Serie: Definizioni e generalità - Serie convergente, divergente, indeterminata - Serie geometrica - Condizione di Cauchy.

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1 Anna Attias MATEMATICA CORSO BASE - 9 cfu Obiettivi Conoscenze acquisite Questo primo insegnamento di matematica ha come scopo principale fornire logica e strumenti per la comprensione dei corsi successivi, soprattutto a carattere quantitativo, quali ad esempio statistica, economia, finanza e matematica attuariale. Gli studenti che hanno superato l esame potranno iniziare a pensare ai concetti fondamentali della matematica di base come strumenti essenziali per una comprensione logico/quantitativa della realtà, in particolare di quella economica, base fondante del loro corso di laurea. Competenze acquisite Gli studenti saranno in grado di risolvere esercizi di media difficoltà di analisi matematica e di algebra lineare, nell ottica di una competenza quantitativa non astratta ma di tipo applicativo, ovviamente in linea con il loro corso di studi. Programma Prerequisiti: Algebra elementare - Equazioni e disequazioni - Potenze ad esponente reale - Logaritmi - Geometria analitica del piano - Cenni di teoria degli insiemi. Argomenti introduttivi: Sistemi di numerazione e insiemi numerici - Metodo di dimostrazione per induzione - Dimostrazione indiretta o per assurdo - Insiemi di numeri reali - Intorno di un punto. Successioni: Definizioni. Rappresentazione grafica - Limite di una successione (tutti i casi) - Teorema di unicità del limite - Teorema della permanenza del segno diretto - Teorema del confronto - Teoremi sulle successioni monotòne - Criterio di convergenza di Cauchy - Operazioni sui limiti delle successioni. Serie: Definizioni e generalità - Serie convergente, divergente, indeterminata - Serie geometrica - Condizione di Cauchy. Funzioni reali di variabile reale: Limite di una funzione, definizione - Caso del limite e del punto limite finiti. Estensione della definizione ed altri casi di limite - Limite destro e sinistro - Teoremi sui limiti delle funzioni: unicità, permanenza del segno diretto, del confronto - Operazioni sui limiti. Operazioni con i simboli di infinito - 1

2 Funzione continua - Continuità a sinistra e a destra - Continuità in un intervallo - Punti singolari - Teoremi sulle funzioni continue: della permanenza del segno, del massimo e del minimo (di Weierstrass), di esistenza degli zeri, del punto fisso - Funzione composta e funzione inversa - Infinitesimi ed infiniti Limiti notevoli. Calcolo differenziale: Definizione di derivata. Relazione con la continuità - Interpretazione geometrica della derivata - Regole di derivazione: teoremi relativi. Derivata di funzioni potenza, esponenziale e logaritmica - Crescenza e decrescenza puntuale e teoremi relativi - Teoremi della media: Rolle, Cauchy, Lagrange - Crescenza e decrescenza in grande e teoremi relativi - Forme indeterminate. Teorema di de L'Hôpital - Differenziale - Derivata della funzione composta e teorema relativo - Derivata seconda e derivata di ordine successivo - Funzione concava e convessa in un punto - Punti di flesso. Teoremi relativi - Convessità e concavità in grande. Teoremi relativi - Formula di Taylor. Resto, forma di Lagrange - Metodo delle derivate successive per lo studio dei punti stazionari e di flesso. Teoremi relativi - Asintoti - Studio di funzione. Calcolo integrale: Somme integrali, definizione di integrale e teoremi relativi - Integrale: significato geometrico. Proprietà - Teorema del valore medio - Integrale definito. Teoremi relativi - Funzione integrale - Teorema fondamentale del calcolo integrale - Calcolo dell'integrale definito mediante la primitiva - Integrali indefiniti - Metodi di integrazione indefinita: per scomposizione, per trasformazione, per sostituzione, per parti - Regola per il calcolo degli integrali definiti - Integrazione per decomposizione, per sostituzione e per parti. Algebra lineare: Vettori - Operazioni con i vettori - Combinazione lineare di vettori - Combinazione lineare convessa di vettori - Spazi e sottospazi vettoriali - Dipendenza ed indipendenza lineare. Teoremi relativi - Rango di un insieme di vettori - Sistema di generatori di uno spazio vettoriale - Teorema di rappresentazione unica - Teorema fondamentale degli spazi lineari - Matrici - Operazioni con matrici e proprietà - Determinante di una matrice - Calcolo dei determinanti. Regola di Sarrus. Primo teorema di Laplace - Minori di una matrice - Caratteristica di una matrice - Proprietà dei determinanti - Teorema di Rouché-Capelli - Teorema di Cramer - Sistemi lineari omogenei e non omogenei - Sistemi lineari parametrici. Funzioni reali di due e più variabili reali (cenni): domini, limiti, continuità, derivate 2

