10 novembre (uso del registratore e della LIM)

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1 2009/10 Piramidi di numeri 1 Commenti degli insegnanti di classe Commenti dell E-tutor Giancarlo Navarra 10 novembre (uso del registratore e della LIM) Premessa, obiettivi, contesto in cui si colloca il diario La classe è composta da 13 alunni. Le LIM sono state usate utilizzando il pulsante TENDINA, per poter proseguire gradualmente con la lezione programmata insieme all insegnante di classe. Utilizzo della forma canonica e non canonica per rappresentare il valore dell incognita in situazioni additive. LIM 1 I: Oggi riprenderemo un argomento da voi già affrontato in parte l anno scorso. (LIM 1) Questo è l argomento che andremo ad affrontare, leggi Nicola. Nicola: Minipiramidi in situazioni additive. I: Qualcuno sa spiegarmi questo titolo? A: Le minipiramidi sono piccole. I: Sì, sono piccole, ma cosa hanno di particolare queste minipiramidi, Nicola? Nicola: Sono in situazioni additive. I: Queste piramidi sono piccole, va bene, ma sono legate alla storia dell antico Egitto? A: No. I: Prestate attenzione al titolo in situazioni additive, l ha già colto Nicola. Cosa significa in situazioni additive? Cosa vuol dire la parola additive? A: Adatte. I: Adatte? Ilias: Si fanno delle addizioni. I: Provate a spiegare con altre parole. A: Hanno il simbolo più. I: Come si chiamano le operazioni con il simbolo più? A: Addizioni. I: Va bene, ma qual è l operazione inversa dell addizione? 1 A: La moltiplicazione. A: No, il meno. I: Il meno non è un operazione 2. A: Sottrazione. 3 I: Le situazioni additive comprendono anche le sottrazioni. 4 Minipiramidi in situazioni additive, in quale linguaggio è espressa questa frase? A: Matematico. I: Non è proprio un linguaggio matematico. A: Nel linguaggio naturale. I: Va bene. Quindi cosa vediamo alla lavagna? Claudio, cosa è rappresentato? Claudio: Una minipiramide. 1 Sentivo la necessità di portare gli alunni a capire che nelle situazioni additive sono comprese anche le sottrazioni. 2 Forse sarebbe meglio chiedere all alunno cosa intende con il meno. Non è un operazione, ma allora cos è? È un punto di una certa importanza, ma è bene far emergere confusioni lessicali fra nome del segno e nome dell operazione che rivelano un atteggiamento di fondo pressappochista, nel senso che dico il termine che mi viene, perché tanto l insegnante capisce cosa voglio dire. 3 Suggerisco di evitare di formulare domande che comportino una risposta formata da una sola parola. Dobbiamo puntare all arricchimento dell argomentazione, e bisogna che gli alunni vengano posti nella condizione di organizzare con una certa ricchezza il loro pensiero, altrimenti si limitano a risposte di valenza locale e povere sul piano linguistico. 4 Non concedo spazio ai bambini, dico io la precisazione. È vero.

