Teoria dei numeri I , modulo prof. Verardi Cap. I: equazioni e sistemi lineari diofantei. Cap. 1. EQUAZIONI E SISTEMI DIOFANTEI

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1 Cap. 1. EQUAZIONI E SISTEMI DIOFANTEI I sistemi di equazioni che hanno i coefficienti ed i termini noti interi, e di cui si cercano le soluzioni intere li chiamerò per semplicità diofantei. Ovviamente, i meno difficili sono i sistemi lineari. In questo caso, possiamo considerarli casi particolari di sistemi lineari nel campo razionale, quindi applicare algoritmi e teoremi di Algebra lineare ben noti e validi in tutti i campi, quali Gauss-Jordan e Rouché-Capelli. In particolare, per un sistema lineare di m equazioni ed n incognite, dette A la matrice incompleta, B la colonna dei termini noti, C = [ A B] la matrice completa e X la colonna delle incognite, avremo la consueta condizione necessaria per l esistenza di soluzioni del sistema A " X = B: i due ranghi di A e C devono essere uguali: r(a) = r(c). Questo però non garantisce che le soluzioni siano intere. Per esempio, per un sistema di Cramer, nel quale si ha m = n e r(a) = r(c) = n, nel campo razionale la matrice A è invertibile e si ha X = A "1 # B. Tuttavia, occorre ricordare che il calcolo di A "1 richiede di dividere per det(a): se non è ±1, si potrebbero trovare radici non intere. Più in dettaglio, ricordando la formula di Cramer, detta A j la matrice ottenuta sostituendo alla j-esima colonna di A la colonna B dei termini noti, l incognita x j è uguale a. Se det(a) divide tutti quei determinanti al numeratore, la soluzione è intera. det A j det A Per esempio, l equazione n # a i " x i = 0 nello spazio n-dimensionale razionale rappresenta un i=1 iperpiano, e possiede una base { B 1,K, B n "1 } a coordinate razionali. Per ogni j, 1 " j " n #1 sia m j il minimo comune denominatore delle n coordinate di B j. A quest ultimo sostituiamo m j B j ed otterremo una nuova base a coordinate intere. Non solo, ma, volendo, possiamo dividere ogni vettore per il MCD delle sue coordinate, ottenendo una base intera ad elementi primitivi E 1,K, E n "1 { }. Allora ogni X = k j " E j n #1, k j Z è soluzione intera j=1 dell equazione n # a i " x i = 0. Tuttavia, non vale il viceversa, ossia non ogni base intera dà i=1 17

2 tutte le soluzioni intere. Per esempio, una base intera per l equazione 5x " 3y " z = 0 è (" 2 " 2, * ' '* ) 1', 3' -, ma la soluzione * # 7' # 1' * +. " 1 ' 1' non è combinazione lineare a coefficienti interi di quella base. # 2' # x = c )" 1 1 " ' ' + Invece, ponendo y = c 2, otteniamo la base * 0', 1 '., che ci dà tutte le soluzioni z = 5c 1 " 3c + 2 # 5' #(3 ' +, / intere. Passiamo quindi ad esaminare la teoria dei sistemi lineari diofantei, incominciando dal caso di una sola equazione Equazioni diofantee lineari in Z. Dai corsi di Algebra I e II è noto che l anello Z degli interi relativi ha gli ideali principali. La dimostrazione è semplice: l ideale nullo è generato da 0. Un ideale non nullo I è un sottogruppo additivo, quindi se contiene un elemento x, contiene anche l opposto x, quindi contiene almeno un numero positivo. Per il principio del minimo, l insieme dei numeri positivi di I ha il minimo m. Se dividiamo ogni x I per m, otteniamo x = m " q + r, con 0 " r < m. Allora, r = x " m # q I, quindi essendo minore di m, non può essere positivo. Dunque, r = 0 e x è multiplo di m. Ciò posto, siano a,b Z, non nulli. L insieme I = { c " Z c = a # x + b # y, x, y " Z} delle combinazioni lineari di a e b a coefficienti interi è un ideale di Z (dimostrazione per esercizio) e quindi esiste d Z che lo genera. Poiché anche d è un suo generatore, possiamo supporre d > 0. Dunque, ogni c I è un multiplo di d. D altra parte, anche a e b appartengono ad I, quindi sono multipli di d. Allora d è un divisore comune di a e b. Poiché d I, esistono u,v Z tali che d = a " u + b " v. Allora ogni altro divisore comune k di a e b è divisore di d: infatti da a = k " a #, segue d = a " u + b " v = k " ( a # " u + b # " v). Ne segue: b = k " b # d = MCD(a,b). Ricordiamo infine che tra numeri positivi si ha: se x divide y allora x y. Abbiamo allora dimostrato il TEOREMA (Bézout). Sono equivalenti: a) d = MCD(a,b) (positivo) b) d è il minimo intero positivo tale che esistono u,v Z tali che d = a " u + b " v. 18

