Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione

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1 Metodi di Ottimizzazione per la Logistica e la Produzione Parte III Manuel Iori Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Università di Modena e Reggio Emilia Anno Accademico 2016/17 MOLP Parte III 1 / 61

2 Contenuto della Parte III del Corso 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione La pianificazione della produzione Metodi di ottimizzazione per le linee produttive Modelli aggregati per la produzione 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Notazione Shop Problems Funzioni obiettivo e classificazione problemi Tecniche risolutive MOLP Parte III 2 / 61

3 Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Metodi di Ottimizzazione per la Produzione MOLP Parte III 3 / 61

4 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione La pianificazione della produzione La pianificazione della produzione La pianificazione della produzione è un processo complesso che coinvolge larga parte dell azienda e deve ragionare su previsioni a lungo periodo. Gli elementi di un piano di produzione sono: MPS (Master Production Schedule) MRP (Material Requirement Planning) Inventory Management Capacity Planning Scheduling Production Control Data la complessità del problema, i diversi decisori e il lungo orizzonte temporale, il processo di pianificazione si realizza normalmente per successive approssimazioni: a) piano a lungo termine molto aggregato, b) piani successivi con orizzonti minori e maggior dettaglio. MOLP Parte III 4 / 61

5 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione La pianificazione della produzione Definizioni Pianificazione (Production Planning): tentativo di pianificazione delle quantità su un orizzonte temporale lungo (mese, anno). Include dimensionamenti della forza lavoro, delle giacenze di magaz-zino, della materia prima e di altre risorse. Opera per quantità aggregate (per tipologia o per periodo). Schedulazione (Production Scheduling): piano di produzione dettagliato che considera individualmente ogni prodotto/risorsa e definisce esattamente il loro utilizzo nel tempo. L orizzonte di pianificazione è limitato (giorno, settimana) Nonostante il dettaglio il piano viene modificato nella pratica a causa di vari fattori (tra cui necessità o urgenze impreviste, rottura di macchine, utensili, pezzi, aleatorietà dei dati,...). MOLP Parte III 5 / 61

6 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione La pianificazione della produzione Parametri di input La pianificazione si basa su risorse fisse e variabili definite dal management (es: impianti, equipaggiamenti, magazzini, forza lavoro,...). Si basa inoltre su stime della domanda futura che si assume nota e valida. Questa stima entra quindi nella fase di pianificazione e nei modelli come un dato di input. La sua determinazione è un problema fondamentale nell azienda ed è normalmente effettuata con il supporto di vari metodi e tecniche (demand forecasting). La pianificazione deve determinare la scelta ottima considerando: 1. costi di produzione, con la valutazione delle varie alternative a disposizione (lavoro straordinario, nuovo personale, produzione esterna,...), 2. costi di immagazzinamento e obsolescenza, 3. costi dovuti alla mancata soddisfazione della domanda (o a ritardi). MOLP Parte III 6 / 61

7 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione La pianificazione della produzione I parametri del MPS I parametri del MPS possono essere riassunti in: 1 Unità temporale (mese, settimana, giorno, ora,...) 2 Orizzonte temporale 3 Livello di aggregazione dei prodotti (per famiglia, per categoria,...) 4 Livello di aggregazione delle risorse 5 Frequenza di ripianificazione 6 Numerosità e struttura dei piani produttivi 1. Unità temporale Di norma si usano le settimane o i mesi. Piccola unità maggior dettaglio, la pianificazione più difficile. 2. Orizzonte temporale Di norma discende naturalmente dalla natura della produzione (prodotti stagionali, prodotti di largo consumo,...). Il piano parte dopo un breve periodo dal momento attuale; da ora all inizio del piano si considerano decisioni non modificabili. MOLP Parte III 7 / 61

8 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione La pianificazione della produzione 3. Livello di aggregazione dei prodotti Scopo dell aggregazione è: (a) concentrare l attenzione sulle risorse/costi più rilevanti; (b) sviluppare un piano che sia semplice da analizzare. Il livello ottimale di aggregazione dipende dalla natura dei costi, dalla struttura produttiva, dalla stabilità della situazione. Esiste poi il problema di disaggregare il piano per la fase di scheduling. 4. Livello di aggregazione delle risorse Valgono le considerazioni del punto 3 5. Frequenza di ripianificazione L MPS è su un orizzonte lungo, ma viene ricalcolato più volte nel periodo Spesso i piani sono usati in rolling mode: si sviluppa un piano per T periodi e si inizia a realizzarlo, ma dopo τ T periodi si calcola un nuovo piano (ovvero solo i primi τ periodi di ogni piano sono utilizzati) I piani sono rivisti frequentemente per l instabilità e l aleatorietà dei sistemi 6. Numerosità e struttura dei piani Spesso le aziende non hanno un solo piano, ma molti piani a diversi livelli I diversi piani vengono utilizzati a diversi livelli decisionali e hanno diversi orizzonti temporali e unità di misura MOLP Parte III 8 / 61