3 parziali e teorema di Schwarz, funzioni omogenee e teorema di Eulero, massimi e minimi liberi, massimi e minimi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Testi: M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, CISU Edizioni, Roma, 2011; A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica, 700 esercizi svolti, CISU Edizioni, Roma, 2012; S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare (dispense disponibili all'indirizzo: Appunti distribuiti durante il corso. 3

4 English MATHEMATICS BASIC COURSE, 9 cfu Goals Acquired knowledge This first mathematics teaching has the main purpose to provide logic and tools to understand the following quantitative courses, such as statistics, economics, finance and actuarial mathematics. Students who have passed the examination will be able to think about the fundamental concepts of basic mathematics as essential tool for a logic/quantitative uptake of reality, especially the economic one, fundamental basis of their degree course. Acquired skills Students who have passed the examination will be able to solve medium difficulty exercises concerning mathematical analysis and linear algebra in a view of a quantitative skills, which should be applicative and not abstract, and this obviously in line with their couse of study. Program Prerequisites: basic algebra - equations and inequations - exponentiation with real exponent logarithms - analytic geometry - set theory. Outline: numeration systems and numerical sets - induction-proof method - indirect proof (argument's sake) - sets of real numbers - neighborhood of a point. Sequences: Definitions - Graphic representation Limit of a sequence (all cases) - uniqueness of the limit - sign-persistence direct Theorem - comparison theorem - theorems on monotone sequences - Cauchy's convergence criterion - operations on limits of sequences. Series: General definitions - Convergent, divergent, indeterminate series - Geometric series and harmonic series - Cauchy's condition. Real valued function of a real variable: Limit of a function - Case of finite limit and finite limit-point - Generalization of the definition and other limit cases - Right and left limit - Theorems on limits of functions: uniqueness - Sign-persistence direct Theorem, of comparison - Operations on limits - Operations with infinitives symbols - Continuous functions - Continuity on right and on left - Continuity on an interval - 4

5 Singular points - Theorems on continuous functions: sign-persistence, of the maximum and the minimum (Weierstrass's theorem), of existence of zeros, of fixed point - Compound function and inverse function - Infinitesimals and infinitives - Remarkable limits. Differential calculus: Definition of derivative - Relation with the continuity - Geometric interpretation of derivative - Rules of derivation: related theorems - Derivative of power, exponential and logarithmic functions - Locally increasingly and decreasingly function and related theorems - Theorem of mean: Rolle, Cauchy, Lagrange - Globally increasingly and decreasingly function and related theorems - Indeterminate forms - de l'hôpital's theorem - Differential of a function - Derivative of compound function - Second derivative and higher order of derivatives - Locally concave and convex function - Points of inflection and related theorems - Concave and convex function in an interval and related theorems - Taylor s formula - Lagrange form for the remainder in Taylor s formula - Derivatives method to study stationary and points of inflections and related theorems Asymptotes - Graphical representation of a function. Integral calculus: Integral sums, definition of integral and associated theorems - Integrals as an area - Proprieties of the integral - The mean value theorem for integrals - Definite integral and related theorems - Integral function - Fundamental theorem of integral calculus (Torricelli and Barrow s theorem) - Use of the primitive function for evaluation of the definite integral - Indefinite integral - Indefinite integration methods: by decomposition, by substitution and by parts - Rules for evaluation of definite integrals - Definite integration methods: integration by decomposition, by substitution and by parts. Linear algebra: Vectors - Algebra with vectors - Linear combination of vectors - Convex linear combination of vectors - Linear spaces and subspaces - Linear dependence and independence and related theorems - Rank of a vector set - Generator set of a linear space - Theorem of unique representation - Fundamental theorem of linear spaces Matrices - Algebra with matrices Determinants - Evaluation of determinants - Sarrus s rule - First Laplace s theorem - Minors of a matrix - Rank of a matrix - Properties of determinants - Rouché-Capelli s theorem - Cramer s theorem - Homogeneous and non homogeneus systems of linear equations - Parametric systems of linear equations. 5

6 Real valued function of two and more real variable (signs): domains - limits continuity partial derivative and Schwarz theorem homogeneous functions and Eulero s theorem free maxima and minima - Hint on constrained maximization and minimization with Lagrange multipliers. Texts M. Angrisani, Introduzione alla attività matematica, CISU Edizioni, Roma, 2011; A. Attias - P. Ferroni, Introduzione alla attività matematica: 700 esercizi svolti, CISU Edizioni, Roma, 2012; S. Bianchi, Appunti di Algebra lineare (at the address: Notes distributed to students directly. 6