3 COROLLARIO I numeri a e b sono coprimi se e solo se esistono u,v Z tali che 1 = a " u + b " v. NOTA. Come trovare i due interi u e v del teorema è mostrato negli esempi che vedremo: si usa il procedimento euclideo delle divisioni successive ed uno schema facilmente eseguibile anche con Excel, perché basato sul calcolo ricorsivo dei coefficienti u m, v m tali che r m = a " u m + b " v m, dove r m è l m esimo resto nel citato procedimento. A questo punto occupiamoci dapprima delle equazioni diofantee lineari in due incognite. Nell introduzione abbiamo visto un esempio in N, ma qui lavoriamo in Z, l ambiente più adatto. Una tale equazione si presenta nella forma a " x + b " y = c, con a, b, c interi. Il caso in cui a = 0 oppure b = 0 è lasciato per esercizio. Siano quindi a, b non nulli. Come sempre, occorre esaminare i tre aspetti del problema: esistenza di soluzioni, numero delle soluzioni, algoritmi risolutivi. Siano nel seguito: d = MCD(a, b), a = da, b = db. LEMMA Esistenza. Esiste una soluzione dell equazione diofantea a a " x + b " y = c se e solo se d = MCD(a,b) divide c. Dimostrazione. Segue subito dal fatto che c appartiene all ideale I = un generatore. Volendo provarlo esplicitamente, siano x, y interi tali che a " x + b " y = c. Allora: c = ax + by = da x + db y = d(a x + b y) ({ a, b} ), di cui d è quindi d divide c. D altra parte, se d divide c, posto c = dc, esistono u, v interi tali che d = a " u + b " v, quindi: e una soluzione (x, y) = (c u, c v) esiste. a(c u) + b(c v) = c d = c LEMMA Numero soluzioni. Se esiste una soluzione dell equazione diofantea ax + by = c allora ce ne sono infinite. Dimostrazione. Sia (u,v) una soluzione dell equazione ax + by = c. Consideriamo l equazione omogenea associata ax + by = 0. Dividiamo per d ed otteniamo a " x + b " y = 0, ossia a x = b y. Poiché MCD(a,b ) = 1, allora, per il lemma di Euclide, a divide y, ossia 19

4 esiste k intero tale che y = ka. Ma allora x = -kb. Inversamente, per ogni k intero, la coppia (-kb, ka ) è soluzione dell equazione omogenea associata. Pertanto, per ogni k intero si ha a(u-kb ) + b(v+ka ) = au + bv +a(-kb )+b(ka ) = c+0 = c, ossia la coppia u " k # b, v + k # a è soluzione dell equazione data per ogni k intero. Inversamente, per ogni altra soluzione (u,v ) dell equazione data, la differenza u " # u, v " # v u " # u = #k b è soluzione dell equazione omogenea associata. Allora esiste k intero tale che, ' v " # v = k a ossia u " = u # k b. Abbiamo così un insieme numerabile di soluzioni, una per ogni k intero. ' v " = v + k a ALGORITMI RISOLUTIVI. Un algoritmo per risolvere l equazione diofantea lineare a " x + b " y = c, in cui d = MCD(a, b) e c = dc, è già stato indicato: con l algoritmo euclideo si determinano u, v tali che au + bv = d si trova la soluzione particolare x 0, y 0 = ( u " c #, v " c #) si aggiungono le soluzioni dell equazione omogenea associata: = ( x 0 " k # b, y 0 + k # a ), k Z. - x, y Tuttavia, la soluzione particolare potrebbe essere migliorata, nel senso che potrebbe essere utile minimizzarla, ossia trovare soluzioni con x 0 < b " o y 0 < a ". Vediamo come, con un esempio. ESEMPIO Vediamo l equazione diofantea 120x + 85y = 50. Si ha MCD(120, 85) = 5, che divide 50. Allora risolviamo dapprima l equazione 120u + 85v = 5 (o equivalentemente 24u + 17v =1). resti u n v n quozienti NOTA. I calcoli qui ed altrove sono svolti con Excel: si inseriscono i due numeri in A1 e B1, poi 1 e 0 in A2 e B2, 0 ed 1 in A3 e B3. In B4 si colloca il quoziente tra A1 e B1 (=int(a1/b1)) mentre C1 = A1-B1*B4 è il resto. Si ha poi C2=A2-B4*B2, C3=A3-B3*B4. 20

5 Per calcolare C4 si prolunga B4 col riempimento automatico, poi le colonne successive sono ottenute dalla C col riempimento automatico. Ci si ferma quando il resto è zero. Le soluzioni sono dunque: u = 5, v = -7. Poiché c = 50/5 = 10, si ha così: ( x 0, y 0 ) = ( u " c #, v " c #) = ( 50, 70) Si ha poi a = 120/5 = 24, b = 85/5 = 17. Pertanto, la soluzione generale è: ( x, y) = ( x 0 " k # b, y 0 + k # a ) = ( 50 "17k, " k), k Z. Per migliorare la forma delle soluzioni, dividiamo 50 per 17, ottenendo quoziente 2 e resto 16, oppure quoziente 3 e resto -1. Nel primo caso si ha 50 17k = 16 17k, dove k = k-2, e si ha anche k = (k +2) = k. Perciò (x, y) = (16-17k, k ), k Z. Nel secondo caso, posto k = k+3, si ha x = "1 +17 k #, k Z. Quest ultima forma delle y = k # soluzioni è assai più semplice delle precedenti. NOTA. Sia ( x, y) = ( 50 "17k, " k) la soluzione trovata con l algoritmo. Facciamo variare per il momento k in R e cerchiamo la soluzione di norma minima. Minimizziamo cioè x 2 + y 2 al variare di k. Ossia, minimizziamo la funzione f ( k ) = 865k 2 " 5060k Annullando la derivata di f, (oppure, per chi non sa le derivate, prendendo l ascissa k del vertice della parabola grafico di questa funzione), troviamo k = 506 " 2, 92. Gli interi più prossimi sono k = 2 e k = 3, ma 3 è più 173 vicino al valore trovato. Per questi due valori interi di k si trovano le due soluzioni particolari (16, 22) e (-1, 2) già note, e la seconda è migliore dell altra. Nel caso generale di ax + by = c si trova k = " a # y 0 " b # x 0 a # 2 + b # 2. ESERCIZIO Risolvere l equazione diofantea x+3347 y = 329 Troviamo dapprima d = MCD(12856, 3347) ed i due numeri u, v # 21

