Funzione (matematica)

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1 Funzione (matematica) Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. In matematica, una funzione f da X in Y consiste in: 1) un insieme X detto dominio di f 2) un insieme Y detto codominio di f 3) una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed un solo elemento f(x) in Y. Si dice che x è l'argomento della funzione, oppure la variabile indipendente, mentre f(x) o y è il valore della funzione, oppure la variabile dipendente. Sinonimi di "funzione" sono: "applicazione", "operatore", "mappa", "relazione binaria univoca", "trasformazione". Le funzioni hanno un ruolo importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che al contrario del precedente non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che il volume di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e della sua pressione si sta facendo un'affermazione interna ad un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, poichè è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione, il valore di quest'ultima viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri. Esempi [modifica] I più semplici esempi di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale associo il doppio di tale numero, ho una funzione, il cui dominio è dato appunto dai naturali, mentre il cui codominio è costituito dai naturali pari. Tuttavia, si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio o entrambi non sono insiemi di numeri. Per esempio, se a ogni triangolo del piano associo il cerchio in esso inscritto, ho pure una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio inscritto. Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori, per esempio la funzione che alle coordinate x, y, z di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura T e pressione P dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna (x, y, z), e ha sempre un solo valore, che è la coppia (T, P). Funzioni di due o più variabili [modifica] Quando il dominio di una funzione f è il prodotto cartesiano di due o più insiemi e dunque la funzione agisce su coppie (o terne o n- uple) di elementi di insiemi allora l'immagine di una coppia (x,y) viene indicata con la notazione f(x,y) sebbene in base alle notazioni introdotte sopra avremmo dovuto scrivere f((x,y)). In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di due (o più) variabili. Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa due numeri naturali al loro prodotto: f(x,y) = x y. Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio N N, l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali. Le variabili indipendenti a volte vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo scalare.

2 Funzione esponenziale Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. La funzione esponenziale è una delle più importanti funzioni in matematica, definita per ogni x appartenente all'insieme dei numeri reali. La sua proprietà fondamentale è che la derivataa della funzione esponenziale f(x) = e x è sé stessa. A volte, specialmente nelle scienze, si indicano come funzioni esponenziali tutte quelle della forma ka x, dove a, chiamato base, è un numero reale positivo. Questo articolo si concentrerà inizialmente sulla funzione esponenziale di base e. Grafico delle funzioni a x per tre diverse basi Funzione esponenziale e potenze [mod difica] E' possibile dimostrare che per ogni numero razionale q la funzione esponenziale e q assume il valore della potenza q-esima di e. E questo giustifica il fatto che funzione esponenziale e potenza vengono indicate nello stesso modo. Più in generale è possibile affermare che la funzione esponenziale in base a (con a numero reale ), definita come (dove lna è il logaritmo naturale di a) assume in ogni q razionale il valore della potenza q-esima di a. E ciò porta a considerare la funzione esponenziale come l'estensione in campo reale del concetto di potenza. Definizione grafica [modifica] Per i non esperti del formalismo matematico si può dire che un andamento esponenziale di tipo crescente o decrescente si può costruire numericamente su un diagramma cartesiano fissando un valore qualunque (positivo per semplicità) ed aggiungendo o togliendo sempre la stessa percentuale dell'ultimo risultato ottenuto partendo dal valore prefissato avendo quantizzando l'asse X a passi uguali per ognuna di queste operazioni. Viene solitamente indicata come del logaritmo naturale. oppure, dove rappresenta la base Come funzione della variabile reale x, e x è sempre positivo (sopra l'asse x) e crescente. Non tocca mai l'asse x, sebbenee giunga arbitrariamente vicino ad esso (in altri termini l'asse x è un asintoto orizzontale al grafico). La sua funzione inversa, il logaritmo naturale, ln(x), è definita per tutti gli x positivi.

3 Proprietà [modifica] Le funzioni esponenziali godono delle seguenti proprietà: Esse sono valide per tutti i numeri reali a e b e tutti i numeri reali x ed y. Le espressioni contenenti frazioni e radici possono spesso essere semplificate utilizzando la notazione esponenziale perché: e, per ogni a e b numeri reali con a > 0, e per ogni intero n > 1: Esempio fisico di funzione esponenz ziale [modifica] Un esempio semplice è quello di un oggetto lanciato ad una velocità v0 in un mezzo viscoso. Se supponiamo che la resistenza posta dal mezzo all'avanzamento dell'oggetto sia proporzionale alla velocità v di quest'ultimo: si ha una relazione tra la velocità e la sua variazione nel tempo (l'accelerazione a): ovvero E' possibile dimostrare che la soluzione di questa equazione è: Nel caso di un proiettile sparato nell'aria sarebbe più corretto supporre che la resistenza sia proporzionale al quadrato della velocità, cionondimeno l'andamento della velocità nel tempo è descritto da una funzione formataa a partire dalla costante matematica. Formulazioni equivalenti [modifica] Formulazioni equivalenti di questa proprietà sono: La pendenza del grafico in ogni punto è uguale all'altezza del grafico in quel punto. Il tasso di crescita della funzione in x è uguale al valore della funzione in quel punto. La funzione risolve l'equazione differenziale y = y. Per quanto riguarda le funzioni esponenziali di altre basi: Dunque qualunque funzione esponenziale è pari ad un multiplo costante della sua derivata.

