Appunti di Probabilità e Statistica. a.a. 2014/2015 BOZZA

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1 Appunti di Probabilità e Statistica a.a. 2014/2015 BOZZA

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3 Riuscire a controllare l incertezza può significare riuscire a ridurla The things one feels absolutely certain about are never true (Oscar Wilde)

4 Copyright c 2014 Mirko D Ovidio Appunti rilasciati per il solo uso non commerciale. 1.5 (testing) 5 maggio Gli Appunti: i) sono stati scritti utilizzando L A TEX su Linux - Debian (software free); ii) sono una raccolta di materiale per i corsi di Probabilità e Statistica ancora in versione preliminare, pertanto sarà cosa estremamente gradita la comunicazione di chiunque volesse segnalare errori di stampa o di concetto (materiale gratuito). Il materiale riportato in queste note è stato selezionato in modo da garantire una trattazione (spero) ben organizzata di argomenti che comunque non si deve considerare esaustiva ma dovrebbe avere lo scopo di aiutare e supportare nello studio della probabilità e della statistica. Gli appunti vanno quindi intesi come una lettura da affiancare ad un libro di testo, più completo e dettagliato, da concordare in maniera diversa nei due corsi di Calcolo delle Probabilità e Probabilità e Statistica. Alcuni concetti sono trattati in maniera più approfondita, possono risultare quindi troppo avanzati. Lo scopo di queste note è quello di fornire un aiuto nella comprensione della teoria di base ma anche quello di stimolare gli interessi di alcuni verso teorie più avanzate. : il simbolo indica gli argomenti importanti. Il resto degli appunti è necessario per la comprensione di tali argomenti (prerequisiti o applicazioni).

5 Indice 1 Osservazione e Probabilità Statistica descrittiva Probabilità Statistica inferenziale Probabilità e Applicazioni Misura e Probabilità Insiemi Misure positive e di Lebesgue Funzioni misurabili e spazi di Lebesgue Misure di Probabilità Il concetto di Probabilità e le diverse impostazioni Spazi di Probabilità uniformi Variabili Aleatorie Definizione di variabile aleatoria Media e Momenti Relazioni tra variabili aleatorie Eventi di misura nulla Probabilità congiunte e condizionate Tabella di contingenza Trasformazioni di v.a Somme di variabili aleatorie Somme aleatorie di variabili aleatorie Variabili aleatorie ordinate Successioni monotone di variabili aleatorie Simulazione, generatori di numeri casuali Serie numeriche e di funzioni Trasformate di densità Alcune disuguaglianze fondamentali iii

6 iv 3.7 Convergenza di variabili aleatorie Convergenza, definizioni e discussione Teoremi limite Metodi Monte Carlo Processi aleatori Gli universi campionari Popolazioni finite Popolazioni virtuali Inferenza statistica Stima parametrica Proprietà desiderabili di uno stimatore Metodi di stima Verifica delle ipotesi statistiche Test parametrici Test non parametrici Stima in presenza di parametri di disturbo Inferenza su particolari parametri Logiche inferenziali I modelli lineari Il modello lineare generale Stima dei parametri Il caso di una variabile esplicativa Modelli lineari generalizzati Distribuzioni di probabilità elementari Variabili discrete Variabili continue A Esercizi 201 B Alcune somme notevoli 205 C Svolgimenti 209 Bibliografia 241

7 Introduzione Nelle scienze applicate si procede sempre allo stesso modo, si osserva, si elabora, si traggono conclusioni. Si raccolgono dati da un campione e si traggono conclusioni per l intera popolazione (sia essa di uomini, animali, batteri, titoli, etc.). Sembra un procedimento elementare, ebbene lo scopo di questo corso è proprio quello di fornire gli elementi per capire quanto, in effetti, non lo sia. Quando osserviamo un fenomeno, registriamo dei dati. Lo scopo della Statistica Descrittiva è quello di fornire ed estrapolare informazioni dai dati in nostro possesso. Utilizziamo a questo scopo delle funzioni dei dati campionari che sono chiamate appunto, statistiche dei dati campionari. Una volta ottenute le informazioni sul fenomeno oggetto di studio, ci si chiede quanto queste informazioni siano attendibili (sembra inevitabile ricordare che l affidabilità di un dispositivo è la probabilità che funzioni!). Ci sono diverse questioni da affrontare, ad esempio, si deve ricordare che tutte le informazioni ottenute sono il frutto di analisi fatte sullo stesso campione. Vogliamo quindi sapere se considerando un campione diverso, oppure osservando un campione diverso, arriveremmo alle stesse informazioni. Oppure, se il campione osservato rispecchia al meglio le caratteristiche della popolazione, se cioè il campione osservato è quello più probabile. Questo è il ruolo della Statistica Inferenziale. Alla base delle tecniche inferenziali e non solo, troviamo il calcolo delle Probabilità. Più avanti nel testo, si è accennato a problemi (semplificati) relativi ai seguenti campi di applicazione della Probabilità: Matematica applicata: costruire modelli (governati da equazioni a derivate parziali o no) che riducano l incertezza in ambiti anche molto diversi, dalla Fisica alle Scienze Sociali o dalla Biologia alla Medicina (processi aleatori); Teoria dei segnali: si studia la variazione nel tempo di una grandezza (o misurazione) cercando proprietà matematiche e statistiche (processi aleatori); Inferenza Statistica: problemi di stima per parametri di un modello (matematico) che descrive un fenomeno oggetto di studio e che non può essere descritto da v

8 vi modelli puramente deterministici. si vogliono studiare alcune proprietà su pochi unità e trarre conclusioni più generali; Teoria delle decisioni: metodologia che si applica quando un decisore può scegliere tra varie azioni future il cui esito dipende da fattori esterni che non possono essere previsti esattamente; Teoria del rischio: modelli matematici per descrivere la vulnerabilità di insolvenza di un assicuratore (o altra compagnia). Si può associare allo studio del problema classico della rovina del giocatore. In particolare, possiamo elencare alcuni esempi: Astrofisica: studio della radiazione cosmica di fondo,...; Biologia: inferenza su culture...; Economia/Marketing: indagini sui nuovi prodotti,...; Farmacia: testare un farmaco,...; Finanza/Assicurazione: problemi relativi ai titoli finanziari,...; Fisica: diffusione del calore, moti di particelle,... Geologia: statistica spaziale,...; Informatica: approssimazione di integrali, calcolatori quantistici,...; Inquinamento: stima delle concentrazioni di inquinanti,...; Medicina: studiare gli effetti di malattie o cure su pazienti,...; Programma e registro delle lezioni. Tratteremo, nei due corsi AT e GEST, gli argomenti divisi come in Tabella 1. Il programma dettagliato va preso dal registro delle lezioni, aggiornato in tempo reale e disponibile sulla pagina web del coso: Gli esercizi di autovalutazione si possono reperire ovunque in rete, si consiglia comunque di consultare la pagina