2 2009/10 Piramidi di numeri 2 I: Cosa noti di particolare in questa minipiramide? Ilias: Due numeri scritti sotto e sopra c è uno spazio dove scrivere il risultato 5. A: Sopra c è una macchia (v. LIM 1). I: Federico, a destra cosa vedi scritto? A: Valore macchia. Meriam: La macchia è cosa fanno 6 i due numeri insieme. I: Per cui il valore della macchia è Vanessa: 27 I: 27 è giusto, però avete trovato subito il risultato 7. La maestra Marta già l anno scorso insisteva, più che sul risultato, sull esplicitazione del 8 Meriam. del procedimento 12+15=27. I: Va bene. Questa macchia qui è un simbolo matematico? Asmaa: Sì. I: Ilias, sei d accordo con Asmaa? Ilias. No, perché la macchia non è un simbolo del linguaggio matematico. I: Perché? Ilias. Perché non c è un numero. I: Nel linguaggio matematico ci sono solo numeri? 9 La maestra Marta vi diceva che c è un personaggio che conosce solo il linguaggio della matematica: lo conoscete? A: Brioshi! I: Brioshi è in grado di capire cos è la macchia? 10 A: No. I: Allora la macchia è un simbolo matematico? A: No. I: Dimmi Ilias che hai alzato la mano. Ilias: Brioshi conosce l incognita. I: La parola incognita è un simbolo matematico? Alunni: Sì/no. I: Sì o no? A: No, perché lo si dice a voce. 5 Per ottenere somma o totale, meglio chiedere: il risultato di che cosa? Direi che, più che chiedere il risultato di cosa?, varrebbe la pena riflettere con la classe sul termine risultato usato dall alunno, che comporta l idea di operazione che conduce ad esso, e quindi rivela un punto di vista essenzialmente procedurale. Anche totale e somma possono essere visti in questa luce: in una prospettiva aritmetica sono termini che indicano il risultato di un addizione, ma in una prospettiva algebrica è importante condividere con la classe che totale equivale a risultato (di un calcolo), mentre somma indica una rappresentazione additiva che coinvolge due o più quantità. Per capirci, a+b è una somma ma non esprime un totale, e nemmeno un risultato. Spero di essere stato chiaro. 6 Anche qui c è un retropensiero rivolto ad un operazione che fa un certo risultato. Sono proprio questi piccoli indizi che fanno capire se un alunno è radicato nella sua concezione originale, spontanea, di calcoli da effettuare, o se si sta avvicinando ad un punto di vista relazionale, nella direzione del pensiero prealgebrico. 7 Non uso correttamente la parola risultato, meglio se l avessi chiamata somma. Mi rifaccio al Commento precedente: più che al termine in sé, sto pensando alla situazione: Ilias fa riferimento al risultato proprio perché il suo pensiero è proiettato verso l operazione, e non verso l equivalenza fra le due scritture. Giustamente l insegnante poco dopo usa lo stesso termine per ricordare che l anno precedente si era posta l attenzione sul processo (e spera che riemerga il termine). Meriam infatti parla di procedimento. Qui inserisco un osservazione: ritengo che processo e procedimento non siano esattamente sinonimi. Procedimento per l alunno è più chiaro : indica le operazioni che egli svolge per trovare una soluzione ad un problema (leggi: risultato), quindi indica qualcosa che si svolge nel tempo (prima faccio questo, poi faccio quello). Processo invece contiene sì, in generale, anche l idea del tempo (in una fabbrica c è una successione di eventi sino all oggetto finito) però possiede soprattutto un significato che non è né temporale né spaziale: l alunno capace di vedere come una somma ha elaborato una lettura metacognitiva della frase, la vede come un oggetto matematico complessivo. 8 È più opportuno usare: rappresentazione, termine usato nel glossario, per poter utilizzare il progetto ArAl. Condivido. 9 Non aspetto altri interventi, e pongo un altra domanda. 10 Gli alunni sono grandi e concordo che la macchia non è un simbolo matematico. Però possiamo pensare che, all interno del balbettio algebrico, se una classe non è ancora pronta per il salto verso la lettera, può anche mandare a Brioshi messaggi contenenti una macchia o un altro simbolo provvisorio. In questo senso Brioshi è di larghe vedute e molto comprensivo. Dico questo perché sarebbe un peccato impedire ad una classe, che desidera inviare un messaggio con una macchia, di comunicare con Brioshi. Spesso può essere proprio lui a sbloccare una situazione di stallo inviando in risposta un messaggio con la lettera al posto della macchia.