9 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Metodi di ottimizzazione per le linee produttive Problema di dimensionamento I sistemi produttivi complessi sono caratterizzati da linee di produzione aventi macchine in sequenza e/o in parallelo. Alcuni dei modelli di base visti in precedenza durante il corso possono essere utilizzati per risolvere problemi di ottimizzazione per il caso di macchine uniformi in parallelo. Date n lavorazioni j, ognuna richiedente un tempo p j, e un insieme di macchine di capacità C, il problema di dimensionare il numero di macchine richieste per le lavorazioni può essere modellato definendo una variabile x ij = 1 se la lavorazione j è eseguita sulla macchina i, 0 altrimenti, una variabile y i = 1 se la macchina i è usata, 0 altrimenti. MOLP Parte III 9 / 61

10 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Metodi di ottimizzazione per le linee produttive Il modello risultante è: min U i=1 y i U x ij = 1 j = 1...,n (2) i=1 n p j x ij Cy i i = 1...,U (3) j=1 x ij {0,1} j = 1...,n,i = 1...,U (4) y i {0,1} i = 1...,U (5) dove U = upper bound sul numero di macchine necessarie. Si tratta di un applicazione del classico problema del Bin Packing (1) MOLP Parte III 10 / 61

11 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Metodi di ottimizzazione per le linee produttive Problema di dimensionamento con vincoli di precedenza (assemblaggio) Il modello (1) (5) può essere utilizzato anche per modellare situazioni in cui un unica macchina (o un unico repoarto, o comunque un unica risorsa produttiva) è usata su più giorni. In tale caso i rappresenta l indice del giorno, e l intervallo (1,...,U) l orizzonte temporale. Se le lavorazioni sono da svolgersi tutte su di un unico pezzo (o su un unico lotto) è usuale prevedere una serie di precedenze tra le lavorazioni. Si pensi ad esempio ai problemi di assemblaggio. Usiamo la notazione k k (k precede k ) per intendere che la lavorazione k possa iniziare solo dopo la fine della lavorazione k. MOLP Parte III 11 / 61

12 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Metodi di ottimizzazione per le linee produttive L insieme completo di precendenze viene quindi fornito come uno schema di assemblaggio, in particolare un grafo orientato aciclico, dove i vertici sono le lavorazioni stesse, e gli archi rappresentano le precedenze: A = {(k,k ) : k k } Nel caso di precedenze lasche: se k k e la lavorazione k è svolta nel giorno i, allora la lavorazione k deve essere svolta nei giorni i,i +1,...,U (quindi anche lo stesso giorno). Nel caso di precedenze strette: se k k e la lavorazione k è svolta nel giorno i, allora la lavorazione k deve essere svolta nei giorni i +1,i +2,...,U (dal giorno successivo). Esistono vari modi per imporre le precedenze nel modello (1) (5). MOLP Parte III 12 / 61

13 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Metodi di ottimizzazione per le linee produttive Precedenze strette Se k è assegnata al giorno i, allora k deve essere assegnata ad un giorno in 1,...,i 1. Un possibile vincolo per imporre questa condizione è: i 1 x ik x lk i = 2,...,U,(k,k ) A (6) l=1 x 1k = 0 k = 1,...,n : (k,k ) A (7) IN OUT } {{ } k deve essere assegnato qui k MOLP Parte III 13 / 61

14 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Metodi di ottimizzazione per le linee produttive Precedenze lasche Se k è assegnata al giorno i, allora k deve essere assegnata ad un giorno in 1,...,i. Un possibile vincolo per imporre questa condizione è: x ik i x lk i = 1,...,U,(k,k ) A (8) l=1 IN OUT }{{} k deve essere assegnato qui k MOLP Parte III 14 / 61

15 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Metodi di ottimizzazione per le linee produttive Problema di bilanciamento Dato il numero m di macchine uniformi in parallelo (output del precedente problema di dimensionamento), il passo successivo è di assegnare le lavorazioni alle macchine bilanciando i carichi. L obiettivo sarebbe di minimizzare lo scostamento dal valore medio del carico di lavoro µ. A tal fine, sia C i = n j=1 p jx ij il carico del processore i. Lo scostamento totale da µ è esprimibile come: min m C i µ i=1 Dato che la funzione valore assoluto non è lineare, occorre linearizzarla: min m i=1 z i z i C i µ z i µ C i i = 1,...,m i = 1,...,m MOLP Parte III 15 / 61

