CAPITOLO 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "CAPITOLO 3 PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI"

Transcript

1 CAPITOLO 3 Essendo il terreno un materiale multifase, il suo comportamento meccanico (compressibilità, resistena), in seguito all applicaione di un sistema di sollecitaioni esterne o, più in generale, ad una ariaione delle condiioni esistenti, dipende dall interaione tra le dierse fasi. Lo studio di questa interaione, che rappresenta un problema estremamente complesso, può essere affrontato, in linea teorica, seguendo due tipi di approccio: il primo consiste nell analiare il comportamento della singola particella, in relaione alle particelle circostanti e al fluido interstiiale, e nel determinare la risposta di un elemento di terreno a partire dalla modellaione del comportamento di un insieme di particelle; il secondo è basato su una trattaione di tipo più integrale, che prescinde dalle icende dei singoli grani e analia il comportamento globale del meo. Il primo modo di procedere è talmente complesso da risultare di fatto inutiliabile per le applicaioni ingegneristiche, cosicché nella pratica, con una pesante semplificaione dal punto di ista concettuale, un terreno saturo (salo diersa indicaione ci riferiremo nel seguito a terreni totalmente saturi d acqua) iene assimilato a due mei continui sorapposti, oero che occupano lo stesso olume, l uno solido, l altro fluido. Tale semplificaione implica che le proprietà di un elemento di terreno, infinitesimo o finito, siano le stesse, e che si possano estendere anche ai terreni i concetti di tensione e deformaione propri dei mei continui con le relatie notaioni. Naturalmente è necessario stabilire una legge di interaione tra le fasi, oero tra i due continui solido e fluido che occupano lo stesso olume di terreno. Tale legge è il principio delle tensioni efficaci, enunciato da Karl Teraghi nel Principio delle tensioni efficaci Le esatte parole con cui Teraghi enuncia il principio delle tensioni efficaci alla 1 a Conferena Internaionale di Meccanica delle Terre (Londra, 1936) sono le seguenti: The stress in any point of a section Le tensioni in ogni punto di una seione through a mass of soil can be computed attraerso una massa di terreno possono essere calcolate dalle tensioni principali totali from the total principal stresses 1, and 3 which act at this point. If the oids of the 1, e 3 che agiscono in quel punto. Se i soil are filled with water under a stress u pori del terreno sono pieni d acqua ad una the total principal stresses consist of two pressione u, le tensioni principali totali possono scomporsi in due parti. Una parte, u, parts. One part u acts in the water and in the solid in eery direction with equal intensity. It is called the neutral stress (or the le direioni con eguale intensità, ed è chia- agisce nell acqua e nella fase solida in tutte pore pressure). mata pressione neutra (o pressione di pori). The balance 1 = 1 u, = u, and Le differene 1 = 1 u, = u, e 3 = 3 u represents an excess oer the 3 = 3 u rappresentano un incremento neutral stress u and it has its seat exclusiely in the solid phase of the soil. This esclusiamente nella fase solida del terreno. rispetto alla pressione neutra ed hanno sede fraction of the total principal stress will be Questa fraione della tensione totale principale sarà chiamata tensione principale effi- called the effectie principal stress. cace. 9 Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006)

2 All measurable effects of a change of stress, such compression, distortion and a change of shearing resistance, are exclusiely due to changes in the effectie stresses. Ogni effetto misurabile di una ariaione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la ariaione di resistena al taglio è attribuibile esclusiamente a ariaioni delle tensioni efficaci. Si osseri che: Teraghi non attribuisce alcun significato fisico alle tensioni principali efficaci, ma le definisce semplicemente come differena tra tensioni principali totali e pressione interstiiale; le tensioni principali efficaci non sono dunque direttamente misurabili, ma possono essere desunte solo attraerso la contemporanea conoscena delle tensioni principali totali e della pressione interstiiale; il principio delle tensioni efficaci è una relaione di carattere empirico (come si desume dal fatto che Teraghi precisa che Ogni effetto misurabile...), sebbene sia stato finora sempre confermato dall eidena sperimentale. In definitia per studiare il comportamento meccanico di un terreno saturo ci si riferisce a due mei continui sorapposti e mutuamente interagenti, e si definiscono in ogni punto il tensore delle tensioni totali, il tensore delle pressioni interstiiali (isotropo) e, per differena, il tensore delle tensioni efficaci. Importanti implicaioni del principio delle tensioni efficaci sono: una ariaione di tensione efficace comporta una ariaione di resistena, se non i è ariaione di tensione efficace non aria la resistena, una ariaione di olume è sempre accompagnata da una ariaione di tensione efficace, una ariaione di tensione efficace non comporta necessariamente una ariaione di olume, condiione necessaria e sufficiente affinché si erifichi una ariaione di stato tensionale efficace è che la struttura del terreno si deformi, la deformaione può essere olumetrica, di taglio o entrambe. Un interpretaione fisica approssimata del concetto di tensione efficace può essere data A t nel modo seguente: si consideri una superficie immaginaria (di area trasersale pari ad A t ) che diida in due parti un elemento di terreno saturo sena seionare le particelle di F 1 F 7 terreno (Figura 3.1). Se indichiamo con: F F3 F F 5 4 F 6 A c l area dei contatti intergranulari, u la pressione dell acqua nei pori, la fora totale erticale, F t,, agente sulla superficie, è data dalla somma delle componenti erticali delle fore trasmesse dai grani in corrispondena delle aree di contatto e dalla efficaci risultante della pressione dell acqua nei pori, agente in corrispondena delle one di contatto acqua- superficie, oero: Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006) 30 Figura 3.1 Schema adottato per l interpretaione del principio delle tensioni

