G. Bracco - Appunti di Fisica Generale

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1 Carica elettrica Abbiamo già incontrato le cariche elettriche come generatrici della forza di Coulomb. In genere i corpi non presentano carica ed anche gli atomi sono elettricamente neutri se non vengono perturbati dall esterno. La carica si misura in coulomb C. La carica elementare è multipla di quella dell elettrone (o del protone) e vale e= C (quantizzazione della carica), quindi data la piccolezza si può ritenere variabile con continuità (approssimazione macroscopica). In tutti i processi non si è mai osservata la creazione o sparizione di cariche, vale perciò un principio di conservazione della carica analogo a quello di conservazione della massa (massa-energia). Se le cariche nei materiali possono muoversi liberamente, i materiali vengono classificati come conduttori altrimenti vengono detti isolanti. Buoni conduttori sono i metalli come rame, argento, oro. Isolanti sono i materiali ceramici, in genere la plastica. Considereremo il caso elettrostatico nel vuoto. 1 Il campo elettrico E viene definito in base alle azioni su una carica detta di prova q 0. Se F è la forza in un punto su q 0 allora il campo è F E= (unità N/C od anche V/m) q 0 è da osservare che la carica di prova deve essere piccola per non modificare con la sua presenza le altre cariche che generano il campo (lim per q 0 tendente a zero). Dalla legge di Coulomb il campo generato nel punto P da una carica puntiforme q A in A è A r q AP A r P ^ A E A = k r AP O r r 2 P AP k = 1/(4 πε 0 ) = Nm 2 /C 2 con r AP =r P -r A con ε 0 = C 2 /(Nm 2 ) la costante dielettrica del vuoto in presenza di materia ε 0 viene cambiato in ε 0 ε r dove ε r è la costante dielettrica relativa del materiale, noi saremo sempre nel vuoto. 2

2 Come nel caso delle linee di flusso del campo di velocità di un fluido, il campo E è tangente in ogni punto alle linee di forza del campo. Le linee di forza iniziano sulle cariche positive (sorgenti) e terminano sulle cariche negative (pozzi). Le linee di forza del campo elettrostatico sono perciò linee aperte con inizio e fine. La densità di linee dà un indicazione della intensità del campo, quindi dove le linee sono più vicine il campo risulta più elevato. Qui sono mostrate due cariche positive. Le linee di forza danno anche l idea che esse si respingano. Da osservare che a grande distanza le linee di forza sono indistinguibili da quelle di una singola carica positiva +2q 3 In presenza di più cariche, il campo è la somma (vettoriale) del campo generato da ciascuna carica separatamente (principio di sovrapposizione) Ad esempio calcoliamo il campo elettrico generato da due cariche di segno opposto +q e -q a distanza d lungo la congiungente nel punto P q A q A d E P = k k p P (z-d/2) 2 (z+d/2) 2 -q +q z se la distanza z>>d (origine a metà fra le cariche) espandiamo il denom. 1 1 d 1 1 -d = ----(----) = ----(----) z 2 (1-d/2z) 2 z 2 z z 2 (1+d/2z) 2 z 2 z 2 quindi detto qd=p (momento di) dipolo elettrico E P = k --- p (p è un vettore diretto da -q a +q) z 3 quindi il campo va come l inverso del cubo della distanza 4

3 Un dipolo in un campo elettrico uniforme risente di una forza uguale e opposta sulle due cariche e quindi la risultante è nulla (*). D altra parte le due forze sono applicate in punti diversi e quindi può essere non nullo il valore del momento torcente. F F=±qE ed il modulo del momento risulta t= F (d/2) sin θ + F (d/2) sin θ= p +q F d sin θ=e qd sin θ= p E sin θ -F θ E e in termini vettoriali t=p E -q Il lavoro fatto dal campo elettrico sul dipolo p per una rotazione è L= p E dθ= p E sin θ dθ t θ l energia potenziale è ΔU=-L= E e scegliendo θ =0 quando il dipolo è allineato col campo U= - p E cos θ= - p E (*) Per avere una risultante non nulla occorre che il campo non sia uniforme. 5 Per n cariche E= E 1 + E E n Se la carica è distribuita con continuità, la somma è sostituita da un integrale e ogni carica puntiforme è data da dq=ρdv in modo analogo a quanto fatto per le distribuzioni di massa, in questo caso ρ= densità di carica (elettrica), perciò il campo nel punto P è P ρdv r-r E(r)= de= k V r-r 2 r-r l integrale è esteso al volume V dove è presente la carica però può essere esteso anche a una regione più grande dove ρ=0 e non c è contributo da questa regione. Questo integrale in genere non è facile da risolvere anche perché è vettoriale. r O r-r r Esempi: calcolo del campo elettrico generato da un disco carico lungo l asse del disco 6

