1.2-struttura elettrica della materia e induzione elettrostatica

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1 2 1.1-CONDUTTORI E ISOLANTI 1 Cap 1- Elettrostatica Cap 1-vol2-Elettrostatica Nell elettromagnetismo studieremo fenomeni elettrici e magnetici che rappresentano un altra interazione fondamentale della natura (dopo quella gravitazionale che abbiamo visto in precedenza): l interazione elettromagnetica 1.1 La carica elettrica La carica elettrica è una proprietà della materia: le cariche sono già presenti nella materia. Ci sono due tipi di carica che convenzionalmente indichiamo come positive e negative. La materia normalmente è neutra perchè il numero di cariche è esattamente uguale a quelle negative. Dalle osservazione troviamo inoltre che cariche di segno uguale si respingono e di segno opposto si attraggono Conduttori e isolanti 1.1-Conduttori e isolanti Distinguiamo le sostanze nelle quali le cariche si possono facilmente muovere che chiameremo conduttori da quelle invece che non hanno tale proprietà che chiameremo non conduttori o isolanti. La differenza di comportamento è legata alla struttura atomica o molecolare del materiale. 1.2-struttura elettrica della materia e induzione elettrostatica 1.2-struttura elettrica della materia e induzione elettrostatica I costituenti fondamentali per quello che riguarda la materia ordinaria stabile, dell atomo sono: protone neutrone ed elettrone. Il neutrone ha carica nulla, protone ha carica positiva e l elettrone negativa (ma valore uguale a quella del protone) e tali cariche sono anche le minime possibili. Ne consegue che la carica è una grandezza fisica quantizzata. Sperimentalmente abbiamo anche che la carica si conserva (principio di conservazione della carica) e in un sistema isolato la somma delle cariche non varia nel tempo. Inoltre se avviciniamo una carica ad un conduttore, grazie alla mobilità delle sue cariche avviene un avvicinamento di cariche di Cap1-Parte II-Elettrostatica 1

2 3 ESERCIZIO-ESEMPIO 1.3 segno opposto a quella avvicinata, pur rimanendo la somma totale inalterata. Questo fenomeno che studieremo meglio più avanti è detto induzione elettrostatica Parte I 1.3-Legge di Coulomb 1.3-Legge di Coulomb La forza che agisce tra due cariche segue una legge che è simile all interazione gravitazionale ed è data dalla Legge di Coulomb: F = k q 1q 2 r 2 dove q 1 e q 2 sono i valori delle due cariche che interagiscono e la forza è diretta lungo la congiungente le due cariche. L unità di misura della carica è il Coulomb (C).Ilvaloredellacostanteèk = 1 = N m 2 /C 2 e la costante che useremo più spesso da ora è ǫ 0 = C 2 /(Nm 2 ) detta costante dielettrica del vuoto L unità di carica è la carica dell elettrone (e del protone) ed ha valore pari a e = C 3 Esercizio-esempio 1.3 Esercizio 1.3 Due palline di equale massa sono appese con dei fili di lunghezza L e hanno uguale carica q come mostrato in figura. Si assuma θ piccolo e trovare la x all equilibrio. Risolvere il problema asssumendo L = 1m q = C e m = kg Cap1-Parte II-Elettrostatica 2

3 3 ESERCIZIO-ESEMPIO 1.3 T + F el + P = 0 è l eq. dell equilibrio su ognuno delle palline. Scomponendo otteniamo: { T y = mg T x = F el = q2 x 2 ed inoltre T x = T sinθ e T y = T cosθ da cui tanθ = Tx T y sinθ e dalla figura 2 q = 2 x Tx 2 = Lsinθ che porta infine all equazione T y = x 2L ( mg ) 1 mg4πǫ0x q 2 x 2 2L x x3 = 2Lq2 mg Con i valori forniti risulterà θ = 4.1 Esercizio Una carica Q è distribuita uniformemente nel volume di una sfera di raggio R secondo la legge ρ = Ar essendo r la distanza dal centro. Determinare la carica totale Q. ρ(r) = Ar e ρ = dq dv Q = V R 0 per cui ρ(r)dv = R 0 A r 4πr 2 dr = A4πr 3 dr = A4πR 4 /4 = πar Campo elettrostatico 1.4-Campo elettrostatico Se mettiamo una carica in una regione dove c è un altra carica essa risentirà della sua presenza manifestando una forza di Coulomb. Per spiegare questa interazione a distanza possiamo ricorrere al concetto di campo: diremo che una carica genera attorno a se un campo elettrico che permea tutta la regione dello spazio. Se a questo punto introduciamo una seconda carica essa interagirà con il campo elettrico manifestando una forza. In questo modo le due cariche non interagiscono direttamente ma tramite l azione di un campo. Qualunque regione di spazio avente una qualche proprietà definita da una opportuna grandezza è detta avere un campo. Il campo elettrico Cap1-Parte II-Elettrostatica 3

