ELEMENTI DI BASE DI CALCOLO COMBINATORIO

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1 ELEMENTI DI BASE DI CALCOLO COMBINATORIO GIUSEPPE F ROSSI (giusepperossi@ieeeorg) 1 Introduzione Il Calcolo combinatorio, componente di primo piano di quella branca della Matematica chiamata Matematica discreta, viene da sempre considerato una sorta di argomento corollario, utilizzato di fatto per affrontare discipline ben più ampie e complesse, prime tra tutte la Teoria delle Probabilità e la Statistica Tale condizione fa sì che i pochi e semplici concetti costituenti il calcolo combinatorio siano di norma affrontati in maniera frettolosa e sbrigativa, a scapito di quel rigore e di quella completezza necessari nella trattazione (e soprattutto per la comprensione) di un qualsivoglia argomento di natura matematica L obiettivo del presente scritto è quello di ( cercare di) trattare in modo completo e sufficientemente rigoroso i concetti che stanno alla base del calcolo combinatorio 2 Una classificazione Il calcolo combinatorio si occupa di determinare, dato un insieme finito A = {a 1, a 2, a 3,, a n } di n elementi distinti, quanti raggruppamenti, formati ciascuno da k componenti, si possono costruire utilizzando gli elementi di A Quindi (vedasi Figura 1), dati i numeri naturali n (cardinalità di A) e k (numero di elementi costituenti ciascun raggruppamento), si vuole calcolare la cardinalità dell insieme R (insieme dei raggruppamenti) A R a 1 a 2 a 3 a i Costruzione dei raggruppamenti formati da k elementi di A a n Figura 1

2 A seconda del criterio utilizzato nella scelta degli elementi a i di A si ottengono diverse tipologie di raggruppamento (e quindi diverse cardinalità dell insieme R), alcune delle quali hanno da sempre rivestito un importanza fondamentale nel calcolo combinatorio In particolare, storicamente sono state definite 3 fondamentali tipologie di raggruppamento (ciascuna delle quali, a sua volta, presenta poi 2 varianti), elencate qui di seguito: Disposizioni o con ripetizione degli elementi o senza ripetizione degli elementi (dette anche Disposizioni semplici) Permutazioni o con ripetizione degli elementi o senza ripetizione degli elementi (dette anche Permutazioni semplici) Combinazioni o con ripetizione degli elementi o senza ripetizione degli elementi (dette anche Combinazioni semplici) La variante con ripetizione degli elementi, presente con significati diversi 1 in tutte e 3 le tipologie di raggruppamento, considera i casi in cui è ammesso che all interno di alcuni/tutti i raggruppamenti di R siano presenti elementi di A ripetuti A tal riguardo, ove sia necessario far riferimento esplicito al numero di volte in cui un elemento a i compare in un raggruppamento, tale valore verrà indicato con k i In ogni caso va comunque precisato che l esatto criterio con il quale vengono inseriti elementi ripetuti in un raggruppamento viene indicato dalla definizione di quest ultimo e pertanto è ad essa che va sempre fatto riferimento Nei prossimi paragrafi daremo le definizioni generali di disposizione, permutazione, combinazione e, per ciascuna di queste, definiremo le due varianti con o senza ripetizione degli elementi (Figura 2) TIPOLOGIE FONDAMENTALI DI RAGGRUPPAMENTO Definizione di DISPOSIZIONE Definizione di PERMUTAZIONE Definizione di COMBINAZIONE Definizione di DISPOSIZIONE con ripetizione Definizione di DISPOSIZIONE senza ripetizione Definizione di PERMUTAZIONE con ripetizione Definizione di PERMUTAZIONE senza ripetizione Definizione di COMBINAZIONE con ripetizione Definizione di COMBINAZIONE senza ripetizione Figura 2 1 Questo aspetto, spesso trascurato nelle varie trattazioni, può essere fonte di grossolani errori Ad esempio vedremo che tra disposizioni e permutazioni vi è una sorta di disallineamento : mentre le permutazioni senza ripetizione ricadranno come caso particolare delle disposizioni senza ripetizione, le permutazioni con ripetizione non potranno essere viste come caso particolare delle disposizioni con ripetizione