9 INDICE vii AT AT e GEST GEST Capitolo 1 Capitolo 2 Capitolo 3 Capitolo 4 Capitolo 3 Capitolo 5 (Somme di v.a. + Disuguaglianze) Capitolo 6 Tabella 1: Programma (in generale). In particolare sono consigliati gli ESERCIZI con RISPOSTE dal 1986 al 2001 oppure tutti i compiti dal 2003 con svolgimento. Il lettore interessato può approfondire gli argomenti trattati nei seguenti testi di riferimento: teoria della misura e analisi [10, 9, 4, 3]; statistica asintotica [11]; somme notevoli ed integrali [5]; Probabilità [1, 2, 6, 7]; Probabilità e Statistica [8]. Obiettivi del corso. Acquisire competenza e abilità nel trattare: variabili aleatorie, relazioni, interpretazione e probabilità di eventi; trasformazioni di variabili aleatorie X g(x) dove X può essere un vettore, somme di v.a. S n = n k=1 g(x k), convergenza di n 1 S n per n ; inferenza statistica su X n = n 1 S n, n N.

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11 Errata Corrige e Approfondimenti In classe spesso affrontiamo esempi ed esercizi non presenti negli appunti. Sono qui elencati gli approfondimenti, commenti, esercizi trattati in classe e non presenti nelle precedenti versioni. Inoltre sono elencate le correzioni già fatte (in questa versione) di errori presenti in versioni precedenti. Quindi, nella presente versione potete trovare le seguenti differenze con le versioni precedenti: pag. 7, Esempio 1 pag. 12, Svolgimento Esercizio 7 pag. 13, Esempio 2 pag 14, Esercizio 9 pag. 15, Esercizio 11 Legge delle probabilità totali....e A, B, C sono eventi compatibili... pag. 38, Osservazione 11 Eventi complementari pag. 39, Esempio 12 pag. 39, Esempio 13 pag. 40, Proposizione 6 pag. 43, Esercizio 29 con Svolgimento pag. 44, Esercizio 30 con Svolgimento pag. 51, dopo Definizione 28:...dove B n P(R n ) se X R n o B n P(Z n ) se X Z n. ix

12 x pag. 54, Figura 3.1 pag. 65, Osservazione 19 pag. 65, Osservazione 14 Sezione 3.2,... Osserviamo che per v.a. continue o discrete, data una funzione continua g C(R), possiamo scrivere Eg(X) = g(x)f(x)µ(dx) R dove µ(dx) = dx (misura di Lebesgue e f è la densità continua con supporto supp(x)) o µ(dx) = µ δ (dx, spet(x)) (misura di Dirac e f è la densità discreta di X). Nelle formule sopra si è considerata la funzione continua g(x) = x r con r > 0. pag. 67,...La funzione g(x) = x r con r > 0 è continua ma non limitata: non avrà senso per noi considerare EX r =, infatti g C b (R) Eg(X) M < Eg(X) < g C b (R). proprietà della media, dimostrazione del punto v) pag. 69, Esercizio 44 con soluzione pag. 70, Osservazione 15 pag. 70, Osservazione 16 pag. 85, Esempio 18 pag. 88, Sezione 3.3.5, la v.a X n pag. 88, formula (3.39) e discussione pag. 93, Osservazione 26 pag. 94, Proposizione 10 con dimostrazione pag. 111, Esempio 84 pag. 124, Esempio 28 pag. 125, il Teorema 33 (legge debole dei grandi numeri) e discussione

13 INDICE xi Sezione 6.3, il modello lineare pag. 184, Osservazione 41. Capitolo 7, Geometrica Capitolo 7, Binomiale Capitolo 7, Ipergeometrica Capitolo 7, Poisson pag. 192, Osservazione 44 Capitolo 7, funzione Gamma Soluzione Esercizio f Xj (x j ) = e x2 j π, j = 1, 2. Appendice A, Esercizi con svolgimenti (in progress) Bibliografia

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15 Capitolo 1 Osservazione e Probabilità Si consiglia di leggere il Capitolo 1 prima dei capitoli che seguono e soprattutto dopo. 1.1 Statistica descrittiva La statistica è una scienza, una disciplina che ha come scopo lo studio quantitativo e qualitativo di fenomeni (non deterministici). La statistica descrittiva ha lo scopo di fornire una fotografia di una situazione o di un particolare fenomeno osservato. Una statistica è una funzione dei dati campionari. I dati campionari sono costituiti dalle misurazioni (o osservazioni) fatte sul campione osservato. Il campione osservato è costituito da unità statistiche che sono state opportunamente selezionate da una popolazione. La popolazione rappresenta l interesse principale ed il motivo per il quale si vuole effettuare una analisi statistica. Si vuole cioè studiare un particolare (o più di uno) fenomeno che coinvolge la popolazione di interesse. La popolazione oggetto di studio può essere costituita da persone, animali, batteri, titoli finanziari, insetti, etc., in ogni caso siamo interessati a studiarne le caratteristiche. Non ci preoccupiamo ora di questioni legate al campione (come viene selezionato, come viene definita la numerosità ottima, etc.), tali argomenti rappresentano parte dei problemi che risolveremo ricorrendo alla statistica inferenziale. Per ora, diremo che il campione è casuale senza dire in che modo sia regolata tale casualità. Una volta osservato il campione, avremo una serie di misurazioni (supponiamo che la caratteristica di interesse ammetta valori numerici, sia quindi di tipo quantitativo 1 ). Indichiamo tali misurazioni con il vettore x = (x 1, x 2,..., x n ) (1.1) 1 Non ci preoccuperemo quasi mai di introdurre variabili di tipo diverso, qualitative ad esempio. 1