16 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Metodi di ottimizzazione per le linee produttive In alternativa si minimizza il makespan C max, istante di fine dell ultima lavorazione, arrivando al noto problema del parallel processor scheduling problem (P C max ). Il modello risultante è quindi min z n p j x ij z j=1 m x ij = 1 i=1 x ij {0,1} i = 1...,m j = 1...,n i = 1...,m;j = 1...,n A tale modello si possono aggiungere numerosi vincoli di natura produttiva. Esempio 1. È dato un insieme S di coppie (k,k ) di lavorazioni da eseguire sulla stessa macchina. Questo implica x ik = x ik i = 1,...,m,(k,k ) S Esempio 2. È dato un insieme D di coppie (k,k ) di lavorazioni da eseguire su macchine diverse. Questo implica x ik +x ik 1 i = 1,...,m,(k,k ) D MOLP Parte III 16 / 61

17 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Modelli aggregati per la produzione Si tenta di rappresentare nei modelli i principali elementi di costo e le principali risorse Vi sono vari modelli a seconda delle diverse filosofie di rappresentazione dei costi e delle diverse aggregazioni. La stima dei costi non è facile. In particolare è complicato dare costi che rendano omogenee quantità non monetarie (es. costo di mancato soddisfacimento di un ordine). Si devono prevedere modalità per passare dai piani aggregati a quelli disaggregati. Presentiamo alcuni esempi di modelli che si basano sulle seguenti definizioni: -) n = numero di tipi di prodotti -) T = numero di unità temporali -) d it = domanda totale dei prodotti appartenenti alla famiglia i nel periodo t, per i = 1,...,n e t = 1,...,T. MOLP Parte III 17 / 61

18 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Modello 1: produzione base Variabili: x it = numero di prodotti della famiglia i realizzati nel periodo t, I it = numero di prodotti della famiglia i in magazzino alla fine del periodo t, Modello: minz = n i=1 t=1 T (cv it x it +ci it I it ) (9) x it +I i,t 1 = d it +I it i = 1,...,n;t = 1,...,T (10) n k i x it Wt max t = 1,...,T (11) i=1 x it 0,intere i = 1,...,n;t = 1,...,T (12) I it 0,intere i = 1,...,n;t = 1,...,T (13) MOLP Parte III 18 / 61

19 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Le costanti hanno il seguente significato: k i= ore necessarie per realizzare un prodotto della famiglia i, Wt max = ore di lavoro regolari disponibili nel periodo t, cv it = costo variabile di produzione di un unità di prodotto della fam. i, ci it = costo di immagazzinamento di un unità di prodotto della fam. i. I i0 è un input del problema, rappresenta la quantità di prodotti di famiglia i disponibile a magazzino all inizio dell intervallo di ottimizzazione. MOLP Parte III 19 / 61

20 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Il vincolo (10) è un vincolo di bilanciamento del flusso. Impone di soddisfare la domanda del prodotto i nel periodo t, utilizzando: - la produzione del periodo t, - le scorte di magazzino alla fine del periodo t 1. Le quantità di cui sopra devono essere sufficienti a coprire anche la giacenza di magazzino alla fine del periodo t. Le variabili I partono dalla giacenza a magazzino all inizio della programmazione. I vincoli (11) sono classici vincoli di capacità. Impongono che le ore necessarie per realizzare tutti i prodotti non eccedano la massima disponibilità dichiarata per ogni periodo. Si suppone implicitamente di avere manodopera omogenea (qualsiasi operatore può lavorare qualsiasi prodotto). Questo può portare a problemi nella successiva fase di disaggregazione. MOLP Parte III 20 / 61

21 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Modello 2: lavoro straordinario Variabili (in aggiunta a quelle del modello base): W t = ore di lavoro regolare nel periodo t, O t = ore di lavoro straordinario nel periodo t. Modello: n T T minz = (cv it x it +ci it I it )+ (cw t W t +co t O t ) (14) i=1 t=1 t=1 x it +I i,t 1 = d it +I it i = 1,...,n;t = 1,...,T (15) n k i x it W t +O t t = 1,...,T (16) i=1 0 W t Wt max,intere t = 1,...,T (17) 0 O t Ot max,intere t = 1,...,T (18) x it 0,intere i = 1,...,n;t = 1,...,T (19) I it 0,intere i = 1,...,n;t = 1,...,T (20) MOLP Parte III 21 / 61

