Contenuto e scopo presentazione. Vehicle Scheduling. Motivazioni VSP

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1 Contenuto e scopo presentazione Vehicle Scheduling 08/03/ Contenuto vengono introdotti modelli e metodi per problemi di Vehicle Scheduling Problem (VSP) Scopo fornire strumenti di supporto alle decisioni operativo in ambito logistico evidenziare pregi e limiti dei modelli matematici quando sono applicati al di fuori dei contesti per cui sono stati sviluppati. Raffaele Pesenti 2 Motivazioni VSP Coordinare i viaggi di veicoli, tipicamente autobus o automezzi, in modo da minimizzare i costi, in particolare per quanto riguarda i viaggi a vuoto. Esempi: autobus urbani o extraurbani compagnie di autotrasporto... Vehicle Scheduling Problem VSP(I,K) Istanza: un insieme I di viaggi (o in generale attività), ognuno dei quali caratterizzato da uno start time st i e un end time et i, da una start location sl i e una end location el i. Una flotta K di veicoli identici. Soluzione: un vehicle scheduling, i.e., per ogni veicolo la lista dei viaggi che deve compiere. Obiettivo: minimizzare i costi operativi. 3 4

2 Descrizione del problema. obiettivo: minimizzare costi operativi vincoli: un veicolo può eseguire un viaggio (un attività) solo se riesce a raggiungere la localizzazione di inizio viaggio in tempo utile ogni attività deve essere eseguita VSP leve decisionali: assegnazione dei viaggi ai veicoli dati tecnologici: start e end time start e end location costi di svolgimento di un viaggio e di trasferimento a vuoto da una località all altra Commenti Passare dalla formulazione a parole a quella matematica non è un operazione banale. Si sarebbe infatti tentati di definire: delle variabili binarie x ik che assumono valore 1 se il viaggio i è assegnato al veicolo k, 0 altrimenti; dei vincoli, che coinvolgono delle variabili binarie ausiliare, che impediscono l assegnazione allo stesso veicolo di viaggi incompatibili per data e/o luogo. Questo tipo di approccio condurrebbe però ad una formulazione MIP per un problema che in realtà è semplice. Conviene cercare di formulare un modello che sfrutti il fatto che alcuni vincoli definiscono delle relazioni binarie tra alcuni elementi del sistema. Un tale modello includerebbe una struttura a grafo e quindi potrebbe sfruttare alcune proprietà di tali entità matematiche. In particolare, si osservi che tra ogni coppia di viaggi è possibile definire una relazione di compatibilità. 5 6 Rete del VSP Esempio Sia G = (N,E) una rete in cui N = I {s,t}: insieme dei viaggi da svolgere (I) e delle attività attesa in deposito (s) e arrivo in deposito (t). E = {(i,j): i,j N, esecuzione di j compatibile con i}: insieme di archi orientati. Ogni arco (i,j) E indica che, terminata l attività i all istante et i nel luogo el i, è possibile raggiungere in tempo il luogo sl j entro l istante st j e quindi iniziare l attività j. s deposito = 8 =MI = 10 =GE = 11 =GE = 12 =PV = 17 =PR = 19 =MI t deposito Commenti Nella rete G i vincoli di incompatibilità tra viaggi sono espressi in modo implicito. Tra due viaggi incompatibili non esiste arco. Ogni percorso da s a t esprime descrive lo scheduling di un veicolo. 7 = 9 =MI = 12 =SV = 13 =GE = 15 =SV = 16 =SV = 18 =PR In continuo due schedule ammissibili, in tratteggiato le altre relazioni ammissibili 8

