Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 1/27 NB NON guardare le risposte prematuramente!

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1 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 1/27 Domande Una popolazione, originariamente, di 1 individui, tocca quota 15 dopo 5 anni. 1) Qual è il tasso di incremento aritmetico? Quanti individui si troverebbero (con questo tasso) dopo 7 anni? 2) Qual è il tasso di incremento geometrico o esponenziale (a vs. scelta)? Quanti individui si troverebbero, con questo tasso, dopo 7 anni? 3) Giustificare la differenza tra i due casi, dire quale dei due tassi è migliore e perché. Considerate la popolazione di questa tabella Età(x) Donne di cui: nulibi Matrim. (1) (2) (3) (4) ) Se la popolazione della tabella crescesse secondo una curva logistica, partendo dal minimo empiricamente osservato (nella tabella), fino a un massimo di 25 mila persone dopo 1 anni, che andamento avrebbe su un opportuno grafico cartesiano? 5) Se, invece, la popolazione della tabella avesse una crescita geometrica o esponenziale (a Vs. scelta), sapendo che raggiunge l'ammontare di 25 mila persone dopo 1 anni, che andamento avrebbe su un opportuno grafico cartesiano? E quale sarebbe il corrispondente tasso medio annuo di crescita? 6) Nei due casi: dopo quanto tempo si raggiunge l'ammontare di persone? Risposte 1) La formula è a P P 15 1 r t,1 1%. Dopo 7 anni si avrebbero t P 5 1 a 7 P P 1 r t individui. g 15 2) Con il tasso geometrico, la formula è t t P r 1 5 1,81,81%. Dopo 7 anni si P 1 t 7 avrebbero 7 P P 1 g r , 1 individui (cioè, più che non con il tasso aritmetico, perché la popolazione "cresce su se stessa"). ln t P Con il tasso geometrico, infine, la formula è P.4547 r,81,81% (appena inferiore t 5 al tasso geometrico, ma le differenze si notano solo a partire dal 5 decimale). Dopo 7 anni si rt.81 7 avrebbero 7 P P e 1 e 1.764, 1 individui (cioè, esattamente gli stessi ottenuti con il tasso geometrico: il valore assoluto del tasso esponenziale è lievemente inferiore, ma lo si applica nel continuo, e il risultato finale è lo stesso). 3) Ovviamente, è preferibile usare il tasso di incremento geometrico (o esponenziale) perché, per lunghi intervalli di tempo, l'ipotesi di crescita lineare (che implica che i nuovi arrivati non contribuiscono a loro volta alla crescita) è poco difendibile. 4) Bisogna riferirsi solo al complesso delle donne (senza distinzione per stato civile) e considerare il loro totale, senza distinzione per età. Abbiamo cioè 12.5 donne all'inizio, e 25. alla fine (dopo 1 anni) per cui la figura è, all'incirca (linea continua):

2 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 2/ ) Il tasso è di,6931% se esponenziale e,6956% se geometrico (crescita su 1 anni). La curva corrispondente è quella tratteggiata. 6) Con la crescita logistica, tale ammontare (intermedio tra il punto di inizio e il punto di fine) si raggiunge dopo (circa) metà del tempo totale, cioè 5 anni. Con la crescita esponenziale (o geometrica), invece, ci vogliono t=ln( t P/ P)/r=58.5 anni circa. Domande Tutti e diecimila i maschi di una certa generazione sopravviventi al compimento del 25 compleanno sono ancora celibi. In seguito, danno origine ai seguenti flussi Età Matr. Decessi ) Sapendo che solo i celibi muoiono e si sposano, e che la popolazione è chiusa, disporre su un diagramma di Lexis tutti questi dati di flusso e indicare anche il numero dei celibi ai vari compleanni (fino al 3 ) e il numero medio di celibi alle varie età. *** Si dispone dei dati seguenti, relativi ai morti per età (Mx) di una popolazione immaginaria chiusa ai movimenti migratori e in cui nessuno raggiunge il 5 compleanno. x Mx ) Disporre i dati della tabella precedente su un diagramma di Lexis, in due ipotesi: a) i dati si riferiscono a una generazione b) i dati si riferiscono a contemporanei.

