Math Genius. MatematicaFACILE. A cura di Canalescuola. Percorsi ad alta leggibilità per l'apprendimento e il ripasso della matematica

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1 A cura di Canalescuola Math Genius 3 MatematicaFACILE Percorsi ad alta leggibilità per l'apprendimento e il ripasso della matematica Ambiente educativo Digitale E-BOOK DIDATTICA INCLUSIVA

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3 3 Math Genius MatematicaFACILE

4 internet: deascuola.it è certificato per l attività di Progettazione, realizzazione Redattore responsabile: Alessio Delfrati Tecnico responsabile: Alessandro Cafagna Redazione e ricerca iconografica: Rubber Band Progetto grafico: Maura Santini, Studio Aurion Impaginazione e prestampa: Rubber Band Copertina: Tiziana Pesce, Maura Santini Disegni: Claudia Benassi, Gabriella Bianco, Maurizio De Bellis, Rubber Band Art Director: Nadia Maestri I testi di questo volume sono stati curati da Valentina Lazzarotto e Emil Girardi di Canalescuola River-Equipe gruppo di studio e ricerca didattica nell ambito dei DSA. Proprietà letteraria riservata 2015 De Agostini Scuola SpA Novara 1ª edizione: Gennaio 2015 Printed in Italy Le fotografie di questo volume sono state fornite da: Shutterstock, Thinkstockphotos Immagini in copertina: Shutterstock, Maurizio De Bellis Ricerca iconografica per la copertina: Cristina Colombo L Editore dichiara la propria disponibilità a regolarizzare eventuali omissioni o errori di attribuzione. Nel rispetto del DL 74/92 sulla trasparenza nella pubblicità, le immagini escludono ogni e qualsiasi possibile intenzione o effetto promozionale verso i lettori. Tutti i diritti riservati. Nessuna parte del materiale protetto da questo copyright potrà essere riprodotta in alcuna forma senza l autorizzazione scritta dell Editore. Il software è protetto dalle leggi italiane e internazionali. In base ad esse è quindi vietato decompilare, disassemblare, ricostruire il progetto originario, copiare, manipolare in qualsiasi modo i contenuti di questo software. Analogamente le leggi italiane e internazionali sul diritto d autore proteggono il contenuto di questo software sia esso testo, suoni e immagini (fisse o in movimento). Ne è quindi espressamente vietata la diffusione, anche parziale, con qualsiasi mezzo. Ogni utilizzo dei contenuti di questo software diverso da quello per uso personale deve essere espressamente autorizzato per iscritto dall Editore, che non potrà in nessun caso essere ritenuto responsabile per eventuali malfunzionamenti e/o danni di qualunque natura. Eventuali segnalazioni di errori, refusi, richieste di chiarimento/funzionamento dei supporti multimediali o spiegazioni sulle scelte operate dagli autori e dalla Casa Editrice possono essere inviate all indirizzo di posta elettronica info@deascuola.it

5 Indice SCHEDA 1 I NUMERI RELATIVI STRUMENTI 5 ESERCIZI CONSIGLIATI 9 Esercizi CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK interattivi SCHEDA 2 LE OPERAZIONI CON I NUMERI RELATIVI STRUMENTI 12 ESERCIZI CONSIGLIATI 15 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK SCHEDA 3 IL CALCOLO LETTERALE STRUMENTI 19 ESERCIZI CONSIGLIATI 29 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK SCHEDA 4 LE EQUAZIONI STRUMENTI 34 ESERCIZI CONSIGLIATI 42 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK SCHEDA 5 ELEMENTI DI LOGICA Esercizi interattivi Esercizi interattivi Esercizi interattivi STRUMENTI 45 SCHEDA 8 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO STRUMENTI 70 ESERCIZI CONSIGLIATI 77 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK SCHEDA 9 L ESTENSIONE SOLIDA Esercizi interattivi STRUMENTI 79 ESERCIZI CONSIGLIATI 83 Esercizi CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK interattivi SCHEDA 10 I POLIEDRI STRUMENTI 85 ESERCIZI CONSIGLIATI 88 Esercizi CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK interattivi SCHEDA 11 I SOLIDI DI ROTAZIONE STRUMENTI 91 ESERCIZI CONSIGLIATI 93 Esercizi CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK interattivi Indice alfabetico degli strumenti 95 ESERCIZI CONSIGLIATI 49 CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK SCHEDA 6 LA PROBABILITÀ Esercizi interattivi STRUMENTI 52 ESERCIZI CONSIGLIATI 57 Esercizi CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK interattivi SCHEDA 7 CIRCONFERENZA E CERCHIO: LE MISURE STRUMENTI 62 ESERCIZI CONSIGLIATI 67 Esercizi CONTRIBUTI DIGITALI DELL EBOOK interattivi Altre schede sull ebook SCHEDA 12 GLI INSIEMI E LE RELAZIONI SCHEDA 13 IL PIANO CARTESIANO E LE FUNZIONI