22 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Costanti (in aggiunta a quelle del modello base): O max t = ore di lavoro straordinarie disponibili nel periodo t, I vincoli (16) impongono che le ore necessarie a realizzare tutti i prodotti in un dato periodo siano coperte da lavoro regolare o straordinario. Essendo le ore di lavoro differenziate tra regolari e ordinarie, è opportuno imporne i diversi costi nella funzione obiettivo. MOLP Parte III 22 / 61

23 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Modello 3: domanda non interamente soddisfatta Variabili (in aggiunta al modello 2): B it = domanda prodotti famiglia i non soddisfatta nel periodo t. Modello: minz = n T T (cv it x it +ci it I it +cb it B it )+ (cw t W t +co t O t ) i=1 t=1 x it +I i,t 1 +B it =d it +B i,t 1 +I it i = 1,...,n;t = 1,...,T (21) n k i x it W t +O t t = 1,...,T (22) i=1 0 W t Wt max,intere t = 1,...,T (23) 0 O t Ot max,intere t = 1,...,T (24) x it 0,intere i = 1,...,n;t = 1,...,T (25) I it 0,intere i = 1,...,n;t = 1,...,T (26) B it 0,intere i = 1,...,n;t = 1,...,T (27) t=1 MOLP Parte III 23 / 61

24 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Costanti (in aggiunta al modello 2): cb it = costo domanda non soddisfatta. I vincoli (21) sono un estensione dei precedenti vincoli di flusso. Impongono che nel periodo t si debba soddisfare la domanda del prodotto i e la domanda insoddisfatta del periodo t 1 (ovvero B i,t 1 ). La richiesta di produzione può però essere decurtata della domanda non soddisfatta nel periodo t (ovvero B it ). x it B it I i,t 1 t 1 t t +1 I it d t B i,t 1 B it MOLP Parte III 24 / 61

25 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Modello 4: Lot sizing (gestione costi fissi di setup) Questo modello si differenzia dai precedenti per il diverso ambito applicativo. Consideriamo un solo prodotto e i seguenti dati di input: Un solo prodotto m risorse produttive, ciascuna con capacità C i, cs i = costo di preparazione (setup) della risorsa i, cv it = costo unitario di produzione su risorsa i nel periodo t, d t = domanda prodotto nel periodo t. Definiamo le seguenti variabili decisionali: { 1 se la risorsa i è utilizzata y i = 0 altrimenti x it = prodotti realizzati sulla risorsa i nel periodo t MOLP Parte III 25 / 61

26 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Il problema del lot sizing è esprimibile tramite il seguente modello: min m T m cv it x it + cs i y i (28) i=1 t=1 i=1 m x it d t t = 1,...,T (29) i=1 T x it C i y i i = 1,...,m (30) t=1 y i {0,1} i = 1,...,m (31) x it 0,intere i = 1,...,m,t = 1,...,T (32) La funzione obiettivo (28) minimizza la somma dei costi variabili e dei costi di setup. I vincoli (29) impongono di soddisfare tutte le domande. I vincoli (30) impongono i limiti di capacità delle risorse e il legame tra le x it e le y i. MOLP Parte III 26 / 61

27 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Il modello di lot sizing vale anche per il problema di ottimizzazione dato da: un unico periodo temporale, n clienti, ogni cliente j ha una domanda d j, m stabilimenti produttivi, cs i = costo di preparazione (setup) dello stabilimento i, cpt ij = costo unitario produzione e trasporto dallo stabilimento i al cliente j. m n m min cpt ij x ij + cs i y i (33) i=1 j=1 i=1 m x ij d j j = 1,...,n (34) i=1 n x ij C i y i i = 1,...,m (35) j=1 y i {0,1} i = 1,...,m (36) x ij 0,intere i = 1,...,m,j = 1,...,n (37) MOLP Parte III 27 / 61

