Controllo dei Processi

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1 Controllo dei Processi A.A. 2006/07 Docente: Ing. Carlo Cosentino Lab. Di Biomeccatronica Tel:

2 Schemi di Controllo Avanzati 2

3 Schema di Base Finora è stato sempre utilizzato lo schema di base in figura Il controllore prende in ingresso l errore e fornisce il segnale di controllo È possibile implementare schemi più complessi per migliorare le prestazioni del sistema, o per gestire sistemi multivariabili 3

4 Sistemi a sfamento non minimo Zeri a parte reale positiva e ritardi di tempo introduco uno sfasamento negativo nella funzione di anello, L(s) Inoltre lo zero a parte reale positiva non è cancellabile (si dovrebbe introdurre un polo a parte reale positiva nella R(s), ossia utilizzare un regolatore instabile!) Il ritardo chiaramente non è eliminabile in alcun modo Ne risulta che zeri a p.r.p. e/o ritardi impongono un limite superiore alla pulsazione critica 4

5 Esempio Si progetti un controllore per il sistema avente fdt G ( 5 s) ( s + 1)( s + 50) cercando di massimizzare la banda passante e mantendo un margine di fase di almeno 30. Per il progetto utilizziamo il sisotool del Matlab = 5

6 Si consideri il sistema Predittore di Smith G ( s) () N = D s + ( s) N ( s) D() s τ s τ s asintoticamente stabile, dove N + (s) e N - (s) sono i polinomi che contengono le radici a parte reale positiva e negativa, rispettivamente, e tali che N + (0)=1 Lo schema a Predittore di Smith fu introdotto nel 1958 da O.J.M. Smith Lo scopo è quello di fornire una predizione dell uscita del processo, da retroazionare al posto dell uscita effettiva e = N e 6

7 Schema a Predittore di Smith Lo schema a Predittore di Smith è mostrato in figura P = 1 N N + + ( s) ( s) e τ s N + ( s) N ( s) D() s R = N D R R ( s) La P(s) cancella l uscita effettiva (con ritardo), y(t), e la sostituisce con una sua predizione, z(t) 7

8 Schema a Predittore di Smith Si può facilmente verificare che la fdt di anello è = ( G( s) + P( s) ) R ( s) = G ( s) R ( s) L G = N + ( s) N ( s) D() s Asintoticamente stabile e a sfasamento minimo Il segnale z(t) è uguale a y(t) a meno del ritardo, infatti Z N () ( () ()) ( ) ( s) s = G s + P s U s = D() s τs τs = e G U = e Y U 8

9 Schema Equivalente Si noti che lo schema del predittore di Smith è del tutto equivalente allo schema di base 9

10 FdT del Predittore di Smith La differenza consiste nella fdt, che risulta essere R () ( s) R s = 1 + R s P s = D R () () N R D() s + + τ s D + N ( s) N N N N N e Il regolatore complessivo è un sistema a dimensione infinita, per la presenza del termine e -τs al denominatore Si noti che P(0)=0, per cui a fronte di segnali a gradino la z(t) tenderà asintoticamente alla y(t) R R 10

11 FdT del Predittore di Smith Calcoliamo la fdt tra il riferimento w e l uscita y R () ( s) G( s) F s = 1+ R s P s + R s G s = D R () () () () + N R N N + D + N N ( s) N Non sono presenti termini a fase non minima al denominatore Il ritardo è sempre presente, perché è una caratteristica intrinseca del processo e nessuno schema di controllo può eliminarlo R e τ s 11

12 Accorgimenti Benché lo schema a Predittore di Smith permetta un miglioramento arbitrario delle prestazioni è bene non eccedere nell ampliamento della banda passante Errori e/o incertezze di modello possono infatti causare delle prestazioni molto diverse da quelle progettate Linea continua: Regolatore classico Linea tratteggiata: Predittore Linea grigia: Predittore e ritardo di processo diverso da quello di modello 12

13 Sistemi in Cascata Si consideri un sistema del tipo Si supponga che il sotto-sistema G 1 (s) permetta di ottenere prestazioni migliori se controllato isolatamente Ciò accade ad es. quando G 1 rappresenta un attuatore, mentre G 2 è un processo difficile da controllare (a causa di zeri a parte reale positiva, ritardo, incertezze di modello, etc.) 13