3 F t, = Σ F i, + u (A t A c ) (Eq. 3.1) Diidendo tutto per A t e indicando con = (F t, /A t ), la tensione erticale totale media sulla superficie considerata, per l equilibrio in direione erticale si ha: = Σ F i, /A t + u (1 A c /A t ). (Eq. 3.) Posto Σ F i, /A t =, tensione efficace, e tenuto conto che l area dei contatti intergranulari è trascurabile rispetto all area totale (A c << A t ), si ottiene infine: = + u (Eq. 3.3) oero l equaione del principio degli sfori efficaci. A commento di quanto sopra detto, è opportuno eideniare che: la tensione efficace,, rappresenta la somma delle fore intergranulari riferita all area totale della seione considerata (quindi una tensione media sulla seione) e non la pressione esistente in corrispondena delle aree di contatto, che risulta molto maggiore di (essendo l area di contatto molto piccola); nel caso dei minerali argillosi, il termine include anche le aioni elettromagnetiche (di attraione e repulsione) tra le particelle, che non risultano trascurabili rispetto alle pressioni intergranulari; ani, per argille ad alta plasticità, doe potrebbero anche non esistere contatti intergranulari, rappresenta la risultante delle fore di attraione e di repulsione tra le particelle; l ipotesi di trascurare il rapporto A C /A T non è sempre alida per tutti i mei granulari 1 ; Per capire meglio il principio delle tensioni efficaci, consideriamo un recipiente contenente della sabbia immersa in acqua (Figura 3.a), in modo che il liello dell acqua sia coincidente con quello della sabbia (tutti i pori tra i grani sono pieni d acqua, il terreno è saturo). Se immaginiamo di aggiungere sopra la sabbia uno strato di pallini di piombo (Figura 3.b), si arà un incremento di pressioni totali,, e un conseguente abbassamento, h, del liello superiore della sabbia. In questo caso, i pallini trasmettono le sollecitaioni direttamente allo scheletro solido, la pressione dell acqua all interno dei pori (pressione interstiiale) non cambia, l incremento di tensione efficace è pari a quello di tensione totale ( = ); la ariaione delle tensioni efficaci produce degli effetti sul comportamento meccanico del terreno e induce dei cedimenti. Se inece immaginiamo di innalare il liello dell acqua (Figura 3.c), nel recipiente contenente sabbia e acqua, si arà un incremento di pressione totale douto unicamente ad un incremento del carico idrostatico, che produce in ciascun punto un analogo incremento 1 A titolo di esempio, consideriamo due diersi mei granulari: una sabbia omogenea, per la quale si può ragioneolmente assumere un alore molto piccolo di A C /A T (.01) e un insieme di pallini di piombo, per i quali il alore del rapporto A C /A T è maggiore e ale approssimatiamente 0.3 (in quanto a parità di dimensioni, forma e tensione totale agente su di essi, la deformabilità risulta più grande per i pallini di piombo con un conseguente aumento dell area di contatto tra le particelle). Assumiamo inoltre, per entrambi i mei granulari: = 100kPa e u = 50kPa, e quindi per il principio delle tensioni efficaci = u = 50kPa. Per la sabbia si ha: Σ F i, /A t = - u (1 A c /A t ) = (1 0.01) = 50.5 kpa e la pressione erticale media di contatto interparticellare è molto eleata e ale: Σ F i, /A C = (Σ F i, /A T ) (A T / A C ) = 50.5/0.01 = 5050 kpa. Per i pallini di piombo inece si ha: Σ F i, /A t = - u (1 A c /A t ) = (1 0.3) = 65 kpa e la pressione erticale media di contatto interparticellare è molto meno eleata e ale: Σ F i, /A C = (Σ F i, /A T ) (A T / A C ) = 65/0.3 = 16.7 kpa. 31 Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006)

4 della pressione interstiiale. In questo caso = u e ; non aendo ariaioni delle tensioni efficaci non si hanno né effetti sul comportamento meccanico del terreno né cedimenti. Pallini di piombo h (a) Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006) Figura 3. Effetti della ariaione delle tensioni totali sulle tensioni efficaci: (a) condiione iniiale; (b-c) Eguale incremento di tensione totale,, testimoniato dalla medesima ariaione di peso registrata dalla bilancia; =, u produce l effetto misurabile del cedimento h; (c) = u, non si ha alcun effetto misurabile 3. Tensioni geostatiche In molti problemi di ingegneria geotecnica può essere necessario stimare l effetto che una perturbaione, come ad esempio l applicaione di un carico in superficie, lo scao di una trincea o l abbassamento del liello di falda, produce sul terreno in termini di resistena e di deformaione. A tal fine è necessario prima stimare le ariaioni dello stato di sollecitaione indotto dalla perturbaione nel terreno, e poi applicare la legge costitutia, oero le relaioni che permettono di stimare, date le ariaioni di tensione, le conseguenti deformaioni, immediate e/o ritardate, del terreno. Poiché quasi mai il terreno può essere assimilato ad un meo elastico lineare, le deformaioni indotte dalla ariaione di stato tensionale dipendono anche dallo stato tensionale iniiale del terreno, oero precedente alla perturbaione, e dalla storia tensionale e deformatia che il terreno ha subito fino a quel momento. Perciò è molto importante stimare lo stato tensionale douto al peso proprio del terreno (tensioni geostatiche), che di norma corrisponde allo stato tensionale iniiale. La conoscena dello stato tensionale iniiale in sito è dunque un punto di partena fondamentale per la soluione di qualunque problema di natura geotecnica. In assena di carichi esterni applicati, le tensioni iniiali in sito sono rappresentate dalle tensioni geostatiche (o litostatiche), oero dalle tensioni presenti nel terreno allo stato naturale, indotte dal peso proprio. Tali tensioni sono legate a molti fattori ed in particolare: alla geometria del deposito, alle condiioni della falda, 3 (c)

5 alla natura del terreno (caratteristiche granulometriche e mineralogiche, stato di addensamento o di consistena, omogeneità, isotropia), alla storia tensionale (con il termine storia tensionale si intende comunemente la sequena di tensioni, in termini di entità e durata, che hanno interessato il deposito dall iniio della sua formaione alle condiioni attuali), e la loro determinaione è, in generale, piuttosto complessa. Se consideriamo all interno di un deposito di terreno un generico y τ x O x punto P, con riferimento ad un e- τ y lemento cubico τ y infinitesimo di terreno, i cui lati τx y sono orientati secondo un sistema τ yx τxy di riferimento cartesiano ortonormale (0,x,y,) x con asse erticale, lo stato tensionale può essere Figura 3.3 Stato tensionale di un elemento infinitesimo di terreno definito una olta note le componenti normali,, e tangeniali, τ, delle tensioni agenti sulle facce dell elemento di terreno considerato (Figura 3.3). Tali tensioni sono legate tra loro ed alle componenti dp x, dp y e dp delle fore di olume, presenti nell elemento, attraerso le equaioni indefinite di e- quilibrio alla traslaione e alla rotaione: τ x yx τ x dx dy d + dx dy d + dx dy d + dpx x y τ xy = τ yx y τ xy τ y dx dy d + dx dy d + dx dy d + dpy τ x = τ x (Eq. 3.4) y x τ τ τ y = τ y x y dx dy d + dx dy d + dx dy d + dp x y Nel caso di: piano di campagna oriontale ed infinitamente esteso uniformità oriontale delle proprietà del terreno (quindi terreno omogeneo od e- entualmente stratificato, con disposiione oriontale degli strati) falda oriontale e in condiioni di equilibrio idrostatico si realia per ragioni di simmetria uno stato tensionale assial-simmetrico rispetto all asse, in cui in ogni punto il piano oriontale e tutti i piani erticali sono principali e le tensioni oriontali sono tra loro uguali, in tutte le direioni. Lo stato tensionale totale in un generico punto P può essere dunque uniocamente definito mediante una tensione totale erticale, =, e una tensione totale oriontale, h = x = y (Figura 3.4). Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006) 33

