Principal Component Analysis (PCA)

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Principal Component Analysis (PCA)"

Transcript

1 Principal Component Analysis (PCA) Come evidenziare l informazione contenuta nei dati S. Marsili-Libelli: Calibrazione di Modelli Dinamici pag.

2 Perche PCA? E un semplice metodo non-parametrico per estrarre informazione rilevante da un insieme di dati confuso (ridondante + rumoroso). Riesce a eliminare la ridondanza dell informazione nei dati, rappresentata dall autocorrelazione Geometricamente l obiettivo della PCA è presentare i dati nel riferimento che evidenza maggiormente la loro struttura (Cambio di riferimento) pag.

3 Correlazione e ridondanza di informazione Consideriamo una serie di dati bidimensionali, come in figura x x Calcolando R per questi dati si ha Matrice di covarianza σ ρ C ρ σ Matrice di correlazione R : r i, j C C i,i i, j C j, j. R La correlazione fra x e x è circa del %. Ciò significa che il % dell informazione di x è contenuta anche in x Ridondanza pag. 3

4 Standardizzazione dei dati Generalmente si preferisce svolgere la PCA su dati standardizzati Media nulla Varianza unitaria E σ ( x) ( x) x I dati standardizzati si ottengono come x x σ Ovviamente per i dati standardizzati la matrice di Covarianza coincide con la matrice di correlazione C R ( x) C( z) z ( x) R( z) C( z) pag. 4

5 Esempio di dati correlati Consideriamo il sistema di due variabili dipendenti (a parte il rumore ε) x( k) ε ( k) ε k, ε k x k.4 x k ε k ( ) ( ) ( ) x z 4 ( ) ( ) x x pag. 5

6 Matrici di covarianza e correlazione Dati originali (x) C x.96.4 Dati standardizzati (z).4.5 R x C z R z Autovettori di C x Autovalori di C x Autovettori di R x,r z Autovalori di R x,r z W C λ.7 λ.4 W r λ.8 λ.98 pag. 6

7 Riassumendo: su quali dati lavoriamo. Dataset X Eliminazione del valor medio x i X X i,..., p i i Standardizzazione x i * X i X σ i i Calcolo della matrice di covarianza C x x n p p C R Calcolo della matrice di correlazione R i, j C C i,i i, j C i, j,..., p j, j pag. 7

8 Nota sulla standardizzazione La PCA viene normalmente eseguita sulla matrice di Covarianza I dati sono depurati dalla media (PCA su dati a media nulla) Se le componenti dei dati hanno ordini di grandezza molto diversi si può ricorrere alla standardizzazione PCA su dati a media nulla e varianza unitaria La matrice di Covarianza coincide con quella di Correlazione C R Le PCA eseguite su C o su R sono radicalmente diverse perché i rispettivi autovalori e autovalori sono diversi e non ottenibili mediante trasformazione ortonormale Infatti la standardizzazione non è una trasformazione ortogonale Conclusione: Se le componenti di x sono molto diverse è conveniente la PCA su R, tenendo comunque presente che essa sarà diversa da quella ottenuta su C pag. 8

9 Rappresentazione grafica della covarianza n Dato un insieme di dati X R si calcola la matrice di covarianza C C x n X X Si calcolano gli autovettori e gli autovalori λ Fra di essi valgono le relazioni di similitudine C W L W L W C W x x W [ ] con L λ λ x x x + x x Mediante autovalori ed autovettori si può scrivere l equazione parametrica dell ellisse che racchiude il 95% dei dati..96 λ.96 ϕ pag. 9 x cosϕ λ sinϕ Gli autovettori danno le direzioni degli assi dell ellisse e gli autovettori la loro lunghezza (,π )

10 Direzioni principali in funzione della covarianza ν Massima varianza { x,x} { v,v } riferimento originale riferimento che massimizza la var ianza ( autovalori Minima varianza ) ν.96 σ.96 σ x.96 σ.96 σ Guardando in questa direzione si ha la massima risoluzione su v x Guardando in questa direzione si ha la massima risoluzione su v pag.

11 Probabilità congiunta e outliers L ellisse di covarianza indica la regione di 95% di confidenza della distribuzione congiunta delle due variabili. I campioni esterni sono outliers. Perciò permette di evitare le false accettazioni di campioni che sarebbero entro la fascia di confidenza se si considera ciascuna variabile separatamente. x Si vede che il punto rosso è fuori solo se si considera la regione di confidenza bidimensionale - x pag.