3 3 Disposizioni Sia dato un insieme A = {a 1, a 2, a 3,, a i,, a n } finito e non vuoto costituito da n elementi distinti Definizione 30 Si definiscono disposizioni degli n elementi di A a gruppi di k tutti i raggruppamenti di k elementi scelti da A, ove ciascun raggruppamento differisce dagli altri per: gli elementi costituenti il raggruppamento; oppure l ordine degli elementi costituenti il raggruppamento (nel caso gli elementi siano gli stessi) 31 Disposizioni con ripetizione Definizione 31 Una disposizione degli n elementi di A a gruppi di k si dice con ripetizione (o con reinserzione) se ciascun elemento di A può comparire più volte nello stesso raggruppamento, cioè può essere ripetuto (Figura 3) Proprietà Alla luce della Def 31, esponiamo alcune semplici considerazioni in ordine a questa tipologia di raggruppamento: La lunghezza (numero di elementi) di ciascun raggruppamento è costante e vale k Il valore di k non è vincolato al valore di n, quindi questo problema di calcolo combinatorio può essere indifferentemente formulato con: k < n k = n k > n Preso un elemento di R (cioè un raggruppamento di elementi di A), il numero di volte (k i ) in cui un elemento a i di A compare in esso non è costante e può assumere qualunque valore naturale (anche nullo, cioè l elemento può non comparire nel raggruppamento), a condizione che, in ciascun raggruppamento, venga rispettato il vincolo: k 1 + k k n = k a i A Calcolo del numero totale di raggruppamenti Alla luce della Def 31, l espressione che fornisce il numero totale di disposizioni con ripetizione si ottiene seguendo un semplice ragionamento Consideriamo i k elementi costituenti un raggruppamento (vedasi Figura 3): Per la scelta del primo elemento evidentemente si hanno n diverse possibilità; Per la scelta del secondo elemento si hanno ancora n possibilità (in quanto, in virtù della Def 31, sono ammessi elementi ripetuti e quindi si continua a pescare dall intero insieme A); Per la scelta del k-esimo elemento si hanno sempre n possibilità

4 A a 2 R a 1 a 3 a i a n Elementi del raggruppamento: k-esimo Figura 3 Questo processo di scelta dei k elementi di ciascun raggruppamento può essere anche rappresentato attraverso un grafo ad albero (vedasi Figura 4 in cui la radice dell albero è posta sulla sinistra): Raggruppamenti possibili Ogni nodo padre ha sempre n nodi figli Scelte 1 elem Scelte 1 e 2 elem Scelte 1, 2,, k-esimo el Figura 4

5 Osservando l albero di Figura 4 si vede facilmente che il numero totale dei raggruppamenti possibili (cioè il numero delle disposizioni con ripetizione) coincide con il numero totale di nodi figli al k-esimo livello dell albero (evidenziati in Figura 4 con il rettangolo rosso tratteggiato) Pertanto, osservato che ogni nodo padre ha sempre n nodi figli, l espressione che ci fornisce il numero delle disposizioni con ripetizione è data da: ( r ) Dn, k = n14 n4 n2 n4 43 n (311) k volte Quindi il numero delle disposizioni con ripetizione è dato da: ( r ) k D n, k = n (312) Infine, per concludere, poniamoci in un ben noto caso particolare, fondamentale nel campo dell Informatica Vogliamo calcolare il numero totale di disposizioni di 2 elementi a gruppi di k con ripetizione (oppure, detto in altro modo del tutto equivalente, il numero totale delle possibili stringhe binarie di lunghezza k): ( r) k D2, k = 2 (313) 32 Disposizioni senza ripetizione (o Disposizioni semplici) Definizione 32 Una disposizione degli n elementi di A a gruppi di k si dice senza ripetizione se ogni elemento a i A compare al più una sola volta nello stesso raggruppamento, cioè non può mai essere ripetuto (Figura 5) Proprietà Anche in questo caso esponiamo alcune semplici riflessioni su questa tipologia di raggruppamento, conseguenze dirette della definizione: La lunghezza di ciascun raggruppamento è costante e vale k; Il valore di k è vincolato al valore di n in quanto deve essere k n (non essendo possibile ripetere elementi all interno dei raggruppamenti) Il numero di volte k i in cui un elemento a i compare all interno di un raggruppamento, in generale, non è costante, ma è vincolato ad essere: k i 1 (cioè k i = 0 oppure k i = 1) a i A Calcolo del numero totale di raggruppamenti Come nel caso precedente, consideriamo i k elementi costituenti il raggruppamento ed osserviamo che (Figura 5): Per la scelta del 1 elemento si hanno n diverse possibilità; Per la scelta del 2 elemento evidentemente si hanno (n-1) possibilità, in quanto, non essendo ammessi elementi ripetuti, si va a pescare dall insieme A privato dell elemento scelto per la prima posizione; Per la scelta del 3 elemento si hanno (n-2) possibilità, poiché stavolta l insieme A si trova privato di due elementi; Per la scelta del k-esimo, nonché ultimo elemento della disposizione, si hanno (n-(k-1)) possibilità, in quanto immediatamente prima della k-esima scelta l insieme A si trova privato di (k-1) elementi