6 Presentazione Lo sai che studiare la matematica è più facile di quanto ci facciano credere? Ebbene sì, l intelligenza matematica è qualcosa che possediamo fin dalla nascita, ma come tutte le capacità dobbiamo tenerla allenata. Questo libro ti suggerisce delle strategie e dei metodi di allenamento matematico. Come per ogni esercizio, dobbiamo avere sempre un buon maestro e buoni strumenti, altrimenti che fatica! Per chi e perché questo libro? Sappiamo che per uno studente che ha difficoltà a leggere, scrivere e a far di conto il libro non è sempre lo strumento più facile da usare. Per questo abbiamo cercato di mettere meno parole possibile e abbiamo usato molti schemi, mappe e tabelle, ma soprattutto degli ottimi esempi da cui copiare e ispirarti per costruire i tuoi strumenti personali e trovare la tua strada. Come funziona questo libro? Il libro ti permette di seguire il programma della classe facendoti scoprire risorse per le procedure di automatizzazione e riducendo all essenziale le parole della matematica. In questo libro trovi: moltissimi suggerimenti; tutti i concetti matematici scritti in maniera più immediata; schemi e tabelle che ti ricordano tutte le regole; li puoi usare ogni volta che affronti un esercizio, un compito o una verifica; le procedure da utilizzare per risolvere problemi ed esercizi. È importantissimo che tu le segua sempre per non dimenticarti qualche passaggio che ti può costare errori e molta fatica! Perché utilizzare questo libro (sempre)? Un alunno con difficoltà di lettura, scrittura e calcolo può usare questo libro per legge! Proprio così: ogni studente con dislessia o con una certificazione di DSA può usarlo perfino durante le verifiche e gli esami (legge 170/2010). Questo perché il libro non si sostituisce alla tua mente (che funziona benissimo), ma perché è uno strumento che ti permette di correggerti ed evitare molti errori inutili e di correre con dignità la corsa per il successo in matematica (hai mai pensato come fa un nuotatore a vincere l oro olimpico senza occhialini? Impossibile ). Ma allora posso fare a meno di studiare? Il tuo compito rimane quello di mantenerti in allenamento, quindi di studiare con costanza. Senza allenamento anche questo libro non ti potrà essere molto d aiuto (gli occhialini non vincono da soli le olimpiadi ). Come usare il libro? Gli STRUMENTI e gli esercizi Il libro è diviso per argomenti. Per ogni argomento ci sono una serie di STRUMENTI come tabelle con regole, schemi con procedure ecc. Sul lato della pagina trovi il titolo di ogni strumento che ti viene proposto. Il libro è pieno di collegamenti: seguili sempre per approfondire e scoprire che molte risorse sono collegate tra loro! Per ritrovare questi strumenti o per trovare quelli che ti servono, magari durante una verifica o per i compiti a casa, puoi utilizzare l indice a fine libro oppure inserire tra le pagine dei segna-pagina colorati. Per ogni argomento trovi una serie di esercizi consigliati, tratti dal corso Math Genius ma non solo. Un simbolo ti dice se puoi farli: DA SOLO da solo senza aiuti, con la calcolatrice, CON STRUMENTO con uno strumento, CON ESEMPIO con un esempio. Inoltre troverai dei laboratori LABORATORIO per consolidare le tue capacità. Il libro è anche fornito in versione ebook, che contiene schede aggiuntive e esercizi interattivi. BUON LAVORO Gli Autori