12 PCA migliore visualizzazione Il cambio di riferimento può essere visto come un cambio di punto di vista che massimizza l informazione visibile nei dati x x z z pag.

13 Vantaggi della PCA Le PCA forniscono una spiegazione alternativa della variabilità osservata con il pregio di descrivere il fenomeno oggetto di studio mediante dimensioni fra loro non correlate e ordinate in termini della loro importanza nella spiegazione Questo permette (con maggiore o minore successo nei vari casi) di : interpretare il fenomeno attraverso il nuovo significato assunto dalle componenti principali che non sono state scartate ridurre il numero di variabili da considerare, scartando le ultime componenti principali, che contribuiscono poco alla variabilità osservata pag. 3

14 Covarianza fra i dati x x ε.995x Alta covarianza +.5ε ε, ε x x Bassa covarianza ε.5x +.95ε ε, ε x x x x pag. 4

15 Rappresentazione grafica della correlazione Si può ricavare la matrice di correlazione normalizzando le varianze o calcolando la matrice di covarianza sui dati standardizzati R i, j C C j, j Si ha la matrice simmetrica che nel caso x è del tipo Con autovettori e autovalori W R r i,i i, j C r λ + r λ r x x L equazione dell ellisse di correlazione, centrata nell origine è - - λ λ ( r,) λ ( ),r cosϕ λ sinϕ pag. 5

16 Rappresentazione grafica della correlazione x λ λ (,.6) x λ λ (,.3) R.6 x W.77 λ.4 r λ.6 + r Uguali autovettori R.3 x W.77 λ.7 r λ.3 + r pag. 6

17 Esempi di ellissi di correlazione Correlazione Ridondanza di informazione bassa media alta. R W λ r.75 λ + r.5..5 R W λ r.5 λ + r.5. R W λ r.5 λ + r.75 pag. 7

18 Obiettivi della PCA L obiettivo primario della PCA è determinare la base di riferimento più significativa per rappresentare i dati e filtrare il rumore nella speranza che questa nuova base filtri il rumore e riveli strutture prima invisibili PCA è una trasformazione lineare dei dati che:. Minimizza la ridondanza misurata dalla covarianza. Massimizza l informazione, misurata dalla varianza. Le Principal Components (PC) sono nuove variabili che hanno le seguenti proprietà:. Ogni PC è una combinazione lineare delle variabili originali. Le PC sono fra di loro ortogonali, ovvero sono mutuamente incorrelate, sopprimendo l informazione ridondante pag. 8

19 Idea base della PCA Dataset: insieme di n misure ciascuna composta da p attributi x p attributi x x... xp x x... x p n misure x R xn xn... xnp n p L intuizione di PCA è di trovare una combinazione lineare delle m coordinate dei dati in modo da esprimerli in un nuovo riferimento tale che: Ogni variabile (attributo) sia indipendente da tutti gli altri L insieme degli attributi sia ordinato secondo la loro importanza relativa pag. 9

20 Caratteristiche della PCA PCA è una trasformazione lineare ortonormale dei dati X al fine di ottenere due risultati: Feature Selection: classificare le caratteristiche importanti dei dati X, secondo la loro importanza PCA evidenzia il contenuto informativo mediante una trasformazione lineare delle coordinate di riferimento dei dati (attributi dei dati) Dimension Reduction: quantificare la perdita di informazione derivante dall eventuale riduzione della dimensionalità dei dati X. PCA quantifica la percentuale di informazione nelle varie componente ordinate per importanza, in modo da conoscere la perdita di informazione per ciascuna componente esclusa dalla riduzione pag.

21 Risultato fondamentale della PCA Se l obiettivo primario è l eliminazione della ridondanza Se la ridondanza è espressa dalle correlazioni Allora la PCA consiste nella diagonalizzazione della matrice di covarianza PCA consiste dunque in una trasformazione lineare dalle variabili originali ad altre che esprimono la stessa informazione ma sono fra loro incorrelate (Componenti Principali) La trasformazione cercata è la similitudine W fra la matrice di correlazione e la matrice diagonale degli autovalori, tale che L Z diag X W ( σ, σ σ ),..., p W C W W è : W W pag.

22 PCA come ricerca delle direzioni privilegiate z z Z W X x x z z x x x + x z + x + x x z + x x Direzione di massima varianza di x, escluso x x z i p j x j ji Direzione di massima varianza di x PCA consiste dunque nella ricerca di direzioni privilegiate che massimizzano la variazioni dei dati ed eliminano le correlazioni pag.

