II. La matematica egizia Inno al Nilo

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1 II. La matematica egizia Inno al Nilo Salute a te o Nilo che sei uscito dalla terra che sei venuto a far vivere l Egitto! Occulto di natura, oscuro di giorno, lodato dai suoi seguaci; È lui che irriga i campi, che è creato da RA per far vivere tutto il bestiame

2 Fonti per la matematica egizia I testi matematici egizi di epoca pre-greca finora conosciuti sono sette e appartengono all'arco di tempo che va dal 000 al 600 a.c. e sono scritti in ieratico, la scrittura corsiva egizia: Papiro Rhind (circa 650 a.c.), Eisenlohr 77, Peet 93, A. Chace 97 Rotolo di Cuoio ( circa 650 a.c.), Glanville 97 Papiro di Mosca ( circa 50 a.c.), Struve 930 Papiro di Berlino ( circa 00 a.c.), Schack-Schackenburg 900 Papiro di Kahun ( circa 50 a.c.), Griffith 9 Papiro Reisner ( circa 0 a.c.), Simpson e due tavolette di legno risalenti al 000 a. C., 90, 906 Lo studio di questi testi ebbe inizio oltre un secolo fa dopo che fu decifrata, ad opera di J.F. Champollion (790-3), la scrittura egizia. Scoperta nel 799 da un ufficiale del Genio francese P. F. Bouchard, presentava inciso un decreto di Tolomeo V scritto in geroglifico, demotico e greco. Già l inglese T. Young ci era cimentato nella decifrazione senza ottenere risultati definitivi. La difficoltà nasceva dal fatto che la scrittura geroglifica non è semplicemente ideografica, né propriamente alfabetica, ma è in parte fonetica. Champollion fin dall età di 4 anni aveva cominciato a interessarsi di geroglifici e aveva studiato in poco tempo oltre al latino e al greco anche l ebraico, il siriaco, il caldeo e il copto. La stele di Rosetta 46 parole greche per 49 geroglifici

3 Caratteri della matematica egizia I problemi sono generalmente pratici, connessi con l'ingegneria edile, con la distribuzione di vettovaglie tra soldati e operai, con l'attività agricola o sono problemi di tipo amministrativo relativi a contratti, elargizioni, corresponsione di paghe, censimenti, tassazione e bilanci. le soluzioni sono ricette di calcolo non c è simbolismo, non ci sono formule non ci sono spiegazioni dei procedimenti, né dimostrazioni non c è suddivisione fra aritmetica, algebra, geometria livello prescientifico manuali scolastici Casa dei rotoli di papiro biblioteche, archivi insegnamento di livello elementare scrivere e contare Case della vita insegnamento superiore specializzazione Lettera dello scriba Hori ad Amenemope Deve essere costruita una rampa di 730 cubiti, larga 55, consistente di 0 corsi di mattoni, alta 60 cubiti alla sommità, 30 alla metà, mentre l'inclinazione è di 5 cubiti. Viene richiesta la quantità di mattoni necessari per essa. Devi vuotare il magazzino che è pieno di sabbia fatto sotto l'obelisco: misura 30 per 0 cubiti in pianta e conta 00 scomparti larghi 44 e alti 50 cubiti. Calcola quanti uomini possono vuotarlo in 6 ore. Ti trovi in Siria con un corpo di spedizione di 5000 uomini. Ti sono portate provvigioni inferiori al fabbisogno regolare di razioni giornaliere di pane, carne e birra. Ripartiscile in proporzione a quanto è dovuto ad ognuno. 3

4 Sistema di numerazione e tecniche di calcolo nell aritmetica egizia Papiro Rhind (00, 650 a.c.) Regole per scrutare la natura e per conoscere tutto ciò che esiste, ogni mistero, ogni segreto Sistema di numerazione decimale additivo, senza lo zero a. C. Il passaggio dalla scrittura geroglifica a quella ieratica (circa 400 a.c.) portò spesso a raggruppare in un unico segno i simboli ripetuti producendo così un aumento del numero dei simboli numerici. 4

