RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI

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1 RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI CorsodiFondamentidiGeotecnica Scienze dell Ingegneria Edile, A.A. 2005\2006 Dott. Ing. Johann Facciorusso

2 Rappresentazione degli stati tensionali PIANI E TENSIONI PRINCIPALI Se si considerano tutti i possibili elementi superficiali infinitesimi passanti per un punto O all interno di un corpo, le tensioni su di essi (cioè la tensione risultante e le componenti normale σ e tangenziale all'elemento superficiale considerato) variano generalmente da elemento a elemento. Esistono tre piani, fra loro ortogonali, su cui agiscono esclusivamente tensioni normali. Questi tre piani sono detti principali, e le tensioni che agiscono su di essi sono dette tensioni principali σ 1 = tensione principale maggiore (agisce sul piano principale maggiore π 1 ) σ 2 = tensione principale intermedia (agisce sul piano principale intermedio π 2 ) σ 3 = tensione principale minore (agisce sul piano principale minore π 3 ) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 2/64 σ 3 σ 2 π 1 π 2 π 3 O σ σ 1 1 σ 2 σ 3

3 Rappresentazione degli stati tensionali STATO TENSIONALE ISOTROPO σ 1 = σ 2 = σ 3 (tensione isotropa) tutti i piani della stella sono principali e la tensione (isotropa) è eguale in tutte le direzioni. STATO TENSIONALE ASSIAL-SIMMETRICO σ i = σ j σ k tutti i piani appartenenti al fascio che ha per asse la direzione della tensione principale diversa dalle altre due, sono piani principali (e le relative tensioni sono uguali). Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 3/64

4 Rappresentazione degli stati tensionali STATO TENSIONALE PIANO Poiché gli stati tensionali critici per i terreni interessano piani appartenenti al fascio avente per asse la direzione della tensione principale intermedia σ 2 è possibile ignorare il valore e gli effetti della tensione principale intermedia e riferirsi ad un sistema piano di tensioni. σ 1 σ σ 3 O θ Piano π Piano principale minore π Dall equilibrio 1 alla traslazione risulta che: σ 1 σ 3 θ = sin 2θ 2 2 ( σ σ ) cos θ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 4/64 σ Piano principale maggiore, π 3 3 σ θ = σ σ θ θ 3 θ

5 Rappresentazione degli stati tensionali In un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O e assi X e Y, sul quale vengono riportate lungo l asse X le tensioni normali, σ, e lungo l asse Y le tensioni tangenziali, (piano di Mohr), il luogo geometrico delle condizioni di tensione di tutti i piani del fascio è rappresentato da un cerchio (cerchio di Mohr). Y CERCHIO DI MOHR RAGGIO : R = (σ 1 σ 3 )/2 O A θ C 2θ D E B X CENTRO : C[(σ 1 + σ 3 )/2; 0] σ 3 σ θ σ 1 Se il piano principale maggiore π 1 (su cui agisce la σ 1 ) è perpendicolare all asse Y, il punto A(σ 3,0) è detto polo o origine dei piani Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 5/64

6 Rappresentazione degli stati tensionali CERCHIO DI MOHR Se per individuare l orientazione dei piani del fascio assumiamo come riferimento i piani verticale ed orizzontale, non necessariamente coincidenti con i piani principali, il polo, P, è individuato dall intersezione col cerchio di Mohr della retta condotta dal punto, D, che ha per coordinate la tensione normale e tangenziale sul piano orizzontale Y O σ polo 3 A P σ 1 C α Tensione sul piano orizzontale D E B Tensione sul piano inclinato di rispetto all orizzontale Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 6/64 X α N.B. Lo stesso cerchio di Mohr può essere disegnato per descrivere lo stato tensionale piano relativo al fascio avente per asse la direzione principale maggiore o minore

7 RESISTENZA AL TAGLIO Criterio di rottura di Mohr-Coulomb Per le verifiche di resistenza delle opere geotecniche è necessario valutare quali sono gli stati di tensione massimi sopportabili dal terreno in condizioni di incipiente rottura Nella Meccanica dei Terreni si parla di resistenza al taglio, perché in tali materiali, a causa della loro natura particellare, le deformazioni (e la rottura) avvengono principalmente per scorrimento relativo fra i grani Def. La resistenza al taglio di un terreno in una direzione è la massima tensione tangenziale, f, che può essere applicata alla struttura del terreno, in quella direzione, prima che si verifichi la rottura La rottura : può essere improvvisa e definitiva, con perdita totale di resistenza (come avviene generalmente per gli ammassi rocciosi) oppure può avere luogo dopo grandi deformazioni plastiche, senza completa perdita di resistenza (come si verifica spesso nei terreni) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 7/64

8 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb RESISTENZA AL TAGLIO In linea teorica se si utilizzasse per l analisi delle condizioni di equilibrio e di rottura dei terreni un modello discreto, costituito da un insieme di particelle a contatto, si dovrebbero valutare le azioni mutue intergranulari (normali e tangenziali alle superfici di contatto) e confrontarle con i valori limite di equilibrio. Tale approccio, allo stato attuale e per i terreni reali, non è praticabile. In pratica si utilizza un modello continuo, costituito, nell ipotesi di terreno saturo, dalla sovrapposizione nello stesso spazio di un continuo solido corrispondente alle particelle di terreno, ed un continuo fluido, corrispondente all acqua che occupa i vuoti interparticellari. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 8/64