6 Allora (-3069) = 1, quindi i due numeri sono coprimi ed il problema ha soluzione. Una soluzione particolare è allora ( , ) = (262871, ) Poiché i due coefficienti sono coprimi, segue che la soluzione generale è data da: x = " 3347 # k. y = " # k Per trovare soluzioni con numeri più vicini a zero, usiamo la formula sopra trovata: k = " a # y 0 " b # x 0 a # 2 + b # 2 = 78, I due interi più prossimi a questo valore sono 78 e 79. Abbiamo allora le due forme: x = 1805 " 3347# k y = " # k oppure x = "1542" 3347 # k y = # k Esistono altri metodi per trovare queste soluzioni, di cui uno dovuto ad Eulero, ma sono più lenti e complessi dei due indicati. Il caso più generale di equazione lineare in n 3 incognite presenta risultati simili per quanto riguarda l esistenza ed il numero delle soluzioni: PROPOSIZIONE Sia data l equazione n # a i " x i = c, con 0 " a i Z i e c Z. i=1 a) Essa ha soluzioni intere se e solo se il massimo comune divisore dei coefficienti a i divide il termine noto c. b) Se ha una soluzione ( x 1,K, x n ) " Z n, allora ogni altra soluzione si trova sommando ad essa le soluzioni intere dell equazione omogenea associata n # a i " x i = 0. i=1 Dimostrazione. a) La necessità è immediata. Per la sufficienza, dividiamo coefficienti e termine noto per il loro MCD. Ossia, supponiamo che il MCD dei coefficienti sia 1. Procediamo per induzione rispetto ad n 2. Il caso n = 2 sappiamo che ha soluzioni. Sia n > 2. Se ci sono due coefficienti, per esempio a n"1 ed a n, coprimi o tali che il loro MCD divida c, allora basta porre x i = 0 "i # n 2 ed il problema si riconduce al caso delle # due incognite. Avremo allora una soluzione 0,K, , x n"1, x ( n Zn del sistema. n"2 ' 22

7 Altrimenti, se MCD( a n"1, a n ) = d, introduciamo un incognita ausiliaria y e risolviamo il sistema a n"1 # x n"1 + a n # x n = d # y ' n"2. La prima equazione ha soluzioni per ogni y, la seconda ' a i # x i + d # y = c (' i=1 ha n-1 incognite ed i coefficienti coprimi, quindi per l ipotesi induttiva ha una soluzione ( x 1,K, x n"2, y ) # Z n"1. Sostituiamo y alla y nella prima equazione e risolviamo a n"1 # x n"1 + a n # x n = d # y. Avremo allora anche gli interi x n"1, x n, quindi avremo una soluzione ( x 1,K, x n"2, x n"1, x n ) # Z n del sistema dato. b) Si dimostra come nel caso n = 2. ESERCIZIO Risolvere l equazione diofantea 21x+35y+15z = 8. Svolgimento: dato che MCD(21,35) = 7, introduciamo l ulteriore incognita t tale che: " 21x + 35y = 7t #. 7t +15z = 8 La seconda equazione ha soluzione (-1,1). Allora, sostituendo t = -1 nella prima, si ottiene 21x+35y = -7, ossia 3x+5y = -1. Una soluzione è (3,-2), quindi (3,-2,1) è una soluzione dell equazione data: (-2)+15 1 = 8. Ce ne sono altre? L equazione omogenea associata è 21x+35y+15z = 0. Poiché MCD(21,35) = 7, allora 7 divide 15z, ossia z = 7z. Abbiamo allora 3x+5y+15z = 0. Analogamente, 5 = MCD(5,15) divide 3x, quindi x = 5h. Ne segue 3h+y+3z = 0. Infine, 3 = MCD(3,3) divide y, quindi y = 3k, e resta: h+k+z = 0. Ricaviamo di qui z = -h-k, quindi z = -7h-7k, dunque (5h, 3k, -7h-7k) è la soluzione generale dell equazione omogenea associata. Allora, le soluzioni dell equazione 21x+35y+15z = 8 sono (3+5h, -2+3k, 1-7h-7k), con h, k interi qualsiasi. In questo caso particolare, le stesse soluzioni le possiamo trovare anche così: risolviamo l equazione 21x+35y+15z = 0 rispetto a z: z = " 7 5 x " 7 y e poniamo x = 5h, y = 3k e allora la 3 base è )# 5 # ( ( + * 0 (, 3 (., corrispondente a z = -7h-7k trovata sopra. + "7( ' "7( +, '/ 23