6 Le equaioni indefinite dell equilibrio, (3.4), considerando che le fore di olume sono rappresentate dalla sola fora peso dp = - dp = - γ dx dy d, risultano così semplificate: h h = x y (Eq. 3.5) = γ x w h h Figura 3.4 Stato tensionale assial-simmetrico e tensioni geostatiche nel terreno h dp + d 3..1 Tensioni erticali Integrando l equaione ottenuta dall equilibrio in direione erticale, è possibile ricaare il alore della pressione erticale totale alla profondità : = 0 γ () d (Eq. 3.6) Vale la pena eideniare che le tensioni litostatiche engono spesso indicate con il simbolo 0 a pedice, per sottolineare che si tratta di condiioni iniiali (di partena per il problema geotecnico di interesse). Se il deposito è omogeneo (γ costante con la profondità) e per (assena di carichi erticali sul piano di campagna) e la superficie pieometrica coincide col piano di campagna ( w ) si ha, dall equaione : o = γ (Eq. 3.7) doe γ rappresenta il peso di olume saturo del terreno sorastante. Nel caso di deposito costituito da più strati oriontali caratteriati da alori di γ diersi (costanti all interno di ciascuno strato), il alore della pressione erticale totale alla profondità è dato inece da: o = Σ i γ i i essendo i lo spessore dello strato i-esimo compreso entro la profondità. (Eq. 3.8) Nel caso in cui la superficie pieometrica sia al di sopra del piano di campagna ad una distana H, allora la tensione erticale totale è data da: o = γ + γ w H mentre nel caso in cui sia al di sotto del piano di campagna ad una profondità w, allora la tensione erticale totale è: o = γ sat ( - w ) + γ w, doe γ rappresenta il peso di olume del terreno al di sopra della falda (in genere parialmente saturo a causa di fenomeni di risalita capillare) e γ d < γ < γ sat. 34 Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006)

7 È da osserare che anche all interno di uno stesso strato γ può ariare con la profondità (anche per effetto del solo peso proprio l indice dei uoti di un terreno diminuisce al crescere della profondità e conseguentemente aumenta il suo peso di olume); in tal caso si è soliti suddiidere il deposito in sottostrati per i quali iene assunto γ costante. La pressione erticale efficace,, non è inece determinabile direttamente; una olta determinato il alore della pressione erticale totale,, è necessario perciò alutare anche il alore della pressione dell acqua nei pori, ossia il alore della pressione interstiiale, u, in modo da poter applicare l equaione del principio delle pressioni efficaci (3.3). In condiioni di falda in quiete, la pressione dell acqua, u, può essere ricaata una olta nota la posiione della superficie pieometrica, che è per definiione il luogo dei punti in cui la pressione dell acqua è uguale alla pressione atmosferica, u a (in pratica la pressione dell acqua u può essere rileata utiliando arie tecniche di misura che erranno descritte in uno dei capitoli seguenti). Poiché conenionalmente si assume u a, si ha, all interno di un deposito reale, u>0 sotto la superficie pieometrica e u<0 sopra (specie per terreni coesii per la presena di fenomeni di risalita capillare). Essendo la determinaione dei alori u<0 molto incerta, si è soliti assumere u al di sopra della superficie pieometrica, commettendo consapeolmente un errore che, nella maggior parte dei casi è a faore della sicurea. In ciascun punto al di sotto della superficie pieometrica, e in assena di moto di filtraione, la pressione dell acqua, uguale in tutte le direioni, è pari al alore idrostatico 3, oero: u = γ w (Eq. 3.9) essendo la profondità del punto considerato rispetto alla superficie pieometrica. Pertanto, aendo assunto un sistema di riferimento con l asse erticale discendente e origine sul piano campagna, se la superficie pieometrica si troa a profondità w, il alore della pressione interstiiale a profondità è pari a: u per < w (Eq. 3.10) u = γ w (- w ) per w Ricordando l espressione generale di, si ha quindi: o = o - u = o = Σ i γ i i o = o - u = Σ i γ i i γ w (- w ) per < w per w (Eq. 3.11) 3.. Tensioni oriontali Al contrario di quanto accade per le pressioni erticali, la determinaione delle pressioni oriontali in un deposito risulta incerta, poiché le equaioni che si ricaano dall equilibrio alle traslaioni in direione oriontale, (3.5), forniscono h = costante e quindi non danno nessuna informaione utile. Non essendo pertanto possibile una loro determinaione analitica, è necessario ricorrere ad eidene sperimentali. L osseraione condotta sperimentalmente su depositi di differente origine e composiione, ha eideniato che il alore di h dipende, oltre che: 3 Infatti nella maggior parte dei casi i uoti nei terreni sono fra loro comunicanti e quindi sotto falda sono saturi d acqua. In alcuni casi ciò non è ero: ad esempio in alcuni terreni di origine ulcanica, come i terreni di Sarno 35 Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006)

8 dalla geometria del deposito, dalle condiioni della falda, dalla natura del terreno (analogamente a quanto accade per ), anche dalla storia tensionale del deposito. Per meglio comprendere l influena della storia tensionale del deposito sul alore della tensione oriontale, si faccia riferimento ad un caso di sedimentaione in ambiente lacustre su un area molto estesa in direione oriontale. La tensione erticale totale nel punto P (Figura 3.5a), in corrispondena del piano di campagna, è iniialmente uguale alla pressione interstiiale, quindi la tensione efficace erticale risulta nulla. Durante la deposiione, dopo un certo periodo di tempo, il terreno nel punto P si troa ad una certa profondità dal piano di campagna, e una olta raggiunto l equilibrio sotto l aione del peso del terreno sorastante, si ossera che la pressione interstiiale è rimasta immutata, mentre per effetto del peso del terreno sorastante, è aumentata la tensione erticale totale e con essa, per il principio delle tensioni efficaci, anche la tensione efficace erticale, (A). a) b) e A (C) (B) (A) e B C P Figura Sedimentaione in ambiente lacustre (a) e linea di compressione ergine (log) Il terreno in tale punto ha subito una compressione assiale (ε ) sena deformaioni laterali (ε x = ε y ), per ragioni di simmetria, considerando il deposito infinitamente esteso in direione oriontale. Quindi risulta che la deformaione olumetrica, ε, è legata alla ariaione di altea H e dell indice dei uoti e del terreno dalla seguente relaione: H ε = ε1 + ε + ε 3 = ε = H 0 (Eq. 3.1) doe 4 : V ( V0 + Vs ) ( V 1 + Vs ) V0 / Vs V 1 / Vs e0 e1 e ε = = = = = V0 V0 + Vs V0 / Vs + Vs / Vs 1+ e0 1+ e0 (Eq. 3.13) da cui quindi risulta che: H e = H 0 1+ e 0 (Eq. 3.14) Tale fenomeno di deformaione monodimensionale errà ripreso ed approfondito nel Capitolo 7 e può essere descritto riportando su un grafico in scala semilogaritmica la tensione efficace erticale nel punto P considerato e l indice dei uoti corrispondente, raggiunto 4 Si assume che il olume dei solidi V s rimanga costante nell ipotesi di incompressibilità dei grani 36 Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006)