6 A a 2 R a 1 a 3 a i a n Elementi del raggruppamento: k-esimo Figura 5 Il processo di scelta descritto sopra può essere rappresentato anche in questo caso con un grafo ad albero, nel quale si vede facilmente che il numero totale delle disposizioni senza ripetizione coincide con il numero totale di nodi figli al k-esimo livello dell albero (evidenziati in Figura 6 con il rettangolo rosso tratteggiato): Raggruppamenti possibili (n-k+1) scelte n scelte (n-1) scelte Scelte 1 elem Scelte 1 e 2 elem Scelte 1, 2,, k-esimo el Figura 6

7 Pertanto il numero totale delle disposizioni di n elementi a gruppi di k senza ripetizione risulta essere dato dalla seguente formula: D n, k = n ( n 1) ( n k + 1) k termini = Moltiplicando num e denom per ( n k )! n ( n 1) ( n k + 1) ( n k)! = ( n k)! n! ( n k)! (321) Quindi il numero delle disposizioni senza ripetizione è dato da: D n, k n! = (322) ( n k)!

8 4 Permutazioni Sia dato un insieme A = {a 1, a 2, a 3,, a i,, a n } finito e non vuoto costituito da n elementi distinti Definizione 40 Si definiscono permutazioni degli n elementi di A i raggruppamenti contenenti tutti gli elementi di A (i raggruppamenti differiscono tra loro solo per l ordine degli elementi) Analogamente al caso delle disposizioni, le permutazioni possono essere con o senza ripetizione di elementi (a tal riguardo si ponga particolare attenzione alla definizione di permutazione con ripetizione, riportata più avanti al par 42) Diversamente dall ordine di esposizione seguito in precedenza, iniziamo col trattare il caso (semplice e molto frequente) delle permutazioni senza ripetizione, in quanto il risultato che si otterrà ci sarà di immediata utilità per affrontare il successivo caso delle permutazioni con ripetizione (par 42) 41 Permutazioni senza ripetizione (o Permutazioni semplici) Definizione 41 Una permutazione degli n elementi di A si dice senza ripetizione (o semplice) se ogni elemento a i A compare una e una sola volta all interno di ciascun raggruppamento (Figura 7) Proprietà In questo caso le uniche osservazioni che possiamo fare (come conseguenza diretta della Def 41) sono le seguenti: La lunghezza di ciascun raggruppamento è costante e vale: k 1 + k k n = n Il numero di volte k i in cui un elemento a i compare in un raggruppamento è costante e vale: k i = 1 a i A A a 1 a 2 R a 3 a i a n Elementi del raggruppamento: n-esimo Figura 7

9 Calcolo del numero totale di raggruppamenti Osservato che, per definizione, ciascun raggruppamento risulta essere costituito sempre da n elementi distinti (Figura 7), per determinare il numero delle permutazioni è sufficiente osservare quanto segue: l insieme delle permutazioni di n elementi senza ripetizione coincide con l insieme delle disposizioni di n elementi a gruppi di n senza ripetizione Quindi la definizione di permutazioni senza ripetizione (Def 41) non è altro che un caso particolare della definizione di disposizioni senza ripetizione (Def 32), e cioè quando k = n (Figura 8): Disposizioni senza ripetizione Permutazioni senza ripetizione Figura 8 Pertanto, sapendo che: D n, k n! = (411) ( n k)! e che n = k, il numero P n delle permutazioni di n elementi senza ripetizione è dato dalla seguente espressione: P n! n! = Dn, n = = n! (412) ( n n)! 1 n = Quindi: P n = n! (413) 42 Permutazioni con ripetizione Definizione 42 Una permutazione degli n elementi di A si dice con ripetizione se almeno un elemento a i A viene ripetuto un prefissato numero di volte k i >1 all interno di ciascun raggruppamento (Figura 9)

10 Proprietà A proposito di questa tipologia di raggruppamento, al fine di evitare errori nel calcolo del numero di raggruppamenti, è opportuno osservare quanto segue (vedasi anche Figura 9): La lunghezza di ciascun raggruppamento è costante e vale: k 1 + k k n > n in quanto, secondo la definizione sopra, k i > 1 mentre il valore dei restanti k j è pari a 1 Il numero di volte k i in cui un elemento a i compare in ciascun raggruppamento è costante a i A Diversamente dal caso precedente (par 41), la Def 42 (permutazioni con ripetizione) non è un caso particolare della Def 31 (disposizioni con ripetizione) Quest ultima osservazione, espressa anche nella nota 1 del cap 2, è di fondamentale importanza, in quanto evita grossolani errori nel calcolo delle permutazioni con ripetizione Calcolo del numero totale di raggruppamenti Consideriamo l insieme A costituito da n elementi distinti a 1, a 2, a 3,, a n Indichiamo come al solito con k 1, k 2, k 3,, k n, rispettivamente il numero di volte in cui gli elementi a 1, a 2, a 3,, a n devono comparire all interno di ciascun raggruppamento: A a 1 a 2 R a 3 a i a n Elementi del raggruppamento: (k1+k2++kn)-esimo Figura 9 Per calcolare il numero di raggruppamenti possibili, cioè la cardinalità di R, si può procedere con il seguente approccio Supponiamo in prima battuta che i (k 1 + k k n ) elementi costituenti ciascun raggruppamento siano tutti diversi tra loro, e cioè che tali raggruppamenti siano stati costruiti come permutazioni senza ripetizione degli elementi di un insieme B formato da (k 1 + k k n ) elementi distinti 2 (Figura 10): 2 Detto in altro modo, l insieme B viene ottenuto dall insieme A sdoppiando ciascun elemento tante volte quant è il numero di ripetizioni richieste per tale elemento

