Controlli Industriali

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA 1 FACOLTA DI INGEGNERIA Polo Scientifico Didattico di Terni A.A Controlli Industriali

2 Docente: Dot. Mario Luca Fravolini Articolazione del corso Lezioni ed Esercitazioni in aula Orario lezioni Mercoledì: (9-13), Mercoledì: (15-16) Ricevimento studenti: Sistemi di Controllo ed Automazione (A.A ) Prerequisiti: Analisi matematica I, Analisi matematica II, Fisica I,Fisica generale II, (Analisi dei Sistemi?) 2 Obiettivi formativi: Comprendere i principi generali e le modalità di funzionamento dei sistemi di controllo. Comprendere i fondamenti della teoria del controllo allo scopo di saper scegliere ed utilizzare i principali strumenti per L ANALISI e la SINTESI dei sistemi di controllo

3 3 Testo consigliato: Fondamenti di controlli automatici 3/ed Mc Graw-Hill, 2008 P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni Materiale didattico: Lucidi delle Lezioni (disponibili elettronico presso la pagina web del corso). Files Matlab e Simulink relativi ad esempi trattati a lezione. Dispense Integrative.

4 Prova scritta: Modalità d Esame o 1-2 esercizi su ANALISI e SINTESI dei Sistemi di Controllo 4 Punteggio massimo prova scritta : 30 punti Tempo a disposizione prova scritta: ore (alla prova scritta non sono ammessi appunti di alcun genere) Prova orale: A scelta del Docente nel caso in cui si ritenga necessario un approfondimento in seguito alla valutazione della prova scritta (Colloquio esteso a tutti gli argomenti trattati nel corso)

5 Problema del Controllo 5

6 Problema del Controllo 6 Imporre a certe variabili di processo o di sistema y(t) un andamento desiderato. Processo o Sistema: Oggetto su cui viene posto il problema del controllo Funzionamento Desiderato: Si desidera che alcune variabili di processo seguano un andamento temporale assegnato chiamato segnale di riferimento r(t) Variabile Controllata y(t) = Segnale di Riferimento r(t) Obbiettivo ideale del Controllo

7 Settori Applicativi dei Sistemi di Controlli Automatico 7

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15 Esempio di azioni di controllo eseguite dall'uomo Controllo (manuale) di livello 15 r(t) Cervello Umano legge di controllo Occhio: Sensore di misura Misura dal sistema retroazione Feedback Segnale di controllo da controllare Trasformazione del segnale di comando nell azione di controllo attuatore h Il sistema di controllo Uomo in base alla misura visiva del livello di liquido decide di quanto aprire o di quanto chiudere il rubinetto. Lo scopo è quello di mantenere il livello del liquido ad un valore desiderato.

16 Schematizzazione del controllo manuale di velocità di una vettura 16 vdes () t vdes () t et () vt () Algoritmo Di controllo RETROAZIONE Attuatore Sensore di misura Sistema da Controllare

17 Controllo Automatico 17 Controllo di un sistema:insieme delle azioni volte a far variare nel modo desiderato una grandezza Controllo Automatico: l azione di controllo è svolta da dispositivi capaci di sostituire l intervento umano Sistemi di Controllo Automatico: dispositivi (controllori, regolatori) mediante i quali si attua l azione di controllo (elettronici, software, meccanici, pneumatici.) Andamento Desiderato SITEMA DI CONTROLLO AUTOMATICO (CONTROLLORE) Azione di Controllo Misure dal Sistema Disturbi SISTEMA Variabile controllata

18 Fasi di progetto di un Controllo Automatico Andamento Desiderato SITEMA DI CONTROLLO AUTOMATICO (CONTROLLORE) Azione di Controllo Misure dal Sistema Disturbi SISTEMA Variabile controllata 18 Definizione Obbiettivi Specifiche di Progetto Analisi Sistema da Controllare Analisi Progetto Dispositivi di Controllo Sintesi

19 Specifiche di Progetto Obbiettivo PRATICO del progetto di un sistema di controllo: VARIABILE CONTROLLATA SEGNALE DI RIFERIMENTO K r( t) y ( t) y( t) d des K d =costante di regolazione La differenza viene quantificata definendo un segnale di errore e(t) 19 rt () e( t) y ( t) y( t) des Definizione di errore Andamento desiderato K d SISTEMA controllato () des t Il segnale e(t) si deve mantenere piccolo in tutte le condizioni operative y yt () et () per l uscita y(t).