23 PCA in sintesi C Dataset X Matrice di covarianza n W... p ( X X ) ( X X )... p λ > λ >... > p p... pp λ p Matrice degli autovettori ordinata secondo autovalori decrescenti La matrice W formata dagli autovettori ordinati per autovalori decrescenti indicano le direzioni di massima varianza. La similitudine fra C e L è data da W. Nota che essendo ortonormale W W - C W L W L W C W La matrice L (diagonale) degli riporta i valori delle varianze nel nuovo riferimento PCA ( L diag σ, σ σ ),..., La trasformazione dei dati X nelle componenti principali Z è Z X W X p Z W pag. 3

24 Ogni pesce può essere definito dalle sue misure di lunghezza ed larghezza Un semplice esempio breadth length Riportando in grafico i dati degli individui del branco di pesci, si ottiene Domanda: Esiste una relazione fra le due misure? Domanda : Esiste un singolo parametro per definire la taglia di ciascun pesce? pag. 4

25 PCA sui dati dei pesci Scegliamo dei nuovi assi centrati nell insieme dei dati Poi ruotiamo gli assi per disporli lungo la direzione principale dei dati Possiamo allora definire una nuova variabile: size length + breadth Ma dato che length e breadth non sono ugualmente importanti (vedi grafico) esse dovranno essere pesate diversamente, perciò size v length + v breadth I pesi v e v sono gli autovettori della matrice di correlazione Risultato: si è ottenuta una riduzione della dimensione dei dati pag. 5

26 Cosa si perde nella riduzione Dato che length e breadth sono chiaramente molto correlate, la matrice di correlazione è molto allungata e dunque gli autovalori sono molto diversi. Supponiamo che essi valgano λ.75 e λ.5 nel riferimento originale l ellisse sarà Dopo la rotazione dovuta al cambio di riferimento sarà data dall orientamento degli autovettori e dalla grandezza degli autovalori Se si ritiene solamente la variabile size si conserva solamente 87.5% della variabilità originale. Infatti λ λ + λ % breadth breadth length size length size pag. 6

27 PCA in Matlab Le funzioni PCA sono contenute nella Statistics oolbox Si può effettuare la PCA partendo dai dati (X) o dalla matrice di covarianza (C) dai dati: [W,score,L] princomp(x) W è la matrice degli autovettori, detta matrice dei Loadings E ordinata per autovalori decrescenti Scores sono le osservazioni Z trasformate delle X nel riferimento PCA L sono gli autovalori, ordinati in ordine decrescente dalla matrice di covarianza: [W,L,expl] pcacov(c) W è la matrice degli autovettori E ordinata per autovalori decrescenti L sono gli autovalori, ordinati in ordine decrescente expl è un vettore che contiene la percentuale di varianza spiegata da ciascuna componente principale (la somma fa ) pag. 7

28 Un esempio: Employee Satisfaction Un sondaggio fra 947 impiegati di una grande azienda ha rilevato i seguenti parametri di soddisfazione Lavoro (SJ) Formazione (SJ) Condizioni di lavoro (SWC) Assicurazione medica (SMC) Assicurazione Dentistica (SDC) Il sondaggio ha prodotto la seguente matrice di correlazione..45 R pag. 8

29 Un esempio: Employee Satisfaction Si ricava la matrice delle PCA ordinata per autovalori decrescenti W Verifica: la somma dei quadrati degli elementi di ciascuna colonna somma a L La prima PC spiega il 47.3% della varianza totale λ 5 i i [ ] λ.473 pag. 9

30 Varianza spiegata e scree plot perc. var. expl. cum.var.expl. Perc. Variance eigenvalues scree plot grafico degli autovalori ordinati in senso decrescente λ i eigenvalues pag. 3

31 Un esempio: Employee Satisfaction La prima PC z si ottiene come z.44 SJ SJ SWC SMC +.4 SDC essendo i pesi tutti positivi e dello stesso ordine, z si può interpretare come un indice di soddisfazione generale La seconda PC z è z.443 SJ +.9 SJ +.38 SWC.53 SMC.586 SDC dato che le prime tre variabili sono associate positivamente a fattori di soddisfazione del lavoro, mentre gli ultimi due sono associati all assistenza medica e sono negativi, z può essere vista come un contrasto fra la soddisfazione del lavoro e l insoddisfazione dell assistenza medica. pag. 3