11 B Insieme composto da (k 1 + k k n ) elementi R Costruzione delle permutazioni senza ripetizione formate con i k 1 +k 2 + +k n elementi di B Figura 10 In tal caso, in virtù del risultato ottenuto al precedente punto 41, il numero totale di permutazioni risulterebbe essere pari a: P k1+ k 2+ + kn = Card[ R' ] = ( k1 + k2 + + kn )! (421) Ora, visto che nel calcolo qui sopra abbiamo ipotizzato che nei raggruppamenti di Figura 10 tutti i (k 1 + k k n ) elementi di B siano distinti, se vogliamo calcolare le sole permutazioni con ripetizione generate da A, nella 421 dobbiamo chiaramente eliminare l effetto di tale assunzione, in quanto aver considerato diversi elementi che sono uguali (lo stesso elemento ripetuto più volte) ha inevitabilmente fatto computare come diversi raggruppamenti che in realtà sono uguali Per spiegare tale fatto e per comprendere come correggere la 421 iniziamo con un caso particolare, che poi generalizzeremo Supponiamo di dover calcolare le permutazioni con ripetizione generate dagli n elementi di A in questo caso specifico: k 1 = 2 k 2 = k 3 = k n = 1 (in sostanza ripetiamo 2 volte il solo a 1 ) In tale situazione, se calcoliamo le permutazioni con ripetizione generate da A attraverso la 421 (che considera quindi la ripetizione di a 1 come 2 elementi distinti, che, per comodità, indicheremo con a 1 e a 1 ) otterremo un R il quale sarà formato da 2 sottoinsiemi (aventi lo stesso numero di elementi): il sottoinsieme dei raggruppamenti contenenti, nell ordine, prima a 1 e poi a 1 il sottoinsieme dei raggruppamenti contenenti, nell ordine, prima a 1 e poi a 1 Visto che la sequenza a 1 a 1 è la stessa di a 1 a 1 (è solo la ripetizione di a 1 ), nella 421 aver considerato la ripetizione di a 1 come 2 elementi distinti (a 1 e a 1 ) ha raddoppiato il numero di raggruppamenti, quindi il correttivo da introdurre nella 421 consiste nel dividere il risultato per 2 (che non è altro che il numero di permutazioni senza ripetizione dei 2 elementi a 1 e a 1 ) Se invece i dati iniziali fossero: k 1 = 3 k 2 = k 3 = k n = 1 (stavolta ripetiamo 3 volte il solo a 1 ) otterremmo un R formato dai seguenti 6 sottoinsiemi (aventi lo stesso numero di elementi): il sottoinsieme dei raggruppamenti contenenti, nell ordine, prima a 1 poi a 1 e poi a 1 il sottoinsieme dei raggruppamenti contenenti, nell ordine, prima a 1 poi a 1 e poi a 1 il sottoinsieme dei raggruppamenti contenenti, nell ordine, prima a 1 poi a 1 e poi a 1 il sottoinsieme dei raggruppamenti contenenti, nell ordine, prima a 1 poi a 1 e poi a 1 il sottoinsieme dei raggruppamenti contenenti, nell ordine, prima a 1 poi a 1 e poi a 1 il sottoinsieme dei raggruppamenti contenenti, nell ordine, prima a 1 poi a 1 e poi a 1

