supposto inerziale. Quando il carrello ha raggiunto la velocità finale! v f

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1 Prova Scritta del Luglio 0 Esercizio Una particella di massa m p si trova sulla superficie liscia orizzontale di un carrello. La particella è attaccata all estremità di una molla di costante elastica k la cui altra estremità è fissata al carrello. Al tempo t o =0 la particella e il carrello sono in quiete e la molla è a riposo. A questo punto un motore imprime al carrello un accelerazione costante! a = a o î rispetto al sistema del laboratorio supposto inerziale. Quando il carrello ha raggiunto la velocità finale! v f = v f î, a un tempo che chiamiamo t il motore cessa di agire e il carrello procede con velocità costante. Usando gli assi della figura e i seguenti valori numerici: m p =.0 kg k = N m a o = +5m s v f = m s si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si scrivano le componenti cartesiane dell equazione del moto della particella nel sistema solidale al carrello per t o < t < t. Risolvendo le equazioni di cui alla domanda, si trovino i valori al tempo t della coordinata cartesiana della particella lungo l asse x, x p ( t ) e della componente ( ) rispetto al sistema di riferimento del carrello. Si cartesiana della sua velocità v px t prenda l origine delle coordinate nella posizione occupata dalla particella al tempo t o. ( ) per t >t, nel Si calcoli la componente x della legge oraria della particella, x p t sistema del carrello e con la stessa scelta dell origine delle coordinate di cui alla domanda. Si calcoli l energia meccanica della particella, nel sistema del laboratorio, a t = t.

2 Prova Scritta del Luglio 0 Esercizio Al tempo t o =0 un disco omogeneo di raggio R, spessore trascurabile e massa M, viene lasciato cadere lungo la verticale con il suo centro di massa inizialmente fermo, con il suo asse parallelo alla verticale e con una velocità angolare intorno a questo!! =! o ˆk (vedi figura a sinistra). Dopo aver percorso un tratto verticale di lunghezza Δz, ad un tempo che chiameremo t, il disco colpisce la superficie superiore di un secondo disco appoggiato al suolo orizzontale e vi si attacca formando con esso un unico corpo rigido. Il secondo disco, anch esso di spessore trascurabile, di raggio R e massa M, e il cui asse è posto a distanza d<r-r da quello del primo disco, al momento dell impatto è fermo, e può poi scivolare senza attrito sul suolo (vedi figura a destra). Questo secondo disco rimane sempre contatto con il suolo. Nel sistema di riferimento solidale al suolo, assunto inerziale, facendo riferimento agli assi della figura, con l origine scelta nella posizione iniziale mostrata in, e usando infine i seguenti valori numerici: R = 5.0 cm R = 0. m M =.0 kg M =.0 kg!z =. m d =.0 cm " o = +5rad s si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli la legge oraria (coordinate x cm, y cm e z cm in funzione del tempo) del centro di massa del sistema per t t o. Si calcoli, per t>t la componente lungo z del momento angolare L! del sistema rigido formato dai due dischi, intorno al suo centro di massa.! Si calcoli per t t la velocità angolare! del sistema rigido di cui alle domande precedenti. Si calcolino le leggi orarie dei centri di massa dei due dischi x ( t), y ( t), z ( t) e ( t), y ( t), z ( t) per t t. x

3 Compito Scritto del 7 Settembre 0 Esercizio Una particella di massa m p scorre lungo una guida circolare liscia indeformabile di raggio R fissata al laboratorio supposto inerziale. Il piano in cui giace la guida fa un angolo! con l orizzontale (vedi figura). Al tempo t < 0 la particella giace in quiete nel punto più basso della guida. Al tempo t o =0 la particella riceve una forza impulsiva di impulso! I = I x î + I y ĵ + I z ˆk (con riferimento agli assi della figura). Usando gli assi della figura, con l origine nel centro della guida, usando nei calcoli, per gli angoli, l approssimazione Sin (!) " Tan (!) "! Cos [!] " #! ogni volta che! " 0. rad, e utilizzando i seguenti valori numerici: m p = 0. kg; R = 0.7 m;! = 68 ; I x = 0 mn s; I y = 6 mn s; I z = " mn s; Si risponda alle seguenti domande fornendo per ogni risposta sia una formula sia, ove richiesto, il risultato numerico: Si calcolino le componenti cartesiane dell impulso! I v esercitato dalla guida sulla particella durante l azione della forza impulsiva al tempo t o. Si calcoli il valore massimo y max raggiunto dalla coordinata y della particella per t > t o. Si calcoli, per t > t o, la legge oraria x(t), y(t), e z(t), dove x, y e z sono le coordinate cartesiane della particella. Si calcolino le componenti cartesiane della la reazione vincolare! F v della guida quando la particella ritorna per la prima volta in O per t > t o. Pag

4 Compito Scritto del 7 Settembre 0 Esercizio Un cilindro orizzontale, di raggio R e massa M, ruota senza attrito intorno ad un perno passante per il suo asse di simmetria di rotazione. Sul cilindro, nel suo piano mediano, si avvolge una fune inestensibile, di massa e spessore trascurabili, alla cui estremità libera è attaccata una sfera di massa m s. Il cilindro è attaccato, attraverso alcuni supporti, ad una piattaforma orizzontale che si muove lungo la verticale scorrendo su un sistema di rotaie. Al tempo t o = 0, cilindro, sfera e piattaforma sono istantaneamente fermi, con la fune disposta lungo la verticale e tesa, e con il centro della sfera ad una quota verticale h al di sotto della quota a cui si trova l asse del cilindro (vedi figura). Sempre al tempo t o la piattaforma ha un accelerazione verticale! a o = a o ˆk che mantiene durante tutta la durata del problema. Utilizzando gli assi della figura, supponendo il laboratorio inerziale, e utilizzando infine i seguenti valori numerici M = 8.0 kg; R = 0.5 m; m s = kg; a o =!m s Si risponda alle seguenti domande fornendo i risultati sia in formule sia, ove richiesto, in valore numerico. Si scrivano, nel sistema di! riferimento della piattaforma, le componenti cartesiane della risultante dei momenti M O, rispetto al centro del cilindro, delle forze esterne che agiscono sul sistema cilindro-sfera-fune. Usando la componente x della seconda legge cardinale della meccanica, e la relazione geometrica fra traslazione della sfera e rotazione del cilindro, si ricavi la velocità angolare!! =! x ( t) î del cilindro in funzione del tempo per t >t o e prima che la sfera tocchi il pavimento della piattaforma Si calcoli, per lo stesso intervallo di tempo di cui alla domanda, la tensione della fune T(t) in funzione del tempo. Si calcolino, per lo stesso intervallo di tempo di cui alla domanda, le componenti cartesiane della risultante F! v ( t) delle reazioni vincolari che i supporti esercitano sull asse del cilindro Pag