32 Il Biplot come visualizzazione dei contributi Per visualizzare in che misura ogni variabile originaria contribuisce alle PC, si plottano le componenti dei loadings delle prime colonne della matrice W, corrispondenti alle prime PC, le più importanti PC Si possono anche avere biplot tridimensionali La sintassi del comando Matlab è biplot(coefs,..., 'Scores', scores, 'ObsLabels', obslabs) dove coefs sono le prime o 3 colonne di W, Scores sono i dati trasformati (se presenti) e ObsLabels sono le etichette che identificano ciascuna variabile SDC SMC SJ SJ SWC PC pag. 3

33 Analisi di un episodio di torbidità FUin [NU] FUout [NU] [ C] Q p [l/sec] Floc. [ppm] Q [m 3 /sec] ime (h) Superamento della soglia di pag. 33

34 Biplot come zone di influenza delle PC PC Plant flo emp. FUout FU in Floc dos River flo PC In questo caso si nota che le componenti FUin e Floc dos contribuiscono fortemente a PC e quasi niente a PC. Al contrario Plant flo e emp sono molto rappresentate in PC e PC3 PC PC PC3 PC Biplot indica quanto ciascuna variabile contribuisca a ciascuna PC. Si ottiene plottando i loadings (componenti degli autovettori) nel piano di due PC si ha un idea di Il Biplot più comune è quello PC/PC Plant flo emp. FUout FUin Floc dos River flo PC pag. 34

35 PCA con Covarianza o Correlazione? Le PCA ottenute nei due casi sono molto diverse e non facilmente riconducibili l una all altra perché i loro autovalori e autovettori non sono legati da una semplice relazione Covarianza Riflette le reali proporzioni fra variabili E sensibile alle unità di misura, enfatizzando l importanza delle variabili più grandi Correlazione Indipendenti dalle unità di misura operando su dati standardizzati I risultati di diverse analisi sono comparabili Esempio: Supponendo di effettuare una PCA su misure di lunghezza (x ) e peso (x ), a seconda che x sia espresso in cm (a) o in mm (b), mentre x è sempre espresso in grammi, si ha nei due casi una PCA molto diversa. Nel secondo caso la dominanza di x è totale 8 44 C a C b z z ( a ) ( b ).77 x.998 x +.77 x +.55 x pag. 35

36 Come ridurre l ordine della PCA Ci si basa sulla quantità di varianza spiegata: si trattengono le componenti che forniscono una varianza totale spiegata fra il 7% e il 9% Ovviamente si arrotonda all intero più vicino Alternativamente (o insieme) si taglia all autovalore un po inferiore ad Nel caso di matrice di correlazione si taglia.5 intorno a λ.7 Nel caso di matrice di covarianza si taglia intorno a circa.7 della media degli autovalori Perc. Variance eigenvalues.7 λ j p j eigenvalues λ λ min.7 λ j. 7 p j pag. 36

37 Esempio di dati correlati Dati di qualità dell acqua del fiume Arno Centralina di Rosano 5-7 Settembre 4 DO % DO% ph empo (h) Le tre variabili seguono tutte il ritmo circadiano, pilotato dalla luce solare. La correlazione fra di esse è evidente. L ossigeno disciolto è il più pronto, seguito dalla temperatura a h e dal ph a 3 h di ritardo. L aumento del ph è dovuto al consumo di CO a seguito della fotosintesi ph ( C) pag. 37

38 Correlazioni e autovalori ph Perc. Variance.5 DO% ph 3 DO% 3 eigenvalues 3 eigenvalues La forte correlazione fra le prime due cariabili, fa sì che PC spieghi circa 83% della variabilità totale. Analogamente il primo autovalore è dominante rispetto agli altri due. pag. 38

39 Meglio l analisi di correlazione PC C PC dati λ λ.66 λ ph PC DO% PC L analisi di covarianza tende ad enfatizzare le dipendenze fra le variabili ed a mantenere solo la prima. L analisi di correlazione evidenzia il legame delle tre, pur mantenendo il carattere dominante di DO% PC λ.567 λ.359 λ PC -.5. R PC R ph DO%.5 PC pag. 39

40 Biplot proiettato sulle tre PC (cov) ph.5.5 PC 3 PC 3 DO% PC PC.5 PC ph DO% PC pag. 4

41 PC Biplot proiettato sulle tre PC (corr) DO% PC.8 PC PC PC ph DO% ph PC pag. 4

42 est di consistenza Le componenti principali non avendo un significato immediato devono essere spiegate con statistiche di sintesi: Hotelling s Z L Z X W L W coglie la variazione delle componenti all interno del modello di riferimento (spazio delle PC) Statistica Q Q X misura la variazione non considerata dal modello (spazio ortogonale alle PC) ( I WW ) X X pag. 4

