Le coniche. Vincenzo Giordano

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1 Le coniche Vincenzo Giordano

2 Prefazione In questo libro, vengono elencati e dimostrati numerosi teoremi sulle coniche per via completamente sintetica, a partire dalla definizione delle stesse come luogo fuoco-direttrice. Certamente non voglio disdegnare il metodo analitico, che comunque resta uno strumento potente e, in certi casi, indispensabile. Tuttavia, è mio obiettivo mostrare la bellezza e l eleganza (nonchè la semplicità) delle dimostrazioni ottenute sfruttando semplici nozioni di geometria euclidea. Testo di riferimento sarà quello di Besant, Conic sections treated geometrically reperebile on-line su DML (Digital Mathematics Library); ho attinto anche a vari altri testi che menzionerò di volta in volta(il materiale esistente sulle coniche è davvero sterminato!!). Per la comprensione del testo, non sono necessari particolari requisiti: come direbbe Besant, una buona conoscenza dei primi sei libri degli Elementi di Euclide (e cioè le nozioni di geometria elementare che si imparano alla scuola superiore) è tutto ciò che basta per addentrarsi nel meraviglioso mondo delle coniche. Naturalmente, non posso fare a meno di citare il grande geometra Apollonio, cioè colui che ha trattato sistematicamente le coniche, utilizzando esclusivamente metodi sintetici (la sua opera sulle coniche si contraddistingue per chiarezza e profondità), intuendo numerose proprietà delle stesse, proprietà che successivamente sono state dimostrate (magari con meno dispendio di energie mentali) adoperando metodi analitici o proiettivi. Vincenzo Giordano 1

3 Capitolo 1 Le sezioni coniche 1.1 Definizioni Definizione Siano assegnati nel piano un punto F e una retta d non passante per F. Si dice sezione conica il luogo geometrico dei punti del piano la cui distanza da F è in rapporto costante con la distanza dalla retta d. Il punto F è detto fuoco, la retta d direttrice, e il valore costante del rapporto di cui sopra, è detto eccentricità e denotato con e. Se e = 1, la conica è chiamata parabola, se e > 1, iperbole, se e < 1, ellisse. Per il fuoco F si conduca la perpendicolare alla retta d; denotato con X il loro punto di intersezione, sul segmento XF si prenda un punto A tale che AF : AX = e. Tale punto, che chiaramente appartiene alla conica, è detto vertice e la retta F X che lo contiene è chiamata asse(principale) della conica. Si prenda un punto E sulla direttrice e si traccino le rette congiungenti E ed F, E ed A. Per il fuoco F si conduca una semiretta che intersechi la retta EA in P in modo che P ˆF N = N ˆF R dove N denota il punto di intersezione della retta per P parallela all asse con la retta EF ed R un punto dell asse esterno al segmento F X, situato a destra del fuoco. Allora, P è un punto della conica. Sia K il punto di intersezione della direttice d con la retta P N. Allora P ˆNF = P ˆF N e pertanto P F = P N. Dalla similitudine dei triangoli ENP ed EF A, e dei triangoli EP K ed EAX segue che P N : AF = EP : EA = P K : AX; e P N : P K = AF : AX P F : P K = AF : AX = e. Vincenzo Giordano 2

4 1.1 Definizioni Le sezioni coniche Quindi, P è un punto della conica. Chiaramente, al variare del punto E sulla direttrice, si ottengono tutti i punti della conica. In particolare, se si prende il punto E simmetrico di E rispetto a X, si ottiene un punto P della conica che risulta evidentemente simmetrico di P rispetto all asse AX. Ne segue che una conica è una curva simmetrica rispetto al suo asse. Figura 1.1: Costruzione di una conica Definizione Si dice corda di una conica, ogni segmento che congiunge due punti distinti della medesima. Nel caso in cui tale segmento o la retta che lo contiene, passa per il fuoco, si parla di corda focale. La corda focale perpendicolare all asse è chiamata il Latus Rectum della conica. Nel seguito, risulteranno particolarmente utili i due seguenti celebri teoremi della bisettrice interna ed esterna di un triangolo. Teorema (della bisettrice dell angolo interno) La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. Viceversa, se un punto interno ad un lato di un triangolo divide questo lato in parti proporzionali agli altri due lati, allora la congiungente questo punto col vertice dell angolo opposto è la bisettrice di questo angolo del triangolo. Teorema (della bisettrice dell angolo esterno) La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto, qualora non sia ad esso parallela, in un punto le cui distanze dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati. Viceversa, se un punto del prolungamento di un lato di un triangolo è tale che le sue distanze Vincenzo Giordano 3