28 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Modello 5: costi di setup e sotto-utilizzo/carenza risorse Variabili: x it= numero prodotti famiglia i realizzati nel periodo t I it= numero prod. famiglia i in magazzino alla fine del periodo t y it= 1 se si effettua setup per fam. i nel periodo t, 0 altrimenti O kt = eccesso di capacità sulla risorsa k nel periodo t U kt = carenza di capacità sulla risorsa k nel periodo t minz = n i=1 T T t=1 (cv itx it +ci it I it +cs it y it )+ K β i x i,t L(i) +I i,t 1 = d it +I it + n n k=1 t=1 (co kto kt +cu kt U kt ) j=1 γ ijx jt i = 1,...,n;t = 1,...,T (h kix it +s ki y it ) U kt +O kt = C k i=1 k = 1,...,K;t = 1,...,T x it My it i = 1,...,n;t = 1,...,T x it,i it 0,intere i = 1,...,n;t = 1,...,T U kt,o kt 0,intere k = 1,...,K;t = 1,...,T y it {0,1} i = 1,...,n;t = 1,...,T MOLP Parte III 28 / 61

29 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Le costanti del modello sono: β i= rendimento della produzione del prodotto i L(i)= lead time per la produzione del prodotto i h ki = ore per realizzare un prodotto di famiglia i sulla risorsa k γ ij= numero di prodotti famiglia i usati per un prodotto famiglia j s ki = tempo di setup per la risorsa k prodotto famiglia i C k = capacità risorsa k, e M= numero 0 Il modello considera K risorse produttive, ognuna con capacità C k. Il vincolo n (h ki x it +s ki y it ) U kt +O kt = C k i=1 impone che le ore richieste per la produzione ed il setup siano commisurate alla capacità di ogni risorsa. Se si generano eccessi o carenze di capacità, questi vengono pesati nella funzione obiettivo. MOLP Parte III 29 / 61

30 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Il vincolo β i x i,t L(i) +I i,t 1 = d it +I it + n γ ij x jt impone che per ogni famiglia i si soddisfi la domanda, la scorta di magazzino alla fine del periodo t e la richiesta di i necessaria a realizzare gli altri prodotti di famiglie j. Il modello rende disponibili all istante τ i prodotti che entrano in produzione all istante τ L(i). j=1 ingresso in prod. disponibile t = 1 lead time (4) t = 5 {}}{ MOLP Parte III 30 / 61

31 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Modello disaggregato Le quantità aggregate per famiglia (x it ) ottenute con i modelli appena descritti devono essere separate nei singoli prodotti per definire la produzione effettiva del periodo. Si deve quindi generare un piano di dettaglio coerente con il piano globale. Non sempre è possibile però avere piani coerenti in quanto il piano aggregato trascura vincoli che devono essere inclusi nel piano particolare. Consideriamo il primo periodo da disaggregare (periodo 1) e introduciamo i seguenti parametri: J(i) = insieme prodotti di dettaglio appartenenti alla famiglia i cs j = costo di setup per il prodotto j e la seguente variabile: y j1 = quantità del j-esimo prodotto da realizzare nel periodo 1. MOLP Parte III 31 / 61

32 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Il modello disaggregato risulta min j J(i) j J(i) cs j d j y j1 (38) y j1 = x i1 (39) lb j1 y j1 ub j1 j J(i) (40) La funzione obiettivo (38) tende a minimizzare il costo medio annuale di setup. Tale funzione è non lineare, quindi in pratica sono considerati vari obiettivi alternativi lineari, sui quali non ci soffermiamo. Ci soffermiamo invece sulla relazione tra x e y e sui possibili problemi che ne possono derivare. MOLP Parte III 32 / 61

33 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione I valori delle x sono dati di input che derivano dalla soluzione del precedente modello aggregato. Il vincolo (39) impone che tale input sia rispettato dalle variabili y. I lower e upper bound sulle variabili y sono dati da: lb j1 = max(0,d j1 +ss j1 I j1) ub j1 = os j1 +d j1 I j1 per il prodotto j, nel periodo 1, dove d j1 = domanda; ss j1= scorta di sicurezza; I j1= disponibilità a magazzino; os j1= massima scorta. La produzione del periodo insieme alla scorta di magazzino deve soddisfare la domanda, lasciando disponibile una scorta di sicurezza a magazzino. Analogamente, la scorta di magazzino a fine periodo non deve superare un limite massimo di stock. MOLP Parte III 33 / 61

34 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione Il problema delle incongruenze La disaggregazione di un MPS non sempre è possibile. Vediamo un esempio. Dati di input per una famiglia di 2 prodotti domanda magazzino Prodotto iniziale domanda per MPS Soluzione ammissibile per MPS periodi Variabile x (produzione) I (mag. fine periodo) domanda MOLP Parte III 34 / 61