5 Compito Scritto del Febbraio 0 Esercizio Una particella puntiforme di massa m p è a contatto con la superficie liscia e orizzontale di un carrello. La particella è attaccata all estremità di una molla di costante elastica k. Inizialmente la particella è sull asse x, in quiete rispetto al carrello e in equilibrio sotto l azione della molla e di un sottile filo inestensibile e parallelo all asse x come illustrato in figura. In questa situazione il filo è sottoposto a una tensione T mentre può sopportare una tensione massima T max superata la quale esso si rompe istantaneamente senza più esercitare forze sulla particella. Sempre nella situazione iniziale, il carrello si muove di moto rettilineo uniforme rispetto al laboratorio, supposto inerziale, con velocità! v o = v o î. Al tempo t o =0 viene azionato un freno e il carrello rallenta con accelerazione costante! a = a o î fino a fermarsi a t=t. Nel sistema di riferimento del carrello, usando gli assi della figura e ponendo l origine delle coordinate nella posizione di riposo della molla (posizione della particella per la quale la molla non esercita forze), e usando infine i seguenti valori numerici: m p = 0.5 kg, k =.0 N m, T = 0.50 N, T max =.0 N, v o =!8. m s, a o = 7. m s si risponda alle seguenti domande fornendo per ogni risposta sia una formula sia, ove richiesto, il risultato numerico. La quarta domanda si riferisce invece al sistema di riferimento del laboratorio. Si calcoli la coordinata x o della posizione iniziale della particella per t t o Si scriva la componente x dell equazione del moto della particella per t o < t < t Si scriva la componente x della legge oraria della particella, x(t), per t o < t < t Si scriva l energia totale E(t ) del sistema molla più particella nel sistema del laboratorio al tempo t = t. Pag

6 Compito Scritto del Febbraio 0 Esercizio Un automobile è schematizzata come un parallelepipedo omogeneo di massa M e quattro dischi, rappresentanti le ruote, anch essi omogenei, di raggio r e massa m r, imperniati a due assi orizzontali e paralleli rigidamente attaccati al parallelepipedo. L automobile si muove lungo un piano inclinato di un angolo α rispetto all orizzontale. Il piano è così scabro che le ruote possono solo rotolare e non strisciare. Al tempo t o =0, il parallelepipedo, che sta traslando rigidamente con velocità! v o = v o î (con riferimento agli assi della figura) sotto l azione dei freni rallenta con accelerazione costante! a = a o î fino a fermarsi al tempo t. I freni esercitano sulle quattro ruote forze e coppie uguali e gli attriti fra le ruote e i loro assi sono trascurabili. Supponendo che il sistema di riferimento del piano inclinato sia inerziale, prendendo il sistema di assi della figura e usando i seguenti valori numerici: M = 500 kg, m r = 5 kg, r = 0.5 m,! = 5, v o = 5.0 m s, a o = ".0 m s si risponda alle seguenti domande fornendo per ogni risposta sia una formula sia, ove richiesto, il risultato numerico. Si calcolino le componenti cartesiane della risultante! F a delle forze di attrito statico fra le ruote e il piano fra t o t t. Si calcolino le componenti cartesiane della velocità angolare!!, uguale per tutte le ruote, in funzione del tempo fra t o t t. Si calcolino, in funzione del tempo fra t o t t, le componenti cartesiane del momento! M delle forze esercitate dai freni su ciascuna ruota, rispetto al centro di massa della ruota stessa. Si calcoli il lavoro totale W fatto dalle forze di attrito statico fra le ruote e il piano fra t o t t Pag

7 Compito Scritto del 8 Luglio 0 Esercizio Una particella di massa m p è attaccata ad un estremità di una molla di costante elastica κ. L altra estremità della molla è attaccata ad un punto di aggancio A. Al tempo t < 0 la particella e l aggancio sono in quiete, e la particella è in equilibrio sotto l azione della forza peso e della molla. Al tempo t o =0 un motore mette in movimento l aggancio A con un accelerazione costante! a = a o ˆk con ˆk il versore dell asse verticale z (vedi figura). Al tempo t =! m p " il motore e l aggancio A si arrestano in un tempo così breve che l arresto può considerarsi istantaneo. Usando gli assi della figura, e utilizzando i seguenti valori numerici m p = 0.0 kg; k =.0 N m; a o =!.0 ms! Si risponda alle seguenti domande fornendo per ogni risposta sia una formula sia, ove richiesto, il risultato numerico: Si scrivano, per t o < t < t, le tre componenti cartesiane dell equazione del moto della particella nel sistema di riferimento in cui l aggancio è in quiete. Si prenda l origine nella posizione occupata dalla particella quando la molla è scarica. Sempre nel sistema di riferimento di cui alla domanda, per gli stessi tempi e con la stessa scelta dell origine, si calcolino le componenti cartesiane della legge oraria della particella (coordinate cartesiane x, y, e z in funzione del tempo). Si calcolino, per t o < t < t, le componenti cartesiane in funzione del tempo, della forza! F molla che la molla esercita sulla particella. Si calcoli, nel sistema del laboratorio, il lavoro totale W fatto sulla particella fra t o e t Pag