3 2009/10 Piramidi di numeri 3 I: Quando devo scrivere per Brioshi non posso usare la parola italiana incognita perché Brioshi non conosce l italiano. Cosa userò? A: Uguale a Ilias: Per I: Ilias, per te il simbolo della moltiplicazione ha lo stesso valore dell incognita? A: No, per Brioshi usiamo la x. I: Sì, si può usare la x. Se si usasse la a, andrebbe bene ugualmente? A: Sì. I: Cosa vediamo sulla lavagna a sinistra, nella seconda piramide? (Ripeto la LIM 1) LIM 1 Nicola: La piramide con sopra la x. I: Claudio, cosa c è scritto a destra? Claudio: Valore di x. I: Lo sai il valore di x? Claudio: 27, che era anche il valore della macchia. I: 27 lo trovo alla fine del processo, dunque è A: Il risultato, la somma o il totale dell addizione 11. I: La maestra Marta diceva sempre che va bene arrivare al risultato ma bisogna prestare attenzione A: al procedimento. I: Alla rappresentazione 12 al A: al processo. A: Adesso Megan leggi. Megan: Il valore della x è rappresentato in forma I: In questa minipiramide il valore di x è 13 A: 27. I: Va bene, ma 27 in che forma è rappresentato? Valentina: Il valore di x è rappresentato in forma canonica. I: Leggi Vanessa: Come possiamo rappresentare il valore di x in forma non canonica? (v. LIM 2 pag. successiva). A: 27. I: 27 è in forma non canonica? A: No, è rappresentato in forma canonica. A: Posso scrivere I: Non è sbagliato, ma teniamo presente i due numeri scritti sotto. Meriam: I: Oppure 11 Nel glossario l atto finale del processo è chiamato prodotto, ma il prodotto in aritmetica è il nome del risultato delle moltiplicazioni. Come ovviare a questa dualità con i bambini della scuola primaria? Mi sento di tranquillizzare gli insegnanti perché l esperienza indica che non ci sono grandi ostacoli da superare in questo senso. Anche noi all inizio ci eravamo posti questo problema, ma abbiamo visto che è sufficiente chiarirlo una volta e il dubbio non si ripresenta, nemmeno in terza. Usando esempi di fabbriche, catene di montaggio, scaffali di supermercato si chiariscono facilmente le differenze fra processo e prodotto. Poi basta dire che i matematici hanno deciso di usare questo termine anche per indicare il risultato della moltiplicazione. Gli ambiti sono nel complesso del tutto diversi. Non me ne farei un problema. 12 Meglio precisare: alla rappresentazione del Se intendete dire alla rappresentazione del processo è probabilmente una definizione più completa, ma direi che userete talmente tante volte questi termini che avrete spesso l opportunità di far affinare il loro uso. Voi stessi, con l esperienza, vi accorgerete quando è meglio fermarsi a ragionarci su e quando è più opportuno soprassedere (per esempio per non interrompere il flusso di argomentazioni interessanti). 13 È più opportuno ribadire: In quale forma è rappresentato il valore di x? per poter completare in modo esatto la frase letta da Megan? Direi che vale il Commento precedente. Siete molto sensibili a queste sfumature, e questo è importante.

4 2009/10 Piramidi di numeri 4 LIM 2 LIM 3 LIM 4 Ilias: I: Sì, ma teniamo sempre presente i due numeri che stanno sotto 15. I: Allora chi mi dice un altra possibile scrittura? Meriam: I: Va bene. Sulla diapositiva precedente avevamo scritto il valore di x in forma canonica. A: Sì, 27. I: Adesso lo scriviamo anche in forma non canonica. Meriam: I: Oppure A: I: Cosa cambia nelle due scritture? Scrive la domanda sulla LIM. A: L ordine, la posizione degli addendi. 16 I: Va bene, riassumendo quello che abbiamo fatto sopra, possiamo dire e scrivere quanto vale x. (LIM 3). Valentina: x vale 27. I: oppure Ilias. x vale I: Abbiamo perciò scritto le due rappresentazioni A: in forma canonica e in forma non canonica. I: Io posso dire perciò che x è uguale a 12+15, ma posso anche dire che x è uguale a I: Leggi Claudio. LIM 4 Claudio: Ora troviamo il valore dell incognita in questa nuova situazione additiva. I: Claudio, tu sai dirmi qual è il valore dell incognita? Claudio: 29. Maestra Marta: Vero o falso? A: Vero. I: Siete tutti d accordo? 18 A: Sì, sì. I: Federico, leggi la domanda scritta sotto. Federico: Come è stato rappresentato il valore dell incognita? Federico. 29. I: Ma in che forma è stato rappresentato il valore dell incognita? Federico: Con un numero. I: Ma in che forma? Con un numero, esatto, ma quando c è un numero solo che forma è? Voi conoscete due forme per rappresentare i numeri. Qui il 29, in che forma è rappresentato? A: Canonica. I: Bravi. Ora rappresentiamolo in forma non canonica. (LIM 5) Valentina: Non abbiamo spiegato la dualità della forma non canonica, usata sia come rappresentazione del processo di calcolo che come numero. Penso che non dobbiate essere preoccupati di spiegarlo, ma che dobbiate costruire questa dualità lentamente, attraverso molti esempi, ogni volta che se ne presenta l opportunità, favorendo la loro esplorazione, e guidando gli alunni verso i due punti di vista. Bisogna soprattutto che argomentino su di essi, spiegando come li interpretano. 15 Più corretto usare i due addendi. Concordo, ma penso che anche in questo caso l affinamento del linguaggio debba essere graduale. L importante è che notiate, come state facendo, questi aspetti e che li favoriate in continuazione. 16 Non ha richiamato la proprietà commutativa. 17 Non è stata focalizzata la diversità dei linguaggi: naturale - di Valentina e Ilias - e matematico - scritto sulla LIM. 18 Domande corali di questo tipo, pur inevitabili, non forniscono risposte significative.