35 9. Metodi di Ottimizzazione per la Produzione Modelli aggregati per la produzione La domanda del primo periodo viene soddisfatta con la giacenza iniziale di magazzino. Con questa scelta, alla fine del primo periodo rimangono 4 unità del prodotto 1 e 17 del prodotto 2. non è possibile soddisfare la domanda del prodotto 1 nel periodo 2. Piccoli aggiustamenti sono necessari, e quindi variazioni rispetto alla soluzione del piano aggregato sono possibili. MOLP Parte III 35 / 61

36 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione J 1 J 2 J 3 J 4 J 5 r r r r r J 1 J 3 J 2 J 4 J 5 r r r r r MOLP Parte III 36 / 61

37 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Notazione Notazione I sistemi di schedulazione sono caratterizzati da numerosi elementi: - macchine (processori) o risorse - configurazioni e caratteristiche delle macchine - livello di automatizzazione - sistemi di movimentazione -... Chiameremo genericamente macchina ogni risorsa (un tornio, un computer, un operatore, un reparto,...). Le macchine devono eseguire dei lavori (job) che possono consistere in una sola operazione o in una serie di operazioni che compongono un processo produttivo (ciclo). Le specifiche caratteristiche delle macchine, dei lavori e della funzione obiettivo determinano problemi di schedulazione di natura molto differente tra loro. MOLP Parte III 37 / 61

38 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Notazione Principali dati di input Processing time (p ij ): tempo di esecuzione del job j sull macchina i. Si usa p j se l esecuzione è indipendente dalla macchina Release date (r j ): data minima di inizio della lavorazione del job j Due date (d j ): data di consegna attesa. A volte si hanno deadline ovvero date di consegna che non possono essere superate Setup time (s jk ): tempo di allestimento della macchina per passare dal job j al job k Precedenze i j ((i precede j): indica che il job j può iniziare solo dopo che sia finito il job i MOLP Parte III 38 / 61

39 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Notazione Output della schedulazione Completion time (C ij ): istante di completamento dell operazione i del job j Starting time (S ij ): istante di inizio dell operazione i del job j Si ha che S ij = C ij p ij, quindi solo uno dei due output è necessario I problemi di scheduling si dividono inizialmente in problemi a macchina singola e problemi a macchine parallele. MOLP Parte III 39 / 61

40 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Notazione Problemi a macchina singola Molti sistemi di produzioni vengono assimilati a singoli processori: quando una macchina è il collo di bottiglia che determina la velocità di un intero sistema quando un reparto può essere aggregato e studiato come un unica unità... Gli algoritmi per la risoluzione di problemi a macchina singola sono usati all interno di ottimizzazioni di problemi più complessi. Vi sono numerosi problemi ben studiati in letteratura. Alcuni problemi sono risolubili in tempo polinomiale (appartengono quindi alla classe P) tramite algoritmi semplici di ordinamento dei job (es. SPT Shortest Processing Time, EDD Earliest Due Date,...), seguiti da assegnamento sequenziale secondo l ordinamento prodotto. MOLP Parte III 40 / 61

41 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Notazione Problemi a macchina singola Altri problemi sono invece N P-difficili, e richiedono quindi tecniche di enumerazione o modelli matematici. Esempio. Assegnare le lavorazioni dei job a una macchina singola, minimizzando il tempo complessivo, dato dalla somma dei tempi di lavorazione (p j per ogni job j) e dei tempi di setup (s jk per ogni coppia di job (j,k)). Il problema (noto come 1 s jk C max) richiede di ottenere la permuazione ottima dei job, ed è equivalente al TSP (e quindi NP-difficile). MOLP Parte III 41 / 61

42 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Notazione Problemi a macchine parallele Vi sono m macchine che possono eseguire i lavori (job). I job sono di norma operazioni singole (alternativa: operazioni multiple che possono essere svolte anche su macchine diverse, si parla in tal caso di batch di lavorazione). Occorre: assegnare i job alle macchine e determinare gli istanti di inizio e fine dei job per ogni macchina. Esempio: M 3 J 4 J 7 J 8 M 2 J 2 J 3 J 6 M 1 J 1 J MOLP Parte III 42 / 61

43 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Notazione Tipologie di macchine Se le macchine sono identiche, il tempo di processamento di un job è indipendente dalla macchina (p j ). Se le macchine sono uniformi, il tempo di processamento di un job è il rapporto tra il tempo di processamento standard del job e la velocità della macchina (rappresenta problemi con macchine dello stesso tipo, ma di diversa velocità). Se le macchine sono completamente diverse (non correlate), il tempo di processamento dipende dalla coppia macchina-job (p ij ). MOLP Parte III 43 / 61

