Testi del Syllabus. Docente BENEDUCI ROBERTO Matricola: Insegnamento: METODI MATEMATICI DELLA FISICA. Anno regolamento: 2011

Transcript

1 Testi del Syllabus Docente BENEDUCI ROBERTO Matricola: Anno offerta: 2012/2013 Insegnamento: METODI MATEMATICI DELLA FISICA Corso di studio: FISICA Anno regolamento: 2011 CFU: 10 Settore: FIS/02 Tipo attività: B - Caratterizzante Partizione studenti: - Anno corso: 2 Periodo: Secondo Semestre Sede: UNIVERSITA' DELLA CALABRIA

2 Testi in italiano Tipo testo Lingua insegnamento Italiano Contenuti 1.Funzioni analitiche e serie di potenze nel campo complesso; 2.Zeri e punti singolari isolati di funzioni di variabile complessa; 3.Funzioni polidrome e loro proprietà; 4.Generalità su spazi vettoriali e loro proprietà; 5.Spazi vettoriali a dimensione infinita; 6.Operatori e funzionali su spazi vettoriali; 7.Teoria spettrale di operatori sullo spazio di Hilbert; 8.Elementi di teoria delle distribuzioni; 9.Trasformate integrali di Fourier e Laplace; Testi di riferimento Obiettivi formativi Prerequisiti 10.Equazioni differenziali. [D] Dispense distribuite al corso; [R] C. Rossetti, Metodi Matematici della Fisica, Levrotto & Bella; [KF] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elementi di Teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Editori Riuniti; [S] G. E. Shilov, Elementary Real and Complex Analysis, Dover; [Q] N. M. Queen, Methods of Applied Mathematics, London-Nelson. Acquisizione di metodi matematici applicabili a problemi di vari ambiti della fisica: discussione dei fondamenti teorici delle varie tecniche e della loro applicazione Corsi di analisi matematica ed algebra Metodi didattici Lezioni ed esercitazioni Altre informazioni Orario di ricevimento: mar e mer Studio docente: Edificio 31C - piano 5 - stanza 11 alessandro.papa@fis.unical.it Recapito telefonico: Modalità di verifica dell'apprendimento La verifica finale consiste in una prova scritta seguita da un esame orale: il voto finale è determinato dalla valutazione complessiva delle due prove Programma esteso 1.Funzioni analitiche e serie di potenze nel campo complesso [R,S]: Elementi di topologia nell'insieme dei numeri complessi. Funzioni analitiche: condizioni di Cauchy-Riemann. Successioni e serie di numeri complessi e di funzioni di variabile complessa. Scambio dei limiti e passaggio al limite sotto il segno di derivata. Serie di potenze nel campo complesso: raggio di convergenza. Funzioni elementari nel piano complesso. Criterio di convergenza uniforme di Cauchy. Formule di Gauss. Integrali nel campo complesso. Rappresentazione integrale di Cauchy. Serie di Taylor e suo raggio di convergenza. 2.Zeri e punti singolari isolati di funzioni di variabile complessa [R]:

3 Tipo testo Teorema di Morera. Serie di Laurent. Zeri e singolarità isolate ed essenziali. Residui e teorema dei residui. Classificazione e proprietà generali delle funzioni monodrome. Lemma di Jordan e sue applicazioni. Singolarità sul cammino di integrazione. 3.Funzioni polidrome e loro proprietà [R]: Continuazione analitica: metodi di Borel e di Weierstrass. Funzioni polidrome. Superfici di Riemann, esempi ed applicazioni al calcolo di integrali. Il principio di riflessione di Schwarz. Relazioni di dispersione. 4.Generalit su spazi vettoriali e loro propriet [D,R,KF,S]: Spazi vettoriali a dimensione finita, proprietà e dimensione. Prodotto scalare e sue proprietà: disuguaglianze di Schwarz e di Minkowski. Procedura di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Norma definita da un prodotto scalare. Serie di vettori: serie convergenti, fondamentali e limitate. Spazi vettoriali normati completi. 5.Spazi vettoriali a dimensione infinita [D,R,KF]: Sistemi ortonormali completi in spazi euclidei a dimensione infinita. Coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel ed uguaglianza di Parseval. Lo spazio di Hilbert l_2: dimostrazione della completezza. Spazi di Banach: C[a,b] come spazio di Banach. Cenni alla misura di Lebesgue. Integrale di Lebesgue e spazio L_2[a,b]. Sistemi ortonormali completi in L_2[a,b]. Serie di Fourier: convergenza uniforme e puntuale. 6.Operatori e funzionali su spazi vettoriali [D,R,KF]: Operatori tra spazi normati. Operatori continui e limitati. Elementi di matrice di un operatore. Funzionali limitati e loro proprietà. Funzionali limitati sullo spazio di Hilbert. Base duale di una base assegnata e componenti di un funzionale nella base duale. Cenni al formalismo dei bra e dei ket. Operatore duale ed operatore coniugato hermitiano. Funzioni e serie di potenze di operatori. Operatori hermitiani ed unitari e loro proprietà. 7.Teoria spettrale di operatori sullo spazio di Hilbert [D,R,KF]: Generalità sulla teoria spettrale di operatori su uno spazio di Hilbert. Risolvente, punti regolari, spettro puntuale e spettro continuo. Spettro di operatori hermitiani e unitari. 8.Elementi di teoria delle distribuzioni [R,D]: Generalità sulle distribuzioni: spazio delle funzioni di prova. Definizione e proprietà della delta di Dirac. Integrale e derivata della delta di Dirac. 9.Trasformate integrali di Fourier e Laplace [R]: La trasformata di Fourier in L_1 e in L_2. Proprietà generali della trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier-Plancherel come operatore unitario su L_2(R). Spettro dell'operatore impulso in L_2(R). Trasformata di Fourier della delta di Dirac. Applicazioni della trasformata di Fourier alla soluzione di equazioni differenziali. Trasformata di Laplace: definizione, proprietà ed esempi. Applicazioni. 10.Equazioni differenziali [R,Q]: Equazioni differnziali lineari: equazioni differenziali del primo e del second'ordine. Costruzione di un integrale particolare di un'equazione differenziale ordinaria del second'ordine. Operatore di Liouville e sue