9 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb RESISTENZA AL TAGLIO Le tensioni che interessano il continuo solido sono le tensioni efficaci, definite dalla differenza tra le tensioni totali e le pressioni neutre (I parte del principio delle tensioni efficaci): σ = σ -u A queste (II parte del principio delle tensioni efficaci), è legata la resistenza al taglio dei terreni ( Ogni effetto misurabile di una variazione dello stato di tensione, come la compressione, la distorsione e la variazione di resistenza al taglio è attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci ): f = f ( σ ') Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 9/64

10 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb CRITERIO DI MOHR-COULOMB Il più semplice ed utilizzato criterio di rottura per i terreni, è il criterio di Mohr-Coulomb (- Terzaghi): f = c' + ( σ u) tanφ' = c' + σ ' tan ' φ in base al quale la tensione tangenziale limite di rottura in un generico punto P di una superficie di scorrimento potenziale interna al terreno è dato dalla somma di due termini: il primo, detto coesione c, è indipendente dalla tensione efficace normale alla superficie agente in quel punto il secondo è ad essa proporzionale attraverso un coefficiente d attrito tanφ. L angolo φ è detto angolo di resistenza al taglio Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64 c STATI TENSIONALI IMPOSSIBILI STATI TENSIONALI POSSIBILI φ σ

11 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb CRITERIO DI MOHR-COULOMB Nel piano -σ, lo stato di tensione (supposto per semplicità piano) nel punto P, corrispondente alla rottura, sarà rappresentato da un cerchio di Mohr che non può che essere tangente all inviluppo di rottura inviluppo di rottura ϕ rottura f c O σ 3,f σ f no rottura Impossibile σ σ 1,f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

12 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb CRITERIO DI MOHR-COULOMB L angolo fra il piano di rottura passante per P (ovvero il piano su cui agiscono la tensione efficace normale σ n,f e la tensione tangenziale f ) ed il piano su cui agisce la tensione principale maggiore σ 1,f è pari a: θ f = π/4 + φ /2 traccia del piano di rottura D θ = π/4+ϕ /2 f ϕ inviluppo di rottura f c F O σ A 3,f C B σ n,f 2θ f σ σ 1,f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

13 OSSERVAZIONI Criterio di rottura di Mohr-Coulomb I. Il criterio di rottura di Mohr-Coulomb non dipende dalla tensione principale intermedia. ϕ c σ 3,f σ 2,f σ 1,f C B σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

14 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb OSSERVAZIONI II. La tensione f non è il valore massimo della tensione tangenziale, che è invece pari al raggio del cerchio di Mohr: max = 1 2 ( ' ' σ σ ) ed agisce su un piano ruotato di π/4 rispetto al piano su cui agisce la tensione principale maggiore σ 1,f e quindi di φ /2 rispetto al piano di rottura. 1 3 max f traccia del piano di rottura F O c σ A 3,f C B σ n,f D E σ 1,f θ = π/4+ϕ /2 f ϕ inviluppo di rottura σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

15 OSSERVAZIONI Criterio di rottura di Mohr-Coulomb III. I parametri di resistenza al taglio c e tanφ non sono caratteristiche fisiche del terreno, ma sono funzione di molti fattori (storia tensionale, indice dei vuoti, tipo di struttura, composizione granulometrica, etc.. IV. L inviluppo a rottura può presentare c = 0. V. L inviluppo di rottura reale non è necessariamente una retta; spesso tale approssimazione è accettabile solo in un campo limitato di tensioni. VI. Poiché la variazione di resistenza al taglio è attribuibile esclusivamente a variazioni delle tensioni efficaci, per i terreni a grana grossa (dove alle variazioni di tensione totale corrispondono immediatamente analoghe variazioni di tensione efficace) la resistenza al taglio, e quindi le condizioni di stabilità, non variano nel tempo dall applicazione del carico, ciò invece accade per i terreni a grana fine (consolidazione): I. se le tensioni efficaci crescono (rilevato), anche la resistenza al taglio cresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a breve termine, II. se le tensioni efficaci decrescono (scavo) anche la resistenza al taglio decresce e le condizioni di stabilità più critiche sono a lungo termine Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

16 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb COEFFICIENTI DI SKEMPTON IPOTESI: Elemento di terreno poco permeabile, saturo e sotto falda all interno di un deposito omogeneo con superficie del piano campagna orizzontale STATO TENSIONALE: assial-simmetrico (le tensioni geostatiche verticale e orizzontali sono tensioni principali e le tensioni principali orizzontali sono tra loro uguali; ad es. σ 1 = σ v e σ 2 =σ 3 = σ h ) CONDIZIONI DI CARICO E DI FALDA: nessun carico applicato e condizioni idrostatiche σ 1 u/γ w σ 3 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

17 COEFFICIENTI DI SKEMPTON Criterio di rottura di Mohr-Coulomb Si applica, in modo istantaneo in superficie, un carico (infinitamente esteso in direzione orizzontale), che produce istantaneamente, nell elemento di terreno considerato, un incremento assial simmetrico dello stato tensionale totale ( σ 1 e σ 2 = σ 3 ) e un incremento della pressione interstiziale ( u), che possono essere scomposti in: incremento delle tensioni isotropo, ovvero agente in modo eguale in tutte le direzioni, di intensità σ 3 (con incremento di pressione u b ) incremento deviatorico, ovvero agente solo in direzione verticale, di intensità ( σ 1 σ 3 ) (con incremento di pressione u a ) u/ γ w u / γ b w u/ γ a w σ 1 = σ 3 + σ 1 σ 3 σ 3 σ 3 0 u = u a + u b Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