3 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 3/27 3) In quale caso è possibile calcolare il numero dei sopraviventi alle varie età, e perché? 1) Celibi 25enni Risposte (58) (56) (54) (52) (52) (5) *** 2) Morti bambini, per contemporanei (tra parentesi), e per generazioni (in obliquo). 4 (1) (2) (1) (2) (4) ) Solo nel caso di dati per generazione è possibile calcolare il numero dei sopravviventi alle varie età (scritto in orizzontale: 1, 6,...). Nell'altro caso, infatti, non si sa quanti erano al momento della nascita, né quanti ne sono morti prima dell'anno in questione. Domande Questa è la popolazione residente italiana al (dati in milioni). Età M F M+F oltre ) Che cosa si intende per "residente" e quale concetto (da definire) si contrappone a questo?

4 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 4/27 2) Da quali e quanti uffici provengono le informazioni della tabella? 3) Perché di una popolazione interessa indagare la struttura per età? (evidenziare cause e effetti) 4) Come si può calcolare la struttura per età in maniera analitica? 5) Come si può rappresentare graficamente la struttura per età della popolazione italiana? 6) Calcolare l'età media e l'età mediana della popolazione nel suo complesso (M+F). *** Data la seguente tabella relativa a corsi di laurea triennali, e alla carriera universitaria delle matricole dell'anno 2 (con osservazione che termina al , e sotto l'ipotesi di assenza di eventi perturbatori - cioè nessuno muore, nessuno emigra, ecc.) Iscritti Laureati LAUREA M F M F Letteraria Economica Scientifica Totale ) Considerando solo i maschi (M), e ignorando le differenze tra tipi di laurea, organizzare i dati su un diagramma di Lexis (specificando bene cosa c'è sugli assi, cosa può essere classificato esattamente e cosa solo approssimativamente). 8) Apparentemente le donne (F) hanno migliori carriere universitarie. Elaborando i dati della tabella, trovare indicatori che confortano questa affermazione. 9) In realtà, però, un'analisi per singolo tipo di laurea fornisce un'impressione diversa. Trovare indicatori adatti per questa affermazione, e giustificare l'apparente incompatibilità con l'affermazione precedente. 1) Standardizzando con la popolazione tipo che si ottiene unendo maschi e femmine, calcolare un opportuno tasso di successo scolastico standardizzato per i due sessi, e commentare Risposte 1) Residente = con dimora abituale in Italia. Contrapposto a presente (=che si trova occasionalmente in Italia). 2) Dato che non è un anno di censimento, i dati provengono dagli uffici anagrafici, che sono uno per comune, cioè circa 81. 3) Perché risente delle passate vicende demografiche (crisi di mortalità; declino di nascite; correnti migratorie), se queste sono state abbastanza forti da lasciare effetti visibili. E perché influenza praticamente tutti i fenomeni: demografici (natalità, mortalità,...), sociali (criminalità, preferenze politiche,...) e economici (occupazione, carico pensionistico, ecc.). 4) Calcolando i c x =P x /P, ovvero il peso relativo degli individui nelle varie classi di età. Ad esempio, c 6-69 =6,54/57,32=11,4%. M+F x' x' P Cum valori % 9-oltre Piramide x età, Italia, % Maschi % Femmine Classi di età