5 2009/10 Piramidi di numeri 5 I: È esatto? A: No. I: Perché? Federico: Perché il 9 c è già. I: Il blocco sopra cosa riporta? 19 Meriam. 38 I: È corretto quello che ha detto Valentina in forma non canonica? Meriam. Il 29 sì. I: Ma cosa chiede la consegna? A: Di scriverlo in forma non canonica. I: Allora Claudio, tu come scriveresti? Claudio: I: Cosa riporta il blocco sopra? 21 A: 38. I: 38 che è il risultato o la somma 22. Claudio, è corretta la tua scrittura? Claudio: Sì. I: Descrivi la procedura. Claudio: I: In forma additiva è giusto, c è un altra possibilità? 23 Nicola: 9+1+8, no M. Marta: Come avrà fatto Claudio nella sua mente a trovare 29? Provate a pensare al processo, al procedimento. A: Economico 25. LIM 5 LIM 6 Inserisce una nuova lavagna per annotare gli interventi. (LIM 6). Meriam: Claudio ha fatto: 9 più quanto fa 38 poi aggiunge 9 più incognita uguale a 38. I: Giusto, oppure Vanessa: 38 meno 9. I: Giusto, perciò si può fare con un addizione ma anche con A: una sottrazione. M. Marta: Claudio, quale ragionamento hai fatto nella tua mente? Claudio. Quello di Vanessa M. Marta: Perché? Claudio. Perché è più facile. I: Sapete, quando un percorso è più facile si può dire A: Che si fa prima. I: Si risparmia tempo e dunque si dice che è un procedimento più 19 Si vorrebbe portare gli alunni ad esprimere il processo usando la forma non canonica. 20 Qui ho avuto un attimo di incertezza, perché mi aspettavo 38-9 e volevo portarli a riflettere sulla sottrazione come operazione inversa dell addizione, e usarla come processo per trovare l addendo mancante, utilizzando la forma non canonica come processo di calcolo e non come numero. Immagino la vostra incertezza e condivido le intenzioni. Non capisco da dove provenga la proposta di Claudio. Gli avrei chiesto di spiegarla. 21 Si vorrebbe portare gli alunni ad esprimere il processo usando la forma non canonica. 22 Sull uso dei termini mi rifaccio al Commento Voglio condurli a usare la sottrazione per trovare l addendo mancante. 24 La risposta di Nicola l abbiamo ignorata. 25 Ottimi i continui riferimenti ad un linguaggio evoluto e alla precisazione dei processi svolti. Ora consiglierei però che provaste a collocarvi un po a latere negli scambi verbali con gli alunni e lasciaste fare di più a loro. Osservando questo scambio si nota che voi organizzate e tenete saldamente in mano la struttura del discorso e invitate gli alunni a riempire gli spazi vuoti con incisi come Oppure?..., Si può fare anche con, Si può dire, È un procedimento più. In questo modo quelle degli alunni non sono argomentazioni autonome, ma interventi locali in un contesto che nella sua globalità si costruisce esternamente a loro. Vi consiglio di formulare le questioni in modo da lasciare ai singoli la responsabilità di organizzare in modo compiuto l argomentazione, superando l idea molto diffusa che comunque sia il docente che tiene in mano le fila del discorso.