18 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb COEFFICIENTI DI SKEMPTON Si definiscono coefficienti di Skempton i rapporti: B = u b σ 3 A = u a ( σ ) 3 1 σ A = A B e l incremento di pressione interstiziale conseguente all applicazione del carico risulta: u = B [ σ + A ( σ )] 3 1 σ 3 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

19 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb COEFFICIENTE B DI SKEMPTON: a) terreno saturo (S r =1): l applicazione di un incremento di tensione totale isotropa σ in condizioni non drenate non produce alcuna deformazione (né volumetrica né di distorsione) e quindi, in base al principio delle tensioni efficaci, non produce neppure variazioni di tensione efficace ( σ = 0) σ = σ + u = u u B = b = 1 σ b) terreno asciutto (S r =0): l applicazione di 0.6 un incremento di tensione totale isotropa σ produce una deformazione volumetrica 0.4 isotropa (se lo scheletro solido è isotropo) e nessuna variazione delle pressioni interstiziali 0.2 ( u = 0): 0 u σ = σ + u = σ B = b = σ 3 u c) terreno non saturi (0<S r <1): σ = σ + u 0 < B = b < 1 σ 3 B dipende dal grado di saturazione dei terreno, con una legge non lineare e variabile da terreno a terreno Grado di saturazione, S r Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64 Coefficiente B di Skempton

20 Criterio di rottura di Mohr-Coulomb COEFFICIENTE A DI SKEMPTON: Nell ipotesi di terreno saturo (B = 1), il coefficiente A (= A) dipende (a differenza del coefficiente B) dall incremento di tensione ( σ 1 σ 3 ) deviatorica (sempre in condizioni non drenate). Ad esempio a rottura: A f = A f u f = ( σ σ ) 1 3 f Coefficiente A di Skempton f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ / Grado di sovraconsolidazione, OCR

21 PROVA DI TAGLIO DIRETTO Prova di taglio diretto TIPO DI TERRENO: può essere eseguita su campioni ricostituiti di materiali sabbiosi e su campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine (in genere tre provini dello stesso materiale) FORMA E DIMENSIONE DEI PROVINI: hanno sezione quadrata di lato mm e altezza mm (la dimensione massima dei grani di terreno deve essere almeno 6 volte inferiore all altezza del provino) Le dimensioni devono essere tali da velocizzare il processo di consolidazione e ridurre l attrito lungo le pareti laterali della scatola di taglio MODALITÀ DI PROVA: si esegue, su provini saturi precedentemente consolidati (consolidazione edometrica), in condizioni drenate a deformazione controllata (velocità di 0.02 mm/s per le sabbie e mm/s per le argille) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

22 Prova di taglio diretto PROCEDURA DI PROVA: I. FASE DI CONSOLIDAZIONE Viene applicata in modo istantaneo e mantenuta costante nel tempo una forza verticale N che dà inizio ad un processo di consolidazione edometrica Si misurano durante questo arco di tempo (in genere 24 ore) gli abbassamenti del provino, controllando in tal modo il processo di consolidazione e quindi il raggiungimento della pressione verticale efficace media: ' N σ = essendo A la sezione orizzontale del provino n A II. FASE DI TAGLIO Si fa avvenire lo scorrimento orizzontale relativo, δ, a velocità costante fra le due parti del telaio producendo il taglio del provino nel piano orizzontale medio. Si controlla lo spostamento orizzontale relativo e si misurano la forza orizzontale T(δ), che si sviluppa per reazione allo scorrimento, e le variazioni di altezza del provino Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

23 Prova di taglio diretto INTERPRETAZIONE DELLA PROVA: Si determina la forza resistente di picco T f oppure, quando non si possa individuare chiaramente un valore di picco della resistenza, la forza T corrispondente ad uno spostamento pari al 20% del lato del provino. La tensione normale e di taglio che agiscono sul piano di rottura (orizzontale) sono rispettivamente: σ ' ' n,f = σ n = f = T f A N A che sono le coordinate di un punto del piano di Mohr appartenente alla linea inviluppo degli stati di tensione a rottura Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64 3f 2f 1f Spostamento, δ σ σ 3n σ 1n 2n

24 Prova di taglio diretto INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Ripetendo la prova con differenti valori di N (almeno tre scelti tenendo conto della tensione verticale efficace geostatica) si ottengono i punti sperimentali che permettono di tracciare la retta di equazione f e determinare c e φ 3f 2f = c ' + σ ' tanφ' σ 3n ϕ 1f σ 2n Spostamento, δ σ 1n Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64 c σ σ σ 1n 2n 3n σ

25 Prova di taglio diretto STATO TENSIONALE All inizio della prova e alla fine della consolidazione è di tipo geostatico (assial-simmetrico); a rottura il piano orizzontale e verticale non sono più piani principali. ϕ f σ n c LIMITI: Spostamento, δ 3f σ 0 n 1,0= σ = K σ σ σ σ 1. l area A del provino varia (diminuisce) durante la fase di taglio 2. la pressione interstiziale non può essere controllata 3. non sono determinabili i parametri di deformabilità 4. la superficie di taglio è predeterminata e, se il provino non è omogeneo, può non essere la superficie di resistenza minima 3,0 n 1f σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