8 1.2. Sistemi diofantei lineari in Z. Osserviamo prima di tutto che una matrice quadrata ad elementi interi ha il determinante intero, perché ottenuto solo con somme, differenze e prodotti. Sia M una matrice di tipo mxn e supponiamo m n. Chiamiamo divisore d di M il massimo comune divisore dei determinanti dei suoi minori (1) di ordine massimo, ossia di quelli di ordine m. Se M è quadrata, allora d = det(m). Se r(m) < m, tutti i minori d ordine massimo sono nulli, quindi d = 0. Vale allora il seguente teorema: TEOREMA Un sistema lineare diofanteo di m equazioni ed n incognite, con m " n ed r(a) = m, ha soluzioni intere se e solo se la matrice incompleta A e la completa C hanno lo stesso divisore. Traccia della dimostrazione. Vediamo prima due casi particolari: a) Nel caso di una sola equazione, la matrice incompleta A è di tipo 1xn, ed il suo divisore è il MCD dei coefficienti: per avere soluzioni intere, dunque, esso deve dividere anche il termine noto, come già sappiamo. b) Nel caso m = n, i minori d ordine massimo di C sono la matrice A e le matrici ottenute dalle matrici A j, quelle che compaiono nei numeratori delle formule di Cramer, riportando la colonna B all ultimo posto, il che al massimo cambia il segno del loro determinante. Poiché il divisore di A è d = det(a), ecco che A e C hanno lo stesso divisore se e solo se d divide ciascuno dei minori det A j ; come già rilevato all inizio del capitolo, in questo caso le soluzioni sono intere. Un metodo per dimostrare il teorema e trovare le soluzioni del sistema è quello di completare il sistema stesso aggiungendovi equazioni fino a portarlo ad un sistema di Cramer con le stesse soluzioni e gli stessi divisori. Chiamiamo primitivo un vettore-colonna (o vettore-riga) a coefficienti interi coprimi. Denotiamo poi con M t la trasposta di una matrice M. (1) In molti testi un minore di una matrice è una sottomatrice quadrata, mentre in altri è il suo determinante. Qui intenderemo la sottomatrice quadrata. 24

9 LEMMA Data una matrice A m di tipo mxn, con m < n e rango m, esistono infiniti modi per ampliarla ad una matrice quadrata A n il cui determinante sia, in valore assoluto, uguale al divisore di A m. L algoritmo è il seguente: 1. Si sceglie un vettore primitivo X 1 soluzione del sistema omogeneo A m " X = 0 2. Si sceglie un vettore intero primitivo R 1 soluzione dell equazione ( X 1 ) t " X = Si aggiunge la riga ( R 1 ) t come ultima riga alla matrice A m, ottenendo una matrice A m+1. Si dimostra che A m ed A m+1 hanno lo stesso divisore. 4. Se m+1 < n, si ripete il procedimento a partire da A m+1. Osserviamo che il procedimento non è proprio agevolissimo, ma non richiede il calcolo preventivo del divisore d, che si può trovare solo alla fine come det A n Ciò posto:. TEOREMA Sia dato il sistema lineare diofanteo A X = B, con m equazioni ed n " m incognite, tale che r(a) = m e che le matrici A e C = [ A B] abbiano lo stesso divisore d. Le soluzioni intere del sistema sono tutte e sole quelle che si ottengono risolvendo il sistema di Cramer A X = B, dove A è un ampliamento di A ottenuto come nel lemma precedente, e i termini noti delle ultime n-m equazioni sono parametri interi arbitrari. Dimostrazione. Mediante l algoritmo sopra descritto, possiamo trasformare il vettore primitivo X 1 soluzione del sistema omogeneo A " X = 0 aggiungendovi uno zero come n+1- esima coordinata, in modo che sia soluzione del sistema omogeneo C " X # = 0. Se ora aggiungiamo come n+1-esima coordinata ad R 1 il parametro intero t 1, abbiamo la possibilità di ingrandire anche C senza cambiarne il divisore. Iteriamo il procedimento fino a ottenere la matrice A, e contestualmente anche C : le due matrici hanno gli stessi divisori di A e C, e se e solo se d(a) = d(c) si ha d(a ) = d(c ), qualunque sia il valore intero attribuito agli n-m parametri. Pertanto, al variare di questi ultimi abbiamo tutte soluzioni intere del sistema dato. Viceversa, presa una soluzione intera X del sistema A X = B, se si esegue il prodotto A " # X si trova un vettore B " le cui prime m coordinate sono quelle di B e le altre sono valori interi, che si possono attribuire ai parametri t 1,K, t n "m. 25