43 La statistica Hotelling E un estensione multivariabile della statistica Student t. Data una matrice di misure X R n p e W la loro matrice di covarianza, la statistica Hotelling è data da X Inoltre, volendola usare come limite di accettabilità (hypothesis testing) si può definire un valore limite di in funzione della statistica F di cui rappresenta una realizzazione lim Dove n è il numero di misure e p le variabili di ciascuna misura, mentre α è il limite di confidenza fissato (generalmente α.5, corrispondente ad una confidenza del 95%) W X ( n ) α p n p F n p,p pag. 43

44 Andamento della statistica F Esempio: Il valore limite di al 95% per un campione di n 8 misure di p 8 variabili ciascuna è 8 α.95 x finv(.95,8,8-8) x 3.77 F 6 4 Ciò significa che si può osservare per puro caso un valore di F superiore a solamente nel 5% dei casi In questo caso il lim sarebbe ( 8 ) n-p 8 lim p pag. 44

45 Applicazione del ai dati di qualità L indice Hotelling s è lo stesso sia per i dati originali che per quelli standardizzati Ovviamente l indice per ogni dato è inferiore a lim perché sono gli stessi dati usati per determinare le PC Dati standard. Dati tal quali lim Misure pag. 45

46 Riduzione della dimensionalità Se alcune PC non sono molto importanti (vedi scree plot) si può ridurre la dimensionalità dell analisi trattenendo solamente le prime a < p PC La matrice di trasformazione è la sotto matrice di W che ritiene i primi a autovettori W... p a... p La trasformazione PCA ridotta diviene a a pa p a p p pp n a Za X Wa R ovvero i dati X vengono proiettati nelle prime a componenti di Z W a... p... p a a... pa R n a pag. 46

47 Decomposizione parziale La PCA ridotta contiene solo le prime due componenti (vedi scree plot) che comunque spiegano 83% della variabilità totale. Perc. Variance.5 X 3 eigenvalues x x a x x a x eigenvalues a Misure pag. 47

48 Ricostruzione da PCA ridotta La ricostruzione delle variabili originali dalla PCA ridotta contiene ovviamente degli errori Se la mappa inversa completa era nel caso ridotto sarà Z W La matrice E contiene gli errori di ricostruzione X X Z W X Z W + a a a a a E n X Z a W a a + E p a p p n modello ridotto residui Matlab: [residuals,reconstructed]pcares(x,a); pag. 48

49 Ricostruzione da PCA completa Ricostruzione con a 3 X Z W DO% stand ph stand stand pag. 49

50 Ricostruzione da PCA ridotta Ricostruzione con a X Z W + a a E DO% stand ph stand. stand pag. 5

51 Ricostruzione da PCA ridotta Ricostruzione con a X Z W + a a E DO% stand ph stand. stand pag. 5

52 pag. 5 La statistica Q Valuta l importanza delle PC escluse dall analisi Ha significato solo quando si esegue una riduzione (a < p) Il valore limite della statistica Q per il quantile c α -α èdato da ( ) 3 o p a i 3 3 p a i p a i i h o o o lim 3 h h h c h Q i i o ϑ ϑ ϑ λ ϑ λ ϑ λ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ α

Principal Component Analysis

Principal Component Analysis Principal Component Analysis Alessandro Rezzani Abstract L articolo descrive una delle tecniche di riduzione della dimensionalità del data set: il metodo dell analisi delle componenti principali (Principal

Dettagli

Esercizi su Autovalori e Autovettori

Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizi su Autovalori e Autovettori Esercizio n.1 5 A = 5, 5 5 5 Esercizio n.6 A =, Esercizio n.2 4 2 9 A = 2 1 8, 4 2 9 Esercizio n.7 6 3 3 A = 6 3 6, 3 3 6 Esercizio n.3 A = 4 6 6 2 2, 6 6 2 Esercizio

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f). Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI

SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI SISTEMI LINEARI QUADRATI: METODI ITERATIVI CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE SISTEMI LINEARI QUADRATI:METODI ITERATIVI p./54 RICHIAMI di ALGEBRA LINEARE DEFINIZIONI A R n n simmetrica se A = A T ; A C

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Analisi delle Corrispondenze Multiple Prof. Roberto Fantaccione

Analisi delle Corrispondenze Multiple Prof. Roberto Fantaccione Analisi delle Corrispondenze Multiple Prof. Roberto Fantaccione Consideriamo il nostro dataset formato da 468 individui e 1 variabili nominali costituite dalle seguenti modalità : colonna D: Age of client