26 PROVE TRIASSIALI STANDARD Prove triassiali TIPO DI TERRENO: può essere eseguita su campioni ricostituiti di materiali sabbiosi e su campioni indisturbati o ricostituiti di terreni a grana fine SCOPO DELLA PROVA: determinarne le caratteristiche di resistenza al taglio e di rigidezza del terreno FORMA E DIMENSIONE DEI PROVINI: i provini di terreno hanno forma cilindrica con rapporto altezza/diametro generalmente compreso tra 2 e 2.5. Il diametro è di norma 35 o 50mm (deve essere almeno 10 volte maggiore della dimensione massima dei grani) MODALITÀ DI PROVA: la prova nelle sue modalità standard si esegue a compressione su provini saturi, consolidati o meno, in condizioni drenate o non drenate, a deformazione controllata STATO TENSIONALE: è di tipo assial-simmetrico e rimane tale durante tutte le fasi della prova, quindi le tensioni principali agiscono sempre lungo le direzioni assiale e radiali del provino Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

27 PROVE TRIASSIALI STANDARD Prove triassiali Carico assiale Misuratore del carico assiale Misuratore degli spostamenti verticali Misuratore della Pressione di cella Provino Misuratore del Volume d acqua scambiato Misuratore della pressione interstiziale Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

28 PROVE TRIASSIALI STANDARD Prove triassiali Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

29 Prove triassiali APPARECCHIATURA Con l apparecchio triassiale standard è possibile: esercitare una pressione totale isotropa sul provino mediante l acqua contenuta nella cella; fare avvenire e controllare la consolidazione isotropa del provino misurandone le variazioni di volume, corrispondenti alla quantità di acqua espulsa attraverso i tubi di drenaggio; deformare assialmente il provino a velocità costante fino ed oltre la rottura misurando la forza assiale di reazione corrispondente; misurare il volume di acqua espulso o assorbito dal provino durante la compressione assiale a drenaggi aperti; controllare le deformazioni assiali del provino, determinate dalla velocità di avanzamento prescelta della pressa, durante la compressione assiale; misurare la pressione dell acqua nei condotti di drenaggio (che si suppone eguale alla pressione interstiziale uniforme nei pori del provino) quando la compressione, isotropa o assiale, avviene a drenaggi chiusi, mettere in pressione l acqua nei condotti di drenaggio, e quindi creare una eguale pressione interstiziale nel provino (contropressione o back pressure). Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

30 Prove triassiali TIPI DI PROVA Le prove triassiali standard sono condotte secondo tre modalità : prova triassiale consolidata isotropicamente drenata (TxCID), prova triassiale consolidata isotropicamente non drenata (TxCIU), prova triassiale non consolidata non drenata (TxUU). FASE DI SATURAZIONE Per ciascuno dei tre tipi di prova, dovendo essere il provino saturo, il provino è inizialmente saturato mediante la contemporanea applicazione di una tensione isotropa di cella e di una poco minore contropressione dell acqua interstiziale. Per verificare l avvenuta saturazione: 1. a drenaggi chiusi si incrementa la pressione di cella di una quantità σ e si misura il conseguente aumento di pressione interstiziale, u. 2. se il coefficiente B = u/ σ > 0,95, si considera il provino saturo 3. se invece risulta B < 0,95, il provino non è saturo. Si incrementano della stessa quantità i valori di pressione di cella e di contropressione interstiziale (in modo da mantenere costante la pressione efficace di consolidazione), e si ripete la misura di B Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

31 PROVA TxCID La prova si svolge in due fasi. Prove triassiali I. FASE DI CONSOLIDAZIONE Il provino, precedentemente saturato, è sottoposto a compressione isotropa mediante un incremento della pressione di cella, a drenaggi aperti fino alla completa consolidazione. La pressione di consolidazione, σ c, è pari alla differenza fra pressione di cella (totale), σ c, e contropressione interstiziale, u 0 : σ c = σ c u 0 Il processo di consolidazione è controllato attraverso la misura nel tempo del volume di acqua espulso Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

32 PROVA TxCID Prove triassiali II. COMPRESSIONE ASSIALE Ancora a drenaggi aperti, si fa avanzare il pistone a velocità costante e sufficientemente bassa da non produrre sovrappressioni neutre all interno del provino. La velocità può essere scelta in modo inversamente proporzionale al tempo di consolidazione della prima fase. Durante la seconda fase è controllata la variazione nel tempo dell altezza del provino, H, e sono misurate: la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino il volume d acqua espulso o assorbito dal provino V corrispondente alla sua variazione di volume Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

33 PROVA TxCID INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Le misure effettuate durante la seconda fase permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: σ σ la deformazione assiale media, ε a = H/H 0 la deformazione volumetrica media, ε v = V/V 0 la deformazione radiale media, ε r = (ε v ε a ) / 2 la tensione deviatorica media, σ a σ r = σ a σ r = N/A, essendo A l area della sezione orizzontale del provino. la tensione assiale media, σ a = N/A + σ c (e σ a = σ a u 0 ) essendo σ r la pressione radiale che rimane costante durante la prova e pari a σ c σ = σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 ε 33/64 v a r (σ σ ) a r (σ σ ) a r (σ σ ) a r 3f 2f 1f 3c 2c 1c 3r σ = σ σ = σ 2r 1r ε a