20 Specifiche di Progetto SPECIFICHE: grandezze caratteristiche che riassumono in maniera sintetica e completa gli obbiettivi del progetto L ingegnere SISTEMISTA deve progettare un sistema di controllo in grado di soddisfare le specifiche. EX. Garantire che la risposta del sistema ad un segnale di riferimento a gradino sia confinata in una regione ammissibile, lo stesso deve valere per un disturbo a gradino. 20 Frontiera della regione ammissibile

21 y(t) Disturbo Classificazione Specifiche di Progetto Andamento tipico della risposta e dell errore y () des t e(t) specifiche Dinamiche specifiche Statiche 21 e ss e( t) y ( t) y( t) des 1) STABILITA DEL SISTEMA CONTROLLATO L'uscita deve rimanere comunque limitata, nei limiti di sicurezza di funzionamento del sistema Ingresso limitato - Uscita limitata Zero input stability

22 Classificazione Specifiche di Progetto 22 y(t) Disturbo y () des t e(t) specifiche Dinamiche specifiche Statiche e ss e( t) y ( t) y( t) des 2) FEDELTA DI RISPOSTA STATICA: e ss (t) In seguito alla variazione del Set-Point (Es: all'accensione dell'impianto) l'errore deve tendere a zero, oppure tendere ad un valore piccolo che può essere calcolato ed imposto dal sistema di controllo.

23 Classificazione Specifiche di Progetto 23 y(t) Disturbo y () des t e(t) specifiche Dinamiche specifiche Statiche 3) FEDELTA DI RISPOSTA DINAMICA: e(t) e ss e( t) y ( t) y( t) Alcuni parametri che caratterizzano la risposta durante il transitorio devono assumere dei valori di specifica assegnati (tipicamente si fa riferimento alla risposta al gradino ) TEMPO DI RISPOSTA SOVRAELONGAZIONE TEMPO DI ASSESTAMENTO des

24 Classificazione Specifiche di Progetto 24 y(t) Disturbo y () des t e(t) specifiche Dinamiche specifiche Statiche 4) REIEZIONE DEI DISTURBI Il sistema di controllo deve essere in grado di minimizzare l effetto dei disturbi. (Ex. Minimizzare l effetto del vento su una nave che deve navigare seguendo una ben definita direzione). Esistono disturbi Aleatori e disturbi Deterministici e ss e( t) y ( t) y( t) des

25 Classificazione Specifiche di Progetto 25 y(t) Disturbo y () des t e(t) specifiche Dinamiche specifiche Statiche 5) ROBUSTEZZA DELLE PRESTAZIONI: e ss e( t) y ( t) y( t) Il sistema di controllo deve essere in grado di garantire le prestazioni 1,2,3,4 anche nel caso in cui ci siano delle variazioni nella dinamica del processo (usura dei componenti,guasti parziali, ). Un sistema di controllo che garantisce queste proprietà si dice ROBUSTO des

26 Modelli Matematici di Sistemi (ruolo della modellistica matematica) 26 Per affrontare il problema di analisi e quindi di progetto del dispositivi di controllo automatico è necessario formulare il problema in termini matematici. A questo proposito è necessario: 1) Esprimere le specifiche di progetto in termini formali 2) Sviluppare una descrizione matematica del comportamento del sistema da controllare Modello Matematico del Sistema da Controllare

27 Modello Matematico del Sistema da Controllare 27 Un modello matematico di un sistema viene costruito sulla base delle leggi fisiche che regolano il rapporto di causa-effetto tra le variabili che descrivono il sistema Un modello matematico è quindi un rappresentazione più o meno fedele della realtà Grado di accuratezza del modello adeguato alle richieste del problema Sistemi molto diversi possono essere descritti da modelli matematici con struttura MATEMATICA simile ciò facilita la trattazione unitaria del problema del controllo Teoria del controllo automatico (AUTOMATICA)

28 Rappresentazione di un sistema con modello Linearizzato 28 Equazioni diff. Non lineari x( t) f ( x( t), u( t), t) y( t) g( x( t), u( t), t) Linearizzazione intorno ad un punto di lavoro (x 0,u 0 ) x( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) Ps () 1 P( s) C( si A) B D a s... a m s b s b n1 n1 0 m1 m Trasformata di Laplace u(t) Schema a Blocchi u(t) f(x,u,t) P(s) y(t) y(t) Classi di Modelli Lineari u 1 (t) y 1 (t) SISO u 1 (t) u 2 (t) Sistema MIMO y 1 (t) y 2 (t)