12 e quindi il risultato della 421 andrebbe diviso per 6 (che non è altro che il numero di permutazioni senza ripetizione dei 3 elementi a 1, a 1, a 1 ) Generalizzando il ragionamento appena fatto nel caso in cui si abbia: k 1 = qualunque > 1 k 2 = k 3 = k n = 1 è evidente che il risultato della 421 va pertanto diviso per k 1! (il numero di permutazioni senza ripetizione dei k 1 elementi a 1, a 1, a 1, a 1, ) Infine, estendendo il ragionamento qui esposto nel caso vi siano anche altri k i >1, la Card[R] (Figura 9) si ottiene dividendo la 421 per ciascun k i!, quindi la formula definitiva cercata risulta essere la seguente (notare che tutti i k i =1, correttamente, non alterano nulla nella 421): P ( r ) n / k1, k 2,, kn = Pk 1+ k 2+ + kn ( k1 + k kn )! = Pk 1 Pk 2 Pkn k1! k2! kn! (422) Quindi il numero delle permutazioni con ripetizione è dato da: P ( r ) n / k1, k 2,, kn n ki! 1 = n 1 k! i (423) Esempio Un classico problema in cui è necessario ricorrere alle permutazioni con ripetizione degli elementi è quello della determinazione del numero di anagrammi di una parola Si supponga di voler calcolare il numero totale di anagrammi della parola ARCOBALENO Considerando l insieme delle 10 lettere che compongono tale parola, si osserva che alcune di queste compaiono più volte, pertanto il problema va formulato come segue: A = {A, R, C, O, B, L, E, N} (quindi l insieme A è costituito da n = 8 elementi distinti) con: k A = 2; k R = 1; k C = 1; k O = 2; k B = 1; k L = 1; k E = 1; k N = 1 Applicando la 423 il numero di anagrammi della parola ARCOBALENO risulta quindi dato da: P ( )! 10! = = = 2!2! 2!2! 4 ( r ) 8 / 2,1,1,2,1,1,1,1 =

13 5 Combinazioni Sia dato un insieme A = {a 1, a 2, a 3,, a i,, a n } finito e non vuoto costituito da n elementi distinti Definizione 50 Si definiscono combinazioni degli n elementi di A a gruppi di k tutti i raggruppamenti di k elementi scelti da A, ove ciascun raggruppamento differisce dagli altri per gli elementi costituenti il raggruppamento (quindi l ordine è ininfluente) Analogamente ai casi precedenti le combinazioni possono essere con o senza ripetizione di elementi (a tal riguardo si ponga particolare attenzione alla definizione di combinazione con ripetizione, riportata più avanti al punto 52) Diversamente dall ordine di esposizione seguito con le disposizioni, iniziamo col trattare il caso (semplice e molto frequente) delle combinazioni senza ripetizione, in quanto il risultato che si otterrà ci servirà per affrontare il successivo caso ( un po più complesso) delle combinazioni con ripetizione (par 52) 51 Combinazioni senza ripetizione (o Combinazioni semplici) Definizione 51 Una combinazione degli n elementi di A a gruppi di k si dice senza ripetizione (o semplice) se ogni elemento a i A compare al più una volta nello stesso raggruppamento, cioè non può essere ripetuto (Figura 11) Proprietà Analogamente ai casi precedenti possiamo esporre le seguenti considerazioni (uguali al caso delle disposizioni senza ripetizione): La lunghezza di ciascun raggruppamento è costante e vale k; Il valore di k è vincolato al valore di n in quanto deve essere k n (non essendo possibile ripetere elementi all interno dei raggruppamenti) Il numero di volte k i in cui un elemento a i compare all interno di un raggruppamento, in generale, non è costante, ma è vincolato ad essere: k i 1 (cioè k i = 0 oppure k i = 1) a i A Calcolo del numero totale di raggruppamenti Il calcolo del numero di raggruppamenti si può facilmente ottenere a partire dalla formula 322 delle disposizioni di n elementi a gruppi di k senza reinserzione osservando quanto segue: Nelle disposizioni di n elementi a gruppi di k senza reinserzione ogni sottoinsieme di k elementi distinti genera sempre k! raggruppamenti, cioè le permutazioni semplici dei k elementi, essendo l ordine influente Nelle combinazioni di n elementi a gruppi di k senza reinserzione ogni sottoinsieme di k elementi distinti genera sempre uno ed un solo raggruppamento (Figura 11), essendo l ordine ininfluente Pertanto, come detto sopra, le nostre combinazioni come disposizioni,dalle quali poi decurtiamo l effetto dovuto all ordine degli elementi (k!)