4 Quando la forza è di tipo elettrico si parlerà di campo elettrico (o elettrostatico) Come facciamo ad evidenziare il campo? Assumiamo avere a disposizione una carica positiva di test e la collochiamo nello spazio a piacimento. In ogni punto dello spazio se c è un campo troveremo una forza F elettrica. Definiamo come campo elettrico il vettore E = q 0 e di conseguenza noto il campo elettrico, la forza su una particella carica sarà data da F = q 0 E direzione e verso del campo sono quelli della forza agente sulla carica di prova (positiva). Il campo comunque esiste indipendentemente dalla carica di prova ( l espressione di E non deve dipendere da q 0 ). Dalmomentocheleforzesonovettoriancheilcampoelettricoèunvettore, inoltre se agiscono più cariche contemporaneamente possiamo applicare il principio di sovrapposizione e sommare i campi delle varie cariche. Di conseguenza se agiscono n cariche (q 1,...q i...q n ) su una carica q 0 avremo: F = F i = q i q 0 q i 4πǫ i i 0 ri 2 û i = q 0 ri 2 û i che possiamo scrivere come F = q 0 E ed E = q i i û r 2 i Il campo elettrostatico in un punto P prodotto da un sistema di cariche puntiformi è dato i dalla somma vettoriale dei campi eletrostatici di ciascuna carica singolarmente presa Nel caso vi sia una unica carica si ottiene da questa il campo elettrico generato da una carica puntiforme: E = q 1 r 2û1 Questa espressione comporta che il campo elettrostatico di una carica positiva è uscente, mentre quello di una carica negativa è entrante i Parte II Problema svolto 22.2 Cap1-Parte II-Elettrostatica 4

5 Problema svolto 22.2 Problema svolto 22.2 In figura vi sono due cariche q 1 = +8q e q 2 = 2q la prima si trova nell origine del sist. di rif. la seconda sull asse x a distanza L. In che punto possiamo collocare una carica positiva qualunque in modo che resti in equilibrio? Se mettiamo la terza carica verde in figura a sinistra dell origine degli assi, le forze agenti sono con versi opposti: repulsiva quella della carica positiva e verso negativo asse x e attrattiva quella dovuta alla carica negativa e verso positivo asse x. Se la carica viene messa a destra della seconda carica analogamente i versi risultano opposti: repulsiva e verso positivo asse x la forza dovuta alla carica + e attrattiva con verso negativo asse x per la carica -. Nella regione tra le due cariche invece quando mettiamo la terza carica si hanno forze concordi e dirette nel verso positivo dell asse x. Ne concludiamo che la nostra soluzione deve trovarsi nella regione esterna alle due cariche iniziali. Poniamo la terza carica a destra oltre l ultima carica e assegniamo coordinata x. I campi agenti nel punto in cui collochiamo la terza carica è dato dalla somma dei campi di q 1 e q 2 e perchè ci sia equilibrio la risultante delle forze deve essere nulla quindi il campo elettrico è nullo: k q 1 x 2 k q 2 (L x) 2 = 0 q 1 x = q2 2 (L x) da cui x2 2 8 = (L x)2 2 ovvero x 2 4(L 2 2Lx + x 2 ) = 0 3x 2 + 8Lx 4L 2 = 0 che da per soluzione x = +4L± 16L 2 12L 2 3 x = +4±2 3 L da cui le due soluzioni x 1 = 2L e x 2 = 2 3L la seconda è quella da scartare perchè capita nella regione intermedia Parte III Campo del dipolo elettrico Campo del dipolo elettrico Un dipolo elettrico è costituito da due cariche di uguale intensità q ma segno opposto e collocate ad una certa distanza d tra loro. Possiamo calcolare il campo del dipolo (nei punti sull asse del dipolo) sommando (vettorialmente) Cap1-Parte II-Elettrostatica 5