5 1.2 Proprietà corda-direttrice Le sezioni coniche dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati, allora la congiungente questo punto col vertice opposto è la bisettrice del corrispondente angolo esterno del triangolo. Figura 1.2: Teorema della bisettrice In riferimento alla Fig. 1.2, dai due teoremi della bisettrice applicati al triangolo ABC, segue che: AD : DB = AC : CB e Ne segue che AE : BE = AC : CB. AD : DB = AE : BE. (1.1) Quando due punti D ed E dividono un segmento AB, internamente ed esternamente, in modo che valga la (1.1), si dice che D ed E dividono armonicamente il segmento stesso (e anche che il punto D è il coniugato armonico del punto E rispetto ad A e B). Il concetto di divisione armonica giocherá un ruolo fondamentale nello studio delle coniche, soprattutto in relazione alla definizione di polo e di polare. 1.2 Proprietà corda-direttrice Proposizione Se la retta congiungente due punti distinti P e Q di una conica incontra la direttrice nel punto S, allora la retta F S biseca l angolo compreso tra P F e QF. Vincenzo Giordano 4

6 1.2 Proprietà corda-direttrice Le sezioni coniche Dimostrazione. Si traccino per i punti P e Q le perpendicolari alla direttrice d; siano J e K i piedi di tali perpendicolari. Figura 1.3: Proprietà corda-direttrice Allora, dalla similitudine dei triangoli P JS e QKS, segue che P F : QF = P J : QK = P S : QS. Pertanto F S biseca l angolo esterno del triangolo P F Q (teorema della bisettrice dell angolo esterno). Osservazione Vedremo che nel caso in cui l eccentricità è maggiore di 1, la conica (iperbole) consta di due rami. In questo caso, se i punti P e Q appartengono a rami distinti (si veda la Figura 1.4), la retta F S biseca l angolo interno P ˆF Q (la dimostrazione è del tutto analoga e consegue dal teorema della bisettrice dell angolo interno). Corollario Con riferimento alla Fig. 1.3, se F U biseca l angolo P ˆF Q, allora S ˆF U = 90. Corollario Con riferimento alla Fig. 1.3, se S ˆF U = 90, allora F U biseca l angolo P ˆF Q. Proposizione Ogni retta non può avere in comune con una conica più di due punti. Vincenzo Giordano 5

7 1.2 Proprietà corda-direttrice Le sezioni coniche Figura 1.4: Proprietà corda-direttrice Dimostrazione. Sia P un punto della conica ed S un punto della direttrice; si tracci la retta SP e, congiunto S con F, si tracci F U ad angolo retto con F S (S ˇF U = 90 ) e la semiretta F Q tale che U ˆF Q = U ˆF P (si veda la Fig. 1.3). Allora Q è un punto della conica. Infatti, poichè SF biseca l angolo esterno del triangolo P F Q (Prop ) e per la similitudine dei triangoli SQK e SP J, si ha che: o F Q : F P = QS : P S = QK : P J F Q : QK = F P : P J cioè Q è un punto della conica. Si supponga che esista un altro punto R della conica sulla retta SP. Allora, per il Cor , F U biseca l angolo P ˆF R; ma F U biseca anche l angolo P ˆF Q, quindi R e Q sono coincidenti. Definizione Dati una retta ed una conica, la prima si dice secante, tangente o esterna rispetto alla seconda, se con quest ultima ha due punti, uno solo o nessun punto in comune, rispettivamente. Osservazione Con riferimento alla Fig. 1.3, la tangente in P alla conica può essere definita come la posizione limite assunta dalla retta P Q, quando Q tende a sovrapporsi al punto P, muovendosi lungo la curva. Vincenzo Giordano 6

8 1.3 Tangenti ad una conica Le sezioni coniche 1.3 Tangenti ad una conica Proposizione Se la retta tangente alla conica in un suo punto P incontra la direttrice nel punto S, allora l angolo S ˆF P è retto. Dimostrazione. Si faccia sempre riferimento alla Fig Per il Cor , F U è perpendicolare a SF. Se Q coincide con P, F U coincide con F P e pertanto, in tale posizione limite, F P è perpendicolare a SF. Figura 1.5: Proprietà tangente-direttrice Definizione Un punto si dice esterno ad una conica, se da esso possono condursi due tangenti alla medesima. Si dice interno ad una conica, se da esso non si può condurre alcuna tangente. Proposizione Se la tangente ad una conica in un suo punto P incontra la direttrice nel punto S e il prolungamento del Latus Rectum nel punto D, allora: F D : F S = AF : AX = e. Dimostrazione. Detto K il piede della perpendicolare per P alla direttrice d, si congiunga F con K. Per la Prop , S ˆF P è un angolo retto al pari dell angolo S ˆKP. Ne segue che il quadrilatero KSF P (avendo due angoli opposti supplementari) è inscrivibile in una circonferenza, e quindi gli angoli F ŜP e F ˆKP sono congruenti (in quanto angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco). Inoltre, gli angoli S ˆF D e K ˆP F sono congruenti perchè complementari dello stesso angolo P ˆF D. Allora, per il I criterio di similitudine, i due triangoli SF D e F P K sono simili, e quindi: F D : F S = P F : P K = AF : AX = e. Vincenzo Giordano 7