5 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 5/27 5) V. figura 6) L'età media è 42,3; l'età mediana è 41,2. 7) La figura è approssimativamente come questa, nell'ipotesi che i 41 che arrivano alla laurea lo facciano non prima del terzo anno di studio. Restano 29 non laureati ) 9) Donne=73,7% di laureate, contro 58,6% per gli uomini. 1) I maschi vanno meglio delle donne in termini di "tassi di laureati" nelle materie letterarie e scientifiche; vanno (un po') peggio soltanto nelle materie economiche. (v. col. 5 e 6 della tabella). 11) 14. Si può procedere con una popolazione tipo, ad esempio data dalla somma delle 2 popolazioni (M+F; v. tab.). Con una popolazione comune, i tassi generici (standardizzati) di conseguimento della laurea passano al 69% per i maschi e al 64% per le femmine. Morale: in questo esempio, le femmine fanno mediamente meglio dei maschi perché scelgono lauree "più facili". Iscritti Laureati Tassi Totale (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) LAUREA M F M F M F Iscr.T m(t) f(t) Letteraria Economica Scientifica Totale Domande Data questa tavola di mortalità, x lx dx qx Lx Tx ex ) Completare la tavola di mortalità (ipotizzando che i deceduti a età vivano, mediamente, solo 4 mesi). 2) Rappresentare graficamente, sullo stesso grafico, le due serie degli lx e degli Lx, evidenziando bene i collegamenti tra le due serie.

6 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 6/27 3) In caso di mortalità costante, e assenza di migrazioni, se, nell'anno 25, vi fossero 54mila nati, quanti di questi festeggerebbero il 2 compleanno? E quanti arriverebbero vivi al 31 dicembre del 29? *** 4) Quali sono (se esistono), il valore massimo e il valore minimo dei rischi di morte? Empiricamente, questi valori sono osservati oggi in Italia (esattamente, circa,...)? A quali età? 5) Ammettiamo che il rischio di morte per i maschi sia, mediamente, del 2% all'anno, tra il compimento del 4 e del 5 compleanno. Se si parte con 5 quarantenni, quanti di questi festeggeranno il 5 compleanno, tra 1 anni? 6) Si ha adesso il problema inverso: nel corso di un'indagine longitudinale, di 9mila quarantenni originari, solo 8mila arrivano poi a festeggiare il 5 compleanno. Qual è il rischio annuo di morte? E quanti di questi individui saranno vivi al momento del 45 compleanno? 7) Organizzare i dati della domanda (e della risposta) precedente su un diagramma di Lexis. Risposte 1) V. tabella qui sotto. Vi possono essere solo due difficoltà. La prima: 4 l (=336) lo si trova perché L 4 (=168) è la media aritmetica semplice tra 4 l (ignoto) e 5 l (=). La seconda: vivere 4 mesi del primo anno di vita equivale a vivere 1/3 del tempo. L (=8) si trova quindi media ponderata tra l (con peso 1/3) e 1 l (con peso 2/3). x lx dx qx Lx Tx ex ) V figura qui sotto. Lx (istogrammi) e lx (linee) Lx 3) Al 2 compleanno arriverebbero 32.4 individui (56% di 54 mila). Al (a 4 anni compiuti) arriverebbero 9.72 (16,8% di 54 mila). 4) Teoricamente, il minimo per q x è, e il massimo è il 1%. Empiricamente, il minimo si trova oggi (nel 2**) in Italia per le femmine, a 13 anni, ed è pari allo,3 per mille. Il massimo non si ha: i dati della mortalità alle età estreme sono frutto di perequazioni varie (aggiustamenti con funzioni matematiche, ecc.). 5) Se q=2%, allora p=98%. Pertanto la probabilità di sopravvivere per 1 anni è 1 p x =(,98) 1 =,817. Se ne deduce che, dei 5 individui originari, ne sopravvivono circa 485.