34 PROVA TxCID INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Si determina la tensione deviatorica a rottura (σ a -σ r ) f come valore di picco o come valore corrispondente ad un valore convenzionale della deformazione assiale media, ε a. Poiché durante la fase di compressione assiale la pressione di cella σ c rimane costante, la pressione radiale totale, che è anche la tensione principale minore (σ r = σ 3 ), rimane costante ed uguale alla pressione di cella, σ c : σ rc =σ 3c (valore a fine consolidazione) = σ rf =σ 3f (valore a rottura) = σ c Poiché durante la fase di compressione assiale non si sviluppano sovrappressioni (prova drenata),cioè u 0 = cost, anche la pressione radiale efficace rimane costante: σ rc =σ 3c (valore a fine consolidazione) = σ c u 0 =σ rf =σ 3f (valore a rottura) = σ c Invece variano la pressione assiale sia totale che efficace. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

35 PROVA TxCID INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale iniziale a fine consolidazione è rappresentato da un punto di coordinate [0, σ c ]. I cerchi di Mohr che rappresentano gli stati tensionali durante la fase di applicazione del carico assiale (percorso tensionale) passano tutti per questo stesso punto. Il cerchio di Mohr a rottura passa anche per il punto di coordinate [0,(σ a -σ r ) f ] e deve essere tangente alla retta di equazione: f ( σ u) tanφ' = ' + σ ' tan ' = c' + c Stato tensionale a fine consolidazione φ Stato tensionale a rottura ϕ O σ σ = f σ = σ σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 r c 3f 1f 35/64 σ

36 PROVA TxCID INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Per determinare l equazione dell inviluppo a rottura, e quindi i parametri di resistenza al taglio φ e c, per il campo di tensioni indagato, bisogna ripetere la prova su almeno tre provini dello stesso terreno, a differenti valori della pressione efficace di consolidazione (scelti tenendo c conto della tensione efficace geostatica) CAMPO D APPLICAZIONE: O σ f ϕ σ L esecuzione della prova TxCID richiede un tempo tanto maggiore quanto minore è la permeabilità del terreno, ed è pertanto generalmente riservata a terreni sabbiosi o comunque abbastanza permeabili Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

37 PROVA TxCIU La prova si svolge in due fasi. Prove triassiali I. FASE DI CONSOLIDAZIONE Il provino, precedentemente saturato, è sottoposto a compressione isotropa mediante un incremento della pressione di cella, a drenaggi aperti fino alla completa consolidazione. La pressione di consolidazione, σ c, è pari alla differenza fra pressione di cella (totale), σ c, e contropressione interstiziale, u 0 : σ c = σ c u 0 Il processo di consolidazione è controllato attraverso la misura nel tempo del volume di acqua espulso Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

38 PROVA TxCIU Prove triassiali II. COMPRESSIONE ASSIALE A drenaggi chiusi e collegati a trasduttori che misurano la pressione dell acqua nei condotti di drenaggio e quindi nei pori del provino, si fa avanzare il pistone a velocità costante, anche relativamente elevata. Il provino, essendo saturo, non subirà ulteriori variazioni di volume. Durante la seconda fase è controllata la variazione nel tempo dell altezza del provino, H, e sono misurate: la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino la variazione di pressione interstiziale, u, all interno del provino Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

39 PROVA TxCIU INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Le misure effettuate durante la seconda fase permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: σ la deformazione assiale media, σ ε a = H/H (σ a r a σ ) r 3f 0 σ 3c = σ 3r la deformazione radiale media, ε r = ( ε a ) / 2 la sovrappressione interstiziale, (σ a σ ) r 2f σ = σ u =u - u 0 la tensione totale radiale media, (σ 2c 2r a σ ) r 1f σ 1c = σ 1r che rimane costante durante la prova σ r = σ c la tensione deviatorica media, σ a σ r = σ a σ r = N/A la tensione totale assiale media, σ a = N/A + σ r le tensioni efficaci medie assiali e radiali, σ a = σ a u; σ r = σ r u Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 u 39/64 ε a

40 PROVA TxCIU INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Si determina la tensione deviatorica a rottura (σ a -σ r ) f come valore di picco o come valore corrispondente ad un valore convenzionale della deformazione assiale media, ε a. Poiché durante la fase di compressione assiale la pressione di cella σ c rimane costante, la pressione radiale totale, che è anche la tensione principale minore (σ r = σ 3 ), rimane costante ed uguale alla pressione di cella, σ c : σ rc =σ 3c (valore a fine consolidazione) = σ rf =σ 3f (valore a rottura) Poiché durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non drenata), la pressione interstiziale,u, varia dal valore iniziale u 0 e così anche la pressione radiale efficace σ rc =σ 3c (valore a fine consolidazione) = σ c u 0 σ rf =σ 3f = σ c u (valore a rottura) La pressione assiale sia totale che efficace variano. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

41 PROVA TxCIU INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale iniziale a fine consolidazione è rappresentato da un punto di coordinate [0, σ c ]. I cerchi di Mohr che rappresentano gli stati tensionali durante la fase di applicazione del carico assiale (percorso tensionale) passano per punti distinti. Il cerchio di Mohr a rottura passa per i punti di coordinate [0,σ rf ]; [0,σ af ] e deve essere tangente alla retta di equazione: Stato tensionale f = c' + ( σ u) tanφ' = c' + σ ' tanφ' a rottura ϕ O σ σ f σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64 3f 1f σ