4 Tipo testo proprietà. Problema di Sturm-Liouville.

5 Testi in inglese Tipo testo Lingua insegnamento Italian Contenuti 1.Complex-variable functions and power series in the complex plane; 2.Zeroes and isolatied singularities of complex variable functions; 3.Multi-valued functions and their properties; 4.Vector spaces and their properties; 5.Infinite-dimsnaional vector spaces; 6.Operators and functionals on vector spaces; 7.Spectral theory of operators on Hilbert space; 8.Elements of distribution theory; 9.Fourier and Laplace integral transforms; Testi di riferimento Obiettivi formativi Prerequisiti 10.Differential Equations. [D] Lecture notes of the course; [R] C. Rossetti, Metodi Matematici della Fisica, Levrotto & Bella; [KF] A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin, Elementi di Teoria delle funzioni e di analisi funzionale, Editori Riuniti; [S] G. E. Shilov, Elementary Real and Complex Analysis, Dover; [Q] N. M. Queen, Methods of Applied Mathematics, London-Nelson. Providing mathematical methods applicable to various branches of physics: discussion of the theoretical grounds of the various techniques and of their applicabilition to problems of physical interest Courses of Mathematical Analysis and Algebra Metodi didattici Lectures and exercises Altre informazioni Modalità di verifica dell'apprendimento Programma esteso Office hours: Tuesday and Wednesday, 2.30 pm 4.30 pm Office: building 31C - 5th floor - room 11 alessandro.papa@fis.unical.it Telephone: The final test consists of a written test, followed by an oral examination: the final grade is determined by both of them 1.Complex-variable functions and power series in the complex plane [R, S]: Elements of topology in the set of complex numbers. Holomorphic functions: Cauchy-Riemann conditions. Sequences and series of complex numbers and of complex variable functions. Cauchy criterion for uniform convergence. Exchange between the limit and the differentiation for complex variable functions. Power series in the complex plane: radius of convergence. Elementary functions in the complex plane. Integral of a holomorphic function.. Integral representations: Cauchy integral representation. Taylor series and its radius of convergence.

6 Tipo testo 2.Zeroes and isolatied singularities of complex variable functions [R]: Morera theorem. Laurent series. Zeroes, isolated and essential singularities. Residues and residue theorem. Classification and general properties of single-valued functions. Jordan lemma and applications. Singularities on the integration path. 3.Multi-valued functions and their properties [R]: Analytic continuation: Borel and Weierstrass methods. Multi-valued functions, Riemann sheets, examples and applications to computing integrals. Schwarz reflection principle. Dispersion relations. 4.Vector spaces and their properties [D,R,KF,S]: Finite-dimensional vector spaces: definition, properties and dimension. Scalar product and its properties: Schwarz and Minkowski inequalities. Gramm-Schmidt orthonormalization procedure. Norm defined by a scalar product. Series of vectors: converging series, Cauchy series, bounded series. Complete normed vector spaces. 5.Infinite-dimsnaional vector spaces [D,R,KF]: Orthonormal vector sets in infinite-dimensional Euclidean spaces. Fourier coefficients. Bessel indequality and Parseval equality. The Hilbert space l_2: proof of completeness. Banach spaces: C[a,b] as a Banach space. Generalities on Lebesgue measure. Definition of Lebesgue integral and of the space L_2[a,b]. Complete orthonormal sets in L_2[a,b]. Fourier series: uniform and punctual convergence. 6.Operators and functionals on vector spaces [D,R,KF]: Operators between normed spaces. Continuous and bounded operators. Matrix elements of an operator. Bounded functionals on the Hilbert space and their properties. Dual basis of a given basis in the Hilbert space. Sketch of the formalism of ''bras'' and ''kets''. Dual operator and Hermitean conjugate operator. Functions and power series of operators. Hermitean and unitary operators and their properties. 7.Spectral theory of operators on Hilbert space [D,R,KF]: Introduction to spectral theory of operators on Hilbert space. Resolvent: regular points, discrete and continuum spectrum. Constraints on the spectrum of a bounded operators. Spectrum of Hermitean and unitary operators. Examples of physical interest. 8.Elements of distribution theory [R,D]: Distributions in general: test functions and weak convergence. Definition and properties of Dirac delta. Integrating and differentiating Dirac delta. 9.Fourier and Laplace integral transforms [R]: Fourier transform in the spaces L_1 and L_2. General properties of Fourier Fourier-Plancherel transform as unitary operator on L_2(R). Spectrum of the momentum operator in L_2(R). Fourier transform of Dirac delta function. Applications to differential equations. Laplace transform: definition, properties and examples. Applications to differential equations. 10.Differential Equations[R,Q]: First- and second-order differential equations: standard and reduced form. Linearly independent solutions. Explicit construction of a solution of a nonhomogenous second-order differential equation. Liouville operator and its properties. Sturm-Liouville problem: definition and examples. Construction of the Green s function for Sturm-Liouville problem