9 1.3 Tangenti ad una conica Le sezioni coniche Figura 1.6: Proprietà tangente-latus Rectum Resta così provata la proposizione. Proposizione Se da un punto T esterno ad una conica si conducono le due tangenti, detti P e Q i due punti di contatto, allora la retta T F biseca l angolo P ˆF Q. Dimostrazione. La tangente T P incontri la direttrice in S e il Latus Rectum ( eventualmente prolungato) in E; la tangente T Q incontri la direttrice in R e il Latus Rectum (eventualmente prolungato) in D. Si congiunga F con T e si prolunghi tale segmento fino ad incontrare la direttrice in K. Poichè KRT F DT e KT S T EF (il simbolo denota la relazione di similitudine), si ha che: KR : F D = KT : F T = KS : F E quindi Per la Prop cioè da cui KR : KS = F D : F E. F D : F R = F E : F S F D : F E = F R : F S KR : KS = F R : F S. Vincenzo Giordano 8

10 1.3 Tangenti ad una conica Le sezioni coniche Figura 1.7: Tangenti condotte da un punto esterno Per il teorema della bisettrice dell angolo interno (applicato al triangolo RF S), F K biseca l angolo R ˆF S, cioè R ˆF K = K ˆF S. Per la Prop P ˆF S e R ˆF Q sono angoli retti; pertanto gli angoli P ˆF R e Q ˆF S, in quanto complementari dello stesso angolo R ˆF S, sono congruenti. Ne segue che P ˆF T = T ˆF Q in quanto angoli somma di angoli congruenti. Corollario Con le stesse notazioni della Prop. precedente, il punto T è equidistante dalle rette P F e F Q. Proposizione Da un punto T esterno ad una conica si conducano le due tangenti; detti P e Q i due punti di contatto, si tracci una retta tangente alla conica parallela alla corda P Q. Detti R il punto di contatto di tale tangente, D ed E i punti d intersezione della medesima tangente con le due rette tangenti T P e T Q, allora Inoltre, la retta T R dimezza la corda P Q. DR = ER. Dimostrazione. Poichè la retta DE è parallela a P Q, per il teorema di Talete si ha che: Vincenzo Giordano 9

11 1.3 Tangenti ad una conica Le sezioni coniche T P : DP = T Q : EQ. (1.2) Dal punto D si conducano le perpendicolari DM e DG alle rette RF e F P ; dal punto E si conducano le perpendicolari EN ed EI alle rette RF e F Q; dal punto T si conducano le perpendicolari T H e T L alle rette F P e F Q. Dalla similitudine dei triangoli rettangoli P DG e P T H, segue che: T P : DP = T H : DG. (1.3) Dalla similitudine dei triangoli rettangoli T QL ed EQI, segue che: Dalle (1.2), (1.3) e (1.4) per transitività segue che: T Q : EQ = T L : EI. (1.4) T H : DG = T L : EI. (1.5) Per il Cor T H = T L. La (1.5) implica, pertanto, che DG = EI. Sempre per lo stesso Corollario, risulta EN = EI e DG = DM. EN = DM. Vincenzo Giordano 10

12 1.3 Tangenti ad una conica Le sezioni coniche Dunque, i due triangoli rettangoli DRM e RNE avendo congruenti un cateto e i due angoli acuti, sono congruenti. Ne segue che DR = ER. Se la retta T R interseca in V la corda P Q, poichèt P V T DR e T QV T ER, si ha: P V : DR = T V : T R QV : ER = T V : T R P V : DR = QV : ER. Poichè è stato appena dimostrato che DR = ER, l ultima proporzione implica che P V = QV. Vincenzo Giordano 11

13 1.3 Tangenti ad una conica Le sezioni coniche Definizione Siano P un punto della conica e t la retta tangente in P alla medesima. Si definisce normale in P la retta passante per P e perpendicolare a t. Proposizione Se la normale nel punto P alla conica incontra l asse nel punto G, allora F G : F P = AF : AX = e. Dimostrazione. Si supponga che la tangente nel punto P alla conica incontri la direttrice nel punto S e il Latus Rectum (eventualmente prolungato) nel punto D. Allora, per la Prop , l angolo S ˆF P è retto. Ne segue che gli angoli F ˆP G e P ŜF sono congruenti perchè complementari dello stesso angolo S ˆP F ; gli angoli P ˆF G e S ˆF D sono congruenti perchè complementari dello stesso angolo D ˆF P. SF D F P G. Dalla similitudine di tali triangoli si deduce che: F G : F P = F D : SF = AF : AX ( nell ultima uguaglianza si è applicata la Prop ). Vincenzo Giordano 12