14 Schema di Controllo in Cascata Sotto tali ipotesi è possibile adottare il seguente schema Il ciclo di controllo interno permette di raggiungere buone prestazioni di velocità e reiezione del disturbo, d(t) In questo modo, ai fini del progetto del regolatore R2, si può assumere v 0 v Si realizza, quindi, un disaccoppiamento in frequenza 14

15 Controllo di Sistemi Instabili Quando il sistema da controllare è instabile non è possibile utilizzare i metodi classici di sintesi in frequenza In questi casi si può effettuare il progetto direttamente sul diagramma di Nyquist, oppure utilizzare il luogo delle radici (v. sisotool) Tali strumenti, tuttavia, non permettono agevolmente di tradurre le specifiche in requisiti sulla f. di anello 15

16 Schema di Controllo di Sistemi Instabili Un metodo per ricondursi al caso standard ed utilizzare la sintesi in frequenza consiste nell utilizzare più cicli di controllo G (s) Il primo ciclo di controllo ha la sola funzione di stabilizzare il sistema Il secondo ciclo garantisce il soddisfacimento delle specifiche mediante tecniche classiche applicate al sistema G (s) 16

17 Regolatori in Anello Aperto Spesso il controllore globale consiste di un integrazione di regolatori in anello aperto e in retroazione Ciò può risultare utile, ad es. in presenza di disturbi misurabili o quando è necessario filtrare il riferimento Il blocco C(s) è detto Compensatore 17

18 Prefiltraggio Vi sono diversi motivi per cui può essere necessario Compensazione statica Nel caso F(0) 1, ossia non c è un azione integrale, è possibile assicurare un guadagno unitario imponendo C(0)=F -1 (0) Chiaramente tale soluzione non è robusta (incertezze modello) Filtraggio passa-basso Scegliendo un C(s) di tipo passa-basso si evita che il riferimento sia un segnale troppo rapido (moderazione u(t)) La banda passante del compensatore deve essere inferiore a quella del sistema retroazionato 18

19 Filtraggio passa-alto Prefiltraggio Serve a velocizzare la risposta, ampliando la banda passante del sistema complessivo Va usato quando non è possibile fissare una pulsazione critica troppo elevata nella funzione di anello (incertezze ad alta frequenza) In questo modo non si ledono le caratteristiche di stabilità del sistema in retroazione Altro caso: non si vuole inseguire la componente continua del riferimento (filtro wash-out) C wash out = Ks 1+τs 19

20 Compensazione del Segnale di Riferimento Uno schema alternativo di compensatore in avanti è Y = R G + Cˆ ( s) G( s) 1+ R G() s W Cˆ ( s) = G( s) 1 ( s) W ( s) Y = 20

21 Compensazione del Segnale di Riferimento Il modello del processo, G(s), è strettamente proprio, quindi C(s)=G(s) -1 è impropria e quindi irrealizzabile Tuttavia si può approssimare l inversa nel range di frequenze di interesse In genere si può scegliere anche un semplice compensatore statico, ossi C(s)=µ c In genere conviene non utilizzare un valore troppo elevato di µ c che può comportare delle sovraelongazioni eccessive 21

22 Schemi a Due Gradi di Libertà Quelli con compensatore sono esempi di schemi di controllo a due gradi di libertà La fdt tra w e u non coincide con quella (cambiata di segno) tra y e u, come nello schema di base 22

23 Compensazione dei Disturbi Misurabili Quando il disturbo, d(t), è misurabile, è possibile utilizzare un regolatore in anello aperto per compensarlo Tale regolatore, avente fdt M(s), ha come ingresso d(t) e come uscita il segnale di controllo u(t) 23

24 Compensazione dei Disturbi Misurabili Il disturbo sull uscita è caratterizzato da un suo spettro frequenziale, modellabile mediante la fdt H(s) L effetto del disturbo sull uscita è Y = H + M ( s) G( s) 1+ R G() s D() s Anche in questo caso non è possibile soddisfare tale condizione, poiché G(s) è strettamente propria, ma si può soddisfarla in un certo range di pulsazioni di interesse Anche in questo caso si può adottare un compensatore statico del tipo M(s)=µ M =-H(0)/G(0) M ( s) = H ( s) G( s) 1 Y ( s) = 0 24

