e materiali duri I materiali ferromagnetici si distinguono in materiali ferromagnetici soffici (soft ferromagnetic materials) con ridotti valori del campo coercitivo (HC < 10 3 A/m) e materiali ferromagnetici duri (hard ferromagnetic masterials) con campo coercitivo elevato (HC > 10 4 A/m). I materiali ferromagnetici soffici con un basso campo coercitivo (vedi la prima delle due figure nella pagina seguente) e ridotte perdite per isteresi, sono utilizzati come nuclei degli elettro- magneti e nelle macchine elettriche. Permettono di raggiungere campi di induzione abbastan- za elevati (ginocchio curva H- B con B = 1,5-1,6 T) con limitate correnti. Inoltre nelle macchine Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 9

10 elettriche, con un funzionamento in corrente alternata, le perdite per isteresi sono limitate. Il materiale utilizzato solitamente è ferro o leghe di ferro e silicio. I materiali ferromagnetici duri (seconda figura a fianco) sono utilizzati per i magneti permanenti ove il ciclo di isteresi non viene ripetuto. Il campo di induzione magnetica di un magnete permanente è il campo residuo BR. Una volta ma- gnetizzato, il magnete non viene più sollecitato da correnti elettriche. Non essendo ripetuto il ciclo di isteresi le perdite per isteresi non sono presenti. Inoltre per smagnetizzare un materiale ferromagnetico duro è necessario un campo coercitivo ed una corrente ragguardevoli essendo HC di valore elevato. Il campo di induzione magnete, campo residuo, è circa di 1 T. Si utilizzano per i magneti permanenti terre rare quali il Samario- Cobalto (Sm Co) oppure il Neodimio- Ferro- Boro (Nd Fe B). Dipartimento di Ingegneria dell Energia Elettrica e dell Informazione 10