6 2009/10 Piramidi di numeri 6 I: Sì, economico significa più rapido, più veloce. Leggi ora Ilias. Ilias: Rappresentiamo le situazioni in forma canonica e non canonica. (LIM 7) I: A sinistra in forma canonica e a destra in forma non canonica. Federico, sai completare la minipiramide in forma canonica? Federico. 19 (sbaglia a calcolare). I: 19? Asmaa: I: Va bene. I: Ora la minipiramide di destra si deve completare in forma non canonica. Stiven, la sai completare? Stiven Meriam M. Marta: Che differenza c è tra le due scritture? LIM 7 A: Niente. 27 A: Cambia la posizione degli addendi, ma la somma non cambia. I: Valentina, possiamo dire che x è uguale 28 Valentina: x è uguale a 20. I: Questo valore è espresso in forma canonica. Oppure x è uguale Asmaa: I: Oppure AsmaA: Ins: Ora completiamo l ultima uguaglianza. A: x è uguale a 20 che è uguale a (v. LIM 8 pag. successiva) I: Osserviamo quest altra situazione. Anche qui proviamo a completare usando la forma canonica e non canonica. Iniziamo a completare in forma canonica la piramide di sinistra. Stiven no. I: Hai avuto un ripensamento? Stiven. Sì. I: Cosa scriveremo? Federico. 7 (sbaglia a calcolare) 26 Avrei chiesto allo stesso Federico di verificare i suoi calcoli. 27 Non so come sia questo/a alunno/a, ma suggerisco di non lasciar passare interventi così poveri. È la classe nella sua globalità che va coinvolta nella riflessione sulla qualità degli interventi. Invito a porre questioni come: Cosa vorrebbe dire niente? Non spieghi nulla. Motiva la tua risposta come si deve oppure Lo sapete tutti che risposte così non danno nessun contributo. Non è semplice, ma sforzati di chiarire davvero il tuo pensiero. 28 Vi invito a non formulare questo tipo di domande aperte che lasciano pochissimo spazio all argomentazione vera. È come se lasciaste spazio a frammentari prodotti del pensiero invece che stimolare l esplicitazione dei processi mentali. All interno del progetto ArAl abbiamo riflettuto molto su questo aspetto: di norma, l insegnante sa dove vuole arrivare e guida in tal senso la classe, ma finisce spesso per assumere pur con una didattica aperta, coinvolgente, collaborativa come la vostra un ruolo fondamentalmente dirigista. Secondo noi la questione va capovolta. La classe va educata verso l argomentazione e tutte le argomentazioni gestite dagli alunni secondo un autonomia consapevole, e quindi con tutti i pregi e i limiti del caso - hanno una loro significatività, indipendentemente dalla loro vicinanza-lontananza dagli obietti dell insegnante e dalla loro maggiore o minore correttezza. Sono esse a determinare, comunque, il procedere più o meno lento, più o meno rettilineo dell attività, e il docente deve acquisire proprio la capacità di pilotare la rotta sì secondo piani a lui noti, ma con la consapevolezza di farlo dentro mari in parte sconosciuti, ricchi di sorprese che chiedono di volta in volta risposte ad hoc. Potremmo anche dire: un insegnante che sappia guardare dall esterno la classe e guardare dall esterno se stesso mentre lo fa, concentrandosi non solo sull obiettivo ma soprattutto sulle dinamiche linguistiche e sociali che si sviluppano in modi anche imprevedibili. E queste sono, chiaramente, competenze a livello meta cognitivo. 29 Per rafforzare la relazione fra le uguaglianze si poteva precisare che l equivalenza x=17+3 rappresenta il processo, mentre l equivalenza x=20 rappresenta la soluzione/prodotto (come dice il glossario), ma possiamo usare il termine prodotto in situazioni additive? Come ho detto prima, non mi preoccuperei. Enfatizzate, fin che lo ritenete opportuno, che, nel caso dell addizione il prodotto assume il nome di somma, ma vedrete che il problema non sussiste, anche perché col termine somma indicherete sempre più spesso non solo il prodotto (per esempio 14) ma anche il processo (ad esempio: 10+4, e così via).