25 Sistemi MIMO Le tecniche fin qui presentate sono utilizzabili solo per sistemi SISO (single-input single-output) L analisi e sintesi di sistemi MIMO (multi-input multioutput) richiede in generale tecniche più complesse Tuttavia, nel seguito vedremo come in alcuni casi si possono generalizzare le tecniche di sintesi SISO al caso MIMO In particolare faremo riferimento al caso in cui il numero di uscite sia uguale al numero di ingressi 25

26 Matrici di Trasferimento Un sistema con m segnali di ingresso, u i (t) i=1, m, ed m segnali di uscita y i (t), i=1, m, può essere definito mediante una matrice di trasferimento G G = M G 11 m1 Si ricordi che, date due matrici, A e B, in generale non vale la commutazione del prodotto, quindi AB BA Quindi, nel ricavare le fdt dei sistemi MIMO, bisogna fare attenzione a moltiplicare dal lato giusto L O L G G 1m M mm 26

27 Disaccoppiamento di Sistemi Triangolari Si consideri il sistema 2 2 descritto da Y Y ( s) G = G ( s) G U U 1 2 ( s) () s in cui y 1 dipende da u 1 e y 2 dipende da u 1 e u 2 27

28 Disaccoppiamento di Sistemi Triangolari La tecnica di controllo si basa su di un disaccoppiatore che rende y 2 indipendente da u 1 Una volta ottenuto un sistema diagonale è possibile progettare i regolatori per i due canali in maniera indipendente 28

29 Disaccoppiamento di Sistemi Triangolari Per sistemi triangolari, il blocco M(s) ha la seguente fdt M ( s) = G ( s) G ( s) 1 Lo stesso procedimento si può estendere anche a sistemi di MIMO m m ~ = G () s G11 = 0 ( s) G d 22 0 () G s 29

30 Disaccoppiamento di Sistemi Triangolari Nel caso tirangolare 2 2, i blocchi sono = G21() s G , W1 s Y1 s () () () E s = W 2 s Y2 s Si noti che la G 22 (s) non può in generale essere invertita, quindi si ricorre ad opportuni approssimanti nel range di pulsazioni di interesse E possibile estendere la tecnica del disaccoppiamento anche a sistemi non triangolari, come mostrato nel seguito R = R ( ) ( ) () R 2 s 30

31 Disaccoppiamento in Avanti Sia definita una matrice diagonale di trasferimento, G d (s) G 1 ( s) = G ( s) ( s) = G( s) G ( s) Il regolatore complessivo sarà d 1 ( s) = ( s) R ( s) = G( s) G ( s) R ( s) R d Esso è causale solo se G(s) non contiene ritardi di tempo Inoltre non è possibile cancellare eventuali zeri a parte reale positiva o nulla d 31

32 Disaccoppiamento in Avanti Nel seguito si ipotizza che G(s) è razionale G(s) è asintoticamente stabile det G(s) 0, per ogni s con Re(s) 0 Deriviamo la matrice di trasferimento del disaccoppiatore G = ( s) () () s 22 s () s = G ( s) d G G G + G = = 0, 0 s 32

33 Disaccoppiamento in Avanti Abbiamo due equazioni scalari in quattro incognite (le ij ), quindi infinite soluzioni. Una comunemente adottata è = 22() s = = G12 G11() s = G G

34 Disaccoppiamento in Avanti Si può verificare che risulta Y Y 1 2 G = 11 G 12 0 ( s) G21( s) G 22 Le fdt ottenute possono avere ordine elevato, rendendo difficoltosa l analisi del sistema a ciclo chiuso Qualora la scelta effettuata per le ij non risulti realizzabile si può ricorrere ad altre scelte G 22 G 0 21 G12() s G 11 V V 1 2 () s 34