42 PROVA TxCIU Prove triassiali INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Per determinare l equazione dell inviluppo a rottura, e quindi i parametri di resistenza al taglio φ e c, per il campo di tensioni indagato, bisogna ripetere la prova su almeno tre provini dello stesso terreno, a differenti valori della pressione efficace di consolidazione (scelti tenendo c conto della tensione efficace geostatica) O σ f ϕ σ N.B. Se il terreno è normal-consolidato allora c è zero Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

43 σ 1 σ 3 2 f UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE PROVA TxCIU INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali La prova può essere anche interpretata in termini di tensioni totali; i cerchi sul piano di Mohr in termini di tensioni totali si ottengono traslando i cerchi corrispondenti in termini di tensioni efficaci di una quantità pari alla pressione interstiziale misurata u (che è la stessa sia in direzione orizzontale che verticale). Il raggio cerchio di Mohr a rottura individua la coesione non drenata: c u σ1 σ 3 = 2 f c u σ f σ σ σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64 u Cerchio di Mohr in tensioni efficaci Cerchio di Mohr in tensioni totali 3f 3f 1f 1f f σ σ,σ

44 σ 1 σ 3 2 f UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE PROVA TxCIU Prove triassiali N.B. La coesione non drenata è diversa per ciascuno dei tre provini, essendo diversa la pressione efficac di consolidazione (e quindi il diametro del cerchio). Se il terreno è normal-consolidato allora c u /σ c è costante CAMPO D APPLICAZIONE: L esecuzione della prova TxCIU è generalmente riservata a terreni argillosi o comunque poco permeabili, per i quali l esecuzione di prove TxCID richiederebbe tempi molto lunghi. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

45 La prova si svolge in due fasi. PROVA TxUU Prove triassiali I. FASE DI COMPRESSIONE ISOTROPA Il provino, a drenaggi chiusi, è sottoposto a compressione isotropa portando in pressione il fluido di cella al valore assegnato di pressione totale σ c. Se il provino è saturo, e quindi il coefficiente B di Skempton è pari ad 1, il volume del provino non varia e l incremento della pressione di cella (totale) comporta un uguale aumento della pressione interstiziale, mentre le tensioni efficaci non subiscono variazioni e quindi non varia la pressione efficace, σ c La pressione efficace, σ c, è quella applicata in fase di saturazione pari alla differenza fra pressione di cella (totale), σ c, e contropressione interstiziale, u 0 : σ c = σ c u 0 Durante tale fase si può controllare l incremento di pressione interstiziale. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

46 PROVA TxUU Prove triassiali II. COMPRESSIONE ASSIALE A drenaggi ancora chiusi, si fa avanzare la pressa su cui si trova la cella triassiale a velocità costante, anche piuttosto elevata. Il provino, essendo saturo, continua a non subire variazioni di volume. Durante la seconda fase è controllata la variazione nel tempo dell altezza del provino, H, ed è misurata: la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino N.B. la variazione di pressione interstiziale, u, all interno del provino in genere non viene misurata Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

47 PROVA TxUU INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Le misure effettuate durante la seconda fase permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: la deformazione assiale media, a ε a = H/H a 0 la deformazione radiale media, ε r = ( ε a ) / 2 la tensione totale radiale media, a che rimane costante durante la prova σ r = σ c la tensione deviatorica media, σ a - σ r = σ a σ r = N/A la tensione totale assiale media, σ a = N/A + σ r σ σ (σ σ r ) r (σ σ ) r (σ σ ) a r 3f 2f 1f σ = σ σ = σ 3c σ = σ 2c σ = σ 1c 3r 1r 2r ε a Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

48 PROVA TxUU INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Si determina la tensione deviatorica a rottura (σ a -σ r ) f come valore di picco o come valore corrispondente ad un valore convenzionale della deformazione assiale media, ε a. Poiché durante la fase di compressione assiale la pressione di cella σ c rimane costante, la pressione radiale totale, che è anche la tensione principale minore (σ r = σ 3 ), rimane costante ed uguale alla pressione di cella, σ c. Non essendo misurate le pressioni neutre durante la prova, i risultati possono essere interpretati solo in termini di tensioni totali. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale iniziale relativo alla fase di compressione isotropa è rappresentato da un punto di coordinate [0, σ c ]. I cerchi di Mohr che rappresentano gli stati tensionali durante la fase di applicazione del carico assiale (percorso tensionale) passano tutti per questo stesso punto (essendo la tensione totale radiale media costante durante la prova) Il cerchio di Mohr a rottura passa per i punti di coordinate [0,σ c ]; [0,σ af ] Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

49 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/2006 PROVA TxUU INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali La prova viene eseguita su almeno tre provini a differenti pressioni totali di cella e alle stesse condizioni di saturazione (stessa pressione efficace). Si osserva sperimentalmente che il carico assiale che porta a rottura i tre provini è sempre lo stesso ed indipendente dalla pressione isotropa di cella iniziale. I cerchi di Mohr a rottura dei tre provini nel piano delle tensioni totali hanno così lo stesso diametro e i cerchi di Mohr in termini di tensione efficace (che non conosco) sono coincidenti (ne consegue che le pressioni a rottura dei tre provini sono diverse) essendo la stessa la pressione efficace. I cerchi di Mohr in termini di tensioni totali sono Cerchi di Mohr in tensioni efficaci inviluppati da una retta Cerchi di Mohr in tensioni totali orizzontale di equazione: = c u resistenza al taglio in condizioni non drenate c u σ f σ =σ σ σ σ 3f c u f 1f 3f 1f 49/64 σ,σ

