Politecnico di Bari Facoltà di Ingegneria

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1 Politecnico di Bari Facoltà di Ingegneria Dispensa per il Corso di Controlli Automatici II Studio di un sistema SISO che modella la sospensione di un autoveicolo con il ATLAB Control Toolbox Ing. ariagrazia Dotoli

2 Studio di un sistema SISO che modella la sospensione di un autoveicolo con il ATLAB Control Toolbox. Definizione del caso in studio Nel seguito facciamo riferimento ad un sistema SISO (singolo ingresso - singola uscita) lineare tempoinvariante che modella una sospensione automobilistica, rappresentata in figura., con ingresso u (lo spostamento lineare del battistrada) e definito dalle equazioni di stato: z z z z 3 y(t) = k = k B B [ ] z z z z 3 k + k k B B dove le variabili di stato sono nell ordine z = x (posizione dell autoveicolo) z = x (velocità dell autoveicolo) z = (posizione della ruota) z 3 x = (velocità della ruota) x z z z z e le costanti utilizzate valgono rispettivamente 3 + k u k = N/m (rigidità del pneumatico) k = N/m (rigidità dell ammortizzatore) B = 8 N/m/s (attrito viscoso dell ammortizzatore) = 5 kg (massa del pneumatico) = kg (circa un quarto della massa dell autoveicolo, se questo ha quattro ruote). k k u B Figura.. Sospensione automobilistica x x. Analisi del sistema Con l uso del Control Toolbox del software ATLAB è possibile studiare il sistema definito nel paragrafo precedente. Invece di effettuare tale studio direttamente dalla ATLAB Command Window, ossia eseguendo volta per volta i comandi, realizziamo l analisi del sistema per mezzo di uno script ATLAB (ossia un file di testo con estensione.m contenente comandi interpretabili dal ATLAB) che chiamiamo susp.m e elenchiamo di seguito. Il file contiene i commenti ad ogni comando, preceduti dal simbolo %.

3 % Procedura atlab susp.m per l'analisi di una sospensione automobilistica clear all % Reinizializzazione del atlab workspace close all % Chiusura delle finestre grafiche eventualmente aperte =5; =; K=; K=; B=8; % Assegnazione dei valori numerici delle variabili, % con unità di misura del sistema internazionale (SI) A=[ ;-K/ -B/ K/ B/; ; K/ B/ -(K+K)/ -B/] B=[ ;; ; K/] C=[ ] D=[] % Definizione del sistema in forma di stato attraverso le matrici % A, B, C, D, tali che % xdot=ax+bu % y=cx+du % con x vettore di stato, xdot derivata del vettore di stato, y(t) uscita p=poly(a) % Calcolo del polinomio caratteristico del sistema lambda=eig(a) % Calcolo degli autovalori del sistema [Wn,Z] = damp(a) % Calcolo della pulsazione naturale e dello smorzamento % degli eventuali autovalori complessi del sistema num=[k*b// K*K//]; den=[ (+)*B// (+)*K//+K/ K*B// K*K//]; printsys(num,den,'s') % Definizione e visualizzazione della funzione di trasferimento (fdt) del sistema [num,den]=sstf(a,b,c,d); printsys(num,den,'s') % Calcolo e visualizzazione della fdt del sistema I=find(num<e-8); if length(i)> for i=:length(i), num(i(i))=; end end % Azzeramento dei coefficienti numericamente nulli (inferiori a ^-8) del numeratore printsys(num,den,'s') % Visualizzazione della fdt [A,B,C,D]=tfss(num,den) % Trasformazione del sistema da fdt in spazio di stato, calcolo di % una nuova quaterna di matrici [zeri,poli,guadagno]=tfzp(num,den) % Calcolo degli zeri e dei poli del sistema Ac=[ ; ; ;-den(5) -den() -den(3) -den()] Bc=[;;;] Cc=[num(5) num() ] Dc=D % Determinazione della forma canonica di controllo del sistema c=ctrb(a,b) rc=rank(c) if rc == 'il sistema e'' completamente controllabile' end Ao=[ -den(5); -den(); -den(3); -den()] Bo=[num(5);num();;] 3