16 2 che è quindi un punto di R n. Dalla definizione data sopra di statistica, sembra chiaro che possiamo considerare tutte le funzione con supporto in R n. Ovviamente, volendo ricavare delle informazioni (riguardanti la popolazione) dal campione, sembra altrettanto chiaro che le funzioni deputate debbono prima di tutto essere informative. La prima informazione utile che possiamo ottenere è la media campionaria x = 1 n n x i. (1.2) Vogliamo poi capire quanto i dati si discostano dalla media campionaria. Introduciamo allora una distanza (Euclidea) dei dati campionari da tale valore che è la varianza campionaria s 2 = 1 n (x i x) 2. (1.3) n i=1 La varianza campionaria si può scrivere a partire dai momenti campionari di ordine r > 0 m r = 1 n (x i ) r (1.4) n dove, per r = 1, si ottiene la media campionaria m 1 = x. Infatti, s 2 = m 2 (m 1 ) 2 (a volte scriveremo m r = x r e quindi s 2 = x 2 ( x 1 ) 2 ), il secondo momento meno il quadrato del primo. Supponiamo adesso che nel campione osservato x ci siano un certo numero di valori uguali, diciamo ad esempio che k valori su n siano esattamente uguali. In generale, supponiamo che k i valori sugli n totali siano uguali al generico v i. Allora, si può identificare una distribuzione (successione) di frequenze relative f i = k i /n ricavata dalla distribuzione di frequenze assolute k i ed i I dove I è un nuovo insieme di indici la cui cardinalità I è la dimensione del nuovo vettore i=1 i=1 v = (v 1, v 2,..., v I ). In nuovo vettore è costituito da tutti i valori diversi di x, presi con i loro pesi k i, i = 1, 2,..., I n. Ovviamente, se I = n allora v = x, non ci sono valori uguali. Seguendo questa impostazione abbiamo e I x = v i f i = 1 I v i k i (1.5) n i=1 i=1 I s 2 = (v i x) 2 f i = 1 I (v i x) 2 k i (1.6) n i=1 i=1

17 Capitolo 1. Osservazione e Probabilità 3 dove f i e k i sono le frequenze relative e assolute introdotto sopra. Notiamo che tali frequenze si possono scrivere come vettori, f = (f 1, f 2,..., f n ) e k = (k 1, k 2,..., k n ). Esercizio 1. Trovare i vettori v, k, f relativi al campione osservato e calcolare media e varianza campionarie. x = (2, 2, 3, 4, 2, 4, 3, 2, 5, 1, 1) Data una successione finita di valori x k, k = 1,..., n si definiscono: ( 1 n 1 n x k n k=1 n x k f k k=1 n n k=1 1 x k ( n ) 1/n x k k=1 ) 1/p n (x k ) p k=1 media aritmetica, media ponderata, media armonica, media geometrica, media di potenza. In base al fenomeno oggetto di studio può essere scelta una diversa statistica di interesse, la media campionaria appena introdotta è solo un esempio. Possiamo essere interessati a studiare il max{x 1,..., x n }, il min{x 1,..., x n } oppure altre funzioni dei dati campionari. Supponiamo ora che il Rettore della Sapienza ci chieda l età media degli iscritti al primo anno delle Facoltà di Ingegneria e supponiamo che tale informazione sia da comunicare entro 10 ore. Sappiamo che gli iscritti sono circa e non abbiamo il tempo di chiedere a tutti gli studenti di comunicare la loro età. La soluzione sembra essere quella di selezionare un campione molto ridotto di studenti, chiedere l età e comunicare la media al Rettore. Diciamo che si sceglie di intervistare 5 studenti, la cosa è presto fatta, si può reperire l età di 5 studenti in pochi minuti. Immaginiamo per comodità che ad ogni studente si possa far corrispondere un numero invece del nome, ci sono studenti quindi se X è l età dello studente, allora X i è per noi l età dello studente i con i = 1, 2,..., All ingresso della Facoltà di ingegneria trovo i 5 studenti corrispondenti ai numeri (6, 60, 114, 1002, 8657)

18 4 registro le loro età e ottengo il campione x = (X 6 = 19, X 60 = 20, X 114 = 26, X 1002 = 18, X 8657 = 21). La prima domanda che mi pongo riguarda l età media, la calcolo e scopro che è x = 1 ( ). 5 La seconda domanda che mi pongo riguarda la correttezza di tale informazione e mi chiedo se veramente voglio assumermi la responsabilità di comunicare l età media appena trovata al Rettore. Le mie insicurezze riguardano due punti: D1 n = 5 studenti è un campione rappresentativo o sarebbe meglio considerare n > 5? Quanti studenti dovrei considerare per ottenere un risultato attendibile, n =? D2 se avessi considerato studenti diversi, la media quanto sarebbe cambiata? In effetti, avrei potuto trovare le età relative ai campioni oppure, in generale (X 62, X 69, X 124, X 1402, X 9239 ), (X 632, X 1989, X 2014, X 4201, X 9719 ) (X i1, X i2, X i3, X i4, X i5 ). (1.7) La scelta degli studenti da intervistare è del tutto casuale, dipende dagli studenti che trovo in quel momento, in quel posto. In particolare D3 quanti gruppi diversi di 5 studenti potevo trovare? (che equivale a dire, quante medie diverse potevo calcolare?) 1.2 Probabilità Per introdurre il concetto di probabilità cerchiamo di impostare il problema visto sopra da un punto di vista più matematico. Si capisce bene che l età di una persona può essere considerata come una variabile in un dato problema, in particolare è una variabile quantitativa discreta. Nel nostro caso, dobbiamo aggiungere che si tratta di una variabile aleatoria, non sappiamo cioè quanto vale fino a quando non osserviamo (fino a quando non si realizza la variabile aleatoria). Dobbiamo quindi distinguere tra variabile deterministica e variabile aleatoria. Diciamo che una variabile è deterministica se possiamo prevedere il suo valore in

19 Capitolo 1. Osservazione e Probabilità 5 un certo momento mentre una variabile è aleatoria se non abbiamo nessun controllo sui valori che assume, se cioè siamo in grado di prevedere il suo valore in un certo momento solo con una certa probabilità. Se lancio un dado, non possiamo semplicemente dire ma possiamo dire esce 4 P ( esce 4 ) = 1 6 cioè la probabilità dell evento lancio il dado ed esce 4 è pari a 1/6. Formalizziamo dicendo che la variabile aleatoria X = lancio il dado ha un insieme limitato di realizzazioni che sono ovviamente Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, allora si vede subito che P (X = x) = 1 6 per ogni faccia x Ω. Si poteva quindi scrivere Notiamo che P (X = 4) = P ( esce 4 ) = P ( lancio il dado ed esce 4 ). P (X Ω) = P ( lancio il dado ed esce una faccia ) = 1 e gli eventi di probabilità pari a 1 si dicono eventi certi. Analogamente chiameremo eventi impossibili quegli eventi con probabilità pari a 0. Ci riferiremo agli eventi rari quando le loro probabilità sono prossime a 0. In generale, ci possiamo riferire ad un fenomeno oggetto di studio come ad una variabile aleatoria X, non conosciamo il valore di X fino a quando X non si realizza, cioè fino a quando non osserviamo. Chiamiamo x la realizzazione della variabile aleatoria X. Quindi x è la nostra osservazione, nel caso del lancio del dado, x è una faccia di Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le probabilità che ci interessano saranno allora P (X = x), P (X x), P (X < x), P (X x), P (X > x) (1.8) oppure, se x 1 x 2, P (x 1 X x 2 ). Si noti che se x 1, x 2 R, la (1.8) continua ad avere senso. La variabile aleatoria sarà scelta in base al fenomeno che vogliamo studiare, alcuni esempi possono essere puramente didattici:

20 6 i) X = lancio il dado ; ii) X = estraggo una pallina da un urna ; iii) X = estraggo k palline con ripetizione ; iv) X = estraggo k palline in blocco ; altri possono rappresentare delle semplificazioni di modelli molto più complicati e utilizzati nella vita reale: i) X = altezza ; ii) X = pressione sistolica ; iii) X = livello di reddito ; iv) X = numero di sinistri ; v) X = misurazioni relative alla radiazione cosmica di fondo ; vi) X = precipitazioni in una regione ; vii) X = concentrazione di un inquinante". Se X i = età della persona i come nell esempio sopra, allora possiamo formalizzare come segue. Chiamiamo X N n con n = 5 il vettore (1.7). Cioè, ogni elemento di X è un numero naturale. La media campionaria è una quantità deterministica una volta che X si è realizzato, prima che si realizzi X, anche la media aritmetica degli elementi di X è aleatoria, cioè X = X ij = 1 5 j=1 j c 5 X j dove si è usato il fatto che c 5 è un insieme di 5 etichette rappresentanti gli studenti intervistati. Volendo generalizzare ad n qualunque, scriviamo la variabile aleatoria media campionaria, X n = 1 X j (1.9) n j c n e c n è un insieme di etichette che rappresenta un gruppo di n studenti. Quindi diciamo che X n è la variabile aleatoria età media campionaria. A questo punto potrei chiedermi D4 quanti gruppi diversi di n studenti posso trovare? Cioè quanti insiemi diversi c n di etichette posso costruire?

21 Capitolo 1. Osservazione e Probabilità 7 Esempio 1. Supponiamo che Mario chieda al fratello Moreno di essere visitato senza aggiungere altre informazioni. Moreno che è un medico esperto ma anche preoccupato, si chiede come mai il fratello volesse essere visitato ed immagina la scoperta improvvisa di qualche malattia, diciamo X. Allora Moreno si interroga sulla storia passata dei sui pazienti, sulla base cioè delle sue informazioni. Le malattie per le quali i suoi pazienti si sono presentati negli ultimi anni sono x 1, x 2,... e rovistando tra le carte le associa alle frequenze f i, i = 1, 2,..., cioè f i = freq{ pazienti con la malattia x i }, i = 1, 2,.... Sulla base delle frequenze appena ricostruite, arriva a dire che P (X = x i ) = f i i = 1, 2,... e scartando le malattie con probabilità più basse, restringe la rosa di possibilità per la malattia del fratello Mario. Spazi di Probabilità uniformi (prime considerazioni) Non definiamo qui uno spazio di probabilità ma ci limitiamo a dire che esso è caratterizzato da due oggetti: i) un insieme Ω detto insieme degli eventi (elementari); ii) la probabilità P che possiamo immaginare come una funzione del tipo P : ω [0, 1] con ω Ω. Diremo che uno spazio di probabilità è uniforme se gli eventi ω di Ω sono equiprobabili. Si pensi al lancio di un dado: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e P (ω) = 1/6 per ogni ω Ω. Potremmo anche considerare un urna contenente n palline numerate da 1 a n. Allora, Ω = {1, 2,..., n} e P (estrarre la pallina numero x) = P (ω) = 1/n per ogni ω Ω (cioè per ogni x = 1, 2,...., n). Notiamo subito che Ω è detto insieme degli eventi elementari perché non contiene tutti gli eventi ai quali posso essere interessato. Continuiamo a riferirci al lancio del dado, le probabilità degli eventi elementari come abbiamo già osservato sono costanti e tutte uguali a 1/6. Potrei chiedermi allora con quale probabilità: 1. esce una faccia con un numero minore di 4 (esce un numero < 4); 2. esce una faccia con un numero minore o uguale a 4 (esce un numero 4);

22 8 cioè del tipo (1.8). Quando si considerano spazi di probabilità uniformi si può utilizzare l impostazione classica delle probabilità secondo la quale, la probabilità di un evento A si può trovare dal rapporto tra casi favorevoli e casi possibili, P (A) = numero di casi favorevoli ad A. (1.10) numero di casi possibili Ad esempio, nel lancio di un dado: P (esce un numero pari) = 3/6; P (esce un numero < 3) = 2/6; P (esce un numero 4) = 4/6. Esercizio 2. Da un urna contenente 5 palline rosse e 5 palline nere, si estraggono, con reimbussolamento (o con ripetizione), due palline a caso. Calcolare le seguenti probabilità: 1. P (estrarre una pallina rossa e una nera); 2. P (estrarre due palline rosse); 3. P (estrarre due palline nere); 4. P (avere estratto una pallina rossa se so che una è nera). Esercizio 3. Da un urna contenente 5 palline rosse e 5 palline nere, si estraggono, senza reimbussolamento (o senza ripetizione), due palline a caso. Calcolare le seguenti probabilità: 1. P (estrarre una pallina rossa e una nera); 2. P (estrarre due palline rosse); 3. P (estrarre due palline nere). Esercizio 4. Da un urna contenente 4 palline rosse e 6 palline nere, si estraggono, senza reimbussolamento, due palline a caso. Calcolare le seguenti probabilità: 1. P (estrarre una pallina rossa e una nera); 2. P (estrarre due palline rosse); 3. P (estrarre due palline nere).

23 Capitolo 1. Osservazione e Probabilità 9 Esercizio 5. Da un mazzo di carte da poker (52 carte) si distribuiscono 5 carte prese a caso. Calcolare: 1. P (asso di picche tra le 5); 2. P (un asso tra le 5); 3. P (asso di picche, 2 di quadri, 7 di cuori, 2 di fiori, 8 di cuori). Esercizio 6. Un gruppo di n maschi e m femmine partono per le vacanze. Decidono di trovarsi in stazione la mattina del giorno dopo alle 5:30 e attendere che la biglietteria apra. Quando arrivano in stazione non c è nessuno, si mettono in fila in ordine di arrivo. Volendo parlare durante l attesa, si chiedono con quale probabilità i maschi saranno tutti vicini e di conseguenza anche le femmine? Prima di rispondere agli esercizi proposti, introduciamo il calcolo combinatorio che risulta essere un strumento molto potente nel calcolo di probabilità su spazi uniformi. In particolare, si considera l impostazione classica della probabilità, bisogna distinguere tra casi possibili (la totalità degli eventi che possiamo registrare) e casi favorevoli (i soli eventi relativi alla probabilità di interesse, i casi che contribuiscono al verificarsi dell evento per cui vogliamo calcolare la probabilità). Nel calcolo combinatorio si studiano le diverse regole secondo le quali insiemi di elementi sono considerati diversi. Tali regole definiscono delle famiglie di insiemi, al loro interno tutti gli insiemi rispettano le stesse regole, su numerosità e ordine ad esempio. Approfondiremo questi aspetti in seguito. Definizione 1. Dato un insieme U di cardinalità U = n, tutti i sottoinsiemi di U i) di cardinalità n, ii) che differiscono per ordine (ordinati) formano l insieme P n delle permutazioni semplici degli n elementi di U. Inoltre, P n = n!. Definizione 2. Dato un insieme U di cardinalità U = n, tutti i sottoinsiemi di U i) di cardinalità k n, ii) che non differiscono per ordine (non ordinati)