29 Relazione tra f.d.t. e rappresentazione nello spazio degli stati 29 x( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) sx ( s) x(0) AX ( s) BU ( s) Y ( s) CX ( s) DU ( s) 1 1 Y ( s) C( si A) x(0) C( si A) B D U( s) Risposta Libera Risposta Forzata G( s) C( si A) 1 B D indipendente dalla particolare forma di stato utilizzata

30 u () t 1 u () t 2 u () n t Modelli Matematici: (schematizzazione) SISTEMA DA CONTROLLARE x ( t) x ( t) x ( t) 1 2 p y () t y 1 2 () t y () m t 30 d ( t) d ( t) d ( t) 1 2 [ u 1 (t), u 2 (t),..., u n (t)] = Variabili manipolabili (Ingressi o Cause). Tali variabili sono imposte dal sistema di controllo [ x 1 (t), x 2 (t),..., x p (t)] = Variabili di Stato del modello del sistema [ y 1 (t), y 2 (t),..., y m (t)] = Variabili di Uscita (effetti), alcune sono misurate [ d 1 (t), d 2 (t),..., d s (t)] =Variabili non Manipolabili (Disturbi) che agiscono indipendentemente in funzione di cause esterne (non desiderate) s

31 32 STRUTTURE BASE DEI SISTEMI DI CONTROLLO

32 33 La classificazione è fatta in base alle INFORMAZIONI di cui dispone il CONTROLLORE durante il funzionamento Controllo in ANELLO APERTO o ad azione diretta d(t) Disturbo Variabile di Riferimento Variabile di Controllo Variabile Controllata r(t) CONTROLLORE u(t) SISTEMA y(t) CARATTERISTICHE PRINCIPALI Il controllore utilizza solo informazioni sul segnale di riferimento r(t) e disturbo d(t) (se misurabile) per generare il segnale di comando u(t). Tale strategia quindi non utilizza alcuna misura di variabili di sistema ( non c è feedback dal sistema)

33 Controllo in ANELLO APERTO o ad azione diretta 34 d(t) Disturbo Variabile di Riferimento r(t) CONTROLLORE CARATTERISTICHE PRINCIPALI Variabile di Controllo u(t) SISTEMA Variabile Controllata y(t) Tale strategia è detto anche Controllo Predittivo o Controllo in Avanti o feedforward Sensibile ai Disturbi non misurabili (non si accorge dei disturbi ) Molto sensibile alle variazioni dei parametri (non si accorge di eventuali variazioni che si possono verificare sui parametri del sistema Vantaggio: è richiesta poca Strumentazione

34 Schema Generale di un sistema di Controllo in anello aperto 35

35 38 Controllo in ANELLO CHIUSO o in RETROZIONE (feedback) Disturbo r(t) + e(t) - CONTROLLORE u(t) SISTEMA y(t) CARATTERISTICHE PRINCIPALI Il Controllore utilizza non solo il segnale di riferimento r(t) ma anche la VARIABILE CONTROLLATA y(t) per calcolare la variabile di controllo u(t) Tale strategia di controllo è chiamata esplorativa Il controllore vede i disturbi in seguito al loro effetto sull uscita y(t) Il controllore vede eventuali var. parametriche in seguito al loro effetto sulla var. di uscita y(t)

36 Controllo in RETROAZINE CON COMPENSAZIONE DEI DISTURBI 39 Compensatore Disturbo u 2 (t) r(t) + - e(t) Controllore u 1 (t) + SISTEMA y(t) CARATTERISTICHE PRINCIPALI Nel caso in cui la variabile di disturbo sia MISURABILE si può aggiungere al controllore in retroazione un regolatore feedforward che COMPENSA l effetto del disturbo.