4 Termini multipolari Un sistema di cariche (p.es.una molecola) può avere o meno una carica elettrica netta (p.es. lo ione NO 3- ). In tal caso l interazione elettrica con altri sistemi è dovuta principalmente al termine monopolare (carica netta). Nel caso della molecola d acqua H 2 O, non si ha una carica netta ma il baricentro delle cariche negative (verso l O) non coincide con quello delle cariche positive (verso gli H), si ha perciò un dipolo elettrico e il termine dipolare sarà il termine principale nelle interazioni elettriche con altri sistemi. La molecola di acqua è neutra Gli idrogeni (in grigio) e l ossigeno (rosso) formano un angolo di circa 109 a causa dell ibridizzazione tra gli orbitali s e p dell ossigeno. Le curve di isodensità elettronica mostrano che la carica degli elettroni è concentrata sull ossigeno e risulta minore sugli idrogeni. Da qui la nascita di un dipolo elettrico 7 In molecole lineari è anche possibile che ci siano due dipoli allineati ma in verso opposto e quindi il dipolo totale è nullo come per la molecola di biossido di carbonio O=C=O dove l ossigeno più elettronegativo fa si che la carica negativa sia concentrata su O e quella positiva su C. In tal caso si ha un termine di quadrupolo come termine principale di interazione. Molecole più complesse, come il trans-dicloro etilene ClHC=CHCl possono avere anche dipoli affiancati antiparalleli e quindi il dipolo risultante è ancora nullo. La forma isomerica (stessa formula bruta ma configuarazione differente) del dicloro etilene: la I è il cis-dicloro etilene mentre II è il trans-dicloro etilene Molecole in cui ci sono due quadrupoli che si annullano possono ancora avere un termine di ottupolo come nel caso del metano CH 4. Due ottupoli su una molecola possono annullarsi e si ha un termine di esadecapolo. Ovviamente tale processo può continuare e una distribuzione di cariche sarà approssimabile negli effetti da un opportuno termine multipolare. 8

5 Come abbiamo visto nel caso di un monopolo (carica) il campo elettrico generato diminuisce con la distanza come 1/r 2 e per un dipolo come 1/r 3. Estendendo agli altri termini multipolari la diminuzione sarà 1/r n, con n il termine multipolare. Poiché il campo elettrico generato interagisce con l altro sistema, più è alto l ordine multipolare dei due sistemi e più piccolo è l effetto. Dal punto di vista matematico, i termini multipolari si ottengono sviluppando in serie il denominatore dell integrale ρdv r-r E= de= k con r molto più piccolo di r r-r 2 r-r Se e i è la carica in posizione r i con α=x,y o z La carica totale è la somma delle cariche (scalare), il momento di dipolo è la somma dei prodotti er (termine vettoriale) mentre il momento di quadrupolo è il termine tensoriale (simmetrico) di ordine 2 a traccia nulla. Quindi ad es. per un sistema con q 0, il suo effetto elettrico a grande distanza si approx con kq r/r 3. Mentre per un dipolo 9 Legge di Gauss La legge di Gauss mette in relazione il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa (superficie gaussiana) e le cariche contenute entro la superficie stessa. Il flusso è definito come Φ= E da= E nda dove n è il versore uscente da ciascun della superficie chiusa (vedi anche dinamica dei fluidi). Es. prendiamo un cubo con spigoli orientati come gli assi xyz, su ciascuna faccia il versore è un versore degli assi. Per esempio il flusso attraverso la faccia colorata sarà Φ= E nda = Φ= (E) x da, se il campo è costante su tutta la faccia allora Φ= E x A. x z y Per esercizio calcolare il flusso di E su attraverso tutto il cubo supponendo che E sia a) un vettore costante (campo uniforme) diretto lungo +x E=(E x, 0, 0) b) un vettore del tipo E=(ax, 0, 0) con a=cost. (dimensioni di a?) 10