8 Compito Scritto del 8 Luglio 0 Esercizio Una sfera omogenea di massa M e raggio R viene spinta a risalire, da una forza motrice! F applicata al suo piano mediano, lungo un piano inclinato di un angolo α rispetto all orizzontale, che termina con un tratto orizzontale (vedi figura). La sfera rotola senza strisciare a contatto con il piano, e la forza motrice è sempre tale che il centro della sfera si muova con velocità di modulo v o costante. Al tempo t il punto di contatto fra la sfera e il piano giunge all estremità di questo, che è posta ad un altezza h dal suolo del laboratorio. Per t> t, la sfera procede liberamente dall altro lato sotto l effetto della sola gravità. Utilizzando gli assi della figura, supponendo il laboratorio inerziale, e utilizzando infine i seguenti valori numerici M = 5.0 kg; R = 0.5 m; h =.5m;! = 0 ; v o = m s Si risponda alle seguenti domande fornendo i risultati sia in formule sia, ove richiesto, in valore numerico. Si calcolino le componenti cartesiane della forza motrice mentre la sfera è sulla parte inclinata del piano. Si calcolino le componenti cartesiane del momento angolare! L della sfera rispetto al suo centro di massa (momento angolare intrinseco) al tempo t. Si calcoli la legge oraria del centro di massa per t > t e prima che la sfera urti il suolo del laboratorio. Si calcolino le componenti cartesiane della velocità angolare!! della sfera per t > t e prima che la sfera urti il suolo del laboratorio. Pag

9 Prova Scritta del Febbraio 0 Esercizio Una particella di massa m p e dimensioni trascurabili è attaccata all estremità di un asta rigida di lunghezza L, e di massa e spessori trascurabili. All altro estremo l asta è vincolata ad un perno orizzontale, a essa perpendicolare, intorno al quale può ruotare senza attrito. Il perno orizzontale è a sua volta fissato ad un carrello che può muoversi nel piano verticale scorrendo senz attrito lungo due guide verticali. Al tempo t o =0, il carrello è fermo rispetto al sistema del laboratorio, assunto inerziale e l asta è ferma in posizione parallela all'asse y come in figura. A t>0 l asta viene lasciata libera di muoversi sotto l'azione della gravità. Nel momento, che chiameremo t >t o, in cui l asta si trova per la prima volta parallela all asse z della figura, il carrello viene lasciato andare e si mette istantaneamente in moto sotto l'azione della gravità acquistando accelerazione!gˆk essendo trascurabili sia gli attriti che la reazione della particella (g è l accelerazione di gravità e ˆk il versore dell asse z della figura). Assumendo trascurabili tutti gli attriti, usando gli assi della figura e usando infine i seguenti valori numerici: m p =.0 kg; L =.0 m si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcolino, al tempo t, le componenti cartesiane della velocità! v t ( ) della particella. Si calcolino le componenti cartesiane della reazione vincolare F! v che l asta esercita sulla particella un istante prima di t. Si calcolino le componenti cartesiane della reazione vincolare F! v che l asta esercita sulla particella un istante dopo t. Si calcoli, nel sistema di riferimento del carrello, la legge oraria della particella (cioè le coordinate cartesiane x, y e z in funzione del tempo) per t >t.

10 Prova Scritta del Febbraio 0 Esercizio Due dischi omogenei di massa M e M e raggio R e R rispettivamente, e di uguale spessore h, scivolano senza attrito sul suolo orizzontale. Al tempo t o =0 il disco di massa M è fermo ed il suo asse passa per l origine delle coordinate posta sul suolo (vedi figura). Il disco di massa M ruota con velocità angolare!! =! oˆk e il suo centro di massa si muove invece di velocità costante! v = v o î lungo una retta posta a distanza d dall asse z come in figura. Quando i due dischi alla fine si urtano, al tempo che chiamiamo t, essi rimangono agganciati, senza deformarsi, formando un unico corpo rigido. Nel sistema di riferimento solidale al suolo, assunto inerziale, facendo riferimento agli assi della figura, con l origine scelta come detto nel testo, e usando infine i seguenti valori numerici: M = 0 kg M = 0 kg R =.0 m R =.0 m h = 0.0 m v o = 6.0m s! o =.0 rad s d =.5 m si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli, per t t, la legge oraria (coordinate x cm, y cm e z cm in funzione del tempo) del centro di massa. Si calcoli, per t=t o il momento angolare totale L! del sistema intorno al centro di massa del sistema formato dai due dischi. Si calcoli per t t la velocità angolare finale!! fin del sistema rigido formato dai due dischi. Si calcoli il lavoro totale W fatto dalle forze di contatto fra i due dischi durante il loro urto.

11 Prova Scritta del 8 Gennaio 0 Esercizio Un cannone è posto su di un carrello che si muove lungo una rotaia orizzontale fissata al suolo. Il cannone spara un proiettile di massa m p cui imprime, nel sistema di riferimento in cui il cannone è fermo, un energia cinetica iniziale E k. Al tempo t o =0 il cannone spara. Allo stesso tempo il carrello possiede, rispetto al suolo, velocità parallela all asse x della figura, di componente v x, e accelera con accelerazione anch essa parallela all asse x e di componente a x. Il carrello mantiene accelerazione costante durante tutto il tempo del problema. Assumendo trascurabili le dimensioni del carrello, del cannone e del proiettile, assumendo trascurabile l attrito dell aria, assumendo inerziale il sistema solidale al suolo, usando gli assi della figura e usando infine i seguenti valori numerici: m p = kg; E k = 00 kj; v x = +0m s; a x =!8m s si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli l alzo! rispetto all orizzontale che il cannone deve possedere affinché il proiettile, dopo essersi sollevato, colpisca il cannone al momento del suo ritorno al suolo. (Si misuri! come in figura prendendo come zero la posizione in cui lo sparo avviene parallelamente e concordemente all asse x e come verso di incremento quello antiorario.) Si calcoli, nel sistema di riferimento del carrello, l energia cinetica E m posseduta dal proiettile quando esso raggiunge la massima distanza dal carrello stesso. Si calcoli il valore D della massima distanza dal carrello raggiunta dal proiettile di cui alla domanda. Si calcolino, nel sistema di riferimento del carrello, le componenti cartesiane del vettore velocità! v i del proiettile al momento finale dell impatto con il carrello.