37 r(t) + Controllo in RETROAZINE+FEEDFORWARD CONTROLLER FEEDFORWARD CONTROLLER FEEDBACK r(t) - e(t) u 1 (t) azione in avanti d(t) u 2 (t) SISTEMA y(t) 40 retroazione CARATTERISTICHE PRINCIPALI E presente nel contempo sia una azione di controllo in feedback sia feedforward Presenta i vantaggi di entrambe le strategie ma è più complessa la progettazione dei controllori

38 Esempio di Controllo in Retroazione Regolazione automatica della velocità di una vettura (moto rettilineo) X 41 Si applica una legge di controllo PROPORZIONALE: la forza erogata dal dispositivo di controllo/attuazione automatico deve essere proporzionale all errore di Velocità F mot k v des v E necessario determinare il legame tra le forze che agiscono sulla vettura ma F F... F 1 2 n ma b v F F F mot percorso vento...

39 Comportamento della vettura controllata 42 F mot k v des v E interessante analizzare il comportamento a regime, cioè quando la vettura viaggia ad una velocità costante. Se la velocità è costante allora l accelerazione è uguale a zero: v des percorso ve t ma b v k v F F Equazione della dinamica controllata a 0 0 b v k v v F F des percorso vento no

40 0 b v k v v F F des percorso vento 43 ( k b) v k v F F des percorso vento E ora possibile analizzare quale è la relazione tra la velocità desiderata e la velocità effettiva a regime: v ss k k b v des F percorso kb F vento Al crescere del valore del guadagno k si nota: La velocità della vettura a regime tende al valore desiderato L'effetto dei disturbi e delle variazioni dei parametri è attenuato Tale comportamento favorevole è indipendente dai valori di m

41 Schema a blocchi del sistema di controllo della velocità u mot k v des v Disturbo deterministico 44 vdes e k u mot v Sensore di velocità Rumore di misura Parametri di simulazione m=1, b= K=1 v d e s (t) v(t) v d e s (t) v(t) K= effetto del distrurbo effetto del distrurbo

42 Sistema di controllo ANALOGICO completo di Strumentazione rt () Trasduttore segnale riferimento segnale di Riferimento Compensatore disturbo Misura del disturbo Trasduttore di disturbo Disturbo di processo dt () Misura segnale di Riferimento Errore CONTROLLORE FEEDBACK + Variabile uscita misurata + ut () Variabile di controllo Trasduttore di Misura Attuatore mt () Variabile manipolabile C è un Attuatore per ogni variabile di controllo C è un Trasduttore per ogni variabile misurata Processo Variabile controllata yt ()

43 Blocchi costitutivi un regolatore per controllo in retroazione vdes Regolatore e Rs () m v 49 v mis Regolatore v des elaborazione analogica segnale di errore Amplificatore Potenza Attuatore m v mis Sorgente Alimentazione Primaria

44 Sistema di controllo DIGITALE completo di Strumentazione 50 segnale di Riferimento ut () Sistema tempo discreto mt () e( kt ) u( kt ) A/D Calcolat. Digitale u( kt ) D/A ut () Attuat. mt () Processo Variabile controllata Clock (T) Trasduttore di Misura

45 51 CALCOLO DI F.D.T. di SISTEMI DI CONTROLLO ELEMENTARI

46 Schema a blocchi di un sistema controllato 52 N D U E R P Y H R= Guad. Regolatore P= Guad. Processo H= Guad. Trasduttore U= Segnale di Ingresso E=Segnale di errore Y=segnale di Uscita D=Disturbo N =Rumore di misura

47 Legame tra ingresso U ed uscita Y U E N R P D Y 53 Si suppone N=D=0 Y RPE E U HY H Y RP( U HY ) Y(1 RPH ) RPU Y RP 1 RPH U La f.d.t del sistema in retroazione ha come: NUMERATORE il prodotto delle f.d.t del ramo diretto DENOMINATORE 1 il prodotto delle f.d.t presenti nell anello di retroazione (il segno a denominatore dipende dal segno della retroazione)

48 Legame tra Disturbo D ed uscita Y U E N R P D Y 54 Si suppone U=N=0 H Y RPE D E HY Y 1 RPH D Y RPHY D 1 Y(1 RPH ) D

49 Legame tra Rumore di Misura N e uscita Y U E N R P D Y 55 Si suppone U=D=0 H Y RP( E N) RP E HY Y RPH N 1 Y RP( HY N) Y(1 RPH ) RPN

50 Legame tra Rumore di Misura N e uscita Y 56 U E R P D Y H N Si suppone U=D=0 RPH Y N 1 RPH

51 Confronto tra Funzioni di interesse per il sistema in retroazione U E N R P D Y 57 Si suppone che H sia circa uguale ad 1, cioè è accettabile nel caso in cui H sia un trasduttore 1 Y RP RP U Legame tra ingresso e uscita Y 1 RP D Legame tra disturbo e uscita 1 Y 1 RP N Legame tra rumore e uscita RP