3 Costi e capacità Ogni arco (s,i) rappresenta un veicolo che lascia il deposito s per eseguire l attività i. Ogni arco (i,j) rappresenta lo spostamento di un veicolo dalla località finale del viaggio i fino al completamento del viaggio j. Ogni arco (i,t) rappresenta lo spostamento di un veicolo che raggiunge il deposito. Formulazione del problema. Le variabili: variabili binarie 1 x ij = 0 se un veicolo attraversa arco ( i, j) altrimenti Il costo c ij di un generico arco (i,j) comprende quindi le componenti: costi di viaggio a vuoto (deadheading) da el i a sl j profitti/costi operativi del viaggio j se i=s, costi fissi legati all uso di un nuovo veicolo La funzione obiettivo: il costo atteso Σ (i,j) E c ij x ij Le capacità di tutti gli archi sono tutte uguali ad I vincoli: tanti veicoli eseguono un attività i (entrano nel nodo i), tanti, una volta terminata i, si muovono da sl i verso una nuova attività (escono nel nodo i) Σ i:(i,j) E x ij - Σ j:(i,j) E x ji =0, i N {s,t} ogni attività j deve essere eseguita da un veicolo Σ j:(i,j) E x ij =1, i N {s,t} al più un veicolo si sposta da el i verso una nuova attività j 0 x ij 1 x ij {0,1}, (i,j) E (in realtà i vincoli 0 x ij 1 sono ovviamente ridondanti) Commenti la condizione di interezza sulle x ij non è necessaria in quanto il problema è un problema di flusso a costo minimo il problema, in quanto riconducibile ad un problema di flusso a costo minimo, è risolvibile in modo esatto in tempo polinomiale. Per ridurre i secondo vincolo ad un problema di flusso si suddivide un nodo attività in due nodi (inizio e fine attività) congiunti da un arco di capacità minima e massima uguale a uno Cplex risolve in meno di un minuto problemi anche con 1000 attività. Esistono inoltre algoritmi strongly polinomial per la soluzione di problemi di flusso a costo minimo

4 Caratteristiche problemi reali Veicoli che cambiano stato (solo caso merci) Numero limitato di veicoli, non tutte le attività possono essere svolte (comune nel caso merci, molto raro in quello passeggeri) Finestre temporali invece che start e end time (comune nel caso merci, meno in quello passeggeri) Stocasticità nei tempi di trasporto Multideposito (comune nel caso merci e nel caso passeggeri extraurbano, meno in quello passeggeri urbano): VSP with Multiple Depots (VSPMD) Veicoli diversi (comune nel caso passeggeri, meno in quello merci): VSP with Multiple Vehicle Types (VSPMVT) Vincoli di massima percorrenza o di tempo: VSP with Length of Path Restriction(VSPLPR) Nelle prime due situazioni il problema rimane semplice, nei rimanenti casi il problema diventa difficile. Perché i problemi diventano difficili Il limite intrinseco del modello presentato per il VSP è che esso si limita a verificare localmente se due attività consecutive sono compatibili, in termini di tempo, tra loro. Esso non permette di trasferire all attività successiva informazioni sulle caratteristiche dell attore che ha eseguito l attività precedente. Il trasferimento di questa informazione può essere imposto introducendo nuovi vincoli al modello che però, in questo caso, perde le sue caratteristiche geometriche particolari che lo rendevano facilmente risolvibile. Il problema rimane facile se il numero di attività massimo di ogni percorso è fissato (la complessità cresce esponenzialmente nel numero di attività), Situazione è abbastanza comune nel caso di trasporto primario dove le attività hanno una durata relativamente lunga Cambio stato Il cambio di stato dei veicoli non introduce difficoltà particolari. Anche in questo casi si introduce un arco da i a j solo se il nuovo stato del veicolo che si ottiene al termine dell attività i è compatibile con l attività j. Cambi di stato avvengono tipicamente solo nel trasporto merci. Ad esempio, alla fine di un viaggio un trattore può trovarsi o meno con un container vuoto a traino. In tale situazione un arco (i,j) indica che l operazione j necessita di un container vuoto, oppure è compatibile con la presenza di un container vuoto, oppure ancora che il trattore riesce a depositare il container prima di iniziare l operazione j. Costi diversi saranno associati all arco (i,j) a seconda della situazione. Quanto detto vale solo se lo stato del veicolo dipende solo dall ultima operazione eseguita. Numero veicoli limitato Bisogna: introdurre un vincolo che limiti la capacità del deposito: Σ j:(s,j) E x sj K eliminare i vincoli Σ j:(i,j) E x ij =1 che impongono che ogni attività debba essere eseguita. Le attività vengono eseguite solo se vi è convenienza economica. Il problema rimane un semplice problema di flusso a costo minimo. Il nuovo vincolo corrisponde infatti a sdoppiare il nodo s in s e s, ed aggiungere un arco (s,s ) di capacità K. K s s s 15 16