12 Prova Scritta del 8 Gennaio 0 Esercizio Un disco omogeneo di spessore d e raggio R, ruota senza attrito e senza contatto con il suolo, intorno ad un perno rigido orizzontale di spessore trascurabile passante per il suo centro di massa. La componente della velocità angolare del disco lungo la direzione del perno ha modulo! o e verso di rotazione come indicato dalla freccia in figura. Il perno è imperniato a sua volta ad un asse verticale rigido e di spessore trascurabile, così che il centro del disco si trova a distanza L dall asse. Il perno ruota senz attrito intorno a detto asse con velocità angolare di modulo! o e verso di rotazione come indicato dalla freccia in figura. Si assuma il laboratorio inerziale e si prendano gli assi come in figura in modo che il centro di massa del disco al tempo t o =0 abbia coordinate y=z=0, x=l. Nel sistema di riferimento del laboratorio e usando i seguenti valori numerici: M =.0 kg R = 0 cm d = 5 mm! o = rad s " o = 0.rad s L = m si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcolino, per t=t o, le componenti cartesiane del momento angolare! L del disco rispetto al suo centro di massa. Si calcolino, per t=t o le componenti cartesiane della reazione vincolare F! v che il perno orizzontale esercita sul disco.! Si calcolino, per t=t o le componenti cartesiane del momento M rispetto al centro di massa del disco, delle reazioni vincolari che il perno orizzontale esercita sul disco. Si calcoli l energia cinetica totale del disco per t! t o I momenti di inerzia centrali di un disco di raggio r e spessore d rispetto al suo asse di rivoluzione e rispetto ad un asse ortogonale ad esso sono rispettivamente MR / e M(d +R )/.

13 Prova Scritta del 0 Agosto 0 Esercizio Una catapulta lancia una particella puntiforme di massa m p contro una parete verticale. La catapulta è costituita da una rampa rettilinea di spessore trascurabile e lunghezza L, inclinata di un angolo! rispetto all orizzontale, e con l estremità più bassa appoggiata al suolo (vedi figura), lungo la quale la particella può scorrere senz attrito. Lungo la rampa scorre un cursore costituito da una mensola di spessore trascurabile, ortogonale alla rampa come in figura. Per il lancio la particella viene appoggiata nello spigolo fra la rampa e il cursore che, mettendosi in moto, spinge la particella lungo la rampa. Al tempo t < t o = 0 il cursore è fermo all estremità inferiore della rampa e dunque la particella è in quiete. A t = t o il cursore si mette in moto risalendo la rampa con accelerazione costante di modulo a o. Giunta al termine della rampa, ad un tempo che indicheremo con t, il cursore si arresta istantaneamente e la particella prosegue verso la parete. L urto fra la particella e la parete è completamente elastico (l energia della particella si conserva durante l urto), e dopo aver rimbalzato, la particella ritorna al suolo senza urtare la catapulta. $" #"!" Assumendo trascurabile l attrito dell aria, assumendo inerziale il sistema solidale al suolo, usando gli assi della figura e usando infine i seguenti valori numerici: m p = 8 kg! = 5 a o = 0 m s L = 0 m si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli il modulo della reazione vincolare! F v del cursore sulla particella per t o < t < t. Si calcoli il valore di t. Si calcolino i valori della componente x della velocità della particella subito prima, v p x, e subito dopo, v d x, l urto con la parete. Si calcolino le componenti cartesiane del vettore velocità! v i della particella al momento finale dell impatto con il suolo.

14 Prova Scritta del 0 Agosto 0 Esercizio Un disco sottile omogeneo di raggio R, spessore trascurabile e massa M è fissato all estremità di un perno orizzontale di massa trascurabile e lunghezza d passante per il suo asse di rivoluzione. Il disco può ruotare intorno al perno senza attrito. L altra estremità del perno è fissata a una boccola di massa trascurabile che può scorrere lungo un asse verticale e ruotare intorno ad esso senza attriti (vedi figura). Il disco è appoggiato al suolo e il contatto ha un coefficiente di attrito statico così elevato che il disco può solo rotolare senza strisciare. Al tempo t o = 0 il disco sta rotolando, il suo centro di massa ha istantaneamente vettore posizione! intorno al perno orizzontale con velocità angolare! o.! ro, e, a causa del rotolamento, il disco ruota Nel sistema di riferimento solidale al suolo, assunto inerziale, facendo riferimento agli assi della figura con l origine nel punto in cui il perno è fissato all asse, e assegnando i seguenti valori numerici alle diverse grandezze: M =. kg R = 8.0 cm d = 0 cm!!! o = "( rad s)î ro = dî si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Usando la condizione del rotolamento, si calcoli la legge oraria del centro di massa (coordinate cartesiane x cm, y cm e z cm in funzione del tempo) per t! t Si calcolino, per, le componenti cartesiane della forza totale F! o t! t o esercitata sul disco Si calcolino le componenti cartesiane del momento angolare L! del disco rispetto al suo centro di massa al tempo t o. Si calcolino, per t! t o, le componenti cartesiane della risultante dei momenti!! rispetto al centro di massa che il perno orizzontale esercita sul disco. I momenti di inerzia centrali di un disco sottile intorno al suo asse di rivoluzione e intorno ad un asse ortogonale a questo sono rispettivamente I! = MR e I! = MR

15 Prova Scritta del 0 Luglio 0 Esercizio Al tempo t o =0, un ascensore si trova in quiete al livello del suolo. Al suo interno una particella puntiforme di massa m p si trova in equilibrio all estremità di una molla di costante elastica κ, che giace lungo la verticale e il cui altro estremo è fissato al soffitto dell ascensore. Allo stesso tempo all ascensore viene impressa, tramite una forza impulsiva, una velocità iniziale di modulo v o diretta lungo la verticale e verso l alto, senza invece imprimergli nessuna velocità angolare. Si assuma che gli attriti sull ascensore siano trascurabili e che la sua massa sia molto più grande di quella della particella, così che l ascensore si muova, per t! t o, sotto l effetto della sola gravità. Si assuma anche che il sistema di riferimento solidale al suolo sia inerziale e che l ascensore e la molla siano di dimensioni tali che la particella possa oscillare liberamente senza urtare l ascensore o collassare completamente la molla. Usando i seguenti valori numerici: m p = 0.5 kg! = 60 N m v! o = ( 5 m s) j si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli il tempo t f al quale l ascensore ritorna al suolo. Per t o < t! t f, si scrivano le componenti cartesiane dell equazione del moto della particella particella in un sistema di riferimento solidale all ascensore. Si usino gli assi della figura. Risolvendo l equazione del moto, si scrivano le coordinate cartesiane x(t), y(t) e z(t) della particella (legge oraria) nel sistema di riferimento solidale all ascensore, per t o < t! t f. Si usino gli assi della figura con l origine nella posizione in cui la molla è scarica. Si calcoli l energia meccanica E mech della particella nel sistema di riferimento dell ascensore per t o < t! t f