10 ESEMPIO a) Si abbia il sistema lineare diofanteo " 5x 1 + 4x 2 + 7x 3 = 2 #. In questo caso, 6x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 7 poiché = 1, basta risolvere, per esempio con la regola di Cramer, il sistema # 5x 1 + 4x 2 = "7x 3 + 2, ottenendo: 6x 1 + 5x 2 = "4x # x 1 = 2 " 7t 4 7 " 4t 5 x 2 = 5 2 " 7t 6 7 " 4t x 3 = t # x 1 = "19t "18 ' x 2 = 22t + 23, t Z. x 3 = t b) Si abbia il sistema lineare diofanteo # 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 7x 4 = 9. 2x 1 + 5x 2 " 4x 3 + 3x 4 = 14 Qui è agevole calcolare i divisori delle due matrici A e C: = 7, 3 5 = "22 sono coprimi, quindi certamente d = 1 senza ulteriori calcoli sia per A 2 "4 " sia per C. Allora ci sono soluzioni intere. Però nessuno dei 4 ' = 6 minori d ordine 2 di A ha # 2 determinante uguale ad 1 o a -1, quindi il metodo precedente non funziona. Proviamo ad ampliare la matrice A dei coefficienti risolvendo il sistema omogeneo associato: # 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 7x 4 = 0. Per questo prendiamo x 4 = 0 e risolviamo 2x 1 + 5x 2 " 4x 3 + 3x 4 = 0 # 3x 1 + 4x 2 = "5x 3. Si ha 2x 1 + 5x 2 = 4x 3 subito x 1 = "5x 3 4 4x intera " = "39x 3 7, x 2 = 3 "5x 3 2 4x 3 7 = 22x 3 7. Allora, posto x 3 = 7, si ha la soluzione [ ]. Un vettore R 1 tale che [" ] # R 1 = 1 è tale che: "39y y 2 + 7y 3 = 1. Posto y 1 = 0, si trova subito y 2 = 1 ed y 3 = "3. Allora, per esempio t prendiamo R 1 = [ 0 1 "3 0 ] e lo aggiungiamo come ultima riga ad A: A 1 = # ( 2 5 "4 3(. 0 1 "3 0( ' A questo punto, o calcoliamo i quattro minori d ordine 3 cercandone uno che sia ±1, oppure aggiungiamo la quarta riga. 26

11 Il primo minore fa al caso nostro: "4 = 1, allora possiamo risolvere il sistema 0 1 "3 # 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 = "7x x 1 + 5x 2 " 4x 3 = "3x x 2 " 3x 3 = t 1 ottenendo: # x 1 = "41t t x 2 = 22t 1 "15t 2 " 72, t 1, t 2 x 3 = 7t 1 " 5t 2 " 24 x 4 = t 2 " Z. In alternativa, possiamo cercare la quarta riga di A, risolvendo dapprima il sistema omogeneo # 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 7x 4 = 0 2x 1 + 5x 2 " 4x 3 + 3x 4 = 0 x 2 " 3x 3 = 0. Una soluzione non nulla è [ 26 "15 "5 1] ed un vettore R 2 tale che [ 26 "15 "5 1] # R 2 = 1 è tale che: 26y 1 "15y 2 " 5y 3 + y 4 = 1. Una soluzione è per esempio la riga [ ], e la collochiamo come quarta riga di A: # ( 2 5 "4 3 A 2 = ( 0 1 "3 0( ( '. Si noti che det( A 2 ) = 1 = divisore di A. Il sistema finale è allora: # 3x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 7x 4 = 9 2x 1 + 5x 2 " 4x 3 + 3x 4 = 14 x 2 " 3x 3 = t 1 x 1 + 5x 4 = t 2 e le soluzioni sono: # x 1 = 115t t 2 " 355 x 2 = "68t 1 "15t x 3 = "23t 1 " 5t x 4 = 6t 1 + t 2 "19, ( t 1, t 2 ) " Z. Come verificare che le soluzioni sono le stesse? Posto " t " 1 ' = 1 ' nell ultima formula, si # t 2 # 0 ottiene la quaterna [" "13], che con la formula precedente si ottiene per " t " 1 1 ' = '. Analogamente, posto # t 2 #(13 " t " 1 ' = 0 ' nell ultima formula, si ottiene la quaterna # t 2 # 1 " [" "18], ottenibile con la prima formula con t " 1 0 ' = '. # t 2 #(18 Allora, una trasformazione di parametri unifica le due formule: la stessa soluzione che con la seconda formula si trova con " t " 1 ' = h ' si trova dalla prima formula con # t 2 # k " t " 1 h ' = '. # t 2 # 6h + k (19 Un caso particolare di sistemi diofantei è il seguente: n-1 equazioni in n incognite a i " x + m i " t i = c i, 2 # i # n 1, a i " 0 " m i 27

12 Affinché ogni equazione abbia soluzioni per ogni scelta dei termini noti, supponiamo = 1. Allora esistono u i, v i tali che a i " u i + m i " v i = 1. Possiamo allora ottenere MCD a i, m i x = c i " u i # m i " q i, dove i q i sono parametri. t i = c i " v i + a i " q i Poniamo b i = c i " u i. Allora il sistema diventa: x + m i " q i = b i, 2 # i # n 1, e risolvere questo sistema porta a risolvere quello di partenza. Per farlo, serve un lemma. LEMMA Siano dati h numeri interi m i a due a due coprimi. Allora gli h+1 h numeri m = " m i, m, 1 " i " h, sono coprimi, ossia il loro MCD è 1. m i i=1 " Dimostrazione. Sia d = MCD m, m m,k, ' # m 1 m h. " Poiché MCD m, m ' # m = m ", allora d = MCD m, m m,k, ' 1 m 1 # m 1 m 2 m h. " Analogamente, dato che gli m i sono a due a due coprimi, segue MCD m, m ' # m 1 m = 2 m m 1 ( m 2, # m che implica d = MCD, m m K, ( m 1 " m 2 m 3 m h '. Così seguitando, si trova d = m = 1. m 1 " m 2 Lm h Siamo in grado ora di dare una dimostrazione di un teorema antico e famoso, del quale esistono altre numerose formulazioni, dimostrazioni e generalizzazioni: TEOREMA (Teorema cinese del resto). Sia dato il sistema lineare diofanteo x + m i " y i = b i, 1 # i # n 1, con gli m i positivi. Se questi sono a due a due coprimi, allora il n#1 sistema ha soluzioni intere. Inoltre, c è un unica soluzione intera in cui 0 " x < m = m i. i=1 Dimostrazione. Consideriamo la matrice incompleta A del sistema: è di tipo (n-1)xn # 1 m 1 0 K 0 ( 1 0 m A = 2 K 0 (. I minori A K K K K K ( j di ordine massimo si ottengono sopprimendo a ( K m n"1 ' turno una delle colonne. Si ha A 1 = m, A j = ("1) j m m j"1 per j > 1, e questi numeri sono coprimi, per il lemma. Allora possiamo procedere come al solito, ossia cercare un vettore 28