7 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 7/27 8 6) Si trova che 1 1 p x,1, 988, e quindi che 1 q x =1,2% circa. Inoltre P 45 =P 4 p 5 = 9 9 (,988) 5 =8485 circa. 7) V. sotto Età Tempo Domande E' data la seguente tabella. Età(x) Donne di cui: nulibi Matrim. (1) (2) (3) (4) ) Calcolare i tassi di nuzialità specifici. 2) Calcolare tasso di nuzialità totale e, coerentemente con questo, il nubilato definitivo. 3) Calcolare l età media al matrimonio sulla base dei tassi. 4) Senza calcolare i tassi specifici, ma utilizzando direttamente il numero dei matrimoni, si sarebbe potuto dire qualcosa dell'intensità della nuzialità? Se no, perché? Se sì, cosa? (precisare quanto è necessario, e, ove fattibile, confrontare con risposta a domanda 2) 5) Senza calcolare i tassi specifici, ma utilizzando direttamente il numero dei matrimoni, si sarebbe potuto dire qualcosa della cadenza della nuzialità? Se no, perché? Se sì, cosa? (precisare quanto è necessario, e, ove fattibile, confrontare con risposta a domanda 3) 6) Calcolare il nubilato definito sui dati di stock. 7) Perché la risposta data alla domanda (6) è diversa da quella data alla domanda (2)? 8) Calcolare l età media al matrimonio sui dati di stock (metodo di Hajnal). 9) Perché la risposta data alla domanda (8) è diversa da quella data alla domanda (3)? 1) Ammettiamo che i dati si riferiscano a una località in Italia. Da quale/i fonte/i ufficiale/i possono provenire? Ci parlano di presenti o di residenti? (precisare!)

8 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 8/27 Risposte La tabella completa per le risposte è qui sotto. Età Donne D di cui: Matrim. x nulibi N S x' D x' s=s/d A A s A s x' A S A S x' n=n/d n A (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (1) (11) (12) (13) (14) never 23 ever 1) I tassi di nuzialità specifici s sono riportati nella col. 7. 2) Questi vanno moltiplicati per l'ampiezza A delle classi di età (col. 8) per ottenere i dati As della col. 9. (Attenzione: le classi di età hanno ampiezze diverse). La loro somma dà il tasso di nuzialità totale, otnt =.85. Il nubilato definitivo è il complemento a 1, ovvero.15. 3) Per calcolare l'età media al matrimonio occorre tener conto del punto centrale di ogni classe di età x' (col. 5) e dei valori As della col. 9. Il loro prodotto riga per riga è nella col. 1, e la somma è s x' Ax sx 24,38 24,38. L'età media al matrimonio sulla base dei tassi è dunque x 28, 68 Ax sx,85 4) No, non si sarebbe potuto dir nulla, perché il numero dei matrimoni può essere alto o basso in funzione non soltanto di quanto ci si sposa (che è quello che interessa qui) ma anche di quanto numerosa è la popolazione. 5) L'età media al matrimonio sulla base dei matrimoni effettivamente osservati si può calcolare S x' Ax Sx (considerando l'ampiezza delle classi!), ed è x 31, 5. Ma non è un buon Ax Sx 175 indicatore della cadenza, perché è "sporcata" dalla struttura per età. Qui la popolazione in età da matrimonio è anziana (poche quindicenni, molte quarantenni), e quindi l'età media dei matrimoni è più alta dell'età media dei tassi di matrimonio. 6) Il nubilato definito sui dati di stock andrebbe calcolato al compimento del 5 compleanno. Qui è impossibile, per mancanza di dati. Si può usare però, con poco errore, la quota di nubili anni, che è di,2 (v. in fondo a col. 13). 7) Perché nella domanda (6) si fa riferimento a una sola generazione (quella, quinquennale, nata anni prima). Nella domanda (2) si parla invece di contemporanei, e quindi di circa 35 generazioni contemporaneamente. 8) Questa misura si chiama anche SMAM, o Singulate Mean Age at Marriage. Qui SMAM=28,75. Si calcola, nella col. 14, il n. totale di anni vissuti da nubile (33), di cui un po' (1) dovuti a chi non si sposerà e un po' (23) a chi invece si sposerà. Questi 23 anni "nubili", divisi per.8 (ever married) danno SMAM= ) Perché nella domanda (3) si fa riferimento alla nuzialità nel solo anno di osservazione (contemporanei), mentre nella domanda (8) si fa riferimento a un periodo di tempo "strano", in cui le generazioni tra i 15 e i 49 anni sono "osservate" per un periodo di tempo che va dal compimento del 15 compleanno all'età che hanno al momento della rilevazione. (es. la quota di donne nubili tra le 4enni dipende da quante di queste donne si sono sposate tra i 15 e i 4 anni, ovvero a partire da 25 anni prima). Su un diagramma di Lexis, il periodo di tempo "osservato" corrisponde a un triangolo. 1) Le col. (2) e (3) possono provenire da un censimento (donne o presenti o residenti) o da un'anagrafe (donne residenti). La col. (4), invece, può provenire o da uno stato civile (matrimoni di pop. presente - NB solo i matrimoni, NON anche la popolazione) o da anagrafe (matrimoni di pop. residente).