7 SCHEDA 1 I numeri relativi NUMERI RELATIVI I numeri preceduti dal segno 1 o dal segno 2 si dicono numeri relativi, perché il loro valore dipende dal segno che li precede. NUMERI RELATIVI Osserva sulla retta dei numeri i valori 15 e VALORE ASSOLUTO Il valore assoluto di un numero relativo è lo stesso numero senza segno. VALORE ASSOLUTO IL VALORE ASSOLUTO SI INDICA CON IL SIMBOLO NUMERI RELATIVI CONCORDI, DISCORDI E OPPOSTI NUMERI RELATIVI CONCORDI NUMERI RELATIVI DISCORDI Hanno lo stesso segno Hanno segno diverso NUMERI RELATIVI CONCORDI, DISCORDI E OPPOSTI NUMERI RELATIVI OPPOSTI Hanno lo stesso valore assoluto ma segno opposto

8 I numeri relativi RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI NUMERI RELATIVI RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI NUMERI NUMERI NEGATIVI ELEMENTO NEUTRO NUMERI POSITIVI RELATIVI 0 indica il punto di origine della retta. CONFRONTO TRA NUMERI RELATIVI CONFRONTO TRA NUMERI RELATIVI Qualsiasi numero POSITIVO è maggiore di un numero NEGATIVO Fra 2 NUMERI NEGATIVI è maggiore quello che ha il valore assoluto più piccolo (è più vicino allo 0). Fra 2 NUMERI POSITIVI è maggiore quello che ha il valore assoluto più grande (è più lontano dallo 0). 0 Lo ZERO è minore a tutti i numeri POSITIVI ed è maggiore a tutti i numeri NEGATIVI. 0,

9 I numeri relativi ORDINE CRESCENTE E DECRESCENTE Nella semiretta negativa sono rappresentati i numeri di segno negativo (2); nella semiretta positiva sono rappresentati i numeri di segno positivo (1). ORDINE CRESCENTE E DECRESCENTE semiretta negativa semiretta positiva ORDINE DECRESCENTE ORDINE CRESCENTE L ordine crescente dispone i numeri dal più piccolo al più grande; l ordine decrescente dispone i numeri dal più grande al più piccolo. NUMERI REALI NUMERI REALI R Q Z N p

10 I numeri relativi NUMERI REALI N Tutti i Insieme numeri interi dei maggiori 0, 1, 2 R Insieme dei NUMERI Q Q 1 ; Q 2 Insieme dei NUMERI RAZIONALI Z Insieme dei NUMERI INTERI NUMERI NATURALI Z 2 Insieme dei NUMERI INTERI NEGATIVI o uguali a zero Tutti i numeri interi minori di zero 21, 22, 23 REALI Q Q 1 ; Q 2 Insieme dei NUMERI FRAZIONARI Tutti i numeri razionali non interi 1 2, 3 8, 5 9 I I 1 ; I 2 Insieme dei NUMERI IRRAZIONALI Numeri reali non razionali, p 8

11 Esercizi consigliati ESERCIZI CONSIGLIATI Numeri relativi 1 Se consideriamo l anno 2002 (avvento dell euro in Italia) come anno di riferimento o anno zero, allora il 2008 sarà rappresentato da 16 e il 1992 da 210. DA SOLO a. Scrivi i numeri relativi che individuano gli anni indicati nella tabella. ANNI VALORE ANNI VALORE b. Scrivi gli anni che corrispondono ai seguenti numeri relativi. ANNI VALORE ANNI VALORE Valore assoluto 2 Gianni afferma che i numeri relativi il cui valore assoluto è 16 sono 116 e 216. DA SOLO Ha ragione? sì no Il valore assoluto o modulo di un numero relativo è il numero senza il segno. 9