52 Cenni Analisi Armonica 58

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55 I coefficienti a0 ed rn e jn si possono calcolare in modo esplicito risolvendo delle opportune formule basate su integrali dipendenti dalla funzione periodica f(t) 61

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57 T 2 k k 0 T 2sec

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61 RISPOSTA ARMONICA 67

62 68 Risposta di un sistema a segnali Sinusoidali

63 Risposta di un sistema a segnali sinusoidali Come è fatta la risposta a regime di un Sistema Lineare G(s) (asintoticamente stabile) comandato con ingresso sinusoidale? 69 fase Risposta a regime

64 La Funzione di Risposta Armonica E una funzione in campo complesso F() di variabile reale. Questa descrive l uscita a regime di un sistema lineare sollecitato con ingresso sinusoidale di ampiezza unitaria e pulsazione variabile da 0 ad. u( t) X sin t Gs () y( t) Y ( )sin t j( ) Esaurito il transitorio, anche l uscita y(t) varia con legge sinusoidale, caratterizzata dalla stessa pulsazione. L ampiezza Y() e l angolo di fase j sono funzioni della pulsazione di ingresso. Vale quindi: Definizione di Risposta Armonica 70 MODULO di F() : Y( )/ X FASE di F() : j ( ) F( ) F( ) e j F ( )

65 TEOREMA: (regime sinusoidale di sistemi lineari stazionari) Un sistema lineare stazionario G(s) con poli a parte reale negativa soggetto ad eccitazione sinusoidale presenta, a regime, una risposta avente la stessa frequenza dell eccitazione. La risposta armonica F() è legata alla funzione di trasferimento G(s) dalla relazione: 71 F ( ) Gs) ( G( j) s j u( t) X sint y( t) Y ( )sin t ( ) j Gs () y( t) X G( j) sin t j ( j) G

66 TEOREMA: (regime sinusoidale di sistemi lineari stazionari) 72 F( ) G( s) G( j) s j DIM. Gs () a a s... a s o 1 1 b b s... b s o n m n m u( t) X sin( t) U () s X s 2 2 Evoluzione forzata del sistema ( a partire da condizioni iniziali nulle) Ys () Y ( s) G( s) ao a s... a s b s o X n 1 n m 2 b1 s... bms s 2 2 X X G( s) ( s j) ( s 2 j )

67 L evoluzione forzata del sistema contiene sia i modi propri del sistema G(s) sia quelli dell ingresso. Ciò si evidenzia sviluppando Y(s) in frazioni parziali. Nel caso particolare di poli semplici si ha: Ys () Ns () X ( s p )( s p )...( s p ) ( s j)( s j) 1 2 m 73 Ys ( ) at 1 L e s a m K * A A i 1 1 s j ( s i1 i ( s p ) ( ) j) m i1 * i 1 1 y() t K e i A e A e pt j t jt Modi dovuti al sistema Modo dovuto all ingresso

68 m i1 Comportamento a Regime: Per ipotese il sistema è asintoticamente stabile (tutti i poli di G(s) hanno parte reale negativa) quindi la corrispondente porzione della risposta tende a zero. La risposta a regime contiene quindi solo il modo dovuto all ingresso sinusoidale j t * 1 1 y () t Ae A e PERMANENTE * i 1 1 y() t K e i A e A e Y( s) G( s) X A G( j) 1 2 j pt j t jt ( s j X )( s j ) X * A G( j) 1 2 j jt 74

69 X 1 X 1 y perm( s) G( j) G( j) 2 j ( s j) 2 j ( s j) 75 X y ( s) G e jjge jt G e jjge perm 2 j jt y ( t) X G sen( t j ) perm Calcolando i residui e ricombinando le esponenziali si è quindi dimostrato che y ( t) X G( j) sen t j ( ) perm G G Per confronto, dalla definizione di F(), si ha: F ( ) G( j)

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71 Determinazione sperimentale della risposta armonica F( ) G( j ) G( j ) e jj( ) 77 si applica all ingresso una sinusoide di ampiezza unitaria e frequenza molto bassa 1) si aspetta che il sistema esaurisca il transitorio 2) si registrano l ampiezza e lo sfasamento dell uscita 3) si torna al punto 1 con una frequenza più elevata 4) ci si ferma quando l ampiezza dell uscita è trascurabile 5) si graficano separatamente per i diversi valori di : I valori delle ampiezze alle varie frequenze forniscono G( j ) I valori delle fasi alle varie frequenze forniscono G( j ) j( )