9 al procedere della deposiione del materiale. I alori si dispongono su una retta detta linea di compressione ergine (linea ABC in Figura 3.5b). In queste condiioni di deformaioni oriontali impedite doute alla particolare geometria e simmetria del deposito, l incremento delle tensioni efficaci oriontali è sempre proporionale al corrispondente incremento delle tensioni efficaci erticali, secondo un coefficiente detto coefficiente di spinta a riposo ( a riposo significa in assena di deformaioni laterali): ho K o = (Eq. 3.15) o In particolare durante la fase di deposiione del materiale, tale coefficiente rimane costante al ariare della tensione efficace erticale raggiunta e dipende solo dalla natura del terreno. In una situaione di questo genere, in cui la tensione efficace erticale geostatica, 0, coincide con la tensione efficace erticale massima sopportata dal deposito in quel punto durante la sua storia, si parla di terreno normalconsolidato (o normalmente consolidato, indicato con il simbolo NC). Supponiamo ora che alla fase di sedimentaione segua una fase di erosione (Figura 3.6a), e conseguentemente il deposito nel punto P, raggiunta la situaione rappresentata dal punto C in Figura 3.5b, subisca uno scarico tensionale con riduione della tensione efficace erticale, fino al alore (D), e conseguente incremento dell indice dei uoti. a) b) e (E) (C) (D) D C E P Figura Fase di erosione e sedimentaione (a) e linea di scarico e ricarico (log) Riportando i alori di tensione efficace erticale raggiunti in funione dell indice dei uoti (Figura 3.6b) si ossera che lo scarico non aiene sulla stessa linea di compressione ergine (corrispondente alla fase di sedimentaione), ma su una retta di pendena noteolmente inferiore (linea di scarico), doe a parità di tensione efficace erticale raggiunta, il terreno presenta, rispetto alla fase di sedimentaione, una struttura più stabile, caratteriata da una maggiore resistena al taglio e da una minore compressibilità (fenomeno di preconsolidaione). In una situaione di questo genere in cui la tensione efficace erticale massima subita dal deposito nel punto considerato, (C), detta pressione di preconsolidaione ed indicata con c, è maggiore della tensione efficace erticale geostatica, il terreno si definisce soraconsolidato (indicato con il simbolo OC) e l entità della soraconsolidaione, legata all ampiea dello scarico e quindi al alore della tensione efficace erticale raggiunta, (D), è rappresentata dal grado di soraconsolidaione, OCR (OerConsolidation Ratio): c OCR = (Eq. 3.16) 0 Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006) 37

10 doe la pressione di preconsolidaione c è usualmente determinata da proe di laboratorio su campioni indisturbati 5. Al procedere dello scarico tensionale anche la tensione efficace oriontale si riduce, ma non in modo proporionale alla riduione della tensione efficace erticale, cosicché il coefficiente di spinta a riposo, che si indica col simbolo K 0 (OC), aumenta al diminuire della tensione efficace erticale raggiunta (e quindi all aumentare di OCR). Infine se il deposito è soggetto a una nuoa fase di deposiione, con conseguente incremento delle tensioni efficaci erticali a partire dal punto indicato con D in Figura 3.6, il terreno si muoe su una linea pressoché parallela a quella di scarico (linea di ricarico) fino al raggiungimento della pressione di preconsolidaione, (C), raggiunta la quale il terreno ritorna a comportarsi come un terreno normalconsolidato e a ripercorrere la linea di compressione iniale. Il coefficiente K o, può essere alutato a partire dai risultati di alcune proe in sito (che edremo nei capitoli seguenti); frequentemente iene stimato per meo di relaioni empiriche a partire da parametri di più semplice determinaione (p. es. dalla densità relatia per i terreni a grana grossa o dall indice di plasticità per terreni a grana fine). K o per i terreni normalconsolidati (solitamente indicato col simbolo K 0 (NC)) aria generalmente tra 0.4 e 0.8; in genere si hanno alori più bassi per terreni granulari, più alti per limi e argille. Per terreni coesii NC, le relaioni empiriche esistenti in letteratura legano generalmente K o a I p, con K o linearmente crescente con I p. Un esempio è riportato in Figura 3.7. Per terreni incoerenti NC esistono in letteratura correlaioni tra K o e D R, nelle quali K o decresce al crescere di D R. Indisturbato Un esempio è riportato in Figura 3.8. Disturbato o ricostituito in laboratorio In generale, per tutti i tipi di terreno, iene spesso utiliata la seguente relaione di Jaky semplificata: K o 1- sin φ (Eq. 3.17) Coefficiente di spinta a riposo, K 0 Indice di plasticità, I p Figura 3.7 Correlaione tra il coefficiente di spintaa riposo, K 0, ottenuto da proe di laboratorio, e l indice di plasticità, I p doe φ è l angolo di resistena al taglio (parametro che errà definito nel capitolo relatio alla resistena). Per terreni soraconsolidati, K o può raggiungere alori anche maggiori di 1, e può essere stimato a partire dal alore di K o del medesimo terreno normalconsolidato, mediante una relaione del tipo: K o (OC) = K o (NC) OCR α (Eq. 3.18) doe α è un coefficiente empirico legato alla natura del terreno. 5 Nel caso in cui la soraconsolidaione sia di origine meccanica (douta cioè a fenomeni di erosione o di innalamento del liello di falda) il grado di soraconsolidaione risulta massimo in prossimità della superficie del deposito e tende all unità all aumentare della profondità. Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006) 38

11 Per terreni coesii iene spesso assunto α 0.5; esistono in letteratura correlaioni che lo legano a I p, del tipo α = a I p -b, in cui α risulta una funione decrescente di I p. Per terreni incoerenti la determinaione sperimentale di OCR, che richiede il prelieo di campioni indisturbati, non è generalmente possibile. Perciò, anche se esistono alcune relaioni empiriche di letteratura tra α e D R (un esempio è riportato in Figura 3.9), il coefficiente di spinta a riposo in depositi OC di terreno incoerente, iene più opportunamente determinato mediante proe in sito. Figura 3.9 Variaione dell esponente α con la densità relatia, D r Figura 3.8 Correlaione tra il coefficiente di spinta a riposo per terreni normalconsolidati, K 0 (NC),e la densità relatia, D r In conclusione, in un qualunque punto del deposito, noto il alore della pressione erticale efficace litostatica, o, e noto il coefficiente di spinta a riposo, K o, il alore della pressione oriontale efficace litostatica, ho, può essere ricaato mediante la relaione: ho = K o o (Eq. 3.19) per definiione stessa di K o. Dal alore della pressione oriontale efficace è possibile poi ricaare il alore della pressione oriontale totale, sfruttando di nuoo la formulaione del principio delle pressioni efficaci e sommando il alore di u (già calcolato, essendo, come sottolineato in precedena, la pressione dell acqua un tensore sferico, isotropo) a ho, oero: ho = ho + u (Eq. 3.0) Riassumendo, sotto opportune ipotesi semplificatie iniiali, noti: - il peso di olume sopra e sotto falda, - la posiione della superficie pieometrica, - il coefficiente di spinta a riposo, è possibile definire completamente lo stato tensionale geostatico all interno di un deposito, che normalmente coincide con lo stato tensionale iniiale, la cui conoscena, è, come già osserato, un punto di partena indispensabile per la soluione di qualunque problema geotecnico. Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006) 39