44 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Shop Problems Shop problems I job sono costituiti da più operazioni da eseguire su più macchine Di norma ogni operazione di un job è assegnata a una data macchina Permettono di modellare condizioni produttive molto complesse Di seguito riportiamo le principali tipologie di shop problems MOLP Parte III 44 / 61

45 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Shop Problems Open shop Non vi è alcuna precedenza tra le operazioni M 3 J 1 J 3 J 2 M 3 J 2 J 1 J 3 M 2 J 2 J 4 J 1 M 2 J 1 J 2 J 4 M 1 J 3 J 2 J 4 M 1 J 2 J 3 J 4 Soluzione 1 Soluzione 2 MOLP Parte III 45 / 61

46 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Shop Problems Flow shop Ogni job ha m operazioni da eseguire in sequenza sulle macchine 1,2,...,m, rispettivamente M 3 J 1 J 3 J 2 J 4 M 2 J 1 J 3 J 2 J 4 M 1 J 1 J 3 J 2 J 4 MOLP Parte III 46 / 61

47 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Shop Problems Job shop Ogni job j ha n j operazioni da eseguire in sequenza sulle macchine µ 1,µ 2,...,µ nj, rispettivamente Job n j µ 1 µ 2 µ 3 µ 4 J J J J M 4 J 3 J 2 J 1 M 3 J 3 J 4 J 2 M 2 J 2 J 3 J 1 M 1 J 1 J 2 J 4 MOLP Parte III 47 / 61

48 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Shop Problems Flexible shop problem Shop problem con più macchine parallele in ogni stadio di produzione Le precedenze non sono più tra macchine, ma tra stadi di produzione Stage 3 Stage 2 { Stage 1 { MOLP Parte III 48 / 61

49 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Funzioni obiettivo e classificazione problemi Principali tipologie di funzioni obiettivo Le prime funzioni obiettivo si basano sul tempo di completamento dei job (C j ) Makespan: C max = max j (C j ) istante di completamento dell ultima operazione Determina il tempo necessario per terminare tutta la produzione. E una delle misure più studiate. Tempo di attraversamento totale n j=1 C j Viene usato come indicatore dei costi di Work-in-Process (quanità di materiale acquistato, ma non venduto in quanto in attesa di lavorazioni) Tempo di attraversamento totale pesato n j=1 w jc j Come per il tempo di attraversamento, ma ogni job ha un indicatore economico che esprime la sua rilevanza MOLP Parte III 49 / 61

50 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Funzioni obiettivo e classificazione problemi Altre funzioni obiettivo si basano sulla valutazione dei ritardi di consegna L j = C j d j Lateness (può essere positiva o negativa) T j = max(0,c j d j ) Tardiness (ritardo di consegna) E j = max(0,d j C j ) Earliness (anticipo di consegna) Come visto per i tempi di completamento, anche per questi casi si usa minimizzare il massimo, la somma o la somma pesata delle funzioni L max = max j (L j ) n j=1 L n j j=1 w jl j n T max = max j (T j ) j=1 T n j j=1 w jt j n E max = max j (E j ) j=1 E n j j=1 w je j In ottica Just in Time si tende a minimizzare sia l anticipo che il ritardo di consegna: J j = E j +T j J max = max j (J j ) n j=1 J j n j=1 w jj j MOLP Parte III 50 / 61

51 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Funzioni obiettivo e classificazione problemi Classificazione dei problemi di scheduling Si utilizza una notazione a tre campi: α β γ α = (α 1 α 2 ) caratteristiche delle macchine α 1 {,P,Q,R,PMPM,QMPM,G,X,O,F,J} α 2 {,numero} β = caratteristiche dei job (β 1,β 2,β 3,β 4,β 5,β 6 ) β 1 : preemption β 2 : precedenze β 3 : release time β 4 : caratteristiche dei processing time β 5 : deadline β 6 : batch γ = funzione obiettivo data una funzione f j, γ è del tipo f max, f j, oppure w jf j MOLP Parte III 51 / 61

52 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Funzioni obiettivo e classificazione problemi Classificazione dei problemi di scheduling Esempi: P C max = macchine parallele identiche, minimizzare il makespan P prec C max = macchine parallele identiche, precedenze generiche tra job, minimizzare il makespan 1 r j L max = macchina singola, release time, minimizzare la massima lateness J C max = Job shop, minimizzare il makespan... Per maggiori dettagli rimandiamo a: MOLP Parte III 52 / 61