24 10 formano l insieme C n,k delle combinazioni semplici degli n elementi di U in classi di k. Inoltre, ( ) n n! C n,k = = k (n k)!k!. Sia U = {a, b, c}, allora P 3 = {abc, acb, bac, bca, cab, cba}, C 3,1 ={a, b, c}, C 3,2 ={ab, ac, bc}, C 3,3 ={abc}. Cerchiamo ora di rispondere alla D4 e quindi anche alla D3. Nel calcolare la media campionaria non importa in quale ordine osservo le stesse n persone, posso quindi considerare c n una combinazione semplice di indici in classi di n e può essere scelto in C 10000,n modi diversi. Inoltre, ( n P (c n ) = 1 ( ) = 10000! (10000 n)! n! ) 1. Supponiamo ora che dal campione relativo a c n si sia ottenuta l età media x = 20. Dobbiamo notare che P ( X n = 20) P (c n ) infatti ci possono essere diversi campioni con la stessa media campionaria (la media delle età di Maria e Alberto può essere uguale alla media delle età di Marta e Simone). Il problema di determinare la legge distributiva di Xn è quindi ancora aperto, non sappiamo cioè scrivere P ( X n = x) per ogni x. (1.11) Svolgimento Esercizio 2. Le palline estratte vengono inserite nuovamente nell urna e quindi ad ogni estrazione la situazione è esattamente la stessa. Indichiamo con N = estraggo pallina nera e R = estraggo pallina rossa. Gli eventi di interesse sono RN oppure NR (sono i casi favorevoli). I casi possibili sono RR, RN, NR, NN.

25 Capitolo 1. Osservazione e Probabilità 11 La situazione iniziale prevede che (eventi di probabilità uniformi) P (R) = 5 10 e P (N) = Alla seconda estrazione non cambia nulla perché ogni volta inseriamo di nuovo la pallina nell urna. Si ottiene: 1. P (RN oppure NR) = 2/4; 2. P (RR) = 1/4; 3. P (NN) = 1/4; 4. P (R N) =?. Nei primi tre punti si è utilizzata la (1.10) mentre nell ultimo punto si è introdotta la probabilità condizionata solo per sottolineare l esistenza di un problema diverso. Affronteremo il condizionamento in seguito. Svolgimento Esercizio 3. Dobbiamo considerare un urna con 10 palline dalla quale si estrae una pallina alla volta, senza reimbussolamento. Dopo la prima estrazione la situazione cambia e di conseguenza anche le probabilità di estrarre palline rosse o nere. Alla seconda estrazione, P (R) e P (N) dipenderanno da quale pallina ho estratto la prima volta. Devo quindi introdurre gli eventi e R i = R alla estrazione i-esima N i = N alla estrazione i-esima e calcolare P (R 1 N 2 ) = P (N 2 R 1 )P (R 1 ). Inoltre, in questo caso P (R 1 N 2 ) = P (R 2 N 1 ), perché? Daremo la soluzione di questo esercizio in seguito. Svolgimento Esercizio 4. Anche questo esercizio ha il solo scopo di sottolineare alcuni aspetti importanti, daremo la soluzione in seguito. Siamo però in grado di fornire una spiegazione del fatto che P (R 1 N 2 ) P (R 2 N 1 ) contrariamente a quanto accadeva nel precedente esercizio. Perché? Svolgimento Esercizio 5.

26 12 Svolgimento Esercizio 6. Pensiamo ad una sequenza di numeri, da 1 a n + m. Ad ogni amico associamo un numero. I casi favorevoli sono dati da tutti i modi in cui posso ordinare i primi n numeri (i maschi) e tutti i modi in cui posso ordinare i numeri da n+1 a m (le femmine), si ottiene rispettivamente P n e P m. Quindi i casi favorevoli sono n!m! mentre i casi possibili sono dati da tutti i modi in cui posso ordinare gli n+m numeri (amici). In definitiva, applicando l impostazione classica della probabilità, la P (i maschi saranno tutti vicini e di conseguenza anche le femmine) si ottiene considerando l ordine di arrivo e calcolando P (due gruppi distinti) = n!m! (n + m)!. Si noti che P (due gruppi distinti) = C n+m,m 1 = C n+m,n 1. Esercizio 7. (Regola del ne fisso uno ) Si distribuiscono a caso 5 carte da un mazzo di 52. Calcolare le probabilità relative agli eventi: 1. ottengo una coppia, 2. ottengo due coppie, 3. ottengo un poker, 4. ottengo un poker di assi, 5. ottengo colore. Svolgimento Esercizio 7. Si può rispondere a tutti i punti considerando un solo caso alla volta, vediamo come. Ricordiamo che le 52 carte sono divise in 13 carte per 4 semi. Consideriamo le 13 carte in corrispondenza con i primi 13 numeri (al numero 1 corrisponde un asso, etc.). 1. Per ottenere una coppia devo avere due carte dello stesso numero. Mi devo chiedere quante coppie posso ottenere? Notiamo che l evento di interesse non è ottengo almeno una coppia. Fissiamo un numero, ad esempio uno (che equivale a dire, asso). Quante coppie posso formare con 4 uno? Sono C 4,2. Quindi, la probabilità di ottenere una coppia di uno (di assi) si ottiene considerando i casi possibili C 52,5 e i casi favorevoli dati da una coppia tra quelle possibili e le restanti 3 carte prese a caso. In quanti modi posso scegliere le restanti 3 carte? In C 50,3 modi di cui solo C 48,3 mi interessano? No! Se voglio una coppia, devo considerare ( 13 1 )( 4 )( )( 4 )( 4 )( ( 1) 52 ) 5 ( 13 1 )( 4 )( ( 52 ) 5 per via delle ripetizioni possibili nelle tre carte rimanenti )( 48 3 )