12 3..3 Influena dell oscillaione del liello di falda sulle tensioni efficaci Si consideri un deposito, ipotiato per semplicità omogeneo, caratteriato da un peso di olume umido γ, sopra falda, e da un peso di olume saturo, γ sat, sotto falda. a) Supponiamo iniialmente la falda ad una profondità dal piano di campagna, e determiniamo l andamento delle tensioni totali, efficaci e delle pressioni interstiiali con la profondità (Figura 3.10a). In particolare utiliando la (3.7) si ottiene l andamento delle tensioni erticali totali (nell ipotesi che il terreno non sia completamente saturo al di sopra della falda): 1 = γ per < 1 = γ sat ( ) + γ per mentre dalla (3.10) si ottiene l andamento delle pressioni interstiiali: u1 per < u1 = γ w ( ) per Infine, per differena, (3.3), si ottiene l andamento delle tensioni efficaci: 1 = γ per < 1 = γ sat ( ) + γ γ w( ) = ( γ sat γ w )( ) + γ = γ ( ) + γ per p.c u (a) w (a ) (a) (a) Figura 3.10 Effetto dell abbassamento della falda, al di sotto del piano di campagna, sulle tensioni efficaci Supponendo che la falda si abbassi ad un liello w >, l andamento delle tensioni totali, delle pressioni interstiiali e delle tensioni efficaci risulta così modificato (Figura 3.10 b): = γ per < w = γ sat ( w ) + γ w per w u per < w u = γ w ( w ) per w = γ per < w = γ ( w ) + γ w per w Supponendo che il peso di olume del terreno sopra falda sia lo stesso per le due condiioni esaminate, la ariaione corrispondente delle pressioni totali efficaci e interstiiali è data da: Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006) 40

13 = 1 per < = 1 = ( γ sat γ ) ( ) per < < w = 1 = ( γ sat γ ) ( w ) per w u = u u1 per < u = u u1 = γ w ( ) per < < w u = u u1 = γ w ( w ) per w = 1 per < = 1 = ( γ γ ) ( ) per < < w = 1 = ( γ γ ) ( w ) per w Dalle relaioni precedenti si ossera che, essendo w > e γ sat > γ > γ, le tensioni totali e le pressioni interstiiali, tranne che nello strato al di sopra del liello di falda iniiale doe rimangono inariate, diminuiscono; la ariaione, di entità differente nei due casi, è costante con la profondità al di sotto del liello finale della falda. Conseguentemente le tensioni efficaci aumentano proocando nel terreno un incremento della resistena al taglio ed una compressione che ne determina un cedimento. b) Supponiamo ora che la ariaione del liello di falda aenga al di sopra del piano di campagna (Figura 3.11), cioè che la falda si abbassi da una quota h 1 rispetto al piano di campagna ad una quota h < h 1, mantenendosi sempre al disopra del piano di campagna. L andamento delle tensioni totali, efficaci e delle pressioni interstiiali all interno del deposito, prima (Figura 3.11a) e dopo l abbassamento (Figura 3.11b), risulta il seguente: 1 = γ sat + γ w h1 u1 = γ w ( + h1) = γ 1 = γ + γ sat w u = γ w ( + h ) = γ (a) h p.c h 1 h u (a) (a) (a)= Figura 3.11 Effetto dell abbassamento della falda, al di sopra del piano di campagna, sulle tensioni efficaci 41 Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006)

14 Quindi la ariaione corrispondente delle pressioni totali efficaci e interstiiali è pari a : = = γ h h ) 1 ( w 1 u = u u1 = (h h1) w = 1 γ Da cui si ossera che la diminuione delle tensioni totali è sempre uguale alla ariaione delle pressioni interstiiali e, a parte il primo tratto compreso tra la quota iniiale e finale della falda doe cresce linearmente con la profondità, è sempre costante. Conseguentemente la ariaione delle tensioni efficaci è sempre nulla, ciò significa che l abbassamento della falda in questo caso prooca una diminuione delle tensioni totali che si scarica interamente sul campo fluido e non modifica il regime delle tensioni efficaci e quindi la resistena al taglio del terreno. Dipartimento di Ingegneria Ciile Seione Geotecnica, Uniersità degli Studi di Firene J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Re. Settembre 006) 4

Progettazione di stampi in conglomerato cementizio per il processo di stampaggio ad iniezione di materiali plastici

Progettazione di stampi in conglomerato cementizio per il processo di stampaggio ad iniezione di materiali plastici Uniersità Politecnica delle Marche Scuola di Dottorato di Ricerca in Sciene dell Ingegneria Curriculum in Ingegneria dei Materiali, delle Acque e dei erreni ----------------------------------------------------------------------------------------

Dettagli

J yy > Jxx. l o H A R A R B

J yy > Jxx. l o H A R A R B oitecnico di Torino I cedimento di una struttura soggetta a carichi statici può avvenire in acuni casi con un meccanismo diverso da queo di superamento dei imiti di resistena de materiae. Tae meccanismo

Dettagli

Numeri complessi. x 2 = 1.

Numeri complessi. x 2 = 1. 1 Numeri complessi Nel corso dello studio della matematica si assiste ad una progressiva estensione del concetto di numero. Dall insieme degli interi naturali N si passa a quello degli interi relativi

Dettagli

23 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIVERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO

23 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIVERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO v 23 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO Un campione di terreno viene considerato come un sistema multifase,

Dettagli

Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI. Prof. Ing. Francesco Zanghì FONDAZIONI - II

Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI. Prof. Ing. Francesco Zanghì FONDAZIONI - II Sussidi didattici per il corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI Prof. Ing. Francesco Zanghì FONDAZIONI - II AGGIORNAMENTO 12/12/2014 Fondazioni dirette e indirette Le strutture di fondazione trasmettono

Dettagli

MODELLO ELASTICO (Legge di Hooke)

MODELLO ELASTICO (Legge di Hooke) MODELLO ELASTICO (Legge di Hooke) σ= Eε E=modulo elastico molla applicazioni determinazione delle tensioni indotte nel terreno calcolo cedimenti MODELLO PLASTICO T N modello plastico perfetto T* non dipende

Dettagli

CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE

CARATTERISTICHE DELLA SOLLECITAZIONE RRISIH D SOIZIO bbiamo visto che la trave uò essere definita come un solido generato da una figura iana S (detta seione retta o seione ortogonale) che si muove nello saio mantenendosi semre ortogonale

Dettagli

TRAVE SU SUOLO ELASTICO

TRAVE SU SUOLO ELASTICO Capitolo 3 TRAVE SU SUOLO ELASTICO (3.1) Combinando la (3.1) con la (3.2) si ottiene: (3.2) L equazione differenziale può essere così riscritta: (3.3) La soluzione dell equazione differenziale di ordine

Dettagli

I.12. Elementi di teoria dell urto

I.12. Elementi di teoria dell urto Corso di fisica generale a cura di Claudio Cereda rel. 5. 7 marzo 04 I.. Elementi di teoria dell urto Cos è un urto? L urto totalmente anelastico L urto elastico Il rallentamento dei neutroni Quesiti di