4 Logaritmo Da Wikipedia, l'enciclopedia libera. La funzione logaritmo in base a è la funzione inversa rispetto alla funzione esponenziale in base a. Si dice, cioè, logaritmo in base a di un numero x l'esponente da dare ad a per ottenere x (x viene chiamato argomento del logaritmo). In altre parole, se segue che: (si legge: y è il logaritmo in base a di x). Per esempio, log 3 81 = 4 perché 3 4 = 81. Logaritmi con varie basi: rosso per la base e, verde per la base 10 e viola per la base 1,7. Come si può notare, tutte le funzioni passano per il punto (1, 0). Considerazioni sulla definizione [mo odifica] Il logaritmo è l'operazione inversa della funzione esponenziale, nel senso che y = log a x si ottiene da x = a y scambiando tra loro il ruolo di x e y (la variabile indipendente diventa quella dipendente, e viceversa). Si noti che quando si dice che il logaritmo è l'operazione inversa della potenza, si parla di una potenza con base costante e esponente variabile (si fissa la base a, e al variare dell'esponente x, cioè del logaritmo, si ottiene la potenza y). Quando, invece, si afferma che l'estrazione di radice è l'operazione inversa della potenza, si intende una potenza con base variabile ed esponente costante. Infatti, l'esponente a è costante, mentre la base y varia. deriva da x = y a, dove Funzione logaritmo [modifica] In figura tre esempi della funzione logaritmo con diversi valori per la base b. La curva rossa è per la funzione con base b=e costante di Nepero (valore approssimato: 2,718...) Cambiamento di base [modifica] Noto il valore di un logaritmo in una base, è semplice calcolarne il valore in un'altra base (spesso le calcolatrici danno il logaritmo solo in basi 10 ed e). Se b, x, e k sono tutti numeri reali positivi (con b 1 e k 1): dove k è una base qualsiasi. Per verificare la formula del cambiamento di base si considerino le seguenti equazioni: per definizione di logaritmo facendo il logaritmo della precedente uguaglianza semplificando dal lato sinistro (vedi più avanti nel paragrafo Proprietà dei logaritmi) dividendo per log k b entrambi i membri della precedente uguaglianza

5 Dalla formula del cambiamento di base, ponendo k = x, abbiamo una relazione che può essere utile: Proprietà dei logaritmi [modifica] log a a = 1 Il logaritmo in base a di a è 1: log m 1 = 0 Il logaritmo di 1 è, in qualsiasi base, 0: Vale l' identità: Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei due numeri: Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore: Il logaritmo dell'inverso di a è l'opposto del logaritmo di a: Il logaritmo di un numero elevato all'esponente k è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero: Dimostrazioni delle proprietà dei lo ogaritmi [modifica] Dimostriamo che. Siano l e k i logaritmi in base m di a e b: Per definizione di logaritmo abbiamo: Siccome a e b sono diversi da zero, possiamo moltiplicare i membri ottenendo un'equazione ancora valida: Per le proprietà delle potenze: Per la definizione di logaritmo, otteniamo: Infine, ricordando come abbiamo definito l e k, otteniamo la tesi:

6 Per dimostrare che si agisce in maniera analoga: Dimostriamo ora che. Se x è il logaritmo in base m di a k, per definizione si ha: m x = a k E, operando sulla proprietà delle potenze, si ha: Tornando alla definizione di logaritmo, si ottienee la tesi: Basi più comuni [modifica] Anche se in linea di principio i logaritmi possonoo essere calcolati in qualunque base positiva e diversa da 1, quelle più utilizzate sono tre: base 10 (logaritmi decimali o volgari o di Briggs), usati per le operazioni di calcolo; li si indica con log 10, più genericamente con log, più raramente con Log.. base e (logaritmi naturali o neperiani), usati in analisi infinitesimale; li si indica con ln, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara). base 2 (logaritmi binari), usati soprattutto nell'analisi della complessità computazionale, nella teoria dei codici e nella teoria dei segnali; li si indica con log 2, più raramente con log (quando, dal contesto, la base a cui ci si riferisce è chiara). Cenni storici [modifica] I logaritmi vennero proposti nel 1614 da John Napier, noto anche col nome latinizzato di Neperus o in italiano Nepero, come ausilio per semplificare i calcoli. Infatti, come è stato più sopra dimostrato, scelta una base, il logaritmo del prodotto di due numeri è pari alla somma dei loro logaritmi, il logaritmo di un quoziente alla loro differenza e, soprattutto, il logaritmo di una potenza è il prodotto del logaritmo della base della potenza per l'esponente al quale dobbiamo elevarla: pertanto, al prezzo di due conversioni da un numero al suo logaritmo e una conversione inversa (verso il cosiddetto antilogaritmo) è possibile trasformare un prodotto in una somma, un quoziente in una differenza, un elevamento a potenza in un prodotto e, addirittura, un'operazione "complicatissima" come l'estrazione di radice ennesima in una semplice divisione per n. Le conversioni stesse venivano tabulate a priori e scritte in un volume ("Tavola dei logaritmi"). Lo stesso principio era usato nel regolo calcolatore. Henry Briggs trattò i logaritmi decimali in Logarithmorum Chilias Prima nel 1617, dove calcolò i logaritmi da 1 a 1000, ciascuno fino alla quattordicesima cifra decimale.