72 fase(gradi) modulo Gs () Esempio: Calcolo analitico della risposta armonica s 2 s 4 0.4s4 G( j ) j 4 4 j j j j 2 2 ( ) j j ( ) j(2.4 ) G( j) j0.4 4 j0.4 (4 ) 0.16 RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA 2 ( ) Re G( j ) ; (4 ) 0.16 Im G( j ) 3 (2.4 ) (4 ) 0.16 RAPPRESENTAZIONE POLARE rad/sec G( j ) Re G( j ) Im G( j ) ; G( j ) atan Im G( j ) / Re G( j ) E conveniente rappresentare l asse delle frequenze su scala logaritmica 0.1<w< rad/sec

73 r( t) y ( t) sen( t) 0.01; 0.1; d y 1 sen(0.01 t) y sen(0.01t ) y sen(0.1 t) d d y sen(0.1t 0.8 ) Calcolo della risposta a regime rt () s s 4 0.4s4 y( t) G( j ) sen( t G( j )) Modulo 79 1; y 2; yd sen(1 t) sen(1t 6.4 ) y sen(2 t) d y sen(2t ) 10; y sen(10 t) d y sen(10t ) 100; y sen(100 t) d y sen(100t ) rad/sec Fase (gradi) rad/sec La risposta a regime del sistema è una copia fedele del segnale d ingresso nella banda di frequenze in cui G(iw) 1 ed arg(g(jw)) 0

74 Banda passante La frequenza che determina la banda passante B è definita come quella frequenza per la quale il modulo di G(jw) (di tipo passa basso) scende al 70.7% del valore che la G(jw) assume a frequenza zero G(j0) Picco di risonanza G( j B) 1 B G( j0) 2 B 2 G( j ) 1 2 G( j0) 2 1 w B w rad/sec Banda passante B 0 B ( ) (2.4 ) (4 ) 0.16 (4 ) B rad/sec

75 Impiego della risposata armonica per il calcolo della risposta a regime di un sistema con ingresso composto da più sinusoidi 2500 r( t) 3 sen(10 t) sin(50 t) yt ( )... 2 ( s 50) W () s 2500 ( s 50) 2 2 Il sistema è asintoticamente stabile quindi esiste la risposta a regime sinusoidale e ; te 50t 50t 81 Modi propri del sistema Sfruttando le proprietà della risposta armonica si ha la seguente risposta a regime: y( t) 3 W (10) sin 10 t W (10) W (50) sin 50 t W (50) 2 2

76 Phase (deg) Magnitude (db) M db 20log ( M) log (1) Bode Diagram 20 20log (10) log (10 ) log (0.1) log (10 ) 3 20log (0.707) Frequency (rad/sec)

77 Phase (deg) Magnitude (db) y( t) 3 W (10) sin 10 t W (10) W (50) sin 50 t W (50) 2 2 Bode Diagram 0 W W 2 2 ( j10) ; ( j50) M db 20log ( M) 10 W W 2 2 ( j10) ( j50) Frequency (rad/sec)

78 y( t) 3 W (10) sin 10 t W (10) W (50) sin 50 t W (50) W W 2 2 W W (10) ; (50) ( j10) ( j50) -90 Si riscontra una alterazione della forma d onda d uscita rispetto a quella d ingresso dovute alle diverse proprietà filtranti della W 2 (s) nei riguardi delle due componenti sinusoidali di diversa pulsazione SEGNALE D'INGRESSO U(t) W () s 2 2 SEGNALE D'USCITA y(t) 2500 ( s 50)

79 INGRESSO Influenza della Banda passante sulla risposta 85 USCITA AL VARIARE DELLA BANDA PASSANTE DEL SISTEMA 1 0 B 3 = 1 RAD/SEC B 3 = 5 RAD/SEC B 3 = 10 RAD/SEC B 3 = 50 RAD/SEC sec 0 B 3 = 100 RAD/SEC

80 Proprietà filtranti di una FDT H(s) H(jw) U1(jw) U2(jw) U3(jw) U-tot=U1+U2+U U- tot uscita