13 primitivo X tale che A " X = 0. Una soluzione è X = # "m ( m m 1 ( m m ( 2. Poi cerchiamo un vettore R ( K ( m m n"1 '( tale che X t " R = 1. Posta = 0 la prima coordinata di R, resta l equazione n"1 m # x j = 1, che ha m j j=1 soluzione perché i coefficienti sono coprimi. Aggiungiamo allora la riga trovata ed abbiamo la matrice A il cui determinante è = 1. Completata anche la colonna B dei termini noti con l aggiunta del termine t, si ricava con la formula di Cramer: x = b 1 m 1 0 K 0 b 2 0 m 2 K 0 K K K K K b n"1 0 0 K m n"1 t u 1 u 2 K u n"1 n"1 = ("1) j+1 # b j # u j # m + "1 mj j=1 n +1 # m # t. n"1 Posto k = ("1) i+1 # b i # c i # m, ed inglobato il segno di m in t, si ha quindi x = k + m " t. m i i=1 Se 0 " k < m, allora la soluzione x tale che 0 " x < m si ottiene per t = 0. Se no, dividiamo k per m, k = m " q + r, con 0 r < m. Basta porre allora t = -q e si ottiene 0 " x = r < m. Gli altri valori di t danno soluzioni negative o maggiori di m, quindi c è una sola soluzione x tale che 0 " x < m. # x + 3y 1 = "8 ESEMPIO Risolviamo x + 4y 2 = 11. I coefficienti 3, 4, 5 sono a due a due coprimi. A x + 5y 3 = "6 differenza di come fatto nel teorema, seguiamo un altro procedimento: aggiungiamo una riga incognita ad A e imponiamo che il determinante della matrice ottenuta sia 1. L equazione u 0 u 1 u 2 u 3 = 1, ossia 60u 0 " 20u 1 "15u 2 "12u 3 = "1 ha per esempio la soluzione [ 0 "1 "1 3]. 29

14 Allora consideriamo il sistema # x + 3y 1 = "8 " x + 4y 2 = Si ricava x = x + 5y 3 = "6 " "y 1 " y 2 + 3y 3 = t t "1 "1 3 = "60t " 221, da cui segue x = x = "60t " 60 # = "60 # ( t + 4) +19 = 19 " 60, dove t = " # 4 Allora, la soluzione principale, minore di 60 = 3 " 4 "5, è 19, ottenuta per t = -4. A questo punto, volendo, si ricavano direttamente le altre tre incognite: #"60t " y 1 = "8 # y 1 = 20t + 71 "60t " y 2 = 11 ' y 2 = 15t + 58, o anche "60t " y 3 = "6 y 3 = 12t + 43 y 1 = 20" # 9 y 2 = 15" # 2. ' y 3 = 12" # 5 NOTA. Questo teorema ha formulazioni assai diverse, una delle quali in termini di ideali. In un dominio D ad ideali principali (PID) come Z, dati gli ideali I = a I + J = ({ a, b} ) = MCD a, b, J = ( b ), si ha, come noto:, I " J = mcm( a, b) Se a e b sono coprimi, allora I + J = ( 1 D ) = D, I " J = ( a # b) = I # J.. Inoltre, è noto che se A e B sono anelli, ogni ideale del prodotto diretto A B è prodotto diretto I J, con I ideale di A e J ideale di B, e inoltre A " B I " J # A I " B J. Pertanto, in un PID D, dati gli ideali I = ( a ), J = ( b ), se a e b sono coprimi si ha: D I " J # D I D J, dove l isomorfismo è, "x # D, x + I J a ( x + I, x + J). Se si esplicita questo risultato, segue l esistenza della soluzione x del sistema: perché alla coppia c 1 + a (, c 2 + ( b )) = x + ( a ), x + ( b ) " D I # D J corrisponde # x + a " q 1 = c 1, x + b " q 2 = c 2 biunivocamente l elemento c = x + a " b # D I J. 30