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli. Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it

Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli. Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it 3 4 5 Terne pitagoriche e teorema di Pitagora, numeri e triangoli Riccardo Ricci: Dipartimento di Matematica U.Dini ricci@math.unif.it Qualche osservazione preliminare sul Teorema di Pitagora e le terne

Dettagli

STUDIO DI SETTORE SM43U

STUDIO DI SETTORE SM43U ALLEGATO 3 NOTA TECNICA E METODOLOGICA STUDIO DI SETTORE SM43U NOTA TECNICA E METODOLOGICA CRITERI PER LA COSTRUZIONE DELLO STUDIO DI SETTORE Di seguito vengono esposti i criteri seguiti per la costruzione

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello.

CURVE DI LIVELLO. Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. CURVE DI LIVELLO Per avere informazioni sull andamento di una funzione f : D IR n IR può essere utile considerare i suoi insiemi di livello. Definizione. Si chiama insieme di livello k della funzione f

Dettagli

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi Idea di base Supponiamo di avere un idea del valore (incognito) di una media di un campione, magari attraverso

Dettagli

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari

Lezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA L ERRORE DI MISURA Errore di misura = risultato valore vero Definizione inesatta o incompleta Errori casuali Errori sistematici L ERRORE DI MISURA Errori casuali on ne si conosce l origine poiche, appunto,

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale

Metodi di misura della magnetizzazione rimanente naturale rimanente naturale L archeologia e il tempo, Metodi di datazione 4-8 Maggio 2009, Peveragno (Cuneo) Parte I Magnetizzazione Rimanente Naturale S Magnetizzazione naturale rimanente in un campione di roccia

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Appunti sull uso di matlab - I

Appunti sull uso di matlab - I Appunti sull uso di matlab - I. Inizializazione di vettori.. Inizializazione di matrici.. Usare gli indici per richiamare gli elementi di un vettore o una matrice.. Richiedere le dimensioni di una matrice

Dettagli

Preprocessamento dei Dati

Preprocessamento dei Dati Preprocessamento dei Dati Raramente i dati sperimentali sono pronti per essere utilizzati immediatamente per le fasi successive del processo di identificazione, a causa di: Offset e disturbi a bassa frequenza

Dettagli

ANALISI DEI DATI CON SPSS

ANALISI DEI DATI CON SPSS STRUMENTI E METODI PER LE SCIENZE SOCIALI Claudio Barbaranelli ANALISI DEI DATI CON SPSS II. LE ANALISI MULTIVARIATE ISBN 978-88-7916-315-9 Copyright 2006 Via Cervignano 4-20137 Milano Catalogo: www.lededizioni.com

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

Rapida Introduzione all uso del Matlab Ottobre 2002

Rapida Introduzione all uso del Matlab Ottobre 2002 Rapida Introduzione all uso del Matlab Ottobre 2002 Tutti i tipi di dato utilizzati dal Matlab sono in forma di array. I vettori sono array monodimensionali, e così possono essere viste le serie temporali,

Dettagli

errore I = numero soggetti (I = 4) K = numero livelli tratt. (K = 3) popolazione varianza dovuta ai soggetti trattamento

errore I = numero soggetti (I = 4) K = numero livelli tratt. (K = 3) popolazione varianza dovuta ai soggetti trattamento Analisi della varianza a una via a misure ripetute (Anova con 1 fattore within) modello strutturale dell'analisi della varianza a misure ripetute con 1 fattore: y = μ ik 0 +π i +α k + ik ε ik interazione

Dettagli

LA CORRELAZIONE LINEARE

LA CORRELAZIONE LINEARE LA CORRELAZIONE LINEARE La correlazione indica la tendenza che hanno due variabili (X e Y) a variare insieme, ovvero, a covariare. Ad esempio, si può supporre che vi sia una relazione tra l insoddisfazione

Dettagli

L impresa che non fa il prezzo

L impresa che non fa il prezzo L offerta nei mercati dei prodotti L impresa che non fa il prezzo L impresa che non fa il prezzo (KR 10 + NS 6) Dipartimento di Economia Politica Università di Milano Bicocca Outline L offerta nei mercati

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1 Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 Capitolo 3. L'analisi della varianza. Il problema dei confronti multipli. La soluzione drastica di Bonferroni ed il test

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

f : A A = f (A) In altre parole f è una funzione che associa a un punto del piano un altro punto del piano e che si può invertire.