12 I numeri relativi Numeri relativi concordi, discordi e opposti 3 Collega con una freccia ciascuna coppia di numeri con il nome corretto. DA SOLO 29 e e e 115 concordi 18 e e 211 discordi 216 e 11,6 112 e 25 opposti 12,8 e 22, e ,2 e Due numeri relativi si dicono concordi se hanno lo stesso segno. Due numeri relativi si dicono discordi se hanno segno diverso. Due numeri relativi si dicono opposti se hanno lo stesso valore assoluto ma segno diverso. Rappresentazione grafica dei numeri relativi 4 Osserva la seguente figura e completa la tabella, scrivendo l ascissa di ciascun punto. DA SOLO u Q S R O T P PUNTO R S T O Q P ASCISSA

13 Esercizi consigliati 5 Nella seguente tabella sono date le ascisse dei punti P e Q in quattro casi diversi. Per ciascun caso traccia la retta orientata e segna i punti dati. A quante unità di misura (u) corrisponde la distanza PQ? DA SOLO PUNTO P PUNTO Q 1 caso caso 23, caso 20,6 24,8 4 caso La distanza tra due punti situati su una retta graduata si calcola contando le unità di misura (u) che li separano. Per esempio, la distanza tra 0 e 23 è uguale a 3 u. Confronto tra numeri relativi 6 Tra le seguenti coppie di numeri relativi inserisci opportunamente il segno 5 o. DA SOLO a. 12, , ,5 b. 21, , c Verifica Svolgi gli esercizi della rubrica AUTOVERIFICA dell unità I numeri relativi di Math Genius usando gli strumenti a tua disposizione. 11

14 SCHEDA 2 Le operazioni con i numeri relativi SOMMA ALGEBRICA SOMMA ALGEBRICA L addizione e la sottrazione tra numeri relativi sono dette somma algebrica. ADDIZIONE TRA NUMERI RELATIVI 1 Vedi strumento NUMERI RELATIVI CONCORDI, DISCORDI E OPPOSTI, pag Vedi strumento VALORE ASSOLUTO, pag. 5. ADDIZIONE TRA NUMERI RELATIVI ADDIZIONE RISULTATO ESEMPIO Tra numeri relativi concordi 1 Tra numeri relativi discordi È un numero relativo con lo stesso segno e come valore assoluto la somma dei loro valori assoluti 2. È un numero relativo con il segno dell addendo di valore assoluto maggiore e come valore assoluto la differenza tra i valori assoluti valore assoluto maggiore 14 quindi oppure dei due addendi Tra numeri opposti È sempre zero. Nelle espressioni algebriche i numeri si possono annullare L addizione tra numeri interi relativi gode delle stesse proprietà dell addizione tra numeri naturali (proprietà commutativa e proprietà associativa). 12

15 Le operazioni con i numeri relativi SOTTRAZIONE TRA NUMERI RELATIVI La differenza di due numeri interi relativi è la somma del primo numero con l opposto del secondo. SOTTRAZIONE TRA NUMERI RELATIVI NELLE ADDIZIONI E SOTTRAZIONI CON PARENTESI SI HA: Osserva bene: La sottrazione tra numeri interi relativi gode della proprietà invariantiva. MOLTIPLICAZIONE TRA NUMERI RELATIVI MOLTIPLICAZIONE RISULTATO ESEMPIO Tra numeri relativi concordi È un numero relativo avente segno positivo e come valore assoluto il prodotto dei loro valori assoluti MOLTIPLICAZIONE TRA NUMERI RELATIVI Tra numeri relativi discordi È un numero relativo avente segno negativo e come valore assoluto il prodotto dei loro valori assoluti La moltiplicazione tra numeri interi relativi gode delle proprietà commutativa, associativa e distributiva. NELLE MOLTIPLICAZIONI SI HA:

16 Le operazioni con i numeri relativi DIVISIONE TRA NUMERI RELATIVI DIVISIONE TRA NUMERI RELATIVI DIVISIONE RISULTATO ESEMPIO Tra numeri relativi concordi È un numero relativo con il segno positivo e come valore assoluto il quoziente dei loro valori assoluti. 230 : : Tra numeri relativi discordi È un numero relativo con il segno negativo e come valore assoluto il quoziente dei loro valori assoluti : La divisione tra numeri relativi gode delle proprietà NELLE DIVISIONI SI HA: 1 : : : : distributiva e invariantiva rispetto alla somma algebrica. POTENZA DI NUMERI RELATIVI POTENZA DI NUMERI RELATIVI La potenza di un numero relativo è il prodotto di tanti fattori uguali alla base quanti ne indica l esponente. SEGNO ESEMPIO Il VALORE ASSOLUTO della potenza è la potenza della base. Se la base è positiva, il segno è positivo. 15 ² Se la base è negativa e l esponente è pari, il segno è positivo. 25 ² Se la base è negativa e l esponente è dispari, il segno è negativo. 25 ³

17 Esercizi consigliati ESERCIZI CONSIGLIATI Addizione tra numeri relativi 1 Completa le tabelle. CON ESEMPIO a. COPPIA DI NUMERI RELATIVI CONCORDI OPERAZIONE: ADDIZIONE RISULTATO b. COPPIA DI NUMERI RELATIVI DISCORDI OPERAZIONE: ADDIZIONE RISULTATO 16 e e e e e ,3 e 24, e e e ,5 e 13, e e e e Partendo dalla casella A e seguendo la freccia, aggiungi al numero indicato ogni volta 5 unità negative fino ad arrivare alla casella B. A partire da B aggiungi al numero ottenuto ogni volta 3 unità positive fino alla casella C. CON ESEMPIO ESEMPIO 5 ( 3) ( 2) A 8 0 C ( 5) B ( 3) 15

18 Le operazioni con i numeri relativi 3 Completa la tabella. DA SOLO Esegui le seguenti addizioni sommando prima tutti gli addendi positivi, poi tutti quelli negativi (o viceversa). a b ; 15 DA SOLO Sottrazione tra numeri relativi 5 Completa la tabella. CON ESEMPIO COPPIA DI NUMERI RELATIVI OPERAZIONE: SOTTRAZIONE RISULTATO 111 e e e e e 10, ,4 e 24, e e e 21,

19 Esercizi consigliati Moltiplicazione tra numeri relativi CON ESEMPIO 6 Completa le tabelle. a. COPPIA DI NUMERI RELATIVI CONCORDI OPERAZIONE: MOLTIPLICAZIONE RISULTATO 17 e b. COPPIA DI NUMERI RELATIVI DISCORDI OPERAZIONE: MOLTIPLICAZIONE RISULTATO 29 e e e e e e e ,4 e 12, ,6 e 10, ,6 e 20, ,5 e 21, e e e e ,3 e ,7 e Divisione tra numeri relativi 7 Completa le tabelle. CON ESEMPIO a. COPPIA DI NUMERI RELATIVI CONCORDI OPERAZIONE: DIVISIONE RISULTATO b. COPPIA DI NUMERI RELATIVI DISCORDI OPERAZIONE: DIVISIONE RISULTATO 118 e : e e : e e e e e e ,3 e SEGUE 17

20 Le operazioni con i numeri relativi COPPIA DI NUMERI RELATIVI CONCORDI OPERAZIONE: DIVISIONE RISULTATO COPPIA DI NUMERI RELATIVI DISCORDI OPERAZIONE: DIVISIONE RISULTATO 23,4 e 21, ,5 e e e e ,4 e e e e e e ,1 e e e 22, ,6 e Completa la tabella. CON ESEMPIO BASE POSITIVA ESPONENTE OPERAZIONE: POTENZA RISULTATO Verifica Svolgi gli esercizi della rubrica AUTOVERIFICA dell unità Le operazioni con i numeri relativi di Math Genius usando gli strumenti a tua disposizione. 18

21 SCHEDA 3 Il calcolo letterale ESPRESSIONI LETTERALI Si defnisce espressione letterale ogni scrittura in cui compaiono operazioni con lettere oppure con lettere e numeri. ESPRESSIONI LETTERALI ESPRESSIONE LETTERALE SI LEGGE DEFINIZIONE L area del quadrato A 5 l 2 si ottiene elevando al quadrato la misura del suo lato. Area del quadrato. a 1 2a In 2a il simbolo della moltiplicazione ( ) è sottinteso! a più due a Somma algebrica di un numero e del suo doppio. a 1 b 3c a più b, fratto 3c Somma algebrica dei numeri a e b diviso per il triplo del numero c. Per calcolare il valore numerico di un espressione occorre sostituire a ciascuna lettera il valore assegnato ed eseguire le operazioni. ESPRESSIONE LETTERALE VALORI ESEMPI a 2 1 3ab a 5 21 b indica il valore numerico dell espressione letterale. 19