9 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 9/27 Data la seguente tabella: Domande Età Donne Nati (M+F) w Calcolare, indicando le formule: 1. L'età media della popolazione femminile 2. L'età mediana della popolazione femm. 3. Il tasso generico di natalità (per il quale serve un'ipotesi: quale?) 4. Il tasso generico di fecondità FG. 5. Il TFT (tasso di fecondità totale) 6. Che differenza concettuale c'è tra tutte queste misure di fecondità? Definirle tutte e tre a parole, e precisare quale è più adatta per lo studio della fecondità. 7. L'età media al parto rispetto alle nascite. 8. L'età media al parto rispetto ai tassi di fecondità. 9. Che differenza concettuale c'è tra queste due misure di cadenza della fecondità? Definirle entrambe, a parole, e precisare quale è più adatta per lo studio della fecondità. 1. Rappresentare TUTTI i dati della tab. precedente su un opportuno diagramma di Lexis. Risposte (Le risposte successive faranno riferimento a questa tabella). Tabella per risposta a domande 1-8 Tabella per risposta a domanda 13 Età Donne Nati fx ax fx x' x' Dx x' Nx x' ax fx Età Donne Lx (l=1) ax Lx * px Tx ex (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (1) (11) (12) (13) (14) (15) (16) w Tot w.. 3.3% TFT Tot % 1) Dopo aver trovato il punto medio X' di ogni classe (col. 6), lo si moltiplica per il numero di donne (col. 7), e si divide per il totale delle donne (3) per trovare età media= ) Mediana = 2 (il 2 compleanno divide la pop. in due gruppi equi-numerosi, i più giovani e i più vecchi, entrambi di 15 persone). 3) Bisogna assumere qualcosa sulla popolazione maschile. Facendo finta che M=F, allora la pop. totale è di 6 mila persone, e quindi, n=n/p=2/6=3.3%. 4) FG=N/(Donne in età feconda). Prendendo, in questo caso, le età feconde tra 2 e 39 anni, si ottiene FG=2/15=19%. 5) Il TFT è la somma degli fx (tassi di fecondità specifici per età - col. 4). Tenendo conto dell'ampiezza delle classi di età (col. 5), e sommando, si ottiene 3.89 (v. tabella). 6) Solo il TFT non risente della struttura per età della popolazione (FG ne risente meno di n, ma ne è comunque influenzato). Pertanto, il TFT è la miglior misura della sola fecondità.

10 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 1/27 N x' Nx 6 7) L'età media al parto rispetto alle nascite è x 3 (col. 8) Nx 2 f ' 119,4 8) L'età media al parto rispetto ai tassi di fecondità è x fx x 3, 7 (col. 9) fx 3,89 9) Solo l'età media al parto rispetto ai tassi di fecondità ( f x) non risente della struttura per età della popolazione, ed è pertanto più adatta per lo studio della cadenza della fecondità. 1) V. figura qui sotto Dati Stock () () (1) (1) () t () (2) E' data la seguente tabella: Età Domande L x (con l =1) Pop al Pop. al , , , , ,1 5 e inoltre si sa che nell'anno 1991 sono nati 5 bambini. 1. Riportare su un diagramma di Lexis i dati relativi ai nati e alla popolazione alle 2 date. 2. Calcolare i sopravviventi "teorici" per ogni età al Calcolare il saldo migratorio per ogni età. 4. Scrivere l'equazione della popolazione in forma completa. 5. Qual è il tasso di incremento effettivo della popolazione?