15 1.3. Equazioni diofantee lineari in N. In vari problemi interessano le soluzioni in N, ossia le soluzioni non negative dell equazione a " x + b " y = c, con a e b positivi e c multiplo di MCD(a,b). Per trovarle, usando i simboli della sezione precedente, basta porre intere, se ce ne sono. Vediamo alcuni esempi x 0 " k # b 0 ' e trovare le soluzioni ( y 0 + k # a 0 ESEMPIO L equazione 120x + 85y = n. a) 120x + 85y = 50 non ha soluzioni in N, in quanto 50 è minore dei due coefficienti. b) 120x + 85y = 85 ha la soluzione (0,1) c) 120x + 85y = 120 ha la soluzione (1,0) Basta tentativi, ora procediamo come nel quesito della Susy. Sappiamo che 120 " 5n + 85 " (#7n ) = 5n per ogni n. Sappiamo anche che 120 " (#17k ) + 85 " ( 24k) = 0 per ogni k, quindi 120 " ( 5n #17k ) + 85 " (#7n + 24k) = 5n per ogni k. Poniamo allora 5n "17k # 0, da cui segue 7n "7n + 24k # 0 24 " k " 5n 17 o anche, riducendo allo stesso denominatore, 119n 408 " k " 120n. Certamente ci sono soluzioni intere non negative se 408 n " 408, perché la differenza delle frazioni è 1, quindi ce ne sono se il termine noto è " 408 #5 = Tuttavia, ci sono soluzioni anche per numeri minori di questo: i multipli di uno dei due coefficienti e le loro combinazioni lineari minori di Quante sono? Sono tante quante le coppie (h, k) tali che 17x+24y 408, ossia 225, come mostra la tabella seguente, calcolata con Excel, ed in cui sono rese illeggibili le combinazioni lineari maggiori di 408. In questa tabella, trasformata in una riga e riordinata, si osserva che solo il 408 è ripetuto due volte. Dal 368 in poi, sono presenti tutti i numeri fino al 408, senza lacune. Quindi l ultimo numero senza soluzioni è n = 367, ossia, nel problema iniziale, il massimo termine noto non ammesso è = Si noti che 367 = 17 "24 # Sarà un caso? Inoltre, i termini noti c senza soluzioni nel problema ausiliario 17x+24y = c, ossia quelli che mancano nella tabella sono 184. Si può determinare questo numero con qualche formula? 31

16 x\y Occupiamoci del problema, limitandoci al caso di due incognite, anche se pure il caso di tre incognite è stato risolto. Nel seguito supporremo a,b > 0, c 0, MCD(a,b) = 1. Per l equazione a " x + b " y = c si presentano tre problemi: a) Trovare la configurazione dei valori di c per i quali non ci sono! soluzioni in N o in N + = N \ { 0}. b) (Problema lineare di Frobenius) Trovare il massimo c per il quali non ci sono! soluzioni in N o in N +. c) Trovare il numero di soluzioni dell equazione a " x + b " y = c in in N o in N +.! Siano F il massimo valore di c per il quale non ci sono soluzioni positive e F 0 il massimo!! valore di c per il quale non ci sono soluzioni in N.! 32

17 TEOREMA Sia data l equazione a " x + b " y = c, a,b > 0, c 0, MCD(a,b)=1. Allora F = a b ed F 0 = F " (a + b) = a # b " (a + b) Dimostrazione. Consideriamo l equazione a " x + b " y = a " b. Poiché a e b sono coprimi, allora a deve dividere y e b deve dividere x. Ossia x = b " x #, con x ed y positivi. Si ottiene y = a " y # a " b = a " b " x # + y # 2a " b, assurdo. Ora proviamo che per ogni c > a b le soluzioni positive ci sono. Poniamo c = a b+q, q > 0. Troviamo dapprima le soluzioni in Z, poi le trattiamo col procedimento visto: # x = x 0 " kb. Imposto che x ed y siano entrambi positivi, si ottiene: y = y 0 + ka Ora, a " x 0 a " b # #b " y 0 a " b = a " x 0 + b " y 0 a " b "y 0 a < k < x 0 b # "b y 0 a b < k < a x 0 a b = c a " b = 1 + # nell intervallo "y 0 a, x 0 ( esiste. Allora effettivamente F = a b. b ' Verifichiamo ora che F 0 = F " (a + b) = a # b " (a + b). q > 1, perciò almeno un valore intero di k a " b L equazione a " x + b " y = a " b # a # b si riconduce a a " ( x +1) + b " ( y +1) = a " b, che non ha soluzioni positive, quindi i numeri positivi x+1 ed y+1 non esistono. D altra parte, posto c = a b+q-a-b, si ha l equazione a " x +1 Dette x, y tali soluzioni, si ha ovviamente + b " ( y +1) = a " b+q, che le soluzioni positive le ha. x = x " #1 0, e si ha una soluzione non ' y = y " #1 0 negativa. Il problema lineare di Frobenius in due incognite è così risolto. Completiamo le informazioni su queste equazioni. Una soluzione ( x, y ) si dice minimale se si ha x " b #1, y " a #1. Negli esempi precedenti ne abbiamo trovate con due approcci diversi. Tuttavia non sempre esistono. ESEMPIO Risolviamo l equazione 3x+5y = 26. Una soluzione particolare è ( 2, 4), che non è minimale, perché 4 non è 2 = 3-1. La soluzione generale è k x y # x = 2 " 5k, con k Z. y = 4 + 3k 33