Dettagli

L elettrodinamica dei corpi in movimento 1 A. Einstein

L elettrodinamica dei corpi in movimento 1 A. Einstein L elettrodinamica dei corpi in moimento A Einstein È noto che l elettrodinamica di Maxwell - come la si interpreta attualmente - nella sua applicazione ai corpi in moimento porta a delle asimmetrie che

Dettagli

INDAGINI IN SITO CAPITOLO 12. 12.1 Programmazione delle indagini

INDAGINI IN SITO CAPITOLO 12. 12.1 Programmazione delle indagini CAPITOLO 12 12.1 Programmazione delle indagini Ogni opera di ingegneria civile interagisce con una parte del sottosuolo, detta volume significativo. Il comportamento dell opera dipende, oltre che dai carichi

Dettagli

Gli orbitali: modello atomico probabilistico

Gli orbitali: modello atomico probabilistico 1 Approfondimento 2.1 Gli orbitali: modello atomico probabilistico Modello atomico planetario (o a gusci): gli elettroni ruotano intorno al nucleo percorrendo orbite prefissate. Il modello atomico planetario

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

BOZZA. a min [mm] A min =P/σ adm [mm 2 ]

BOZZA. a min [mm] A min =P/σ adm [mm 2 ] ezione n. 6 e strutture in acciaio Verifica di elementi strutturali in acciaio Il problema della stabilità dell equilibrio Uno degli aspetti principali da tenere ben presente nella progettazione delle

Dettagli

GEOTECNICA. ing. Nunziante Squeglia 13. OPERE DI SOSTEGNO. Corso di Geotecnica Corso di Laurea in Ingegneria Edile - Architettura

GEOTECNICA. ing. Nunziante Squeglia 13. OPERE DI SOSTEGNO. Corso di Geotecnica Corso di Laurea in Ingegneria Edile - Architettura GEOTECNICA 13. OPERE DI SOSTEGNO DEFINIZIONI Opere di sostegno rigide: muri a gravità, a mensola, a contrafforti.. Opere di sostegno flessibili: palancole metalliche, diaframmi in cls (eventualmente con

Dettagli

e l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come

e l insieme delle soluzioni, dopo le analoghe riduzioni del caso n = 2, si scrive come Numeri complessi 9 Da questi esempi si può osservare che, facendo le successive potene di un numero complesso, i punti corrispondenti girano attorno all origine. Se inoltre > allora i punti si allontanano

Dettagli

Lezione 4: Principi di Conservazione Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto

Lezione 4: Principi di Conservazione Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto Lezione 4: Principi di Conservazione Conservazione della quantità di moto e del momento della quantità di moto Claudio Tamagnini Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Università degli Studi di

Dettagli

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi

Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Laboratorio di Progettazione Esecutiva dell Architettura 2 Corso di Estimo a.a. 2007-08 Docente Renato Da Re Collaboratore: Barbara Bolognesi Microeconomia venerdì 29 febbraio 2008 La struttura della lezione

Dettagli

6. Moto in due dimensioni

6. Moto in due dimensioni 6. Moto in due dimensioni 1 Vettori er descriere il moto in un piano, in analogia con quanto abbiamo fatto per il caso del moto in una dimensione, è utile usare una coppia di assi cartesiani, come illustrato

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile

Corso di Informatica Generale (C. L. Economia e Commercio) Ing. Valerio Lacagnina Rappresentazione in virgola mobile Problemi connessi all utilizzo di un numero di bit limitato Abbiamo visto quali sono i vantaggi dell utilizzo della rappresentazione in complemento alla base: corrispondenza biunivoca fra rappresentazione

Dettagli

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento

esame di stato 2014 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento ARTICOLO Archimede 4 4 esame di stato 4 seconda prova scritta per i licei scientifici di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Nella figura

Dettagli

OPERE DI SOSTEGNO determinare le azioni esercitate dal terreno sulla struttura di sostegno;

OPERE DI SOSTEGNO determinare le azioni esercitate dal terreno sulla struttura di sostegno; OPERE DI SOSTEGNO Occorre: determinare le azioni esercitate dal terreno sulla struttura di sostegno; regolare il regime delle acque a tergo del muro; determinare le azioni esercitate in fondazione; verificare

Dettagli

Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto

Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto Capitolo 2 Dinamica dei corpi deformabili. Conservazione della quantità di moto 2.1 Forze Le forze che agiscono su un elemento B n del corpo B sono essenzialmente di due tipi: a) forze di massa che agiscono

Dettagli

CS. Cinematica dei sistemi

CS. Cinematica dei sistemi CS. Cinematica dei sistemi Dopo aver esaminato la cinematica del punto e del corpo rigido, che sono gli schemi più semplificati con cui si possa rappresentare un corpo, ci occupiamo ora dei sistemi vincolati.

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Verifica sismica di dighe a gravità in calcestruzzo

Verifica sismica di dighe a gravità in calcestruzzo Verifica sismica di dighe a gravità in calcestruzzo Keywords: dighe a gravità in calcestruzzo, verifica sismica, metodi semplificati, programmi di calcolo. Autore: L. Furgoni, Relatore: Prof. C. Nuti,

Dettagli

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione

METODO DELLE FORZE 1. METODO DELLE FORZE PER LA SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTATICHE. 1.1 Introduzione METODO DELLE FORZE CORSO DI PROGETTZIONE STRUTTURLE a.a. 010/011 Prof. G. Salerno ppunti elaborati da rch. C. Provenzano 1. METODO DELLE FORZE PER L SOLUZIONE DI STRUTTURE IPERSTTICHE 1.1 Introduzione

Dettagli

(2) t B = 0 (3) E t In presenza di materia, le stesse equazioni possono essere scritte E = B

(2) t B = 0 (3) E t In presenza di materia, le stesse equazioni possono essere scritte E = B Equazioni di Maxwell nei mezzi e indice di rifrazione I campi elettrici e magnetici (nel vuoto) sono descritti dalle equazioni di Maxwell (in unità MKSA) E ϱ ɛ 0 () E B (2) B 0 (3) E B µ 0 j + µ 0 ɛ 0

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

Seconda Legge DINAMICA: F = ma

Seconda Legge DINAMICA: F = ma Seconda Legge DINAMICA: F = ma (Le grandezze vettoriali sono indicate in grassetto e anche in arancione) Fisica con Elementi di Matematica 1 Unità di misura: Massa m si misura in kg, Accelerazione a si

Dettagli

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2012 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento RTICL rchimede 4 esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PRBLEM Siano f e g le funzioni

Dettagli

CAP. 5 Gli altri impianti termoelettrici

CAP. 5 Gli altri impianti termoelettrici CAP. 5 Gli altri impianti termoelettrici. Cogenerazione La cogenerazione è definita come produzione combinata di elettricità e di calore, entrambi intesi come effetti utili, con un processo in cascata.