11 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 11/27 6. Quella in esame è una popolazione stazionaria? Perché (due motivi)? *** Data la seguente tabella, relativa a una popolazione (media) in un certo anno solare Età Popol. Immigrati Emigrati (1) (2) (3) Cosa si può dire del saldo migratorio? 8. Eppure, l'analisi del TIT (tasso di immigratorietà totale) e del TET (tasso di emigratorietà totale) dà un'immagine diversa. Perché questa differenza? 9. Qual è la "vera" età media alla emigrazione? Risposte Età Pop al Pop. al Lx (con p x l =) (*) Pop. teor. Immigr. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (nati) (5) Tot ) Diagr. di Lexis: v. sotto. 2) Come si vede in tabella, bisogna prima calcolare i coeff. di sopravvivenza p x (*) (col. 4 - NB Calcolati sugli L x e non sugli l x ), che sono dati dal rapporto tra L x successivi. Es. per stimare i sopravviventi tra quelli che hanno inizialmente 2 anni, bisogna considerare il rapporto p 2 =L 3 /L 2 =,2/,3=,67. Cioè, solo i 2/3 delle persone sopravvive fino all'anno dopo. Poiché di queste persone ce ne sono 15 ( 9 P 2 ), i loro sopravviventi attesi, o teorici sono 1 ( 91 P 3 ). Per chi nasce nell'anno 1991, e può quindi sopravvivere fino al , la probabilità di sopravvivenza è data da p N =L /l =,8/1=,8. Poiché i nati sono 5, i loro sopravviventi attesi, o teorici sono 4 ( 91 P 1 ). 3) E' la differenza tra quelli che ci sono veramente e i sopravviventi teoricamente attesi della risposta precedente (v. col. 6). 4) 1 P= P+N-M+I-E. P 5) Su un solo anno, si può fare, semplicemente, P 1 9 r t,111 11,1 % t P 9 6) Il totale cambia, e ci sono migrazioni.

12 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 12/ *** 7) V. tabella. Il saldo migratorio è nullo, perché vi sono 24 immigrati e 24 emigrati. 8) Per il calcolo del TIT= i x (dove i x =I x /P x ), v. col. (4), mentre per il calcolo del TET= e x (dove e x =E x /P x ), v. col. (5). In entrambi i casi, ricordarsi moltiplicare per 1 (ampiezza della classe). Si trova che TIT=,8 (cioè 8 immigrazioni ogni 1 persone che vivono per tutta la vita in questa popolazione), mentre TET=,96 (cioè 96 emigrazioni ogni 1 persone che vivono per tutta la vita in questa popolazione). Vi è dunque prevalenza di emigrazioni. La differenza con la domanda precedente dipende dalla diversa distribuzione per età del fenomeno. Nel caso di tassi generici, la struttura per età della popolazione incide sulle misure. Nel caso invece di tassi specifici (e delle loro somme, TIT e TET), la struttura per età cui si fa implicitamente riferimento è quella rettangolare. 9) La misura si può calcolare sia sulle emigrazioni vere (E x ) sia sui tassi di emigratorietà (e x ). E' preferibile questo secondo calcolo, che non risente della struttura per età della popolazione. Ex Età Popol. Immigrati Emigrati ix ex smx x' x' Ex x' (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