27 Capitolo 1. Osservazione e Probabilità posso scegliere 2 numeri su 13 in C 13,2. Ne fisso due e per ognuno considero le coppie possibili, poi moltiplico per il numero di combinazioni di classe uno possibili per le restanti carte, ( 13 )( 4 )( 4 )( 44 ) ( 13 )( 4 )( 4 )( 11 )( ( 52 ) o anche ( 1) 52 ) posso fare un poker con ognuno dei 13 numeri. Ne fisso uno e poi moltiplico per 13 e per le combinazioni relative alla quinta carta, )( 48 ) )( 4 1 1) ( 13 )( ( 52 5 ) o anche ( 13 )( 4 )( ( 52 5 ) 4. per fare un poker di assi, devo considerare solo gli assi, quindi )( 48 ) )( 4 1 1) ( 4 4 ( 52 5 ) o anche ( 4 )( ( 52 5 ) 5. si ottiene un colore con 5 carte dello stesso seme. Allora fisso un seme e ottengo ( 4 )( 13 ) 1 5 ( 52 ) 5 Esempio 2. Nel lancio di due dadi si deve considerare uno spazio degli eventi elementari dato da Ω = {ω i,j = (i, j) : 1 i, j 6} cioè gli elementi a i,j = (i, j) di una matrice 6 6. La probabilità di ottenere una sola coppia è costante (spazio uniforme) ed è pari a 1/36 e 36 sono gli elementi della matrice. Si deve osservare che P (ottenere (1, 2)) = P (ottenere (2, 1)) = 1/36 mentre P (ottenere entrambi i numeri 1 e 2) = 2 36 = che introduce il concetto di eventi incompatibili (insiemi disgiunti) ed il fatto che P (A B) = P (A) + P (B) se A B =. Inoltre, si vede subito che P (ottenere (1, 2)) = 1 36 = = P (ottenere 1) P (ottenere 2) che introduce il concetto di indipendenza (eventi indipendenti e compatibili) ed il fatto che P (A B) = P (A) P (B). Lanciare due dadi può essere visto come lanciare due volte un solo dado.

28 14 Esercizio 8. (Regola del procedo per iterazioni successive ) Due amici arrivano al cancello chiuso di un palazzo e solo Mario (il custode) conosce la chiave del mazzo che apre il cancello. Appena arrivati Mario deve rispondere al telefono e lascia il mazzo di n chiavi all amico Matteo chiedendogli di aprire. Matteo non sapendo quale sia la chiave giusta, le prova tutte una ad una togliendo ogni volta dal mazzo la chiave che non apre. Con quale probabilità Matteo proverà k chiavi? Svolgimento Esercizio 8. sbagliata. Allora Si considerino gli eventi G = chiave giusta e S = chiave P (G al tentativo numero 1) =P (G) = 1 n P (G al tentativo numero 2) =P (S)P (G) = n 1 1 n n 1 P (G al tentativo numero 3) =P (S)P (S)P (G) = n 1 n 2 n n n 2 P (G al tentativo numero k) =P (S)P (S) P (S)P (G) = 1 n per ogni k n. Bisogna notare che si è usato il fatto che G S (gli eventi G e S sono indipendenti). Questo aspetto risulterà chiaro in seguito. Notiamo inoltre che S = G c e quindi P (G) + P (S) = P (Ω) = 1 Esercizio 9. Una segretaria riceve 4 buste dove scrive i rispettivi indirizzi e 4 lettere da inserire nelle buste. Risponde al telefono e dimentica quale lettera va associata a quale indirizzo, decide di provare a caso. Calcolare la probabilità che 3 lettere vengano inserite nelle buste giuste e quindi spedite al giusto indirizzo. Svolgimento Esercizio 9. Se 3 lettere sono messe nella busta corretta allora anche la quarta verrà spedita al giusto indirizzo. Se chiamo le buste A, B, C, B e le lettere a, b, c, d, per mettere le lettere nelle buste giuste devo aver ordinato le buste e le lettere allo stesso modo. Quindi, la probabilità cercata è 1/4!. Esercizio 10. Mario è addetto al controllo qualità in una azienda che produce lampadine. Da precedenti controlli si sa che il 5% delle lampadine prodotte sono difettose. 1. Con quale probabilità Mario troverà una lampadina difettosa durante il controllo?

29 Capitolo 1. Osservazione e Probabilità Le lampadine vengono confezionate in scatole da 5 ogni 100 lampadine prodotte e poi vengono imballate e sistemate in bancali da 20 scatole. Con quale probabilità Mario troverà una lampadina difettosa in una scatola da 5? Con quale probabilità ne trova due difettose in una scatola da 5? Se controlla tutto il bancale da 20 scatole, con quale probabilità troverà una scatola con almeno una lampadina difettosa? Infine, con quale probabilità troverà più di 5 lampadine difettose nelle 20 confezioni di un bancale? 3. Nei precedenti controlli, come si è arrivati a dire che il 5% delle lampadine sono difettose? Possiamo ancora considerarla un informazione attendibile? Esercizio 11. Una ditta produce due componenti a e b che risultano difettosi rispettivamente per il 3% e 4%. La produzione avviene in reparti diversi e quindi in maniere indipendente. I due componenti vengono poi assemblati e si ottiene il prodotto finale. Calcolare la probabilità che 1. il prodotto finale presenti entrambi i difetti, 2. il prodotto finale sia difettoso (almeno un componente difettoso), 3. sia difettoso a sapendo che il prodotto finale è difettoso, 4. sia difettoso b sapendo che il prodotto finale è difettoso. 1.3 Statistica inferenziale Vogliamo inferire su un particolare parametro della popolazione. Nei problemi a cui vogliamo trovare risposta disporremo di alcune informazioni, ad esempio un campione e vogliamo caratterizzare la popolazione, ad esempio trovando un valore che ben rappresenta un parametro (o i parametri) di tale popolazione. Tale valore è proprio una stima del parametro. Si deve però definire il concetto di stima, per ora diciamo che possiamo disporre dei seguenti concetti legati alla stima, supponiamo che il parametro di interesse sia unidimensionale: stima puntuale, vogliamo trovare un valore che rappresenti il valore vero (un numero); stima intervallare, vogliamo trovare un insieme di valori che contenga con elevata probabilità il valore vero (un intervallo), test di ipotesi, vogliamo verificare delle ipotesi sulle stime ottenute (ad esempio se possiamo considerarle attendibili/affidabili).