Dettagli

Norme Tecniche per il Progetto Sismico di Opere di Fondazione e di Sostegno dei Terreni

Norme Tecniche per il Progetto Sismico di Opere di Fondazione e di Sostegno dei Terreni 1/58 ORDINE DEGLI INGEGNERI DELLA PROVINCIA DI BERGAMO Corso di aggiornamento professionale Dott. Ing. Giulio Pandini IX Corso Università degli Studi di Bergamo - Facoltà di Ingegneria Dalmine 21 novembre

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo

Energia e Lavoro. In pratica, si determina la dipendenza dallo spazio invece che dal tempo Energia e Lavoro Finora abbiamo descritto il moto dei corpi (puntiformi) usando le leggi di Newton, tramite le forze; abbiamo scritto l equazione del moto, determinato spostamento e velocità in funzione

Dettagli

Elaborato di Meccanica delle Strutture

Elaborato di Meccanica delle Strutture Università degli Studi di Roma La Sapienza Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Meccanica ed Aeronautica Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Meccanica Elaborato di Meccanica delle Strutture Docente

Dettagli

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI

FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE. a cura di G. SIMONELLI FONDAMENTI TEORICI DEL MOTORE IN CORRENTE CONTINUA AD ECCITAZIONE INDIPENDENTE a cura di G. SIMONELLI Nel motore a corrente continua si distinguono un sistema di eccitazione o sistema induttore che è fisicamente

Dettagli

Esperimentatori: Durata dell esperimento: Data di effettuazione: Materiale a disposizione:

Esperimentatori: Durata dell esperimento: Data di effettuazione: Materiale a disposizione: Misura di resistenza con il metodo voltamperometrico. Esperimentatori: Marco Erculiani (n matricola 454922 v.o.) Noro Ivan (n matricola 458656 v.o.) Durata dell esperimento: 3 ore (dalle ore 9:00 alle

Dettagli

T. Sanò e B. Quadrio. Dipartimento della Protezione Civile Ufficio Rischio Sismico

T. Sanò e B. Quadrio. Dipartimento della Protezione Civile Ufficio Rischio Sismico T. Sanò e B. Quadrio Dipartimento della Protezione Civile Ufficio Rischio Sismico Roma, 3 dicembre 2010 Descrizione del fenomeno Impostazione del problema del calcolo dell amplificazione locale Codici

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

OO.PP. Puglia 2008. Unità Misura. Prezzo DESCRIZIONE

OO.PP. Puglia 2008. Unità Misura. Prezzo DESCRIZIONE IG 01.001 IG 01.002 IG 01.003a Approntamento dell' attrezzatura di perforazione a rotazione compreso il carico e lo scarico e la revisione a fine lavori. Per ogni approntamento dellattrezzatura cad 667,35

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

9. Urti e conservazione della quantità di moto.

9. Urti e conservazione della quantità di moto. 9. Urti e conservazione della quantità di moto. 1 Conservazione dell impulso m1 v1 v2 m2 Prima Consideriamo due punti materiali di massa m 1 e m 2 che si muovono in una dimensione. Supponiamo che i due

Dettagli

APPUNTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI. Giulio Alfano

APPUNTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI. Giulio Alfano PPUNTI DI SCIENZ DEE COSTRUZIONI Giulio lfano nno ccademico 004-005 ii Indice 1 TRVTURE PINE 1 1.1 Geometria, equilibrio e vincoli...................... 1 1.1.1 Piani di simmetria........................

Dettagli

/ * " 6 7 -" 1< " *,Ê ½, /, "6, /, Ê, 9Ê -" 1/ " - ÜÜÜ Ìi «V Ì

/ *  6 7 - 1<  *,Ê ½, /, 6, /, Ê, 9Ê - 1/  - ÜÜÜ Ìi «V Ì LA TRASMISSIONE DEL CALORE GENERALITÀ 16a Allorché si abbiano due corpi a differenti temperature, la temperatura del corpo più caldo diminuisce, mentre la temperatura di quello più freddo aumenta. La progressiva

Dettagli

Valore caratteristico EC7

Valore caratteristico EC7 Procedura da adottare - Azioni (E) Valore caratteristico EC7 Per le combinazioni delle azioni si rimanda a quanto detto ampiamente in precedenza. Resistenze (Rd) del sistema geotecnico Il valore di progetto

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Potenziale Elettrico. r A. Superfici Equipotenziali. independenza dal cammino. 4pe 0 r. Fisica II CdL Chimica

Potenziale Elettrico. r A. Superfici Equipotenziali. independenza dal cammino. 4pe 0 r. Fisica II CdL Chimica Potenziale Elettrico Q V 4pe 0 R Q 4pe 0 r C R R R r r B q B r A A independenza dal cammino Superfici Equipotenziali Due modi per analizzare i problemi Con le forze o i campi (vettori) per determinare

Dettagli

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo

bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

Principali prove meccaniche su materiali polimerici

Principali prove meccaniche su materiali polimerici modulo: Proprietà viscoelastiche e proprietà meccaniche dei polimeri Principali prove meccaniche su materiali polimerici R. Pantani Scheda tecnica di un materiale polimerico Standard per prove meccaniche

Dettagli

Analisi termografica su celle litio-ione sottoposte ad esperienze di "second life" Francesco D'Annibale, Francesco Vellucci. Report RdS/PAR2013/191

Analisi termografica su celle litio-ione sottoposte ad esperienze di second life Francesco D'Annibale, Francesco Vellucci. Report RdS/PAR2013/191 Agenzia nazionale per le nuove tecnologie, l energia e lo sviluppo economico sostenibile MINISTERO DELLO SVILUPPO ECONOMICO Analisi termografica su celle litio-ione sottoposte ad esperienze di "second

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t;

dove Q è la carica che attraversa la sezione S del conduttore nel tempo t; CAPITOLO CIRCUITI IN CORRENTE CONTINUA Definizioni Dato un conduttore filiforme ed una sua sezione normale S si definisce: Corrente elettrica i Q = (1) t dove Q è la carica che attraversa la sezione S

Dettagli

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1.

γ (t), e lim γ (t) cioè esistono la tangente destra e sinistra negli estremi t j e t j+1. Capitolo 6 Integrali curvilinei In questo capitolo definiamo i concetti di integrali di campi scalari o vettoriali lungo curve. Abbiamo bisogno di precisare le curve e gli insiemi che verranno presi in

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

1. Scopo dell esperienza.

1. Scopo dell esperienza. 1. Scopo dell esperienza. Lo scopo di questa esperienza è ricavare la misura di tre resistenze il 4 cui ordine di grandezza varia tra i 10 e 10 Ohm utilizzando il metodo olt- Amperometrico. Tale misura

Dettagli

@polimi.it. pratica. dei cicli. Sommario. In questa convogli.