6 ε 0 Φ= Q int dove Q int è la carica interna alla superficie (legge di Gauss) dimostreremo tale legge per una carica puntiforme +q dentro una sfera di raggio R centrata sulla carica. Poiché il campo è radiale e dipende solo dal modulo di r, il modulo del campo è costante sulla superficie (r=r) ed è parallelo alla normale uscente E n=e. Il flusso attraverso una calotta sferica sarà Φ= E nda=e da=e da =E R 2 dω= E R 2 dω e per tutta la superficie sferica l angolo solido complessivo sarà dω=4π. Da notare che finora abbiamo usato solo il fatto che il campo sia radiale (centrale) e che dipenda dal modulo di r. Il campo E=1/(4πε 0 )q/ R 2 e quindi Φ=q/ ε 0 Se la superficie non contiene la carica consideriamo le due piccole superfici che definiscono lo stesso angolo solido centrato sulla carica con normali opposte n 1 e n 2 e valutiamo il flusso Φ 1 + Φ 2 = E 1 n 1 da 1 + E 2 n 2 da 2 = E 1 n 1 R 12 dω 1 + +q E 2 n 2 R 22 dω 1 = E 1 cos(α)r 12 dω 1 + E 2 cos(α+π)r 22 dω 2 = E 1 cos(α)r 12 dω 1 - E 2 cos(α)r 22 dω 2 ma per il fatto che E va come 1/r 2 il prodotto E n R 12 è uguale per entrambe le sup. e quindi E 1 n 1 R 2 1 = 1/(4πε 0 )(q/ R 12 ) R 12 cos(α)= 1/(4πε 0 )q cos(α) da cui 2 +q 1 Φ 1 + Φ 2 = 1/(4πε 0 )q cos(α)( dω 1 - dω 2 )=0 perché gli angoli solidi sono uguali. 11 Considerando una superficie di forma qualunque, il flusso attraverso le due superfici è uguale (per la dimostrazione precedente) e se per la sfera interna vale la legge di Gauss, allora vale anche per la superficie esterna. +q Per più di una carica puntiforme vale il principio di sovrapposizione e quindi la legge di Gauss è ancora verificata. Anche nel caso di una distribuzione continua, si può pensare di sommare i contributi delle cariche dq= ρdv e quindi sempre per il principio di sovrapposizione, la legge di Gauss vale ancora. Φ= ε 0 E nda=q (con Q carica totale interna alla superficie chiusa) se la distribuzione è continua ε 0 E nda= ρdv questa rappresenta la prima eq. Di Maxwell in forma integrale che fornisce il legame fra campo e sorgenti del campo. 12

7 Il primo integrale è esteso alla superficie chiusa che racchiude la carica, il secondo è esteso al volume in cui è presente la carica interna alla superficie gaussiana. Esiste un teorema matematico (teorema della divergenza) che permette di riscrivere anche il primo integrale come un integrale sul volume racchiuso dalla superficie gaussiana ε 0 E nda= EdV e quindi ε 0 EdV= ρdv con E=( E x / x+ E y / y+ E z / z) l operazione di divergenza (div) in termini dell operatore nabla. dove non c è carica la densità e nulla e quindi anche il secondo integrale può essere esteso a tutto il volume ε 0 EdV= ρdv ε 0 ( E- ρ) dv= 0 tale relazione è sempre verificata per ciascuna scelta del volume da cui ε 0 E= ρ prima equazione di Maxwell in forma differenziale valida sia nel caso statico che da quello dipendente dal tempo. 13 Utilizzando la legge di Gauss e una opportuna superficie gaussiana è possibile calcolare il campo elettrico generato dalla distribuzione di carica per sistemi dotati di simmetria. Per es. è possibile calcolare il campo nei seguenti casi: Sfera uniformemente carica Sfera con distribuzione a simmetria sferica non uniforme Distribuzione lineare di carica Distribuzione piana di carica Distribuzione di carica su due conduttori piani. Inoltre è possibile ricavare informazioni su come sono distribuite le cariche in un corpo conduttore isolato carico sia nel caso che il corpo sia pieno sia che esso presenti delle cavità. Osservazione: data la somiglianza fra le forze gravitazionali ed elettriche ( 1/r 2 ), la legge di Gauss vale anche per la gravità. 14