16 Prova Scritta del 0 Luglio 0 Esercizio Un disco omogeneo di raggio R e massa M può ruotare senz attrito intorno a un perno passante per il suo asse di simmetria. Il perno è orizzontale ed è sospeso al soffitto attraverso un imbracatura ed una fune come in figura. Fune e imbracatura sono inestensibili e prive di massa, così che il centro di massa del cilindro può muoversi come un pendolo ideale di lunghezza L nel piano x-y della figura. Al tempo t o =0, il cilindro è fermo e in equilibrio nel laboratorio, supposto inerziale, e riceve un impulso! I o applicato al suo bordo e tangente ad esso come in figura. Assumendo i seguenti valori numerici per le diverse grandezze: M =. kg R = 8 cm L = 0.8 m! I o =!( 0. Ns)î e utilizzando infine gli assi della figura con l origine nella posizione occupata dal centro del cilindro al tempo t o, si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si scriva, nell approssimazione dei piccoli angoli, la coordinata x del centro di massa del cilindro x cm ( t) per t! t o. Si scrivano le componenti cartesiane del momento angolare L! del sistema rispetto al centro del cilindro al tempo t > t o. Si scrivano le componenti cartesiane della velocità angolare!! del cilindro in funzione del tempo per t! t o. Si calcoli il lavoro totale W fatto dalla forza impulsiva.

17 Prova Scritta del 0 giugno 0 Esercizio Una particella puntiforme di massa m p si trova sul pianale orizzontale e liscio di un carrello. Il carrello si muove, rispetto al laboratorio considerato inerziale, con accelerazione costante! a o diretta come l asse x della figura e ad esso concorde in verso. Al tempo t o =0, la particella è ferma ed è appoggiata ad una piccola parete verticale fissata al pianale del carrello (vedi figura). Allo stesso tempo alla particella viene applicato un impulso! I o parallelo al piano del carrello e con verso uscente dalla parete come in figura. Supponendo che il carrello sia di dimensioni tali che la particella, nel suo moto, non cada mai fuori da esso, usando i seguenti valori numerici m p = 0.5 kg! a o = 7. m s î! Io =.5 Ns î + 0.7Ns ĵ e usando gli assi della figura con l origine delle coordinate nella posizione occupata dalla particella al tempo t o, si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli la distanza massima D dalla parete raggiunta dalla particella per t > t o Avendo raggiunto la distanza massima di cui alla domanda, la particella torna verso la parete e, quando la urta, vi si arresta contro. Si calcoli, nel sistema di riferimento solidale al carrello, il lavoro totale W fatto, durante l impatto, dalla forza che la parete esercita sulla particella. Si calcoli la coordinata y i del punto in cui la particella si arresta contro la parete. Si calcoli il tempo t a a cui la particella si arresta.

18 Prova Scritta del 0 giugno 0 Esercizio Un sistema è costituito da un cilindro omogeneo di massa M e raggio R, e da quattro particelle puntiformi uguali ciascuna di massa m p. Il cilindro è appoggiato su una superficie liscia su cui può scivolare senza attrito. Al tempo t o, il cilindro è in quiete e le quattro particelle lo urtano simultaneamente nel suo piano mediano, in due coppie di punti diametralmente opposti, le coppie giacendo su assi ortogonali come in figura. Nell urto le particelle si attaccano alla superficie del cilindro. Al momento dell impatto le particelle hanno velocità! v,! v,! v e! v. Assumendo il laboratorio inerziale, assumendo anche i seguenti valori numerici per le diverse grandezze: M =. kg m p = 5 g R = 5 cm!! v = ( 50m s)î v = ( 7m s)î! v = ( 5m s) ĵ v! =!( 8m s)î e utilizzando infine gli assi della figura con l origine nella posizione occupata dal centro del cilindro al tempo t o, si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si scrivano le coordinate del centro di massa x cm ( t) e y cm t tempo (legge oraria) per t! t o. ( ) del sistema in funzione del Si scrivano le componenti cartesiane del momento angolare L! del sistema rispetto al centro del cilindro al tempo t = t o. Si scrivano le componenti cartesiane della velocità angolare!! del cilindro in funzione del tempo per t! t o. Si calcoli il lavoro totale W fatto dalle forze interne al sistema durante l impatto fra le particelle e il cilindro.

19 Prova Scritta del gennaio 0 Esercizio In un laboratorio inerziale, una particella puntiforme di massa M= 0. kg scorre su di una guida liscia, rettilinea e orizzontale posta al suolo. Al tempo t o =0, la particella si mette in moto da ferma sotto la spinta di un motore che eroga sulla particella una potenza costante P=0.5 W. Al tempo t, quando la particella ha raggiunto una velocità di modulo v =5 m/s, in un punto che chiameremo O, il motore cessa la sua azione, e simultaneamente la particella entra in nuovo tratto di guida liscia, in forma di un arco di circonferenza di raggio R= 0 m, sotteso da un angolo φ= π/, giacente nel piano verticale che contiene la guida rettilinea (vedi figura). Il raccordo fra le due guide è liscio. La guida non ha arresti alle estremità, cosicché la particella, quando raggiunge l altra estremità della guida, continua abbandonando la guida stessa. y O φ x Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli il valore di t. Si calcolino le componenti cartesiane della reazione vincolare n! della guida sulla particella, un attimo prima che questa ne raggiunga l estremità superiore. Si usino gli assi della figura. Si calcoli l altezza massima h dal suolo raggiunta dalla particella dopo aver abbandonato la guida. Si calcoli la coordinata x s del punto d impatto della particella con il suolo. Si usino gli assi della figura e il punto O come origine.