5 /n < r > = parte n 3 Cubito reale, circa 550 a.c. < rwy >= le due parti frazione unitaria generica (Rhind 3 e 6) < ty.t > = segno, figura 9 = 4 (Rhind 4) L'insieme numerico su cui operano gli Egizi è l'insieme dei numeri naturali escluso lo zero cui vanno aggiunte tutte le frazioni del tipo /n con n intero positivo e la frazione particolare /3. La moltiplicazione e la divisione Il metodo di calcolo è basato su raddoppiamenti successivi e si fonda sul fatto che ogni numero naturale diverso da 0 si può esprimere in uno ed un solo modo come somma di potenze distinte di con esponente intero 0. (Rhind, 3) = 3 = 4 96 = 44 5

6 aggiungi a cominciare da 0 fino a ottenere 0 Non sempre nella divisione si può ottenere il dividendo come somma di multipli del divisore, per cui si ricorre ai sottomultipli si incomincia a dividere per dal momento in cui la somma dei dividendi parziali supera 9 Tavola : n (Rhind recto) con dispari da n=5 a n=0 - è espresso come somma di al più 4 frazioni unitarie : n - non compaiono termini ripetuti - i denominatori sono in ordine crescente - i numeri che seguono il primo sono reciproci di multipli di n Es. :7 non è espresso come /7/7 ma come /4 / per ottenere una maggiore maneggevolezza del risultato. Infatti dovendo raddoppiare una seconda volta, si otterrebbe /7/7/7/7 nel primo caso e //4 nel secondo. Tavola 3 n (Rhind 6 e 6b) Per calcolare: /3 di una frazione unitaria (ty.t gbt). Se ti viene chiesto quant'è due terzi di /5 tu devi raddoppiarlo e prendere sei volte di esso. cioè: /3 di esso. Guarda che si procede allo stesso modo per qualunque frazione unitaria = 3 n n 6n 6

7 Dividi per 3 : 3 / 4 6 / 3 Totale Aggiungi : 4 7 Papiro Rhind - Problema Totale Per ottenere la misura incognita occorre effettuare la divisione : ( ). 3 La divisione è fatta applicando in successione le moltiplicazioni per., 4,,, 6 3 Per leggere il risultato della divisione, lo scriba deve ottenere come somma di due o più termini della colonna di destra, precisamente il 3 e il 6. Allora contrassegna nella prima colonna i moltiplicatori corrispondenti 4 La loro somma dà il quoziente cercato. e 3 7

8 Aggiungi: 4 Papiro Rhind - Problema 37 7 Il Metodo degli ausiliari rossi Totale Per effettuare la somma lo scriba utilizza il procedimento di calcolo noto come metodo degli ausiliari rossi, denominazione che deriva dal fatto che scriveva certi numeri in rosso per distinguerli dagli altri scritti in nero. In sostanza lo scriba riduce allo stesso denominatore le espressioni più complesse e meno familiari (le ultime cinque frazioni): = = = Quelli che per noi sono i numeratori delle cinque frazioni ridotte a denominatore comune 576 sono scritti in rosso, ciascuno sotto la frazione corrispondente; la loro somma 7 è di 576. sommato alle tre frazioni rimanenti dà l unità. Il metodo illustrato si rivela dunque lo strumento più efficace per ovviare all assenza del concetto generale di frazione. L occhio di Horus Questo è l occhio di Horus Afferralo in modo che tu sia vittorioso (Testi delle Piramidi) <udjat> = intero alle sei parti dell occhio corrispondono frazioni di hekat unità di misura per i cereali //4//6/3 /64 = 63/64

9 Il tema n.79 del Papiro Rhind si presenta come un gioco bizzarro che ricompare in epoche e luoghi diversi. Inventario di una proprietà O 7 case 56O 49 gatti 4 O4 343 topi 4O chicchi di grano totale 96O7 6O7 hekat totale 96O7 Somma dei primi 5 termini della progressione geometrica di ragione 7 S n n a( a ) = S a = 5 7(7 ) 7 = 7 0 = 9607 Filastrocca per bambini Per una strada che mena a Camogli passava un uomo con 7 mogli, ed ogni moglie avea 7 sacche ed ogni sacca 7 gatte ed ogni gatta 7 gattini. Fra gatte e gatti, sacche e mogli, in quanti andavano dite a Camogli? 9