f : A A = f (A) In altre parole f è una funzione che associa a un punto del piano un altro punto del piano e che si può invertire. Consideriamo l insieme P dei punti del piano e una f funzione biiettiva da P in P: f : { P P A A = f (A) In altre parole f è una funzione che associa a un punto del piano un altro punto del piano e che

Dettagli

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b : Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:

Dettagli

Che cosa e come valutano le prove di matematica e con quali risultati. nell A.S. 2008 2009

Che cosa e come valutano le prove di matematica e con quali risultati. nell A.S. 2008 2009 Che cosa e come valutano le prove di matematica e con quali risultati nell A.S. 2008 2009 Presentazione a cura di Roberta Michelini Casalpusterlengo, 8 gennaio 2010 http://www.invalsi.it/esamidistato0809/

Dettagli

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

Appunti di Statistica

Appunti di Statistica Appunti di Statistica Riccardo Ricci Università di Firenze, Facoltà di Psicologia Corso di Laurea in Scienze e Tecniche di Psicologia del Lavoro e delle Organizzazioni Anno Accademico 2002-2003 1 maggio

Dettagli

MATRICI E DETERMINANTI

MATRICI E DETERMINANTI MATRICI E DETERMINANTI 1. MATRICI Si ha la seguente Definizione 1: Un insieme di numeri, reali o complessi, ordinati secondo righe e colonne è detto matrice di ordine m x n, ove m è il numero delle righe

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

1 Definizione: lunghezza di una curva.

1 Definizione: lunghezza di una curva. Abstract Qui viene affrontato lo studio delle curve nel piano e nello spazio, con particolare interesse verso due invarianti: la curvatura e la torsione Il primo ci dice quanto la curva si allontana dall

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

GRANDEZZE SINUSOIDALI

GRANDEZZE SINUSOIDALI GRANDEE SINUSOIDALI INDICE -Grandezze variabili. -Grandezze periodiche. 3-Parametri delle grandezze periodiche. 4-Grandezze alternate. 5-Grandezze sinusoidali. 6-Parametri delle grandezze sinusoidali.

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento.

IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. 1 IL MOTO. 1 - Il moto dipende dal riferimento. Quando un corpo è in movimento? Osservando la figura precedente appare chiaro che ELISA è ferma rispetto a DAVIDE, che è insieme a lei sul treno; mentre

Dettagli

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA)

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) 4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) L analisi della varianza è un metodo sviluppato da Fisher, che è fondamentale per l interpretazione statistica di molti dati biologici ed è alla

Dettagli

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t.

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t. Il programma MATLAB In queste pagine si introduce in maniera molto breve il programma di simulazione MAT- LAB (una abbreviazione di MATrix LABoratory). Introduzione MATLAB è un programma interattivo di

Dettagli

ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2

ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2 ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2 Quando si hanno scale nominali o ordinali, non è possibile calcolare il t, poiché non abbiamo medie, ma solo frequenze. In questi casi, per verificare se un evento

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

Capitolo 12 La regressione lineare semplice

Capitolo 12 La regressione lineare semplice Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara

Dettagli

ED. Equazioni cardinali della dinamica

ED. Equazioni cardinali della dinamica ED. Equazioni cardinali della dinamica Dinamica dei sistemi La dinamica dei sistemi di punti materiali si può trattare, rispetto ad un osservatore inerziale, scrivendo l equazione fondamentale della dinamica

Dettagli

QUADERNI DI DIDATTICA

QUADERNI DI DIDATTICA Department of Applied Mathematics, University of Venice QUADERNI DI DIDATTICA Tatiana Bassetto, Marco Corazza, Riccardo Gusso, Martina Nardon Esercizi sulle funzioni di più variabili reali con applicazioni

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

SciPy. Programmazione Orientata agli Oggetti e Scripting in Python

SciPy. Programmazione Orientata agli Oggetti e Scripting in Python SciPy Programmazione Orientata agli Oggetti e Scripting in Python SciPy: Informazioni di Base Libreria di algoritmi e strumenti matematici Fornisce: moduli per l'ottimizzazione, per l'algebra lineare,

Dettagli

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007 A STATISTICA (A-K) a.a. 007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 007 STESS N.O. RD 00 GORU N.O. RD 006 ) La distribuzione del numero degli occupati (valori x 000) in una provincia

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso

2 Formulazione dello shortest path come problema di flusso Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 20: 28 Maggio 2010 Cycle Monotonicity Docente: Vincenzo Auletta Note redatte da: Annibale Panichella Abstract In questa lezione