53 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Tecniche risolutive Tecniche risolutive dei problemi di scheduling Le tecniche disponibili si suddividono in: Dispatching rule (euristici costruttivi) Metaeuristiche Branch-and-Bound Programmazione Dinamica Constraint programming Programmazione matematica... I package commerciali sviluppati sino a metà degli anni 90 usavano essenzialmente euristici costruttivi. Verso la fine degli anni 90 sono stati sviluppati package basati su metaeuristiche e basate su applicazioni limitate (nel tempo e/o nelle scelte) di programmazione lineare, branch-and-bound o constraint programming. I problemi reali sono di norma molto complessi e complicati da numerosissimi strani vincoli, quindi il ricorso alle euristiche è spesso d obbligo. Anche gli algoritmi euristici possono però utilizzare tecniche molto sofisticate. MOLP Parte III 53 / 61

54 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Tecniche risolutive Dispatching rule L idea è quella di ordinare secondo priorità le operazioni da assegnare alle macchine. Sono state studiate e applicate per vari decenni. Si dividono in due tipologie in base all ordinamento dei job: Regole statiche: la priorità di un job viene definita una volta per tutte Regole dinamiche: la priorità di un job può cambiare durante l esecuzione Si dividono inoltre in due tipologie in base alla costruzione della soluzione: Algoritmo sequenziale: assegna un job alla volta Algoritmo parallelo: seleziona un sott insieme di jobs e cerca di assegnarli tutti prima di passare al prossimo sott insieme MOLP Parte III 54 / 61

55 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Tecniche risolutive Dispatching rule: algoritmo sequenziale Input: n, m, caratteristiche dei job e delle macchine Ordina i job secondo una priorità definita for j := 1 to n do (eventualmente cambia priorità per l ordinamento) seleziona il primo job della lista e assegna la sua lavorazione al primo istante ammissibile (tale per cui i vincoli siano rispettati) end for MOLP Parte III 55 / 61

56 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Tecniche risolutive Dispatching rule: algoritmo parallelo Input: n, m, caratteristiche dei job e delle macchine Ordina i job secondo una priorità definita t := 0 J = {1,...,n} while (J ) do Determina l insieme S J dei job che possono iniziare in t S = ; (eventualmente riordina i job di S secondo priorità) while (S ) do estrai il primo job da S se possibile, schedula il job all istante t e inseriscilo in S end while J := J\S t :=minimo istante in cui può essere assegnato un job successivo end while MOLP Parte III 56 / 61

57 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Tecniche risolutive Esempio: P prec C max Regola LPT (Longest Processing Time) 6 job, 2 macchine parallele identiche processing time p j = (40,40,30,40,70,20) Precedenze: Algoritmo sequenziale: Ordine: J 5 J 1 J 2 J 4 J 3 J 6 3 M 2 J 1 J 2 J 3 J 6 M 1 J 5 J MOLP Parte III 57 / 61

58 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Tecniche risolutive Esempio: P prec C max Regola LPT (Longest Processing Time) 6 job, 2 macchine parallele identiche processing time p j = (40,40,30,40,70,20) Precedenze: Algoritmo parallelo: t S 0 {J 5,J 1,J 2 } 40 {J 2 } 70 {J 6 } 80 {J 4,J 3 } 90 {J 3 } M 2 J 1 J 2 J 4 M 1 J 5 J 6 J MOLP Parte III 58 / 61

59 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Tecniche risolutive Principali regole di ordinamento ERD : Earliest Release Date, equivale a F.I.F.O. LPT : Longest Processing Time, in ordine decrescente di durata SPT : Shortest Processing Time, in ordine crescente di durata WSPT : Weighted Shortest Processing Time, in ordine crescente del rapporto durata/peso EDD : Earliest Due Date), in ordine crescente di due-date (o deadline) SST : Shortest Setup Time, in ordine crescente di setup CP : Critical Path, seleziona il job che inizia il cammino più lungo MOLP Parte III 59 / 61

60 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Tecniche risolutive Regola Dati Obiettivo usuale per tale regola ERD r j makespan EDD d j L max LPT p j bilanciamento di macchine identiche, makespan SPT p j tempo medio di completamento WSPT p j,w j tempo di processamento pesato CP p j, prec makespan SST setup tempo medio di completamento, makespan MOLP Parte III 60 / 61

61 10. Metodi di Ottimizzazione per la Schedulazione Tecniche risolutive Esempi classici di dispatching rule Di norma le dispatching rule forniscono soluzioni euristiche. Per casi speciali forniscono la soluzione ottima. Ad esempio: 1 1 C j per SPT (Smith s rule) 2 1 w jc j per WSPT (Smith s ratio rule) 3 1 L max per EDD (Jackson s rule) MOLP Parte III 61 / 61