14 A a 1 a 2 R a 3 a i a n Elementi del raggruppamento: k-esimo Figura 11 Pertanto il numero di combinazioni di n elementi a gruppi di k senza ripetizione è dato da: n! Dn, k ( n k)! n! n Cn, k = = = = Pk k! k!( n k)! k (ove k n sempre) (511) Quindi: n n, = (512) k C k 52 Combinazioni con ripetizione Definizione 52 Una combinazione degli n elementi di A a gruppi di k si dice con ripetizione (o con reinserzione) se ciascun elemento di A può comparire più volte nello stesso raggruppamento, cioè può essere ripetuto (Figura 12) Proprietà Esponiamo alcune considerazioni (che, inevitabilmente, risultano uguali al caso delle disposizioni con ripetizione): La lunghezza (numero di elementi) di ciascun raggruppamento è costante e vale k Il valore di k non è vincolato al valore di n, quindi questo problema di calcolo combinatorio può essere indifferentemente formulato con: k < n k = n k > n

15 Dato un raggruppamento di R, il numero di volte (k i ) in cui un elemento a i compare in esso non è costante e può assumere qualunque valore naturale (anche nullo, cioè l elemento può non comparire nel raggruppamento), a condizione che, in ciascun raggruppamento, venga ovviamente rispettato il vincolo: k 1 + k k n = k a i A Calcolo del numero totale di raggruppamenti Visto che, per definizione, le combinazioni non sono altro che delle disposizioni dove l ordine degli elementi non è importante, analogamente a quanto fatto nel par 51 si potrebbe pensare di calcolare il numero di combinazioni con ripetizione a partire dalla formula delle disposizioni con ripetizione, per poi decurtare il solito effetto dovuto all ordine degli elementi Purtroppo in questo caso un simile approccio risulta difficilmente percorribile, in quanto, a causa delle ripetizioni, risulterebbe notevolmente complesso determinare la formula in grado di annullare l effetto dovuto all ordine degli elementi (tanto per chiarire il concetto, la questione non può essere risolta, analogamente al caso 51, con una banale divisione della 312 per una qualche permutazione di elementi, proprio a causa della presenza delle ripetizioni degli stessi) A a 1 a 2 R a 3 a i a n Elementi del raggruppamento: k-esimo Figura 12 Pertanto la formula che fornisce il numero di combinazioni con ripetizione va ricavata utilizzando un approccio completamente diverso rispetto alle metodologie finora impiegate Come prima cosa, visto che gli elementi dell insieme A possono essere di qualunque tipo (oggetti vari, numeri, funzioni, ), decidiamo per comodità di rappresentare gli n elementi distinti di A attraverso i primi n numeri naturali a partire da 1, cioè costruiamo un nuovo insieme B = {1, 2, 3,, n} i cui elementi sono in corrispondenza biunivoca con gli elementi di A attraverso la seguente funzione: a i i (Figura 13):

16 A a 2 2 B a 3 a 1 a i a n 1 i 3 n Figura 13 A questo punto, vista la nuova rappresentazione degli elementi di A in forma numerica, ripetendo il processo di raggruppamento rappresentato in Figura 12, definiamo l insieme R contenente tutte le combinazioni di n elementi di B a gruppi di k con ripetizione (Figura 14), utilizzando la seguente piccola accortezza: all interno di ogni raggruppamento di R tutti gli elementi (che sono numeri naturali, anche ripetuti) dovranno essere disposti in ordine non decrescente (o, detto in altro modo, crescente non strettamente) Precisiamo che l introduzione di tale condizione non modifica in nessun modo il problema (cioè è una scelta libera nella rappresentazione di ogni raggruppamento), in quanto in una combinazione l ordine è ininfluente A a1 a2 R a3 ai an Costruzione delle combinazioni degli n elementi di A a gruppi di k con ripetizione Corrispondenza biunivoca Corrispondenza biunivoca B 1 2 R 3 i Costruzione delle combinazioni degli n elementi di B a gruppi di k con ripetizione n Figura 14

17 E evidente (Figura 14) che così come Card [B ]= Card [A] (A e B sono, per costruzione, in corrispondenza biunivoca tra loro) si ha anche che Card [R ]= Card [R ], in quanto gli elementi di R non sono altro che una rappresentazione in forma numerica (vettori di numeri) degli elementi di R (che sono vettori di elementi di A) Pertanto il nostro problema sarà il calcolo di Card [R ] Costruiamo ora un nuovo insieme C = {1, 2, 3,, (n+k-1)}, costituito dai primi (n+k-1) numeri naturali a partire da 1 Costruiamo quindi l insieme R delle combinazioni degli (n+k-1) elementi di C a gruppi di k senza ripetizione (Figura 15), di cui riusciamo a calcolare il numero attraverso la 512 ricavata al par 51 Analogamente a quanto fatto per l insieme R decidiamo di rappresentare all interno di ogni raggruppamento di R tutti gli elementi, che sono numeri naturali stavolta non ripetuti, in ordine non decrescente (che coincide con l ordine crescente, proprio poiché in questo caso non esistono numeri ripetuti): C R i Costruzione delle combinazioni degli (n+k-1) elementi di C a k a k senza ripetizione n n+k-1 Figura 15 Ora definiamo una legge di corrispondenza f da R a R (Figura 16): f: m i m i + i - 1 con i [1,k] R f R Figura 16