13 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 13/27 Domande La popolazione femminile per età, al , è la seguente: Età Popolazione w I rischi di morte nel corso dei successivi dieci anni di età durante il periodo sono stati: a -9 anni = 1/4, a 1-19 anni = 1/3, a 2-29 anni = 1/2 e a 3-39 anni = 1%. Per i neonati, inoltre, si è osservato il valore L -9 /1l =,8. I tassi di fecondità (relativi alle sole nate femmine) sono stati i seguenti: f 2-29 =,2 e f 3-39 =,1. Nell'ipotesi che anche per il decennio le condizioni di mortalità e di fecondità non mutino (e in assenza di migrazioni), calcolare (organizzando i dati in un tabella e in un diagramma di Lexis): Parte a 1) la struttura per età e l'età media, mediana e modale della popolazione femminile al 198; 2) la popolazione per età oltre i 1 anni, alla fine del 199; 3) la popolazione femminile media nelle classi di età feconde; 4) il TFT; 5) il numero di nate femmine del periodo; 6) la popolazione femminile di età -9 al 199; 7) la struttura per età e l'età media, mediana e modale della popolazione femminile al 199; 8) l'età media al parto, calcolata sui tassi di fecondità; 9) l'età media al parto calcolata sulla distribuzione delle nascite per età della madre, giustificando la differenza con la risposta precedente; 1) la tavola di mortalità del periodo , distinguendo tra dati disponibili e dati stimabili sulla base delle ipotesi più semplici (di linearità dei decessi); organizzare poi i dati su un diagramma di Lexis; 11) l'età media, mediana e modale alla morte; 12) i tassi medi di incremento annuo (aritmetico, geometrico e esponenziale), giustificando le differenze tra i tre. 13) il numero di morti nel decennio ; 14) il tasso medio di incremento come differenza tra tasso di natalità e di mortalità, giustificando le eventuali differenze con la risposta 12; 15) il tasso specifico di mortalità m x,x+9 a tutte le età. Tale tasso verifica, a tutte le età, la relazione prevista tra m x,x+9 e il rischio di morte q x? 16) la relazione che, in questa popolazione, si verifica tra i tassi di mortalità specifici e quello generico; Parte b 1. Rispondere di nuovo alle domande 2-16 ipotizzando che, invece, nel periodo la fecondità e la mortalità dimezzino rispetto al periodo precedente (con L q 4-49 =1%). Risposte

14 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 14/27 1) [Struttura per età e età media, mediana e modale della popolazione femminile al 198.]La struttura per età è la serie dei c x =P x /P. In questo caso, il totale della popolazione è 1, per cui il peso percentuale delle singole classi di età sul totale coincide con la loro numerosità: c -9 =4%; c 1-19 =3%; c 2-29 =2%; c 3-39 =1%. La formula per il calcolo dell'età media x= x'p/ P, dove x' è quella "centrale" della propria classe. Per esempio, nella classe 1-19 (che va, per la precisione, dal momento del 1 compleanno fino al momento del 2 ) il punto centrale della classe è il 15. I calcoli sono sviluppati nella tab. 1: l'età media risulta essere di 2 anni. L'età mediana compresa tra il 1 e il 2 compleanno. Nell'ipotesi di distribuzione lineare della popolazione tra questi due compleanni si avrebbe mediana x= (5-4)/(7-4) = 13,3. La classe di età modale, infine, è la prima (-9 anni). Tab. 1 - Età media della popolazione al x (medio) Pop. x Pop. Età media Cum. Età (1) (2) (3) (4) (5) w Totale (3) = (1) x (2) (4) = (3) / (2) [solo per il totale] 2) [Popolazione per età oltre i 1 anni alla fine del Fig. 1 - Previsioni demografiche sul diagramma di Lexis Età Persone Persone w ?? 199] I calcoli sono sviluppati nella fig. 1 e nella tab. 2. Ad esempio, le 4 donne che hanno età -9 nel 198 hanno un rischio di morte del 25% (,25). Ne sopravvive quindi solo il 75% (,75), e pertanto solo 3 saranno in vita anche nel 199, e saranno di 1 anni più vecchie, cioè in età Lo stesso ragionamento si può ripetere anche per le restanti classi di età: in definitiva, si trovano 6 persone vive nel 199 con oltre 1 anni di età, tutte derivanti da coloro che erano già in vita nel 198.