30 16 Tratteremo tecniche della statistica inferenziale mirate a risolvere problemi come quelli di seguito elencati. Esercizio 12. Per una particolare marca di abbigliamento, si poteva assumere che il prezzo di vendita di un capo negli passati seguiva una legge normale di media µ = 66 euro (cioè il prezzo in Italia del capo variava attorno a 66 euro seguendo una distribuzione normale). Vengono considerati 10 negozi (presi a caso in tutta Italia) tra i 1000 che trattano il capo in questione e si rileva, per ognuno, il prezzo di vendita di quest anno. Il vettore delle osservazioni è dato da x = (60, 62, 59, 66, 70, 55, 64, 61, 68, 62). Si vuole capire se ci sono state variazioni in termini di prezzo medio. 1. Calcolare una stima del prezzo medio di quest anno. 2. Calcolare un intervallo che con probabilità pari al 95% contenga il prezzo medio italiano vero (cioè di tutti i 1000 negozi). Dal campione emerge che il prezzo medio campionario è inferiore a quello degli anni passati. 3. Stabilire se si può sostenere che il prezzo sia cambiato (test di ipotesi) e con quale probabilità (fiducia). Esercizio 13. Un pescatore vorrebbe sapere, in un particolare tratto di fiume, quanto tempo deve aspettare in media l arrivo di un pesce (che forse abboccherà). Sa che un modello utile nello studio del numero di arrivi è basato sulla variabile di Poisson di parametro λ e si chiede se è veramente così, cioè se i pesci arrivano veramente seguendo una legge di Poisson. Inoltre, se così fosse, vorrebbe sapere quanto vale λ in modo da capire quanti pesci aspettarsi in un intervallo di tempo. Osserva in 60 minuti quanti pesce attraversano il tratto di fiume al minuto e registra le osservazioni riportate nella Tabella Verificare se tale campione è rappresentativo e se i dubbi del pescatore sul modello sono fondati (si può usare il modello di Poisson?). 2. Calcolare un intervallo per il tempo medio di attesa (arrivo di un pesce) che sia valido con una probabilità del 95% (che sia al 95% il tempo medio vero che bisogna attendere per l arrivo di un pesce). Svolgimento Esercizio 13

31 Capitolo 1. Osservazione e Probabilità 17 numero di transiti in un minuto frequenza Tabella 1.1: Transiti dei pesci in 60 minuti 1.4 Probabilità e Applicazioni La statistica inferenziale è una delle molte applicazione della probabilità. Sono collegate alla statistica inferenziale anche problemi di stima per processi aleatori che sono oggetti più complessi e prevedono, tra le altre cose, una diversa struttura di dipendenza tra le osservazioni. I processi aleatori possono rappresentare fenomeni evolutivi e quindi dipendono dal tempo. Tali processi rappresentano fenomeni fisici, biologici, finanziari e si possono associare a moti aleatori (di particelle o titoli ad esempio) che seguono delle leggi governate da equazioni differenziali. Supponiamo che Google voglia estrapolare delle informazioni dalle sue ricche basi di dati. Le informazioni vengono immagazzinate in matrici di dati (matrici di R n m ) e supponiamo che sia importante, per il caso di interesse, trovare i determinanti di tali matrici. La potenza di calcolo delle macchine di Google consente di trovare il determinante di una matrice in due giorni ma gli Ingegneri di Google conoscono un metodo più veloce. Le matrici sono di dimensione n m con n, m grandissimi, troppo. Consideriamone una, ad esempio la matrice A. Allora, si scelgono due numeri n e m molto minori di n e m rispettivamente e si decide di calcolare il determinante della sotto-matrice di dimensioni n e m, ad esempio A. Il calcolo del determinate diventa un operazione che impegna le macchine Google solo pochi minuti ma il problema diventa: esiste una scelta ottima degli elementi di A in modo da costruire la sotto-matrice A tale per cui P (det(a) = det(a )) = max?. Ovviamente se tale probabilità fosse sufficientemente alta, diciamo non minore del 95%, allora Google risparmierebbe molto tempo e denaro! Sempre Google, come può minimizzare il tempo di ricerca? I vari server in cui si può trovare ciò che si cerca sono collegati da una fitta rete (il web) che possiamo immaginare come una vera e propria rete costituita da archi (collegamenti tra due ser-

32 18 Figura 1.1:...provate con I m feeling lucky. ver). Consideriamo un grafo aleatorio (random graph), cioè una successione di archi (e quindi una successione di server). Ho scelto a caso gli archi e ho stabilito un percorso tra i server in cui cercare... I am feeling lucky"!! La cosa ha successo se organizzo un algoritmo di scelta per gli archi tale per cui P ( scelta giusta ) = max.

33 Capitolo 2 Misura e Probabilità f(x)dx? f(x)dµ(x) =? f(x)µ(dx) 2.1 Insiemi Operazioni, funzioni, cardinalità Sia A un insieme (ad esempio, N, Z, R,... ). Denotiamo con P(A) l insieme dei sottoinsiemi di A. P(A) può essere considerato come un insieme di famiglie di insiemi. Possiamo cioè considerare famiglie di insiemi di P(A), ogni famiglia è costituita da insiemi di P(A) che condividono una certa caratteristica, la caratteristica della famiglia 1. Sia Ē il complementare di un insieme E. Scriveremo anche Ec per indicare il complementare di E. Proposizione 1. (Formule di Boole o di De Morgan) Dati due insiemi A e B di P(A), si ha che A B = A c B c e (duale) A B = A c B c. Sia A un insieme di P(A). Si noti che per ogni scelta di B in P(A). A = (A B) (A B) Definizione 3. Una successione E k P(A) si dice monotona non decrescente se E k E k+1 per ogni k N, 1 Si pensi ad A = N, i numeri interi positivi. Possiamo considerare un insieme di numeri pari, un insieme di numeri inferiori ad N fissato etc.. Si possono costruire famiglie più o meno complesse, più o meno grandi. 19

34 20 monotona non crescente se E k+1 E k per ogni k N. Definizione 4. Data una successione E k P(A): si dice limite superiore 2 di E k l insieme lim sup k E k = lim E k = si dice limite inferiore 3 di E k l insieme i=1 k=i E k. lim inf k E k = lim E k = E k. i=1 k=i Osservazione 1. Se E k è una successione monotona di insiemi di P(A), allora lim k E k = k N E k se la successione è crescente, lim k E k = k N E k se la successione è decrescente. Definizione 5. Sia E A. La funzione 1 E : A {0, 1} così definita 1 E (x) = { 1 se x E 0 altrimenti, x A (2.1) è detta funzione caratteristica 4 o indicatrice dell insieme E (anche scritta χ E ). La funzione caratteristica 1 [0, ) è detta funzione di Haeviside e viene denotata con il simbolo H, cioè H(x) = 1 [0, ) (x). Osservazione 2. La funzione caratteristica 1 Q [0,1] è detta funzione di Dirichlet. 2 Sia a k, k = 1, 2,... una successione di numeri reali, si definisce il limite superiore come segue lim sup a k = inf k sup n N k n 3 Sia a k, k = 1, 2,... una successione di numeri reali, si definisce il limite inferiore come segue lim inf k a k. a k = sup inf a k. k n 4 Con il temine caratteristica preferiamo indicare una trasformata di densità che verrà introdotta in seguito. Chiameremo quindi 1 funzione indicatrice. n N