6 + θ P - ciascuno dei campi delle due cariche. Indichiamo ancora E ed E + i due campi dovuti alle cariche pos. e neg. che avendo le stesse distanze avranno modulo uguale (E = E + ). Sugli assi avremo E x = E + sinθ E sinθ = 0 E y = E + cosθ E cosθ = 2E cosθ Pertanto il campo complessivo è diretto lungo la direzione y ed inoltre poichè rcosθ = d 2 cosθ = d 2r si ha E tot = 2q d r 2 2r = p p=qd r 3 è il momento di dipolo elettrico ed il vettore p = qd è un vettore che ha direzione data dalla congiungente le due cariche e verso che va dalla carica negativa alla positiva In altri punti del piano l espressione del campo è più complicata da trovare e la rappresentazione del campo segue questa figura 1.5-Campo di distribuzioni continue 1.5-Campo di distribuzioni continue Se le distribuzioni di carica sono continue ovvero uniformemente distribuite su di un corpo, allora di introduce la densità media di carica del corpo (densità lineare, superficiale o volumetrica secondo i casi), come se la carica fosse una distribuzione continua invece che discreta, e si somma vettorialmente il contributo di un elemento infinitesimo del corpo. Il campo dell elemento infinitesimo è considerato come puntiforme cioè : d E = dq r 2û Cap1-Parte II-Elettrostatica 6

7 E il campo complessivo si ottiene integrando sulla distribuzione continua dq E = r 2û Esempio 1.6-Campo anello carico sull asse z Esempio 1.6-Campo anello carico sull asse z La λ = Q/2πR è la densità di carica dell anello di raggio R e con carica totale Q. Consideriamo un elemento dell anello ds. Esso avrà una carica (infinitesima quindi puntiforme) dq = λds e della carica infinitesimasappiamocheilcampo(infinitesimo)è d E = 1 dq = 1 r 2 diretta come in figura. Osserviamo che solo la componente lungo l asse si somma coerentemente per ogni elemento infinitesimo (la componente perpendicolare si elide) che hanno anche tutti la stessa distanza r da P. Quindi basterà integrare le componenti z per avere il risultato. Dalla figura abbiamo che cosθ = z/r = z (R 2 +z 2 ) 1/2 e de z = decosθ = λzds r 3 = 1 λzds (z 2 +R 2 ) 3/2 Questacomponenteèlastessaperognids E z = C de z = 1 1 λ2πrz ovveroe (z 2 +R 2 ) 3/2 z = 1 λds (z 2 +R 2 ) λz (z 2 +R 2 ) 3/2 ds = Qz (z 2 +R 2 ) 3/2 Quindiilcampoèdirettosecondo l asse z con questa espressione e quando z (z R) il campo tende all espressione della carica puntiforme Esempio 1-7- Campo generato dal disco carico Cap1-Parte II-Elettrostatica 7

8 Esempio 1-7- Campo generato dal disco carico Possiamo dedurre il campo di un disco carico partendo dal risultato dell anello e considerando che un disco si può pensare costituito da anelli infinitesimi di carica dq = σda = σ(2πr)dr. σ è in questo caso la densità superficiale di carica definita come σ = Q Pertanto l anello πr 2 infinitesimo in figura di raggio r (0 r R) produrrà il campo sull asse z: d E = z dq (z 2 + r 2 ) 3 2 il campo totale si ottiene integrando su r in modo da ricoprire il disco con gli anelli: R E tot = de z σ2πrdr = û 0 (z 2 +r 2 ) 3 z = 2 σ z 2ǫ 0 R 0 (z 2 +r 2 ) 3 2 dr 2 2 = σ z 2ǫ û z (z 2 +r 2 ) R 0= σ z 2ǫ 0 [(z 2 ) 1 2 (z 2 +R 2 ) 1 2 ] = σ z/ 2ǫ 0 1 z/ (1 1 1+( Rz )2 ) Da notare che facendo lim E = σ R 2ǫ 0 che rappresenta il campo elettrico di un piano carico infinito. Parte IV 1.6-Linee di forza del campo elettrostatico 1.6-Linee di forza del campo elettrostatico Per rappresentare il campo elettrostatico delle distribuzioni di cariche, quali ad esempio quella del dipolo, è conveniente introdurre il concetto di linea Cap1-Parte II-Elettrostatica 8