10 I calcoli <aha> h w = mucchio, cumulo, quantità incognita Rhind 4, 5, 6, 7 metodo della falsa posizione x x = b n Rhind 4 Rhind 4 Traduzione del testo.una quantità, cui viene aggiunto un suo settimo, diventa 9 Prova a prendere 7. Aggiungi /7 di esso ad esso, ottenendo. Opera su questo per ottenere 9 [dividi 9 per ] 6 / 4 /4 / /4/ 9 3. Ora moltiplica /4 / per 7 /4 / 4 / /4 4 / 7 5// Allora la risposta è 6 / / 4. Prendi /7 di questa quantità ed aggiungilo ad essa, il risultato è il richiesto 9. Interpretazione. x 7 x = 9 Metodo della falsa posizione Pongo x'= : = x : : = /4 / 7 = x = 7.( ) = Verifica 6 (6 ) = 7 6 = = 9 0

11 La geometria Lo storico greco Erodoto (V sec. a.c.) fa risalire l'origine della geometria agli Egizi. La molla che li spinse a sviluppare certe conoscenze geometriche fu la necessità di misurare i campi dopo le periodiche inondazioni del Nilo per potere effettuare un'equa tassazione, che tenesse conto delle eventuali perdite di terreno. Quando si parla di geometria egizia però non si deve pensare ad una branca specifica della matematica:si tratta semplicemente di aritmetica applicata a risolvere problemi relativi al calcolo di aree e volumi. Noi possiamo ricostruire lo spettro di conoscenze del popolo egizio in questo campo dai - 9 problemi geometrici del Papiro Rhind - 6 del Papiro di Mosca - dall'analisi di fonti indirette (piramidi, arti figurative). Gli Egizi sapevano calcolare correttamente le aree del quadrato, del rettangolo, del triangolo, del trapezio e, con buona approssimazione, anche del cerchio ed inoltre i volumi del cubo, del parallelepipedo, della piramide, del tronco di piramide e del cilindro.

12 La capricciosa varietà degli ornamenti delle tombe egizie rivela una notevole sensibilità di tipo gruppale. A Torino nel Museo Egizio si può visitare la Cappella dello scriba Maia, 400 a. C. Tassellazioni del piano Sono possibili solo 3 tassellazioni regolari (poligoni regolari uguali e che si incontrano nei vertici) del piano: con triangoli equilateri, quadrati ed esagoni regolari Le tassellazioni semiregolari ( o più tipi di poligoni regolari disposti vertice a vertice in modo che gli stessi poligoni nello stesso ordine ciclico circondino ciascun vertice) sono

13 Tutte le tassellazioni del piano appartengono a uno di 7 gruppi di simmetria e questi esauriscono tutti i casi possibili E.S. Fedorov 9 A. Speiser (956) ha dimostrato che negli ornamenti delle tombe egizie si trovano tutti i 7 gruppi di simmetria p pm pmm p p4 3

14 Il problema 4 del papiro di Mosca (50 a. C.) Calcolo del volume di un tronco di piramide V a h = ( a ab b ) 3 = 4, b =, h = 6. Metodo di calcolo di un tronco di piramide.. Se ti viene proposto un tronco di piramide di 6 cubiti di altezza 3. con 4 di lato della faccia inferiore e della faccia superiore 4. Opera tu. Calcola di questo 4 il quadrato: Opera tu. Raddoppia 4 :. 6. Opera tu. Calcola di questo il quadrato: Calcola la somma di questo 6. con questo, con questo 4: ( viene. Opera tu. Calcola /3 0. di 6: viene. opera tu. Calcola per : viene 56. Vedi: esso è 56. tu hai trovato giusto. ) 6 3 4