5 Modello multicommodity I problemi VSPMD e VSPMVT sono NP-hard. Possono essere modellati come problemi di flusso multicommodity Sia R l insieme dei tipi diversi di veicoli. Il problema può essere formulato come segue Modello multicommodity I problemi VSPMD, VSPLPR e il VSP con finestre temporali sono NP-hard. Possono essere modellati come problemi di flusso multicommodity Formulazione del problema. R l insieme dei tipi diversi di veicoli. Le variabili: variabili binarie 1 se un veicolo x rij = 0 altrimenti di tipo r attraversa arco ( i, j) La funzione obiettivo: il costo atteso Σ r R Σ (i,j) E c rij x rij Modello multicommodity I vincoli: tanti veicoli di tipo r eseguono un attività i (entrano nel nodo i), tanti, una volta terminata i, si muovono da sl i verso una nuova attività (escono nel nodo i) Σ i:(i,j) E x rij - Σ j:(i,j) E x rji =0, r R, i N {s,t} ogni attività j deve essere eseguita da un veicolo Σ r R Σ j:(i,j) E x ij =1, i N {s,t} al più un veicolo si sposta da el i verso una nuova attività j 0 x rij 1 x rij {0,1}, r R, (i,j) E I vincoli (cont.): Modello multicommodity numero minimo e massimo di veicoli di tipo r da utilizzare a r Σ j:(s,j) E x rsi b r r R Commenti il flusso multicommodity a costo minimo è un problema NP-hard. il problema può risultare inammissibile se viene imposto sia l ultimo tipo di vincolo che quello sulla necessità di eseguire ogni attività vengono eseguiti solo i viaggi economicamente vantaggiosi se viene eliminato il vincolo sulla necessità di eseguire ogni attività l insieme R può rappresentare anche i diversi depositi di origine, nel caso multi-deposito, oppure gli slot temporali in cui è suddivisa una finestra ammissibile per l inizio di un viaggio

6 Modello con archi backward I problemi VSPLPR sono NP-hard. Possono essere risolti in maniera esatta con un modello con archi backward. Modello con archi backward si considera una rete G simile a quella definita per il VSP, gli archi uniscono però solo attività che possono essere compiute entrambe in tempo utile non esistono i nodi s e t e tutti gli archi incidenti su di essi si introduce un arco backward tra il nodo i e il nodo j solo se et j st i + td i + dt j T max dove td i è il tempo necessario per raggiungere sl i a partire dal deposito, viceversa dt j è il tempo necessario per raggiungere il deposito a partire da el j un arco backward rappresenta il fatto che un schedule che inizia con l attività i e termina con l attività j può essere compiuto entro il tempo massimo T max si cerca di coprire tutti i nodi i attraverso dei circuiti che comprendono un solo arco backward 21 Formulazione del problema. Le variabili: variabili binarie 1 xij = 0 1 yij = 0 se un veicolo attraversa arco ( i, j) altrimenti se un veicolo attraversa arco backward ( i, j) altrimenti La funzione obiettivo: il costo atteso (E insieme archi farward, E insieme archi backward) Σ (i,j) E c ij x ij + Σ (i,j) E c ij y ij 22 Esempio I vincoli: Σ i:(i,j) E x ij - Σ j:(i,j) E x ji + Σ i:(i,j) E y ij - Σ j:(i,j) E y ji =0, i I 5 8 Σ j:(i,j) E x ij + Σ i:(i,j) E y ij =1, i I 3 9 Σ (i,j) E C x ij + Σ (i,j) E C y ij C -1, C circuito tale che E C x ij 1 x ij {0,1}, (i,j) E 0 y ij 1 y ij {0,1}, (i,j) E Il terzo tipo di vincoli impedisce che si formino cicli con più di due archi backward. Il numero di tali vincoli è esponenziale e quindi questi devono essere aggiunti dinamicamente. Sono rappresentati solo gli archi forward. Ad ogni arco forward corrisponda un arco backward in direzione inversa