4 Co=[ ] Do=D % Determinazione della forma canonica di osservazione o ricostruzione o=obsv(a,c) ro=rank(o) if ro == 'il sistema e'' completamente osservabile' end [Y,X,T] = impulse(a,b,c,d); figure(),plot(t,y),grid ylabel('spostamento verticale [m]') title('risposta all''impulso dell''ammortizzatore') % Calcolo e visualizzazione della risposta all'impulso [Y,X,T] = step(a,b,c,d); figure(),plot(t,y),grid ylabel('spostamento verticale [m]') title('risposta al gradino dell''ammortizzatore') % Calcolo e visualizzazione della risposta al gradino =max(y) % Calcolo del picco massimo della risposta al gradino Tp=T(find(Y==)) % Calcolo del tempo di picco p=*(-) % Calcolo della sovraelongazione percentuale hold on YB=.5*ones(size(Y)); YB=.95*ones(size(Y)); plot(t,yb,'c',t,yb,'c') % Visualizzazione della banda di assestamento al 5% T3=T; U=.*ones(,length(T3)/); U=zeros(,length(T3)/); U3=[U U]; % Calcolo di un ingresso pari alla combinazione di due gradini [Y3,X3] = lsim(a,b,c,d,u3,t3); figure(3),plot(t3,y3,t3,u3),grid title('risposta dell''ammortizzatore alla combinazione di due gradini') ylabel('spostamento verticale [m]') % Calcolo e visualizzazione della risposta alla combinazione di gradini x=[..3.5]; [Y,X] = lsim(a,b,c,d,u3,t3,x); figure(),plot(t3,y,t3,u3),grid ylabel('spostamento verticale [m]') title('risposta dell''ammortizzatore alla combinazione di due gradini con condizione iniziale') % Calcolo e visualizzazione della risposta alla combinazione di gradini % con condizione iniziale U5=.*sin(*T3); [Y5,X5] = lsim(a,b,c,d,u5,t3); figure(5),plot(t3,x5(:,),t3,x5(:,),t3,x5(:,3),t3,x5(:,),t3,u5),grid axis([ ]) legend('posizione dell''autoveicolo [m]','velocità dell''autoveicolo [m/s]','posizione della ruota [m]','velocità della ruota [m/s]','spostamento sinusoidale [m]') title('risposta alla sinusoide dell''ammortizzatore') % Calcolo e visualizzazione della risposta alla sinusoide di frequenza rad/s con gli stati figure(6), bode(num,den)

5 title('diagrammi di Bode') xlabel('pulsazioni in scala logaritmica [rad/s]') ylabel('fasi [ ] Ampiezze [db]') % Diagrammi di Bode dell'ammortizzatore v=3*^3/36 % Velocità orizzontale del veicolo in m/s pr= % Distanza in m tra gli avvallamenti massimi del suolo % incontrati dal veicolo f=v/pr % Frequenza degli avvallamenti massimi w=*pi*f % Pulsazione degli avvallamenti massimi aosc=. % Valore massimo degli avvallamenti t=[:.:]; % Finestra temporale di osservazione u=aosc*sin(w*t); % Andamento temporale degli avvallamenti [mag,phase] = bode(num,den,w); % Calcolo della funzione di risposta armonica % nella pulsazione degli avvallamenti % Nota bene: in questo caso la funzione bode restituisce il modulo effettivo % e non il suo valore in db y=aosc*mag*sin(w*t+phase); % Calcolo dell'andamento temporale dello spostamento % verticale dell'autoveicolo dovuto agli avvallamenti del terreno figure(7), plot(t,u,t,y), grid, axis([ -.5.5]) legend('avvallamenti del suolo','posizione verticale del veicolo') ylabel('spostamento [m]') title('spostamento verticale del veicolo dovuto ad avvallamenti del suolo') % Confronto degli andamenti temporali degli avvallamenti % e dello spostamento verticale dell'autoveicolo Eseguiamo quindi la procedura ATLAB su descritta e riportiamo i risultati ottenuti nella ATLAB Command Window, insieme ai grafici visualizzati.» susp A = B = C =

6 D = p =.e+5 * lambda = i i i i Wn = Z = num/den = s s^ + s^3 + 3 s^ + s + 68 num/den =.869e- s^ e- s^ + s s^ + s^3 + 3 s^ + s + 68 num/den = A = s s^ + s^3 + 3 s^ + s + 68.e+5 * 6

7 B = C =.e+5 * D = zeri = -5. poli = i i i i guadagno =.e+ Ac =.e+5 * Bc =

8 Cc =.e+5 * Dc = c = rc = ans = il sistema e' completamente controllabile Ao =.e+5 * Bo = e+5 * Co = Do =.68. o = 8

9 ro = ans = il sistema e' completamente osservabile =.559 Tp =.36 p = 99 v = pr = f =.667 w = aosc =. 9

10 Risposta all'impulso dell'ammortizzatore.6 Risposta al gradino dell'ammortizzatore Spostamento verticale [m] Spostamento verticale [m] Risposta dell'ammortizzatore alla combinazione di due gradini.5 Risposta dell'ammortizzatore alla combinazione di due gradini con condizione iniziale.5. Spostamento verticale [m]..5 Spostamento verticale [m] Risposta alla sinusoide dell'ammortizzatore Posizione dell'autoveicolo [m] Velocità dell'autoveicolo [m/s] Posizione della ruota [m] Velocità della ruota [m/s] Spostamento sinusoidale [m] 5 Diagrammi di Bode From: U() Fasi [ ] Ampiezze [db] To: Y() Pulsazioni in scala logaritmica [rad/s]

11 .5 Spostamento verticale del veicolo dovuto ad avvallamenti del suolo Avvallamenti del suolo Posizione verticale del veicolo..5 Spostamento [m] Bibliografia R. C. Dorf, R. H. Bishop, odern Control Systems, settima edizione, 995, Addison-Wesley. K. Ogata, odern Control Engineering, terza edizione, 997, Prentice Hall. H. Saadat, Computational Aids in Control Systems Using ATLAB, 993, c Graw-Hill.. Tibaldi, Note introduttive a ATLAB e Control System Toolbox, 993, Progetto Leonardo.