Dettagli

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 3 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 31 Prodotti scalari Definizione 311 Sia V SV(R) Un prodotto scalare su V è un applicazione, : V V R (v 1,v 2 ) v 1,v 2 tale che: i) v,v = v,v per ogni v,v V ; ii)

Dettagli

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER Cenni Storici (Wikipedia) Jean Baptiste Joseph Fourier ( nato a Auxerre il 21 marzo 1768 e morto a Parigi il 16 maggio 1830 ) è stato un matematico e fisico, ma è conosciuto

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli

Lab. 1 - Introduzione a Matlab

Lab. 1 - Introduzione a Matlab Lab. 1 - Introduzione a Matlab Alcune informazioni su Matlab Matlab è uno strumento per il calcolo scientifico utilizzabile a più livelli, dalla calcolatrice tascabile, alla simulazione ed analisi di sistemi

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

su web che riportano documentazione e software dedicati agli argomenti trattati nel libro, riportandone, alla fine dei rispettivi capitoli, gli

su web che riportano documentazione e software dedicati agli argomenti trattati nel libro, riportandone, alla fine dei rispettivi capitoli, gli Prefazione Non è facile definire che cosa è un problema inverso anche se, ogni giorno, facciamo delle operazioni mentali che sono dei metodi inversi: riconoscere i luoghi che attraversiamo quando andiamo

Dettagli

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,

Dettagli

Autorità per la vigilanza sui contratti pubblici di lavori, servizi e forniture QUADERNO

Autorità per la vigilanza sui contratti pubblici di lavori, servizi e forniture QUADERNO Autorità per la vigilanza sui contratti pubblici di lavori, servizi e forniture QUADERNO IL CRITERIO DI AGGIUDICAZIONE DELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA Dicembre 2011 IL CRITERIO DI AGGIUDICAZIONE

Dettagli

Introduzione allo Scilab Parte 3: funzioni; vettori.

Introduzione allo Scilab Parte 3: funzioni; vettori. Introduzione allo Scilab Parte 3: funzioni; vettori. Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari http://dm.uniba.it/ iavernaro felix@dm.uniba.it 13 Giugno 2007 Felice Iavernaro (Univ.

Dettagli

8. Il radar ad apertura sintetica

8. Il radar ad apertura sintetica 8. Il radar ad apertura sintetica Il radar ad apertura sintetica (SAR Synthetic Aperture Radar) è stato sviluppato a partire dal 1951 in seguito alle osservazioni effettuate da Carl Wiley della Goodyear

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

UNIVERSITA DI PISA FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA ANNO ACCADEMICO 2004-2005 TESI DI LAUREA

UNIVERSITA DI PISA FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA ANNO ACCADEMICO 2004-2005 TESI DI LAUREA UNIVERSITA DI PISA FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA ELETTRONICA ANNO ACCADEMICO 2004-2005 TESI DI LAUREA SVILUPPO DI METODI DECONVOLUTIVI PER L INDIVIDUAZIONE DI SORGENTI INDIPENDENTI

Dettagli

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc.

1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. Classi Numeriche 1 1 Numeri Complessi, Formula di Eulero, Decomposizioni Notevoli,... ecc. In questo breve capitolo richiamiamo le definizioni delle classi numeriche fondamentali, già note al lettore,

Dettagli

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3)

La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) La scelta razionale del consumatore (Frank - Capitolo 3) L'INSIEME OPPORTUNITÁ E IL VINCOLO DI BILANCIO Un paniere di beni rappresenta una combinazione di beni o servizi Il vincolo di bilancio o retta

Dettagli

PROGETTO EM.MA PRESIDIO

PROGETTO EM.MA PRESIDIO PROGETTO EM.MA PRESIDIO di PIACENZA Bentornati Il quadro di riferimento di matematica : INVALSI e TIMSS A CONFRONTO LE PROVE INVALSI Quadro di riferimento per la valutazione Quadro di riferimento per i

Dettagli

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1

UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA. Filippo Romano 1 UTILIZZO DEI METODI MULTICRITERI O MULTIOBIETTIVI NELL OFFERTA ECONOMICAMENTE PIÙ VANTAGGIOSA Filippo Romano 1 1. Introduzione 2. Analisi Multicriteri o Multiobiettivi 2.1 Formule per l attribuzione del

Dettagli

la rilevazione degli apprendimenti INVALSI

la rilevazione degli apprendimenti INVALSI I quadri di riferimento: Matematica Il Quadro di Riferimento (QdR) per le prove di valutazione dell'invalsi di matematica presenta le idee chiave che guidano la progettazione delle prove, per quanto riguarda:

Dettagli