7 Esempio Esempio Soluzione ammissibile con tre veicoli. Gli archi backward sono tratteggiati. Soluzione a due schedule non ammissibile. Il secondo schedule comprende due archi backward Euristica greedy Euristica greedy Algoritmo ConcurrentScheduler(I,K) 1. Inizializzazione ordina le attività per tempo di inizio assegna la attività 1 al veicolo 1. V ={1} // insieme veicoli utilizzati 2. Iterazione for j=2 to I // attività scandite nell ordine fissato { k = veicolo in V per cui è ammissibile eseguire j e per cui è minimo il costo c i(k),j //i(k) ultima attività svolta dal veicolo k if k = nil then aggiungi nuovo veicolo a V } Commenti l euristica greedy è molto utilizzata nella pratica è sempre possibile rendere un euristica greedy un po meno miope permettendo un numero, in generale molto limitato, di passi backward (ripensamenti) sulle assegnazioni compiute si giunge ad un enumerazione completa se è invece sempre possibile eseguire un numero di passi backward uguale alle decisioni compiute 27 28

8 Euristiche a due passi Per problemi VSPMD e VSPMVT cluster first, schedule second: si raggruppano le attività per cluster, si assegna poi ogni cluster ad un deposito oppure ad una tipologia di veicoli. Per ogni coppia attività/cluster deve essere assegnato un peso che misura l appropriatezza di assegnare l attività al cluster, per esempio in base alla distanza dal deposito. Si risolve quindi un problema di assegnazione delle attività ai cluster tenendo conto delle capacità di questi ultimi Euristiche di ricerca locale intraschedule scambio di posizione di due attività all interno di uno stesso schedule (euristica sensata solo quando vi sono delle finestre temporali, invece di date precise, che delimitano le attività). interschedule si spezzano due schedule e la coda del primo viene aggiunto alla testa del secondo e viceversa. Per problemi VSPMD (per problemi VSPMVT non sempre si giunge a soluzioni ammissibili) schedule first, cluster second: si risolve un VSP generale come da un solo deposito. Si assegnano quindi gli schedule ai cluster associati ai depositi. 29 In entrambe i casi gli scambi vengono mantenuti se lo schedule ottenuto è migliore del precedente. Si possono realizzare generalizzazioni usando metaeuristiche locali come tabù search, simulated annealing, ecc. scambiando più attività o più pezzi di schedule 30 Bibliografia L. Bodin, B. Golden, A. Assad, and M. Ball Routing and scheduling of vehicles and Crews: the state of the art Computers & Operations Research 10 (1983), pp Handbooks in Operations Research and Management Science, Vol. 8: Network. Routing, eds M. O. Ball, T. L. Magnanti, C. L. Monma, and G. L. Nemhauser (1995). "Heuristic Algorithms for the Multiple Depot Vehicle Scheduling Problem Management Sciences 39(1993), pp "Simple Heuristic for the Vehicle Routeing Problem with Soft Time Windows" Journal of the Society of Operational Research 44(1993), pp

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