20 Prova Scritta del gennaio 0 Esercizio Un disco di spessore trascurabile, di massa M= kg e raggio R= 5 cm, è appoggiato sul piano orizzontale di un carrello. Il carrello si muove a contatto con il suolo di un laboratorio supposto inerziale. L attrito statico al contatto fra il disco e il piano del carrello è tale che il disco può solo rotolare e non scivolare. Inizialmente il carrello si muove con velocità costante! v c = v o î, dove v o =. m/s e î è il versore dell asse x della figura. Il disco giace con il suo asse di rivoluzione parallelo all asse y della figura e rotola con velocità angolare costante!! =! o ĵ, con Ω o =0.5 rad/s e ĵ il versore dell asse y. A un tempo t o, viene azionato un freno che imprime al carrello un accelerazione costante! a = a o î, con a o = - m/s. z x Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Usando il sistema di assi della figura, si scrivano le componenti cartesiane della forza di attrito! F a che il carrello esercita sul disco per t<t o. Sempre per t< t o si scrivano le componenti cartesiane del momento angolare totale L! del disco, nel sistema del laboratorio, rispetto al punto di contatto istantaneo fra il disco e il carrello (vedi freccia nella figura) Nel sistema di riferimento del carrello e per t > t o, si scrivano l equazione del moto del centro di massa del disco e l equazione cui obbedisce il momento angolare del disco rispetto al proprio centro di massa. Si specifichino le forze e i momenti che intervengono nelle due equazioni. Nel sistema di riferimento del carrello, si scrivano le componenti del vettore velocità v! cm del centro di massa del disco per t > t o fino al tempo al quale il carrello si arresta. S immagini il carrello lungo abbastanza da far sì che il disco non cada da esso.

21 Prova Scritta del 5 febbraio 0 Esercizio Una particella, di dimensioni trascurabili e massa! = 0.!!", si trova sul fondo di una scatola cilindrica di raggio! =.!!. La particella si trova a contatto sia della parete cilindrica verticale, che è liscia, sia con il fondo scabro. Il coefficiente di attrito dinamico fra la particella e il fondo è µ d =0.8. L asse del cilindro è in quiete rispetto al laboratorio supposto inerziale, e il cilindro ruota, intorno al suo asse, rispetto al laboratorio, con velocità angolare Ω =.!!"#/!!, dove! è il versore verticale orientato verso l alto (vedi figura). Al tempo! = 0, la particella ha, rispetto al laboratorio, velocità! =.!!! con! il versore orizzontale orientato come in figura. Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si usino gli assi della figura che sono fissi nel sistema del laboratorio. Si calcolino le componenti cartesiane della reazione vincolare totale! esercitata sulla particella al tempo! = 0. Si calcolino le componenti cartesiane dell accelerazione!!!della particella al tempo! = 0, nel sistema di riferimento del laboratorio. Si calcolino, nel sistema del laboratorio, le componenti cartesiane del momento angolare l!della particella, rispetto all origine delle coordinate e in funzione del tempo, per! 0 Si calcoli, nel sistema del laboratorio, il lavoro totale fatto dalla forza di attrito sulla particella fra! = 0 e! =.

22 Prova Scritta del 5 febbraio 0 Esercizio Un parallelepipedo di massa! = 8.5!!" e dimensioni! = 0!!",! = 0!!"!!!! = 5!!" (vedi figura), è appoggiato su di un piano orizzontale liscio in un laboratorio inerziale. Al tempo! = 0, il parallelepipedo è fermo e riceve tre impulsi. Avendo scelto gli assi come in figura, con l origine delle coordinate nel centro del parallelepipedo, i tre impulsi hanno componenti e punti di applicazione dati dalla seguente tabella. Impulso Componenti Punto di applicazione I! 0.! 5.!!" 5.! +.!!" I! 0.! + 0.!!".! 0.!!" I! 5.5.! 5.!!".! + 0.!!" Il momento di inerzia del parallelepipedo intorno all asse z è!!! +!! Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si usino le coordinate mostrate in figura che sono fisse nel laboratorio. Si calcoli la legge oraria del centro di massa del parallelepipedo per! > 0. Si calcolino le componenti cartesiane del vettore momento angolare L del parallelepipedo rispetto all origine delle coordinate per! > 0. Si calcolino le componenti cartesiane del vettore velocità angolare Ω del parallelepipedo per! > 0. Si calcoli il lavoro totale fatto dal sistema di impulsi sul parallelepipedo.

23 Prova Scritta dell Settembre 00 Esercizio Una particella puntiforme di massa m p = 0. kg si trova, al tempo t o =0, ad un altezza h= m, al di sopra del pavimento orizzontale di un ascensore. Con riferimento agli assi della figura, la particella, allo stesso tempo t o, possiede una velocità, rispetto al laboratorio supposto inerziale, r vo = ( 0.m s) ˆi ( 0.m s) ˆj. Sempre a t=t o l ascensore, rispetto al laboratorio, è dotato di una r v = 0.5m s ˆ r j a =.m s ˆj. Al tempo velocità ( ) as e durante tutto il problema ha accelerazione as ( ) t la particella raggiunge il pavimento dell ascensore, e, nel sistema di riferimento dell ascensore, rimbalza in modo completamente elastico, vale a dire durante l urto l energia della particella si conserva. Essendo un piano liscio, durante l urto, il pavimento non applica alla particella alcuna forza parallela al pavimento stesso. Ai fini del problema, si immagini il pavimento dell ascensore così esteso da poterlo considerare un piano infinito. Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli il valore del tempo t. Si calcolino le componenti cartesiane della velocità della particella immediatamente dopo t lungo gli assi della figura, nel sistema di riferimento solidale all ascensore. Si calcoli la differenza di altezza Δh rispetto al pavimento dell ascensore, fra il punto più alto raggiunto dalla particella dopo t e la posizione iniziale della particella. Si calcoli il lavoro fatto sulla particella dalla reazione vincolare del pavimento, nel sistema di riferimento del laboratorio.