35 Capitolo 2. Misura e Probabilità 21 Definiamo la cardinalità di un insieme. Nel definire la cardinalità è importante definire il concetto di insiemi equipotenti, due insiemi A e B sono detti equipotenti se esiste una applicazione biunivoca f : A B, ad esempio i k i, che associa ad ogni i I N un elemento k i, definendo così l insieme {k i } i I K I. Possiamo da I risalire ad un elemento preciso di K I e viceversa. Diamo allora la seguente Definizione 6. (Cardinalità) Si dice cardinalità dell insieme A (denotata con A ) la famiglia degli insiemi equipotenti ad A: A = {B f : A B, f biunivoca}. Segue ovviamente che A = B se A e B sono equipotenti inoltre se l applicazione f è del tipo f : I K I, biunivoca, segue spontaneamente l idempotenza con un insieme C N, in particolare diciamo che un insieme A è numerabile se A N. Diciamo che un insieme A è infinito se esiste un sottoinsieme proprio B A, B A tale che A = B mentre è finito un insieme che non risulti infinito. Tutti gli insiemi finiti sono numerabili, è facile pensare nel caso f : I K I che esista un unico n N per cui A = {1, 2,..., n} e scriveremo A = n, abbiamo ottenuto quindi che un insieme A è finito se e solo se vale A N quindi se è numerabile 5. Si dice invece che un insieme ha la potenza del continuo se risulta A = R. Definizione 7. (Insieme numerabile) Un insieme A è detto numerabile se esiste una funzione iniettiva f : A N. Se f è anche una funzione suriettiva (quindi è biunivoca), allora A è chiamato insieme infinito numerabile. Si noti che {a, b, f, 3, h} = 5. Famiglie Sia A un insieme, P(A) la famiglia dei sottoinsiemi di A. Definizione 8. (Algebre) Una famiglia A P(A) è detta algebra su A se 1. { } A; 2. E A Ē A; 3. E, F A E F A 5 Vale la pena di notare che l insieme dei razionali Q = {p/q p Z, q N} è numerabile mentre non lo è l insieme [0, 1]

36 22 Quindi ogni algebra è stabile rispetto alla unione finita (o numerabile), nel senso che l operazione di unione su insiemi di A porta ad un insieme di A, inoltre è numerabile visto che a due a due possono formarsi le unioni di tutti gli elementi di A. Ogni famiglia non vuota A P(A) stabile per il passaggio al complementare e per unione finita contiene l insieme vuoto { } e quindi è un algebra. Definizione 9. (σ-algebre) Una famiglia A P(A) è detta σ-algebra su A se 1. { } A; 2. E A Ē A; 3. per ogni successione {E k } A risulta E k A. k=1 La coppia (A, A) è detta spazio misurabile e gli elementi di A sono insiemi misurabili. Si noti che una σ-algebra è un algebra stabile per unioni numerabili ed inoltre vale la seguente relazione tra algebra e σ-algebra. Proposizione 2. Sia A un algebra. Le affermazioni seguenti sono equivalenti: 1. A è una σ-algebra; 2. per ogni {E n } A risulta lim E n A. Definizione 10. Sia (A, A) uno spazio misurabile ed F A. La σ-algebra A F = A F è detta σ-algebra indotta da A su F. 2.2 Misure positive e di Lebesgue Sia A un insieme, A 0 P(A) una famiglia tale che { } A 0. Definizione 11. Una applicazione µ : A 0 R + è detta misura positiva (o misura) su A 0 se 1. µ({ }) = 0;

37 Capitolo 2. Misura e Probabilità (σ-additività) per ogni successione {E k A 0 } di insiemi disgiunti tali che risulta E k A 0 k=1 ( ) µ E k = µ(e k ). k=1 k=1 Osservazione 3. Osserviamo che se A A implica che Ā A, allora A 0 = A è una σ-algebra. Definizione 12. Una misura µ si dice finita se prende valori in R +. Si dice σ-finita se esiste una successione {E k } A 0 tale che A = E k, µ(e k ) < k N. k=1 Osservazione 4. Supponiamo che µ(e k ) = 1/2 k. geometrica) µ(a) = µ(e k ) = k=1 k=1 Allora (si veda sotto, la serie 1 2 = 1 k 2 1 = 1 k 1 1/2 1 = 1. Definizione 13. Sia A P(A) una σ-algebra, µ : A R + una misura. k=0 La terna (A, A, µ) è detta spazio di misura. Se µ è finita (σ-finita) lo spazio di misura è detto finito (σ-finito). Se µ(a) = 1 lo spazio (A, A, µ) è detto spazio di probabilità e la misura µ è detta misura di probabilità. Diamo ora alcune proprietà delle misure: Proposizione 3. Sia (A, A, µ) uno spazio di misura. Allora: 1. monotonia: E F µ(e) µ(f ); 2. additività: µ ( n k=1 E k) = n k=1 µ(e k); 3. subadditività: {E k } A µ ( k=1 E k) k=1 µ(e k); 4. per ogni successione non decrescente {E k } A vale µ ( k=1 E k) = lim k µ(e k );

38 24 5. per ogni successione non crescente {E k } A tale che µ(e 1 ) < vale µ ( k=1 E k) = lim k µ(e k ) Proposizione 4. (Misura di Lebesgue) Valgono le seguenti: 1. ogni intervallo limitato I a,b = (a, b) è misurabile secondo Lebesgue e risulta µ(i a,b ) = b a, 2. ogni intervallo non limitato I è misurabile secondo Lebesgue e risulta µ(i) =. Osservazione 5. (Lunghezza di un intervallo) Si consideri la misura di Lebesgue µ, allora dµ = µ(dx) = dx e µ(i a,b ) = dµ = I a,b µ(dx) = b a. I a,b (2.2) Esercizio 14. Sia Q il quadrato {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)}. Calcolare: 1. misura di Lebesgue µ(q) di Q, 2. area di Q. Definire un rettangolo R e calcolare: 1. misura di Lebesgue µ(r) di R, 2. area di R. Osservazione 6. Notiamo che µ([a, b]) = µ({a} (a, b) {b}) = µ((a, b)) visto che µ({a}) = µ({b}) = 0. Vale infatti quanto sotto riportato. Proposizione 5. Ogni sottoinsieme numerabile di R è misurabile secondo Lebesgue e ha misura nulla. Definizione 14. (Insiemi di misura nulla) Un insieme N A si dice di misura nulla (e scriviamo N N, dove N è la famiglia degli insiemi di misura nulla) se N A e µ(n) = 0. Inoltre un insieme E A si dice trascurabile se esiste un insieme N N tale che E N.