50 σ 1 σ 3 2 f UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE PROVA TxUU Prove triassiali N.B. La prova TxUU può anche essere eseguita su provini di terreno non saturi; in tal caso la pressione efficace non è più la stessa e quindi l inviluppo dei cerchi di rottura in termini di tensioni totali risulterà curvilineo per basse pressioni di confinamento e orizzontale per le pressioni più elevate, per le quali il terreno risulterà saturo CAMPO D APPLICAZIONE: σ La prova TxCIU è generalmente eseguita su provini ricavati da campioni indisturbati di terreno a grana fine Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

51 PROVA ELL Prove triassiali La prova di compressione con espansione laterale libera può essere eseguita solo su terreni a grana fine. I provini hanno la forma e le dimensioni dei provini per le prove triassiali. Il provino non è avvolto da una membrana, non è circondato da acqua e quindi e non è compresso in direzione radiale (σ r = 0) La prova, che si sviluppa in una sola fase, consiste nel produrre la rottura del provino per compressione assiale mediante una pressa a velocità di deformazione costante e piuttosto elevata. Sebbene vi sia possibilità di drenaggio, l elevata velocità di deformazione e la ridotta permeabilità del terreno fanno sì che le condizioni di prova siano praticamente non drenate, per cui il risultato che si ottiene è lo stesso che si avrebbe con una prova TxUU su un provino non saturato e a pressione di cella pari a zero. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

52 PROVA ELL la forza assiale N esercitata dal pistone sul provino Prove triassiali Durante la prova è controllata la variazione nel tempo dell altezza del provino, H, ed è misurata: Le misure effettuate durante la seconda fase permettono di calcolare, fino ed oltre la rottura del provino: la deformazione assiale media, ε a = H/H 0 la tensione totale assiale media, coincidente con quella deviatorica σ a = N/A = σ a σ r = q (σ r = 0) q q u ε a Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

53 PROVA ELL Prove triassiali Si determina la tensione deviatorica a rottura q u come valore di picco o come valore corrispondente ad un valore convenzionale della deformazione assiale media, ε a. La pressione radiale totale, che è anche la tensione principale minore (σ r = σ 3 ), rimane costante ed uguale a 0 (pressione atmosferica): σ r0 =σ 30 (valore inizio prova) = σ rf =σ 3f (valore a rottura) Poiché durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non drenata), la pressione interstiziale varia dal valore iniziale u 0 e così anche la pressione radiale efficace: σ r0 =σ 30 (valore inizio prova) σ rf =σ 3f (valore a rottura) La pressione assiale sia totale che efficace variano. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

54 PROVA ELL INTERPRETAZIONE DEI RISULTATI: Prove triassiali Non essendo misurate le pressioni neutre durante la prova, i risultati possono essere interpretati solo in termini di tensioni totali. Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale iniziale relativo alla fase di compressione isotropa è rappresentato dall origine (σ a0 = σ r0 = 0). I cerchi di Mohr che rappresentano gli stati tensionali durante la fase di applicazione del carico assiale (percorso tensionale) passano tutti per l origine (essendo la tensione totale radiale media nulla durante la prova) Il cerchio di Mohr a rottura passa per l origine e per il punto [0,q u ] Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

55 PROVA ELL Prove triassiali Nell ipotesi di terreno saturo, e quindi di inviluppo a rottura in termini di tensioni totali rettilineo e orizzontale, risulta: q = 2 u c u Se si conoscessero le pressioni neutre a rottura e quindi le tensioni efficaci il cerchio di Mohr a rottura corrispondente sarebbe spostato a destra rispetto c u= q /2 a quelle in termini di u tensioni totali (pressioni neutre negative) O TENSIONI TOTALI q u σ f TENSIONI EFFICACI I principali vantaggi della prova consistono nella sua rapidità e semplicità di esecuzione, e quindi nel suo basso costo σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

56 Resistenza al taglio dei terreni a grana grossa RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA GROSSA I terreni a grana grossa (ghiaie e sabbie) possono essere: privi di coesione (sabbie e ghiaie sature non cementate) dotati di coesione apparente (sabbie parzialmente sature) dotati di coesione (sabbie e ghiaie cementate) In genere non è quasi mai possibile prelevare campioni di terreno a grana grossa non cementati, idonei alla preparazione di provini indisturbati. Pertanto i risultati delle prove di laboratorio, anche se condotte su provini di sabbia ricostituiti alla stessa densità del terreno in sito, non sono rappresentativi del comportamento meccanico del terreno naturale in sito. Si ritiene più affidabile stimare la resistenza al taglio di sabbie e ghiaie in sito sulla base dei risultati di prove in sito, mentre si preferiscono le prove di laboratorio sia per determinare la resistenza al taglio di terreni sabbiosi da impiegare come materiale da costruzione, sia per lo studio delle leggi costitutive. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

57 Resistenza al taglio dei terreni a grana grossa COMPORTAMENTO DILATANTE E CONTRATTIVO Durante una prova di resistenza meccanica di laboratorio (ad es. prova di taglio diretto o prova triassiale drenata), il comportamento di due provini della stessa sabbia ma con differente indice dei vuoti (ovvero con differente densità relativa) ma sottoposti alla stessa pressione di confinamento può essere: σ σ 1 3 Sabbia densa e a Sabbia sciolta Sabbia sciolta e crit Sabbia densa ε a ε a Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