@polimi.it. pratica. dei cicli. Sommario. In questa convogli. U UNA PROCEDURA SEMPLIFICATA PER IL CALCOLOO DEI CEDIMENTI DII RILEVA ATI FERROVIARI Gabriele Della Vecchia, Federico Pisanò, Andrea Galli, Claudio di Prisco Politecnico di Milano gabriele.dellavecchia@

Dettagli

Funzioni in più variabili

Funzioni in più variabili Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R

Dettagli

Dinamica e Misura delle Vibrazioni

Dinamica e Misura delle Vibrazioni Dinamica e Misura delle Vibrazioni Prof. Giovanni Moschioni Politecnico di Milano, Dipartimento di Meccanica Sezione di Misure e Tecniche Sperimentali giovanni.moschioni@polimi.it VibrazionI 2 Il termine

Dettagli

LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA

LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA LA CORRENTE ELETTRICA CONTINUA (Fenomeno, indipendente dal tempo, che si osserva nei corpi conduttori quando le cariche elettriche fluiscono in essi.) Un conduttore metallico è in equilibrio elettrostatico

Dettagli

PENDII NATURALI E ARTIFICIALI

PENDII NATURALI E ARTIFICIALI PENDII NATURALI E ARTIFICIALI Classificazione del movimento, fattori instabilizzanti, indagini e controlli 04 Prof. Ing. Marco Favaretti Università di Padova Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012

Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Prova scritta di Fisica Generale I Corso di studio in Astronomia 22 giugno 2012 Problema 1 Due carrelli A e B, di massa m A = 104 kg e m B = 128 kg, collegati da una molla di costante elastica k = 3100

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

Marcello Romagnoli Dipartimento di Ingegneria dei Materiali e dell Ambiente Università di Modena e Reggio Emilia, Via Vignolese 905, 41100 Modena

Marcello Romagnoli Dipartimento di Ingegneria dei Materiali e dell Ambiente Università di Modena e Reggio Emilia, Via Vignolese 905, 41100 Modena Marcello Romagnoli Dipartimento di Ingegneria dei Materiali e dell Ambiente Università di Modena e Reggio Emilia, Via Vignolese 905, 41100 Modena (Italy) Email: marcello.romagnoli@unimore.it Tel. 059 2056234

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

NUOVI STRUMENTI OTTICI PER IL CONTROLLO DI LABORATORIO E DI PROCESSO

NUOVI STRUMENTI OTTICI PER IL CONTROLLO DI LABORATORIO E DI PROCESSO NUOVI STRUMENTI OTTICI PER IL CONTROLLO DI LABORATORIO E DI PROCESSO Mariano Paganelli Expert System Solutions S.r.l. L'Expert System Solutions ha recentemente sviluppato nuove tecniche di laboratorio

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

Integrazione numerica

Integrazione numerica Integrazione numerica Lucia Gastaldi Dipartimento di Matematica, http://dm.ing.unibs.it/gastaldi/ Lezione 6-20-26 ottobre 2009 Indice 1 Formule di quadratura semplici e composite Formule di quadratura

Dettagli

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande

Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Teoria quantistica della conduzione nei solidi e modello a bande Obiettivi - Descrivere il comportamento quantistico di un elettrone in un cristallo unidimensionale - Spiegare l origine delle bande di

Dettagli

Curve di risonanza di un circuito

Curve di risonanza di un circuito Zuccarello Francesco Laboratorio di Fisica II Curve di risonanza di un circuito I [ma] 9 8 7 6 5 4 3 0 C = 00 nf 0 5 0 5 w [KHz] RLC - Serie A.A.003-004 Indice Introduzione pag. 3 Presupposti Teorici 5

Dettagli

Equazioni differenziali ordinarie

Equazioni differenziali ordinarie Capitolo 2 Equazioni differenziali ordinarie 2.1 Formulazione del problema In questa sezione formuleremo matematicamente il problema delle equazioni differenziali ordinarie e faremo alcune osservazioni

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Nota metodologica Strategia di campionamento e livello di precisione dei risultati

Nota metodologica Strategia di campionamento e livello di precisione dei risultati Nota etodologica Strategia di capionaento e livello di precisione dei risultati 1. Obiettivi conoscitivi La popolaione di interesse dell indagine in oggetto, ossia l insiee delle unità statistiche intorno

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

Risposta sismica dei terreni e spettro di risposta normativo

Risposta sismica dei terreni e spettro di risposta normativo Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Aerospaziale e Geotecnica Risposta sismica dei terreni e spettro di risposta normativo Prof. Ing. L.Cavaleri L amplificazione locale: gli aspetti matematici u=spostamentoin

Dettagli

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA

ANALISI MEDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA ANALISI EDIANTE LO SPETTRO DI RISPOSTA arco BOZZA * * Ingegnere Strutturale, già Direttore della Federazione regionale degli Ordini degli Ingegneri del Veneto (FOIV), Amministratore di ADEPRON DINAICA

Dettagli

Numeri complessi e polinomi

Numeri complessi e polinomi Numeri complessi e polinomi 1 Numeri complessi L insieme dei numeri reali si identifica con la retta della geometria: in altri termini la retta si può dotare delle operazioni + e e divenire un insieme

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

Note integrative ed Esercizi consigliati

Note integrative ed Esercizi consigliati - a.a. 2006-07 Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Civile (CIS) Note integrative ed consigliati Laura Poggiolini e Gianna Stefani Indice 0 1 Convergenza uniforme 1 2 Convergenza totale 5 1 Numeri

Dettagli

. analisi teorica (studio di esistenza, unicità della soluzione, sensitività rispetto ai dati, regolarità, comportamento qualitativo).

. analisi teorica (studio di esistenza, unicità della soluzione, sensitività rispetto ai dati, regolarità, comportamento qualitativo). 1 Modelli matematici Un modello è un insieme di equazioni e altre relazioni matematiche che rappresentano fenomeni fisici, spiegando ipotesi basate sull osservazione della realtà. In generale un modello

Dettagli

Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica - www.cedima.it - Tel. 0229408552

Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica - www.cedima.it - Tel. 0229408552 Materiale originale prodotto dal Centro Didattico della Matematica - www.cedima.it - Tel. 0940855 La funzione: y = cos x DEFINIZIONE Si dice funzione coseno di un angolo nel cerchio trigonometrico, la

Dettagli

63- Nel Sistema Internazionale SI, l unità di misura del calore latente di fusione è A) J / kg B) kcal / m 2 C) kcal / ( C) D) kcal * ( C) E) kj

63- Nel Sistema Internazionale SI, l unità di misura del calore latente di fusione è A) J / kg B) kcal / m 2 C) kcal / ( C) D) kcal * ( C) E) kj 61- Quand è che volumi uguali di gas perfetti diversi possono contenere lo stesso numero di molecole? A) Quando hanno uguale pressione e temperatura diversa B) Quando hanno uguale temperatura e pressione

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE - Matematica - Griglie di valutazione Materia: Matematica Obiettivi disciplinari Gli obiettivi indicati si riferiscono all intero percorso della classe quarta

Dettagli

Meteo Varese Moti verticali dell aria

Meteo Varese Moti verticali dell aria Movimento verticale dell aria Le masse d aria si spostano prevalentemente lungo direzioni orizzontali a seguito delle variazioni della pressione atmosferica. I movimenti più importanti sono però quelli

Dettagli