9 di forza. Partendo da una generica posizione nello spazio in cui è presente un campo, muovendosi di un tratto infinitesimo lungo la direzione iniziale del campo elettrico, troviamo la nuova direzione del campo elettrostatico e la tracciamo. Si ottiene quindi una linea detta linea di forza o linea del campo. Data la procedura seguita in ogni punto della linea il campo elettrostatico è tangente alla linea di campo Moto di una carica in campo elettrico esterno 1.7- Moto di una carica in campo elettrico esterno Dalla definizione di campo F = q E = m a quindi per una carica di massa nota, quando il campo è uniforme la carica risente di una forza costante ed è quindi accelerata con a = q m E. Se la carica è positiva la forza ed il campo hanno lo stesso verso (altrimenti è opposto). Dipolo in campo elettrico esterno Dipolo in campo elettrico esterno Dalla definizione di dipolo e dalla precedente osservazione discende che un dipolo in un campo elettrico uniforme esterno risente di 2 forze uguali e opposte, ma come si vede dalla figura esse producono un momento di forze agenti (una coppia). Il momento risultante è τ = Fd/2sinθ + Fd/2sinθ = Fdsinθ = (qe)dsinθ = pesinθ formalmente questa si può indicare in modo vettoriale: τ = p E che rappresenta il momento torcente sul dipolo elettrico immerso in un campo (elettrico) esterno ad esso. Il dipolo tende quindi ad allinearsi al campo elettrico. Possiamo anche ricavare l energia potenziale (calcolando il lavoro ) e con simili passaggi si trova che E p = p E Cap1-Parte II-Elettrostatica 9

10 5 CAP 23- ESERCIZIO 23P 4 Esercizio svolto 23.3 Esercizio svolto 23.3 Trovare nel punto P il campo elettrico della bacchetta di plastica incurvata ed avente una carica -Q distribuita uniformemente. a densità di carica λ abbiamo che individuato un elemento infinitesimo di lunghezza ds la sua carica è dq = λds ed il campo prodotto da questo è de = dq = λds r 2 che ha direzione radiale (e quindi sia comp. x che r 2 y). Osserviamo comunque che per ogni elemento ds ne esiste un altro in posizione simmetrica che produrrà un campo che ha orientazione con la componente y che è opposta a quello dell elemento considerato. Pertanto nell integrazione la sola componente x è quella che rimane. Inoltre de x = decosθ = λcosθds r 2 conds = rdθ percuie x = λrcosθdθ r 2 5 Cap 23- Esercizio 23P = λ r [sinθ] = 3λ r 23.23P Una bacchetta isolante di lunghezza L possiede una carica -q uniformemente distribuita sulla sua lunghezza. Determinare il campo su un punto P posto sullo stesso asse della bacchetta e a distanza a da uno degli estremi Indichiamo con dx un elemento infinitesimo, posizioniamo l origine su uno degli estremi e orientiamo secondo x la bacchetta; il punto P è a destra ad esempio. Il campo de = dq λdx = r 2 e λ = q/l. Il (L+a x) 2 campo è diretto secondo x (sarebbe con verso negativo). Possiamo integrare Cap1-Parte II-Elettrostatica 10

11 5 CAP 23- ESERCIZIO 23P facendo variare la posizione di dx tra 0 e L: E = λ 1 [ L + a x ]L 0 λ ( 1 a 1 a + L ) = λ L a(a + L) = 1 Q a(a + L) Cap1-Parte II-Elettrostatica 11