7 2009/10 Piramidi di numeri 7 I: 7? Vanessa 42. M. Marta: Vanessa, qui sotto scriveresti 42? Per voi è esatto scrivere 42? Stiven. È falso, Vanessa ha scambiato la posizione degli addendi. I: Vanessa, il numero del blocco sopra tu l hai aggiunto a quello sotto. M. Marta: Attenzione, nelle minipiramidi il blocco sopra non corrisponde ad un addendo, ma 30 A: Al risultato. M. Marta: Invece della parola risultato, come possiamo chiamare il numero scritto sopra? A: Somma. LIM 8 A: Somma o totale degli addendi scritti sotto. (LIM 9). I: Qual è il valore di x in forma canonica? Asma: 6. I: Brava, in questo caso abbiamo scritto l addendo mancante in forma canonica. Stiven. Anch io prima intendevo dire che si doveva scrivere 6, perché 18 c è già accanto. I: Vediamo ora di trovare l addendo in forma non canonica nella piramide di destra. Vanessa: I: È giusto o sbagliato? 31 Claudio. È sbagliato. I: Perché è sbagliato? Claudio. Perché 18+6 fa già Nicola: 3+3. I: È giusto o sbagliato ciò che ha detto Nicola? A: Giusto. LIM 9 I: Va bene , ma cerchiamo un altra possibilità. Prima Vanessa e Claudio avevano trovato un altro percorso. (Vedi nuovamente LIM 6) I: Come avevano fatto Vanessa e Claudio? (guardando la LIM 6) I: Come hai fatto Asma a trovare 6? (Ritornando alla LIM 8) Asma: Claudio. Bisogna scrivere I: Bravi. 34 Ilias: Si può fare anche che fa Suggerisco in questi casi di fare riferimento alla regola individuata dalla classe all inizio dell attività Il numero nel mattone in alto è la somma dei numeri nei mattoni alla base. Quindi l insegnante, invece di essere lui a introdurre la correzione lasciando agli alunni solo lo spazio per le due paroline conclusive ( Al risultato ), dovrebbe far assumere loro la responsabilità di risolvere la situazione con le loro forze, attraverso domande davvero coinvolgenti. Per esempio: Attenzione: per poter dire quale numero si trova nel mattone di destra dovete pensare alla regola. Ripetetela e riflettiamoci su. Una volta esplicitata, potreste guidare l attenzione verso il significato delle singole parole e verso quello complessivo, sino a che qualcuno capisce che, se fosse giusto il 42, la regola dovrebbe essere diversa, e potreste fargliela ricavare: Il numero nel mattone a destra è la somma fra quello in alto e quello a sinistra. Il confronto tra le regole porterebbe a concludere che la seconda è errata. 31 Credo che sarebbe stato meglio chiedere a Vanessa ragione della sua risposta. Se fosse stata chiarita la regola (v. Commento precedente), probabilmente non l avrebbe data. 32 La risposta di Claudio mi conferma nell ipotesi che una riflessione comune sulla regola avrebbe fornito un plafond concettuale comune collegato alla struttura in cui si relazionano i tre numeri. Così invece ognuno va un po a ruota libera, ma manca proprio un pensiero unificatore. 33 Non abbiamo puntualizzato che in questo contesto si richiedeva l utilizzo della rappresentazione non canonica, come processo di calcolo e non come numero e nemmeno della trasparenza del processo, per rappresentare le modalità attraverso le quali si raggiunge la soluzione. Queste riflessioni a posteriori confermano da un lato la validità della metodologia dei diari, e dall altro testimoniano la vostra attenzione verso aspetti generali importanti dell attività che avete condotto. 34 Ribadisco l opportunità di esplicitare il riferimento alla regola.

8 2009/10 Piramidi di numeri 8 M. Marta: È vero che fa -6 ma in questa situazione la rappresentazione è sbagliata 35. (LIM 10). I: Ora la lezione è finita. La settimana prossima lavorerete in coppia per completare alcune minipiramidi. 35 Penso che la proposta di Ilias sia stata accantonata un po troppo sbrigativamente, anche se capisco che la lezione sta terminando e quindi non avete tempo per prenderla in considerazione.

9 2009/10 Piramidi di numeri 9 19 novembre (uso della LIM) Traccia dell attività:

10 2009/10 Piramidi di numeri Vi propongo di mettere da parte questa lavagna perché contiene delle parti ambigue. Per esempio: 1) Rappresentazione: in matematica può essere di molti tipi (in linguaggio naturale, iconico, grafico, tabulare, sagittale, gestuale, insiemistico, ecc); quella in linguaggio matematico è una, naturalmente molto importante, ma non esclusiva. 2) Opacità e trasparenza non sono legate al numero dei simboli usati (voi pensavate alle forme canonica e non canonica) ma alla interpretabilità; per esempio, 3 4 per molti alunni è probabilmente più opaca di o di 4+4+4, ed è formata da più simboli; oppure: il passaggio da (4+6) 3-(5+2+7):2 a 30-7 conduce ad una scrittura più opaca di :2, ma pur sempre formata da più simboli. 3) Incognita e variabile sono due cose del tutto diverse, e scritte così potrebbero ingenerare negli alunni l idea che siano sinonimi. Vi suggerisco di esporre ad una parete dell aula, ben visibili, i termini, ma senza definizioni. Il loro significato verrà precisato cammin facendo, anche attraverso riflessioni incrociate sempre più puntuali, in una sorta di work in progress imperniato sulla costruzione graduale negoziata e condivisa - dei significati.

11 2009/10 Piramidi di numeri novembre (uso della LIM) Vengono fatte completare alcune piramidi a quattro piani nel seguente modo: Penso che il passo successivo sia stato quello di esprimere la relazione fra il numero in alto e quelli alla base ( regola di una piramide a quattro piani). Verso la fine dell Unità sulle piramidi ci sono numerosi problemi che sfruttano la scoperta della regola.