8 Potenziale elettrico Analogamente a quanto fatto in meccanica, possiamo definire un energia potenziale elettrostatica U, però in genere si ragiona per unità di carica e quindi anziché partire dalla forza, si parte dal campo elettrico E e si definisce il potenziale elettrico V=U/ q 0 (unità volt V). dl=f dl= q 0 E dl la forza elettrica è conservativa (nel caso elettrostatico) come nel caso della forza gravitazionale. Quindi E dl =0 su un percorso chiuso e si definisce analogamente la differenza di potenziale tra due punti i f come ΔV= V f -V i = - E dl Come fatto per il potenziale si prende un punto come riferimento per il quale il potenziale è nullo. In genere V( )=0 anche se altre scelte possono essere utilizzate. Una batteria permette di generare una differenza di potenziale (f.e.m.) Es.: calcolare il potenziale di una carica puntiforme q posta nell origine V= 1/(4πε 0 ) (q/ R) 15 +q Come nel caso del legame fra l energia potenziale e la forza, il campo è l opposto del gradiente del potenziale E= - V Le superfici equipotenziali (V=cost.) risultano perpendicolari alle linee di forza del campo E. Infatti il gradiente dà la direzione di massima crescita del potenziale e non ha componenti tangenti alle superfici equipotenziali altrimenti lungo la superficie ci sarebbe una crescita del potenziale che contraddirebbe la costanza del potenziale sulla superficie ρdv per il calcolo del potenziale di una distribuzione continua V=k si integra sulla distribuzione come per il campo E ma in r-r questo caso il risultato è uno scalare. 16

9 Le linee di forza sono perpendicolari alle superfici equipotenziali. Da osservare che in elettrostatica, in un materiale conduttore non può essere presente un campo elettrico (perché?) e quindi tutto il materiale si trova in condizioni equipotenziali (perché?). 17 Capacità elettrica Un condensatore accumula carica (ed energia) elettrica. Nella forma più semplice esso è formato da due conduttori (armature) che si caricano uno con carica positiva e l altro con carica negativa. Collegato ad una batteria che fornisce una f.e.m. = V si caricherà con una carica Q. Si definisce come capacità elettrica del condensatore la costante di proporzionalità C (unità farad F) tale che Q= C V. La capacità dipende dalle caratteristiche geometriche del condensatore e dalle proprietà del materiale fra le armature (ε 0 è sostituito da ε 0 ε r ). Per calcolare C in genere si suppone che il condensatore sia carico con carica Q e si determina il campo elettrico generato fra le armature, infine si integra il campo per ottenere ΔV che dipenderà da Q e quindi C= Q / ΔV Es. Condensatore a facce piane e parallele di area A distanti d C= ε 0 A/d Condensatore cilindrico raggi a < b lungo L C= 2πε 0 L/ ln(b/a). Unità di ε 18 0?

10 Circuiti con condensatori Condensatori in parallelo: tutti hanno lo stesso potenziale per due q 1 =C 1 V q 2 =C 2 V e quindi q= q 1 +q 2 =(C 1 + C 2 )V da cui la capacità equivalente è C= C 1 + C 2 per n condensatori: si sommano tutte le capacità C 1 C 2 Condensatori in serie: tutti hanno la stessa carica (perché?) per due q=c 1 V 1 q=c 2 V 2 e quindi q=c 1 V 1 = C 2 V 2 da cui la differenza di potenziale totale è V 1 + V 2 =q/c 1 + q/c 2 e la capacità equivalente è 1/C= (1/C 1 )+(1/ C 2 ) o C= C 1 C 2 /(C 1 + C 2 ) per n condensatori: si sommano gli inversi per trovare l inverso della capacità equivalente C 1 C 2 19 Energia immagazzinata e densità di energia Per caricare un condensatore si deve fare un lavoro che può essere recuperato scaricando il condensatore. Il lavoro per accrescere di dq la carica del condensatore di capacità C è dl= Vdq= (q/c) dq integrando tra carica zero fino a carica Q L= dl= (q/c) dq= Q 2 /(2C) e quindi l energia immagazzinata è U= Q 2 /(2C) = ½ CV 2 poiché Q=CV. Preso un condensatore a facce piane e parallele di area A e distanza d C=ε 0 A/d e quindi U= ½ CV 2 =½ ε 0 (A/d )V 2 moltiplichiamo per d/d = ½ ε 0 Ad(V/d) 2 ma Ad=Vol=volume interno al condensatore quindi la densità di energia u=u/vol =½ ε 0 (V/d) 2. Il campo E è uniforme e quindi V=E d da cui u E =½ ε 0 E 2 Questo risultato vale in generale: in ogni punto la densità di energia legata al campo elettrico vale u E =½ ε 0 E 2. 20