22 Il calcolo letterale MONOMI MONOMI I monomi sono numeri composti da una parte letterale (coeffciente) e da una parte numerica. coefficiente parte letterale a 2 bc MONOMIO INTERO MONOMIO FRAZIONARIO xy 2 4 c ab AL DENOMINATORE NON CI SONO LETTERE AL DENOMINATORE CI SONO LETTERE Forma normale di un monomio Un monomio si dice ridotto a forma normale se è formato dal prodotto di un fattore numerico e di una o più lettere, diverse tra loro. 23ab 2 2a 5a 2 b 23ab 2 2a 5a 2 b aaaa bbb Applica la proprietà commutativa. Alla fine, il monomio è ridotto a forma normale. 230a 4 b 3 20

23 Il calcolo letterale GRADO DI UN MONOMIO GRADO RISPETTO ALLA LETTERA a b c GRADO COMPLESSIVO O SEMPLICEMENTE GRADO GRADO DI UN MONOMIO a 2 b 3 c 2 grado 3 grado 1 grado 3a 2 b 3 c 6 grado Il grado rispetto alla lettera c è 1 (sottinteso). TIPI DI MONOMI MONOMI SIMILI MONOMI UGUALI MONOMI OPPOSTI TIPI DI MONOMI 13ab 2 2 5ab 2 13ab 2 1 3ab 2 13ab 2 2 3ab 2 Stessa parte letterale Stessa parte letterale e stesso coefficiente Stessa parte letterale e coefficienti opposti Quindi si annullano: 2 3ab 2 SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile a quelli dati che ha per coeffciente la somma algebrica dei coeffcienti. Se i monomi non sono simili, la somma algebrica rimane solo indicata. SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI 21

24 Il calcolo letterale SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI 12ab 2 5ab 2 7ab ab 5 110ab 12ab 2 7b 1 5ab ab 2 7b 5 17ab 2 7b Se non ci sono parti letterali simili non si possono sommare! MONOMI SIMILI MONOMI NON TUTTI SIMILI MOLTIPLICAZIONE DI MONOMI MOLTIPLICAZIONE DI MONOMI IL PRODOTTO DI MONOMI È UN MONOMIO AVENTE PER... 25ab 2 c 4a 2 bc 2 COEFFICIENTE PARTE LETTERALE Tutte le lettere 220a b c prese una sola volta Il prodotto 5 220a 3 b 3 c 3 con esponente dei coefficienti. uguale alla somma Nella moltiplicazioni di monomi degli esponenti. gli esponenti si sommano. POTENZA DI MONOMI POTENZA DI MONOMI LA POTENZA DI MONOMI È UN MONOMIO AVENTE PER... 22ab 2 3 COEFFICIENTE PARTE LETTERALE 22ab ab ab a b a 3 b 6 La potenza del coefficiente. Tutte le lettere prese una sola volta con esponente uguale al prodotto degli esponenti. 22

25 Il calcolo letterale DIVISIONE DI MONOMI dividendo divisore 8a 4 b 7 c : 24a 2 b 3 c DIVISIONE DI MONOMI oppure 8a 4 b 7 c 24a 2 b 3 c CON I NUMERI INTERI 8a 4 b 7 c : 24a 2 b 3 c 5 : 5 22a b c a 2 b a 2 b ab 1 : a3 b CON LE FRAZIONI 6 ab a b 2 c Ricorda che nelle divisioni fra due frazioni devi: 1. mantenere la prima frazione; 2. invertire fra loro numeratore e denominatore della seconda frazione; 3. moltiplicare tra loro le frazioni. IL QUOZIENTE DI DUE MONOMI È UN MONOMIO AVENTE PER... COEFFICIENTE PARTE LETTERALE Il quoziente dei coefficienti. Le lettere del dividendo aventi per esponente la differenza tra gli esponenti. 23