58 Resistenza al taglio dei terreni a grana grossa dilatante (provino di sabbia più sciolta), ovvero caratterizzato al crescere della deformazione assiale ε a, da 1. un graduale aumento della resistenza mobilizzata (σ 1 -σ 3 ) fino a stabilizzarsi su un valore massimo che rimane pressoché costante anche per grandi deformazioni 2. una progressiva e graduale diminuzione del volume (e quindi dell indice dei vuoti) con tendenza a stabilizzarsi su un valore minimo, cui corrisponde un indice dei vuoti critico, e crit, che rimane pressoché costante anche per grandi deformazioni contrattivo (provino di sabbia più densa), ovvero caratterizzato al crescere della deformazione assiale ε a, da 1. una curva di resistenza con un massimo accentuato, corrispondente alla condizione di rottura, e un valore residuo, per grandi deformazioni, pressoché eguale al valore di resistenza mostrato dal provino di sabbia sciolta (a parità di pressione di confinamento) 2. una iniziale, piccola diminuzione di volume (e quindi di indice dei vuoti), seguita da un inversione di tendenza per cui l indice dei vuoti supera il valore iniziale e tende allo stesso valore di indice dei vuoti critico, e crit Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

59 Resistenza al taglio dei terreni a grana grossa INDICE DEI VUOTI CRITICO N Il valore dell indice dei vuoti che discrimina fra comportamento deformativo volumetrico dilatante e contrattivo, è definito indice dei vuoti critico. T - V/V T L indice dei vuoti critico non è una caratteristica del materiale ma dipende dalla pressione efficace di confinamento, per cui un provino di sabbia di una data densità relativa può avere comportamento dilatante a bassa pressione efficace di confinamento e contrattivo ad alta pressione efficace di confinamento. N Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

60 Resistenza al taglio dei terreni a grana grossa ANGOLO DI RESISTENZA AL TAGLIO DI PICCO E RESIDUO Per una sabbia che presenta un massimo nelle curve tensioni deformazioni si possono definire due diverse rette di inviluppo della resistenza, ovvero due angoli di resistenza al taglio: l angolo di resistenza al taglio di picco (a rottura), ϕ P, e l angolo di resistenza al taglio residuo (per grandi deformazioni), ϕ R Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

61 Resistenza al taglio dei terreni a grana grossa ANGOLO DI RESISTENZA AL TAGLIO DI PICCO E RESIDUO I principali fattori che influenzano, in misura quantitativamente diversa, l angolo di resistenza al taglio di picco dei terreni sabbiosi sono: la densità, la forma e la rugosità dei grani, la dimensione media dei grani, la distribuzione granulometrica ϕ = 36 + φ 1 + φ 2 + φ 3 + φ 4 Densità φ 1 sciolta media densa Forma e rugosità dei grani φ 2 spigolo vivi media arrotondati molto arrotondati Dimensione dei grani φ 3 sabbia ghiaia fine ghiaia grossa Distribuzione granulometrica φ 4 uniforme media distesa Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

62 Resistenza al taglio dei terreni a grana fine RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA FINE TERRENI NC I terreni a grana fine (limi e argille) saturi e normalmente consolidati, alle profondità di interesse per le opere di ingegneria geotecnica, presentano di norma indice di consistenza, I c < 0.5 e coesione efficace c = 0. La curva tensioni-deformazioni, ottenuta da una prova di taglio diretto o da una prova triassiale drenata, presenta un andamento monotono con un graduale aumento della resistenza mobilizzata fino a stabilizzarsi su un valore massimo che rimane pressoché costante anche per grandi deformazioni, e che cresce al crescere della pressione efficace di confinamento. σ σ (σ a σ r ) a σ = σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64 r (σ σ ) a r (σ σ ) a r 3f 2f 1f 3c 2c 1c 3r σ = σ σ = σ 2r 1r ε a

63 Resistenza al taglio dei terreni a grana fine RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA FINE L angolo di resistenza al taglio ϕ è inferiore a quello dei terreni a grana grossa e dipende dai minerali argillosi costituenti e quindi dal contenuto in argilla, CF, e dall indice di plasticità, I P Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64

64 Resistenza al taglio dei terreni a grana fine RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI A GRANA FINE TERRENI OC I terreni a grana fine sovraconsolidati presentano di norma indice di consistenza, I c > 0,5, coesione efficace c > 0. La curva tensioni-deformazioni, ottenuta da una prova di taglio diretto o da una prova triassiale drenata, presenta un massimo accentuato, corrispondente alla condizione di rottura, e un valore residuo, per grandi deformazioni. A parità di pressione efficace di confinamento la resistenza al taglio di picco dei terreni a grana fine cresce con il grado di sovraconsolidazione. A parità del grado di sovraconsolidazione e per lo stesso tipo di terreno, la resistenza al taglio di picco cresce al crescere della pressione efficace di confinamento, mentre il picco nella curva sforzi-deformazioni risulta sempre meno accentuato fino ad ottenere un andamento monotono, tipico di terreni normalconsolidati. L angolo di resistenza al taglio residua è indipendente dalla storia dello stato tensionale, e quindi dal grado di sovraconsolidazione, OCR. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2005/ /64