24 Prova Scritta dell Settembre 00 Esercizio Un ciclista su una bicicletta si muove lungo una strada rettilinea orizzontale che prendiamo parallela all asse x. L attrito statico fra la strada e le ruote è così alto che le ruote possono effettuare solo un moto di puro rotolamento, senza dunque strisciare sulla strada. Ai fini del problema, il ciclista ed il telaio della bicicletta possono essere approssimati come un unico sistema rigido di massa M c = 50 kg, mentre le ruote possono essere approssimate come due anelli sottili omogenei ciascuno di massa m r =.5 kg e raggio R=8 cm. Inoltre tutti gli attriti interni alla bicicletta possono essere trascurati. Al tempo t o = 0 la bicicletta sta percorrendo la strada con velocità di modulo v o = 5 m/s nel verso delle x positive, quando il ciclista tocca il il suolo con i piedi terra imprimendo così alla bicicletta una forza costante, parallela alla strada, opposta al verso del moto e di modulo costante uguale a F o = 00 N, finché, al tempo t, la bicicletta non si arresta. Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcolino le componenti cartesiane, rispetto agli assi della figura, del momento angolare di ciascuna ruota rispetto al suo centro di massa al tempo t o. Si scriva la componente x dell equazione del moto del centro di massa del sistema per t>t o. Si calcoli il valore di t. Si calcoli il lavoro totale fatto sul sistema fra t o e t. Il momento di inerzia di un anello sottile di raggio R e massa m a, rispetto al suo asse di simmetria di rotazione, è I = m R. a

25 Prova Scritta del Luglio 00 Esercizio In un parco di divertimenti una cabina viene fatta muovere, senza ruotare, in modo che il punto O della figura, per t t 0, segua, rispetto al sistema di coordinate della figura, la legge oraria yo' t 0, ao o xo' t xo voxt e zo' t vozt aot, con xo 0.5m,vox.m s, voz m s e m s, fino al tempo t a cui il punto O è tornato al suolo a z O 0. Il sistema di coordinate della figura è solidale al laboratorio, supposto inerziale, e l origine O si trova al suolo. Sul pavimento della cabina, nel punto O, si trova un piccolo cannoncino, di dimensioni trascurabili, che spara un proiettile di massa M 0. kg. Per misurare l energia cinetica impressa dal cannone al proiettile, prima di t o, viene effettuato uno sparo di prova con la cabina ferma e con alzo 90, e si osserva che il cannone lancia il proiettile ad un altezza h= m dal pavimento. Successivamente, al tempo t o, cioè un istante dopo che la cabina è stata lanciata in movimento, il cannone spara di nuovo il proiettile. Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli il modulo v i della velocità iniziale del proiettile, vale a dire la velocità posseduta dal proiettile al tempo t o, nel sistema di riferimento della cabina. Si calcoli l alzo con cui il proiettile deve essere sparato, per colpire un punto posto sul pavimento della cabina a una distanza L=.8 m dal cannone nella direzione dell asse x positivo (vedi figura). Nell ipotesi invece che lo sparo al tempo t o sia avvenuto con un alzo 5, si calcolino, nel sistema della figura, le coordinate cartesiane rispetto al laboratorio x max e z max, del punto più alto raggiunto dal proiettile rispetto al pavimento della cabina. Quando il proiettile raggiunge il pavimento della cabina, al termine della sua traiettoria, vi si conficca. Si calcoli, nel sistema di riferimento della cabina, il lavoro totale W fatto dalle forze che il pavimento esercita sul proiettile.

26 Prova Scritta del Luglio 00 Esercizio Una girandola è schematizzata da un sottile disco omogeneo di raggio R cm e massa M 0. kg su cui agiscono quattro razzi di massa e dimensioni trascurabili. Ciascun razzo, che è posto nel piano mediano del disco, quando acceso, esercita sul disco stesso una forza tangente alla sua superficie esterna, ortogonale al raggio e orientata come in figura. Le forze hanno tutte lo stesso modulo F o 0.05 N. Al tempo t o 0 i razzi vengono accesi simultaneamente. Prima di t o il disco è in quiete in un piano verticale ed è tenuto con il suo centro di massa a un altezza h m dal suolo. Al tempo t o, simultaneamente all accensione dei razzi, il disco viene lasciato andare. Per la risoluzione dell esercizio si prenda il sistema di assi rappresentato in figura, con l origine nella posizione del centro di massa del disco per t t o, e solidale al laboratorio. Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli la legge oraria del centro di massa del disco fra t o e il tempo t al quale il bordo del disco tocca il suolo. Si calcoli il vettore velocità angolare t del disco in funzione del tempo per t o <t < t. Si calcoli il lavoro totale W fatto dai razzi fra t o e t. Si calcoli il vettore momento angolare totale del disco, L, un istante prima di t, rispetto ad un polo Q posto al suolo, nel piano x-z della figura e con coordinata x Q +d = cm.

27 Prova Scritta del Giugno 00 Esercizio Una particella puntiforme di massa m p 0. kg, può scorrere senza attrito su di una guida liscia rettilinea montata su di una piattaforma orizzontale come in figura. La particella è attaccata ad un estremo di una molla di costante elastica 0 N/m, il cui altro estremo è fissato alla piattaforma. Quando la molla è scarica la particella si trova al centro della guida. La piattaforma ruota in senso antiorario intorno ad un asse verticale, che prenderemo come asse z, passante per il suo centro, con una velocità angolare 5rad s ˆ k rispetto al laboratorio supposto inerziale. La guida è ortogonale alla retta che passa per i centri della piattaforma e della guida, posti a distanza L=.5 m uno dall altro. Molla e guida sono abbastanza lunghe in modo che la particella nei suoi movimenti non raggiunga mai l estremità della guida e non comprima mai la molla al massimo. In un sistema di riferimento solidale alla piattaforma, prendiamo, come in figura, l asse x parallelo alla guida, l asse y ortogonale ad essa e l origine nel centro della piattaforma. In questo sistema di coordinate, al tempo t o 0, la particella ha coordinata x xo 5cm, e velocità, rispetto al sistema di v m s ˆi. riferimento della piattaforma, o Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si scriva la componente x dell equazione del moto della particella nel sistema di riferimento della piattaforma, (si presti attenzione a calcolare la componente della forza centrifuga lungo la guida in funzione della posizione della particella). Si calcoli la legge oraria della particella, nel sistema solidale alla piattaforma, per t t, usando il sistema di coordinate indicato. o Si calcoli, nel sistema della piattaforma, l energia totale della particella per t to, avendo preso lo zero dell energia potenziale totale nel centro della guida. Si calcolino, sempre nel riferimento della piattaforma, le componenti cartesiane della reazione vincolare della guida in funzione del tempo, per t t. o