15 Piramide di Sakkara Alla base del procedimento risolutivo ci fu probabilmente la decomposizione del tronco di piramide in solidi più semplici. Si ipotizza che, nei secoli che intercorrono fra la costruzione delle grandi piramidi (500 a. C.) e l anno cui risale il papiro di Mosca, gli architetti e i tecnici egizi siano giunti dal calcolo del volume di una piramide regolare a quello del volume di un tronco di piramide, per gradi. Obelisco del Tempio solare, Abu Gurob - piramidi a base quadrata, - piramidi a base rettangolare e per il resto generiche, - parallelepipedi a base rettangolare, - semiparallelepipedi o rampe, - particolari tetraedri - e infine tronchi di piramide a basi quadrate. (principio dell equivalenza per equiscomposizione) piramidi a base quadrata tetraedri uguali V = 6 ( 4 4 ) =

16 Calcolo dell area di un cerchio con un diametro d = 9 khet Problema 50 del papiro Rhind.Esempio di un calcolo di un campo circolare di 9 khet.. Qual è la misura della sua area? Sottrai di esso: Resto:. Moltiplica per. 4. Diventa 64. La misura della sua area è questo 64 (setat). 5. Ecco come si fa: 9 /9 di esso Sottrailo da esso, rimane: La sua area è 64 (setat). A = (d-/9d) π = 3,605 Rhind 4 Contiene le due sole moltiplicazioni 9 9, probabilmente il confronto fra l area di un cerchio di diametro 9 khet e quella del quadrato circoscritto Ricostruzione di Gillings,

17 L eredità egizia O. Neugebauer (974) afferma perentoriamente che la matematica egizia non diede alcun contributo positivo allo sviluppo della scienza e, se ebbe qualche influenza, questa fu negativa. Studi più recenti (Knorr 9) portano a ridimensionare questo giudizio. I Greci nei confronti della civiltà egizia Questo re spartì la terra fra tutti gli egizi attribuendo loro uguali lotti quadrati di terra,... imponendo il pagamento di una tassa annuale. E ogni individuo cui il fiume straripando aveva portato via una parte della sua terra, doveva segnalare il fatto al re: Sesostris avrebbe allora inviato degli uomini a misurare la diminuzione di terreno per accordare una riduzione delle tasse proporzionale alla perdita. Di qui, a mio avviso, i Greci impararono l'arte della geometria [Erodoto, V sec.a.c.] Dopo che tutte le arti pratiche furono realizzate, vennero scoperte quelle scienze che non sono dirette al conseguimento di piacere o al soddisfacimento di necessità della vita; e questo accadde in quei luoghi dove gli uomini avevano tanto tempo libero. Questo è il motivo per cui le arti matematiche si svilupparono per la prima volta in Egitto: perché qui la casta sacerdotale poteva concedersi del tempo libero [Aristotele, IV sec a.c.) Secondo la maggior parte degli storici la geometria fu per la prima volta scoperta tra gli Egizi, traendo origine dalla misurazione delle loro terre. Questo era indispensabile perché il Nilo straripando cancellava i confini tra le proprietà [Proclo, V sec. d.c.] Rimangono molte testimonianze di viaggi in Egitto e in Mesopotamia da parte dei matematici e filosofi greci (Talete, Pitagora, Democrito, Platone, Eudosso, ) per imparare le scienze 7

18 Bibliografia essenziale Giacardi L., S. Roero, La matematica delle civiltà arcaiche (Egitto, Mesopotamia, Grecia), Stampatori, Torino, 979, Cap. Boyer C., 90, Storia della matematica, Mondadori, Milano, Cap. Kline M., 99, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi, I, Cap. Giacardi L., La matematica dell'antico Egitto, Atti del Convegno Il pensiero matematico nella ricerca storica italiana Ancona 6- marzo 99, Quaderni di "Innovazione Scuola" 3, Ancona, 993, pp. -49 I testi Chace A. e altri The Rhind Mathematical Papyrus, voll., Oberlin Ohio, 97-9