26 Il calcolo letterale DIVISIONE DI MONOMI Casi particolari di divisione di monomi SE DUE MONOMI SONO SIMILI 110a 3 b 4 : 22a 3 b 4 IL QUOZIENTE È Un numero relativo SE DUE MONOMI SONO UGUALI 210a 3 b 4 : 210a 3 b 4 11 SE DUE MONOMI SONO OPPOSTI 110a 3 b 4 : 210a 3 b 4 21 POLINOMI POLINOMI monomi 25ab 1 3a 2 b abc I 3 MONOMI SONO DETTI TERMINI DEL POLINOMIO Il polinomio è la somma algebrica di più monomi non simili tra loro. IL POLINOMIO si dice: BINOMIO TRINOMIO QUADRINOMIO se ha se ha se ha 7a 2 2 2ab 3 due termini 7a 2 2 2ab 3 2 6x tre termini 7a 2 2 2ab 3 2 6x 2 9b quattro termini 24

27 Il calcolo letterale GRADO DEL POLINOMIO GRADO DEL POLINOMIO È l esponente maggiore. GRADO DEL POLINOMIO RISPETTO A UNA LETTERA 7a 2 2 2ab 3 2 6x a b x 2 grado 3 grado 1 grado GRADO COMPLESSIVO O SEMPLICEMENTE GRADO 7a 2 2 2ab 3 2 6x 3 grado È l esponente maggiore tra tutti i termini. Il polimonio è defnito omogeneo quando i monomi che lo compongono hanno tutti lo stesso grado. 7a 2 b 2 2ab 2 2 6a 3 3 grado 3 grado 3 grado I termini dei monomi che compongono il polinomio sono tutti di 3 grado. SOMMA ALGEBRICA DI POLINOMI 22ab 1 4a ab 2 7ab 2 1 5a 2 PROCEDURA ESEMPIO SOMMA ALGEBRICA DI POLINOMI 1. Togli le parentesi. 22ab 1 4a 2 2 3ab 2 7ab 2 1 5a 2 2. Cerca i termini simili. 22ab 1 4a 2 2 3ab 2 7ab 2 1 5a 2 3. Opera la riduzione. 25ab 1 9a 2 2 7ab 2 Fai attenzione ai segni prima della parentesi: HAI OTTENUTO UNA SOMMA ALGEBRICA 25

28 Il calcolo letterale MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO MOLTIPLICAZIONE DI UN MONOMIO PER UN POLINOMIO Il prodotto di un monomio per un polinomio si ottiene moltiplicando il monomio per tutti i termini del polinomio. monomio polinomio 25ab 2 22a 1 4b 2 3c 22a 5 110a 2 b 2 Fai attenzione ai segni nelle moltiplicazioni: ab 2 (per) 14b 5 220ab 3 23c 5 115ab 2 c quindi 10a 2 b ab ab 2 c MOLTIPLICAZIONE DI POLINOMI MOLTIPLICAZIONE DI POLINOMI 2x 2 3y 4x 2 1 2y 3 PROCEDURA 1. Moltiplica tutti i termini del primo polinomio per ogni termine del secondo. ESEMPIO 2x 4x 2 5 8x 3 2x 2y 3 5 4xy 3 23y 4x x 2 y 23y 2y y 4 2. Cerca i termini simili. 3. Scrivi il risultato. 8x 3 1 4xy x 2 y 2 6y 4 26