28 Prova Scritta del Giugno 00 Esercizio Un sistema rigido è costituito da due sfere tenute da un asta orizzontale rigida e di massa trascurabile. L asta è parallela alla congiungente i due centri delle sfere e ha lunghezza tale che i centri distino fra di loro L= 70 cm. L asta si trova ad un altezza h=. m dal suolo. Le sfere hanno raggio rispettivamente R 8 cme R 5 cm, e massa rispettivamente M = 0 kg e M = 6 kg. L asse verticale di un motore, che prenderemo come asse z, è fissato all asta nel punto di mezzo della congiungente fra i centri delle sfere. Al tempo t o =0, il motore mette in moto il sistema, d dt 0.5rad s kˆ. Al tempo inizialmente fermo, imprimendogli un accelerazione angolare t = 6 s, la tensione dell asta supera il carico di rottura, l asta si spezza istantaneamente, e le sfere si muovono, da allora in poi, sotto l effetto della sola forza peso. Si usi il sistema di coordinate della figura, fissato al laboratorio supposto inerziale, con l origine nell incrocio fra l asse del motore e l asta, e l asse x lungo la direzione dell asta al tempo t e diretto dalla sfera alla sfera. Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcolino le componenti cartesiane della risultante delle forze esercitate dall asse del motore sul sistema un istante prima di t. Si calcoli la legge oraria del centro della sfera, fra t e l istante in cui essa tocca il suolo. Si calcolino i momento angolari delle due sfere, rispetto ai loro centri di massa (momenti angolari intrinseci) un istante prima che esse tocchino il suolo. Si calcoli il lavoro totale fatto dal motore fra t o e t

29 Prova Scritta del Febbraio 00 Esercizio Una piccola nave militare, inizialmente in quiete rispetto alla costa, supposta a sua volta in quiete in un sistema inerziale, viene fatta oggetto dal fuoco nemico. Per sfuggire, essa si mette in moto da al tempo to=0, con accelerazione costante di modulo ao= 0.9 m s -. Simultaneamente essa spara un colpo di cannone che lancia verso il nemico un proiettile. Nel sistema di riferimento della nave il proiettile ha velocità iniziale v o di modulo v o 500m s. v o fa un angolo sull'orizzontale, ed un angolo 0 con la direzione del moto della nave (asse x della figura). Il colpo raggiunge il bersaglio al tempo t. Per t o t t l accelerazione della nave rimane costante. Ai fini del problema si considerino trascurabili le dimensioni della nave, del cannone e del proiettile.. Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, In un sistema di riferimento solidale alla nave, facendo riferimento agli assi della figura, si scrivano le componenti cartesiane dell equazione del moto del proiettile per to t t. Nello stesso sistema di riferimento di cui alla domanda, e nel sistema di coordinate con origine nella posizione del cannone, come mostrato in figura,si calcolino le coordinate cartesiane del bersaglio al tempo t. Si calcoli il valore del tempo t. Sempre usando gli assi della figura, si calcolino le componenti del vettore velocità al tempo t, in un sistema di riferimento solidale alla costa. Facoltà di Ingegneria. Corso di Fisica I Prova Scritta del Febbraio 00 Svolgimento Esercizio I Domanda Svolgimento e Commenti Scrivere qui la risposta Formula Valore numerico Domanda Svolgimento e Commenti Scrivere qui la risposta Formula Valore numerico Domanda Svolgimento e Commenti Scrivere qui la risposta Formula Valore numerico Domanda Svolgimento e Commenti Scrivere qui la risposta Formula Valore numerico

30 Prova Scritta del Febbraio 00 Esercizio Un sistema è costituito da una piattaforma orizzontale girevole costituita da un disco rigido di raggio R= m e massa M=0 kg, e da un cilindro verticale di raggio r=0 cm, e massa mc= kg. La piattaforma può girare senz attrito intorno a un asse verticale passante per il suo centro. Il cilindro può girare, sempre senz attrito, intorno ad un altro perno verticale fissato alla piattaforma a distanza L=.5 m dal suo centro. Internamente al sistema agisce un motore, di massa trascurabile, il cui asse coincide con quello verticale di simmetria del cilindro (vedi figura). Al tempo to=0, con piattaforma e cilindro in quiete, il motore viene acceso. Il motore esercita sul cilindro una sistema di forze equivalente ad una coppia di momento costante, diretto lungo l asse del cilindro, di modulo =0 - N m. Al tempo t= s il motore si spegne. Si risponda alle seguenti domande dando i risultati sia in formule, avendo cura di definire i simboli, Si calcoli il momento angolare dell intero sistema piattaforma-cilindro, rispetto ad un arbitrario polo, fisso nel sistema del laboratorio supposto inerziale, per t to. Si scriva il vettore momento angolare del cilindro rispetto al proprio centro di massa, fra to e t. Si usino gli assi della figura. Si trovi il vettore velocità angolare della piattaforma al tempo t. Si calcoli l energia meccanica totale del sistema al tempo t. Facoltà di Ingegneria. Corso di Fisica I Prova Scritta del Febbraio 00 Svolgimento Esercizio II Domanda Svolgimento e Commenti Scrivere qui la risposta Formula Domanda Svolgimento e Commenti Scrivere qui la risposta Formula Valore numerico Domanda Svolgimento e Commenti Scrivere qui la risposta Formula Valore numerico Domanda Svolgimento e Commenti Scrivere qui la risposta Formula Valore numerico