18 Ricordato che la f, come definita sopra, è una legge di corrispondenza tra vettori numerici di dimensione k, per renderne più agevole la comprensione, la definizione della f viene anche rappresentata graficamente qui sotto in Figura 17: Insieme R Vettore formato da k numeri di B (anche ripetuti) disposti in ordine non decrescente m1 m2 m3 mk f Insieme R m1 m2 + 1 m3 + 2 mk + (k-1) Vettore formato da k numeri (le proprietà dell insieme formato da questi elementi sono da dimostrare) Figura 17 La definizione di f Facciamo notare che quando abbiamo introdotto f abbiamo volutamente utilizzato il generico sostantivo corrispondenza e non funzione, dal momento che una qualunque legge di corrispondenza tra due insiemi (come, ad esempio, quella riportata in Figura 17) non è affatto scontato che essa sia conforme alla definizione di funzione monodroma, essendo quest ultima una proprietà da dimostrare ( ed è quello che faremo tra un po ) A questo punto, dal momento che attraverso la 512 riusciamo a calcolare Card[R ], il nostro obiettivo ora sarà quello di dimostrare che la corrispondenza f: R R è una funzione biiettiva, al fine di poter così affermare che Card[R ] = Card[R ] Pertanto ora dimostreremo che la f è: 1) una funzione 2) nello specifico, una funzione biiettiva 1 Per dimostrare che f è una funzione occorre provare che ogni elemento di R ha uno ed un solo corrispondente in R Per poter effettuare tale dimostrazione conviene prima identificare un criterio che ci permetta di verificare se un dato vettore di k numeri naturali appartiene a R oppure no Alla luce delle caratteristiche degli elementi dell insieme R un criterio utilizzabile è il seguente Sia dato un vettore λ formato da k componenti numeriche (Figura 18): λ1 λ2 λ3 λ i λ k Raggruppamento (vettore) di k numeri Figura 18

19 Criterio di appartenenza a R Il vettore numerico λ appartiene all insieme R se valgono congiuntamente le seguenti 3 proprietà (le proprietà 1 e 2 sono vere per costruzione di R, mentre la veridicità della proprietà 3 è provata attraverso quanto illustrato in Figura 19): 1 λ i N i [1,k] Le k componenti devono essere numeri naturali Il fatto che siano appartenenti a C e quindi soggette alla ulteriore limitazione 1 λ i (n+k-1) in questa prima condizione può anche non essere specificato, in quanto è già contenuto nella successiva proprietà 3 2 Presi λ i e λ j con i<j, si ha che λ i<λ j i,j [1,k] Le componenti sono sempre diverse tra loro ed ordinate in senso strettamente crescente (per costruzione) 3 i λ i (n+i-1) i [1,k] La i-esima componente di λ, la quale appartiene per costruzione all insieme C, non può assumere qualunque valore naturale compreso tra min(c) = 1 e Max(C) = (n+k-1) a causa dell ordinamento e dell assenza di ripetizione degli elementi, ma tale valore deve essere compreso all interno di un intervallo i cui estremi variano in funzione della posizione della componente i, secondo quanto spiegato qui sotto in Figura 19: Affinché λ appartenga a R i valori min e Max della prima componente devono essere: min = 1 (essendo λ1 la prima componente del vettore) Max = n (cioé quel valore che permette alle successive k-1 componenti di raggiungere e non oltrepassare il Max(C) in λk) Affinché λ appartenga a R i valori min e Max dell ultima componente devono essere: min = k (cioé quel valore che permette alle precedenti k-1 componenti di raggiungere e non oltrepassare il min(c) in λ1) Max = n+k-1 (essendo λk l ultima componente del vettore) λ1 λ2 λ3 λ i λ k [1,n] [2,n+1] [3,n+2] [i,n+(i-1)] [k,n+(k-1)] Generalizzando quanto osservato per la prima e per l ultima componente, affinché il vettore λ appartenga a R i valori min e Max della generica i-esima componente di λ devono essere: min = i (cioé quel valore che permette alle precedenti i-1 componenti di raggiungere e non scendere sotto a min(c) in λ1) Max = n+k-1 (cioé quel valore che permette alle successive k-i componenti di raggiungere e non oltrepassare il Max(C) in λk) Figura 19 A questo punto, ora che abbiamo a disposizione un criterio per stabilire se un elemento appartiene o meno ad R, preso un qualunque α R calcoliamo f(α) e quindi verifichiamo, attraverso il criterio appena enunciato, se f(α) R