29 Il calcolo letterale PRODOTTI NOTEVOLI PRODOTTI NOTEVOLI ESEMPIO RISULTATO a 1 b a 2 b 5 a 2 2 b 2 PRODOTTI NOTEVOLI Prodotto della somma di due monomi per la loro differenza. a a 5 a 2 a b 5 2ab b a 5 1ab b 2b 5 2b 2 a 2 2 b 2 Differenza tra il quadrato del primo monomio e il quadrato del secondo. Quadrato di un binomio. È un trinomio i cui termini sono: 1. il quadrato del primo monomio; 2. (6) il doppio prodotto del primo monomio per il secondo; 3. il quadrato del secondo monomio. ± 6 SI LEGGE PIÙ O MENO a 1 b 2 a 1 b a 1 b a a 5 a 2 a b 5 ab b a 5 ab b b 5 b 2 a 2 1 2ab 1 b 2 a 2 b 2 a 2 b a 2 b a a 5 a 2 a b 5 2ab b a 5 2ab b b 5 b 2 a 2 2 2ab 1 b 2 a 6 b 2 5 a 2 1 2ab 1 b 2 5 a 2 2 2ab 1 b 2 Il segno 1 o 2 del secondo monomio dipende dal segno dei monomi di partenza. 5 a 2 6 2ab 1 b 2 SEGUE 27

30 Il calcolo letterale PRODOTTI NOTEVOLI PRODOTTI NOTEVOLI ESEMPIO RISULTATO Cubo di un binomio. È un quadrinomio i cui termini sono: a 1 b 3 a 1 b a 1 b a 1 b 5 a 3 1 3a 2 b 1 3ab 2 1 b 3 1. il cubo del primo monomio; 2. (6) il triplo prodotto del quadrato del a a a 5 a 3 3 a 2 b 5 3a 2 b 3 a b 2 5 3ab 2 b b b 5 b 3 a 3 1 3a 2 b 1 3ab 2 1 b 3 primo monomio per il secondo; 3. il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo; 4. (6) il cubo del secondo monomio. a 2 b 3 a 2 b a 2 b a 2 b a a a 5 a 3 3 a 2 2b 5 23a 2 b 3 a 2b 2 5 3ab 2 2b 2b 2b 5 2b 3 a 3 2 3a 2 b 1 3ab 2 2 b 3 5 a 3 2 3a 2 b 1 3ab 2 2 b 3 In sintesi: (a 6 b) a 3 6 3a 2 b 1 3ab 2 6 b 3 DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO DIVISIONE DI UN POLINOMIO PER UN MONOMIO Il quoziente di un polinomio per un monomio si ottiene dividendo tutti i termini del polinomio per il monomio. 10a 2 6a 3 : 22a 10a : 22a 1 26a 3 : 22a a 2 28

31 Esercizi consigliati ESERCIZI CONSIGLIATI Espressioni letterali 1 Completa la tabella. DA SOLO a b c a 2 b 2 c a 1 b 2 2 c I monomi 2 Indica con una crocetta quali delle seguenti espressioni letterali sono monomi. CON STRUMENTO ESEMPIO 25a 3 b 2 è un monomio, 25a 3 1b 2 non è un monomio. 26a 4 b 3 2ab 3 10,2a b 2 a abc 5x2 y a2 b 5 4 a 1 b 11a 2 b 23ab 1 1 3c ab2 x 1 y ab ab2 c 3 12a 23 23x 2 y 4 a 2 bc a 2 b 20,5a 4 b 2 Utilizza lo strumento MONOMI. 29

32 Il calcolo letterale Grado di un monomio 3 Completa la tabella, scrivendo tutti i possibili monomi aventi lo stesso coefficiente e lo stesso grado complessivo di quello dato, usando le stesse lettere che compaiono in esso. CON STRUMENTO MONOMIO MONOMI DI GRADO UGUALE A QUELLO DATO 28a 2 b 3 8ab 4,... 5a 2 b x 2 y a5 bc 2... Utilizza lo strumento GRADO DI UN MONOMIO. Somma algebrica di monomi 4 Completa la tabella, eseguendo la somma algebrica dei monomi indicati. CON ESEMPIO SOMMA ALGEBRICA DI MONOMI SIMILI RACCOGLIMENTO A FATTORE COMUNE SOMMA ALGEBRICA 26a 2 b 1 9a 2 b 2 7a 2 b a 2 b 24a 2 b 3xy 3 2 8xy 3 1 2xy 3 2 xy abc 2 2 3abc 2 1 abc abc x 4 y 3 1 5x 4 y 3 2 7x 4 y 3 2 2x 4 y ab 3 2 4ab 3 1 6ab 3 2 ab b b 1 0,5b b b SEGUE 30