35 Disaccoppiamento all Indietro Siano G di (s)=g ii (s) le matrici di trasferimento desiderate a valle del disaccoppiamento, definito dalla relazione U ( s) = Γ( s) U ( s) + V ( s) in cui resta da definire Γ(s) Essendo U(s)= (s)v(s), G ( s) = ( I Γ( s) ) 1 1 = Gd ( s) Γ( s) = G ( s) ( G ( s) G( s) ) Γ ij = G ij 0 G i j ii d i = j d 35

36 Disaccoppiamento all Indietro Il sistema risultante, dunque, ha delle fdt identiche a quelle originali sulle diagonali, e nulle altrove 36

37 Controllo Decentralizzato Quelli nei lucidi precedenti sono schemi di controllo centralizzato, ossia ogni variabile errore influenza ogni uscita Alternativamente è possibile utilizzare degli schemi decentralizzati, in cui ogni regolatore agisce solo sulla base di una singola variabile errore 37

38 Controllo Decentralizzato Una strategia ingenua potrebbe consistere nel progettare in maniera classica ogni singolo controllore, R i, sulla base della rispettiva fdt, G ii tra u i e y i Tuttavia, anche se il singolo controllore, R i, garantisse la stabilità e le prestazioni per un sistema SISO, non è detto che le stesse proprietà valgano per il sistema MIMO Le interazioni tra ingressi e uscite descritte dalle fdt fuori diagonale, infatti, possono modificare completamente le caratteristiche del sistema complessivo 38

39 Controllo Decentralizzato Un possibile procedimento consiste allora nel progettare un regolatore per volta Al passo i-esimo si chiude il ciclo di controllo tra u i e y i assumendo che tutti gli altri ingressi siano nulli Si inseriscono i controllori dal primo all i-esimo nello schema e si calcola la matrice di trasferimento complessiva, che sarà usata nel passo i+1- esimo Nonostante le limitate prestazioni ottenibili, i controllori decentralizzati sono molto diffusi in ambito industriale, in quanto possono essere facilmente implementati mediante PID e comportano una minore complessità del sistema di trasmissione dati 39

40 Matrice dei Guadagni Relativi Misura l influenza di ciascun ingresso su ogni uscita Sia nel controllo decentralizzato che nel progetto con disaccoppiatore è opportuno regolare la variabile y j utilizzando l ingresso u i che ha maggiore influenza su di esso Esistono diversi metodi per valutare il grado di interazione e determinare gli accoppiamenti più opportuni Spesso la scelta è influenzata anche da considerazioni di carattere pratico, derivanti dalla natura dello specifico processo 40

41 Matrice dei Guadagni Relativi Il metodo che presentiamo è quello della matrice dei guadagni relativi (o Relative Gain Array, RGA) Partendo da una condizione di equilibrio (ingressi e uscite costanti), si genera una variazione a gradino su δu i e si misurano le variazioni su ciascuna uscita, δy jaa δy δu jaa i = G 0 ( ) = g ji Si supponga poi, lasciando invariato δu i, di applicare un vettore degli ingressi tale da riportare tutte le uscite al loro valore originale, tranne y j, che subisce una variazione δy jac e definiamo ji Variazione in anello aperto h ji δy = δu jac i Variazione in anello chiuso 41

42 Matrice dei Guadagni Relativi Definiamo il guadagno relativo della coppia (u i,y j ) come e la matrice dei guadagni relativi λ11 Λ = M λm 1 K O K Nel caso 2 2 si ottiene la seguente matrice RGA λ ji λ λ = 1m M mm g h ji ji = G λ 1 λ Λ = 1 λ λ 1 ( ) T ( 0) o G( 0) Prodotto elemento per elemento 42

43 Matrice dei Guadagni Relativi In generale 0<λ<1 indica un interazione tra i vari cicli tanto più critica quanto più λ è vicino a zero, poiché il guadagno in anello chiuso è più piccolo di quello in anello aperto λ>1 indica un interazione positiva, che comunque modifica le proprietà del sistema λ 1 è la condizione migliore, vuol dire che gli altri cicli di controllo non hanno influenza significativa, quindi gli accoppiamenti vanno fatti scegliendo le λ ij più prossime a 1 43