18 Come si vede dalla tabella, niente da fare. Però, se come termine noto prendiamo 22, otteniamo la soluzione particolare 4, 2, che è minimale. Se prendiamo c = 7, troviamo ("1,2 ) e ( 4, "1). Qual è la soglia? PROPOSIZIONE Siano dati a,b > 0, c 0, MCD(a,b)=1. a) Se l equazione ha soluzioni minimali, allora c " 2a # b a b b) Se c < a " b allora ci sono due soluzioni minimali, che coincidono se e solo se sono non negative. c) Se a " b # c # 2a " b allora esiste al massimo una soluzione minimale, ed è positiva. Dimostrazione. a) I valori massimi di x, y si ottiene a " ( b #1) + b " ( a #1) = 2a " b # a # b. sono b "1, a "1 : sostituendoli nell equazione con b) Abbiamo già visto nell esempio che una soluzione particolare x 1, y 1 0 " x 1 " b #1 si trova sempre con una semplice divisione, ed è anche unica : trovata una soluzione particolare ( x 0, y 0 ) si divide infatti x 0 soluzioni hanno valori di x negativi o maggiori di b. Allora la soluzione generale è x = x 1 + k " b, k Z. y = y 1 # k " a Ora, se y 1 = a + h, h " 0, allora a " b > c = a " x 1 + b " a + h Pertanto, se y 1 " 0, ( x 1, y 1 ) per b e si prende il resto positivo. Le altre = a " b + ( a " x 1 + h) # a " b, assurdo. è minimale ed è l unica, come si vede dando a k valori negativi o positivi. Potrebbe essere però y 1 < 0. In tal caso, deve risultare y 1 " a #1. In caso contrario, se cioè fosse y 1 = "a " h, h # 0, allora 0 " c = a # x 1 + b # ( a h) " a # ( b 1) + b # ( a h) = a b # h < 0, assurdo. Dunque, ( x 1, y 1 ) è minimale. Naturalmente è possibile scambiare i ruoli delle due incognite, scegliendo una soluzione particolare ( x 2, y 2 ) con 0 " y 2 " a #1. In tal caso, se anche x 2 " 0 si ritrova la stessa soluzione di prima, ( x 1, y 1 ). Altrimenti, la soluzione è minimale, ma diversa da ( x 1, y 1 ). c) Se una soluzione minimale ( x 1, y 1 ) esiste, e se una delle due componenti della coppia è negativa o nulla, il termine noto c non può essere maggiore di ab-1. Allora sono entrambe positive, ed in tal caso ce n è solo una. 34

19 PROPOSIZIONE Siano dati a,b > 0, c 0, MCD(a,b)=1. Se c < a b e non è multiplo né di a né di b, allora una ed una sola delle due equazioni a " x + b " y = c oppure a " x + b " y = ab # c ha una soluzione non negativa. Inoltre, tale soluzione è positiva. Dimostrazione. Ovviamente, se c = a " h, con necessariamente h " b #1 allora una. soluzione di a " x + b " y = c è h, 0. L altra equazione a " x + b " y = ab # c ha soluzione b " h, 0 Stesso discorso se c è multiplo di b. Vediamo ora il caso di c < a b, non multiplo né di a né di b. Allora tale è anche a " b # c. Perciò le due equazioni non hanno soluzioni con un incognita nulla. Ciò posto: Esistenza. Supponiamo che a " x + b " y = c non abbia soluzioni positive. Ha comunque una soluzione minimale x 1, y 1 soluzione positiva di a " x + b " y = ab # c. con 0 < x 1 " b #1 e "a +1 # y < 0. Allora, ( b " x 1, "y 1 ) è una Unicità. Sia ( x 1, y 1 ) una soluzione positiva di a " x + b " y = c, che se esiste è unica per Se anche a " x + b " y = ab # c avesse una soluzione positiva ( x 2, y 2 ), allora ( x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) sarebbe una soluzione positiva di a " x + b " y = ab, contro il teorema Dunque, una sola delle due ha soluzioni positive. NOTA. Il caso delle tre incognite è stato studiato e risolto in varie epoche con approcci a volte diversi, ma tutti riconducibili alle soluzioni minimali di tre casi in due incognite ricavati dall equazione data. Ricordo solo il contributo del mio collega e predecessore in questo insegnamento di Teoria dei Numeri, Calogero Tinaglia, il quale ha tra l altro perfezionato e spiegato numeri ausiliari proposti da altri autori, Johnson in particolare. Chi è interessato al problema può consultare i suoi lavori e la bibliografia che essi riportano. I casi di n 4 incognite sono tuttora aperti. Ossia, non si conosce un modo generale per determinare il massimo numero naturale m per il quale l equazione n # a k " x k = m a k=1 coefficienti interi positivi coprimi non ha soluzioni naturali o soluzioni intere positive. Ora cambiamo il punto di vista: per cominciare, dato che i coefficienti dell equazione n # a k " x k = m sono positivi, si possono interpretare come le frequenze delle rispettive k=1 n incognite, quindi, posto r = " a k, l equazione data si può interpretare come un caso k=1 35

20 particolare dell equazione r " x j = m, della quale si cercano le soluzioni con a k coordinate j=1 consecutive uguali ad x k. Per esempio, 2x + 3y = 8 si può riscrivere x + x + y + y + y = 8. Allora si pone un altro problema: quante equazioni della forma n " x k = m hanno k=1 soluzioni positive e quante ne hanno? Ossia, in quanti modi si può scrivere m come somma di numeri interi positivi? Ovviamente, deve essere 1 " n " m, perché ci siano soluzioni. Se imponiamo x 1 " x 2 " K " x n, le soluzioni sono dette partizioni di m in n addendi. Per avere poi le soluzioni senza questa restrizione, basta contare per ogni partizione il numero di suoi anagrammi e sommare. ESEMPIO Vediamo il caso di m = 8. n incognite equazione partizioni: n soluzioni parz. 1 x 1 = x 1 + x 2 = x 1 + x 2 + x 3 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 = totale Esistono algoritmi, ma anche formule complicatissime per trovare il numero p(m) delle partizioni di m, mentre il numero complessivo delle soluzioni, per 1 " n " m, è 2 m"1. 36