20 Prima proprietà Visto che la i-esima componente di α è un numero naturale, essendo: m i {1,2,3,, n} i [1,k] allora anche la i-esima componente di f(α), data da (m i +i-1), è un numero naturale i [1,k] Quindi la prima proprietà è soddisfatta Seconda proprietà Consideriamo due qualunque componenti m i ed m j di α con i<j Allora sarà: i < j (per ipotesi) (521) m i m j (per costruzione dell insieme R ) (522) Sommando membro a membro le disequazioni 521 e 522 si ottiene: m i + i < m j + j (523) Quindi, sottraendo 1 da ambo i membri: m i + i - 1 < m j + j - 1 (524) I termini di sinistra e di destra della 524 non sono altro che, rispettivamente, le componenti i-esima e j- esima (con i<j) di f(α), le quali quindi risultano essere: diverse tra loro (la disuguaglianza 524 è in senso stretto) ordinate in senso strettamente crescente Quindi la seconda proprietà è soddisfatta Terza proprietà Preso un α R verifichiamo se il valore della i-esima componente di f(α) soddisfa la terza proprietà del criterio sopra i [1,k] e α R : [α] i-esima componente = m i [f(α)] i-esima componente = m i + i - 1 Ma visto che 1 m i n, essendo m i {1,2,3,, n} i [1,k], si ha che i valori min e Max della i-esima componente di f(α) sono dati da: min ( [f(α)] i-esima componente ) = 1 + i - 1 = i Max ( [f(α)] i-esima componente ) = n + i - 1 i [1,k] e α R Quindi anche la terza proprietà è soddisfatta Essendo soddisfatte tutte e tre le condizioni del criterio enunciato sopra, possiamo pertanto affermare che f(α) R α R

21 Quanto all univocità di f(α) essa è immediatamente dedotta dal fatto che le k corrispondenze m i m i + i - 1 i [1,k] che legano le componenti i-esime di α e di f(α), sono k funzioni monodrome (banali funzioni lineari nella variabile m i ) tra scalari interi naturali In conclusione la corrispondenza f è una funzione R R 2 - Per dimostrare che la funzione f è anche biiettiva occorre provare che ogni elemento di R è immagine di uno ed un solo elemento di R Innanzitutto dimostriamo che se un elemento di R è il corrispondente di un elemento di R, quest ultimo è unico Per fare ciò supponiamo, per assurdo, che esista un elemento ρ R il quale è immagine di due diversi elementi α e β R : α = β = [ α, α α ] 1 2,, [ β, β β ] 1 2,, k k Allora, in virtù della definizione della f riportata in Fig 15, si ha che: ρ = [ ρ, ρ ρ ] 1 2,, k ρ1 = α1 ρ 2 = α ρ3 = α ρ k = α k + ( k 1) (525) ma anche: ρ1 = β1 ρ 2 = β ρ3 = β3 + 2 ρ k = β k + ( k 1) (526) Dalle 525 e dalle 526 ne consegue che: α 1 = β1 α 2 = β 2 α 3 = β3 α k = β k (527) quindi deve essere α β

22 Ora dimostriamo che ogni elemento di R è corrispondente di un elemento di R (cioè in R non ci sono elementi che non sono corrispondenti di qualche elemento di R ) Per fare ciò consideriamo un generico elemento ϕ R ed andiamo a calcolare f -1 (ϕ), con l obiettivo di determinare se tale elemento appartiene a R Ora, visto che ϕ R, i valori delle sue k componenti devono essere compresi negli intervalli indicati nella Figura 19: i ϕ i n + i - 1 i [1,k] (528) Applicando la definizione di f calcoliamo µ = f -1 (ϕ) ( che non sappiamo ancora se appartiene a R ), il quale sarà legato a ϕ attraverso le seguenti k relazioni: ϕ i = µ i + i - 1 i [1,k] (529) Sostituendo le 529 nelle 528 si ottiene: µ i + i 1 i µ i + i 1 n + i 1 i [1,k] (5210) da cui, semplificando, risulta che ciascuna delle k componenti di µ deve soddisfare alle seguenti condizioni: µ i 1 µ i n i [1,k] (5211) ma questo indica che µ è obbligatoriamente un elemento di R Pertanto possiamo affermare che f è una funzione biiettiva R R e quindi: Card[R ] = Card[R ] = Card[R ] (5212) In conclusione il numero di combinazioni degli elementi di A con ripetizione (la cardinalità di R) si può pertanto calcolare come cardinalità di R, cioè come combinazioni di (n+k-1) elementi a gruppi di k senza ripetizione: ( ) n + k 1 n, = (5213) k C r k

23 6 Ringraziamenti Vorrei rivolgere un particolare ringraziamento al Prof Ing Antimo Barbato del Politecnico di Milano per i preziosi consigli e per la scrupolosa opera di revisione del presente documento, nonché al caro amico Prof Ledo Stefanini dell Università di Pavia per il costante aiuto ed incoraggiamento