15 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 15/27 Tab. 2 - Previsioni demografiche per i già vivi al Età al Pop. L qx L px Pop (1) (2) (3) (4) ?? w Totale (6) (3) = 1 - (2) (4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga. 3) [Popolazione femminile media nelle classi di età feconde.]in questo caso, le classi feconde sono quelle comprese tra i 2 e i 4 anni. La popolazione femminile media si calcola come media aritmetica semplice tra i due anni estremi del periodo (198 e 199). Poiché il numero delle donne è lo stesso nei due casi (2 e 1 rispettivamente per i 2-29 e per i 3-39 anni), identico rimane anche il numero delle donne feconde medie del periodo (cfr. tab. 3). Tab. 3 - Calcolo della pop. femminile media in età feconda Pop. Pop. Pop. Età (1) (2) (3) Totale (3) = media tra (1) e (2) 4) [Calcolo del TFT]Consideriamo dapprima i tassi di fecondità riferiti alle sole nate femmine specifici per età, da 2 in su, e sommiamoli, per ottenere un indice (che si chiama R - cfr. cap. 13 del libro) R = f 2 + f f 39. D'altra parte f 2 = f 21 =... = f 29 =,2, per cui sommare questi dieci termini è come prendere 1 volte uno di essi, quindi f =1 f x 2 =2. Analogamente, f x =1 f 3 =1. Si ha pertanto che R=2+1= R si riferisce alle sole nate femmine, che sono, in media, 1 su 26 nati totali (maschi più femmine). Occorre quindi moltiplicare R per 2,6 per ottenere il TFT, pari a 6,18 (cfr. tab. 4). Tab. 4 - Calcolo di R e del TFT nel fx Età (1) R = Somma x 1 3 TFT = R x 26/ ) [Numero di nate femmine nel periodo.]il numero di nate femmine di ogni classe di età è dato dal prodotto P x f x (in questo caso, dato che la popolazione è solo quella femminile e che i tassi di fecondità si riferiscono alle sole nate femmine). I calcoli sono sviluppati nella tab. 5, in cui si noterà anche, un'altra volta, la moltiplicazione per 1, per ottenere non solo un valore riferito a una singola classe di età media all'interno dell'intervallo decennale considerato (tra 2 e 29 o tra 3 e 39), bensì un valore

16 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 16/27 riferito al totale della classe, 1 volte più ampia di ciascuna delle sue classi medie. Nel periodo nasceranno quindi 4 bambine da donne di 2-29 anni e 1 bambine da donne di 3-39, per un totale di 5. Tab. 5 - Calcolo del numero delle nate femmine nel Pop. fx N(x) Età (1) (2) (3) Totale (3) = (1) x (2) x 1 [Totale escluso] 5) [Popolazione femminile di età -9 al 199]Il calcolo della popolazione femminile in età -9 al 199 è ora immediato (cfr. la tab. 6, che riprende e allarga la tab. 2). Abbiamo detto che vi sono 5 nate nel periodo e si sa che la probabilità che queste hanno di arrivare vive al è, complessivamente, pari all'8% (Complessivamente, perché vi saranno sia bambine nate proprio il , che sono quasi sicure di arrivare vive sino alla mezzanotte, sia bambine nate invece il 1 gennaio del 1981, per le quali questa eventualità è assai meno probabile). Di queste 5 bambine, quindi, solo 4 saranno vive per allora, ovviamente in età compresa tra e 9 anni compiuti. Tab. 6 - Previsioni demografiche per il complesso della popolazione femminile Pop. ^qx ^px Pop. Età (1) (2) (3) (4) Nate nel periodo (5) w Totale (3) = 1 - (2) (4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga. 7) [Struttura per età e età media, mediana e modale della popolazione femminile al 199]La popolazione al 199 è identica a quella del 198. Di conseguenza, anche struttura per età, età media, età mediana e età modale sono le stesse. 8) [Età media al parto, calcolata sui tassi di fecondità] La logica del calcolo è identica a quella del calcolo dell'età media della popolazione, salvo che si considerano gli f x, al posto dei P x, come "pesi". Il risultato dei calcoli (cfr. tab. 7) è a=28,3 anni. Tab. 7 - Età media al parto calcolata sugli fx nel x (medio) fx x fx Età media Età (1) (2) (3) (4) Totale (3) = (1) x (2) (4) = (3) / (2) [solo per il totale] 9) [Età media al parto calcolata sulla distribuzione delle nascite per età della madre] La logica del calcolo (cfr. tab. 8) è identica a quella del calcolo dell'età media al parto vista sopra, salvo che, come "pesi", si considerano le nate per età della madre, N (x), al posto dei tassi di fecondità f x. Il

17 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 17/27 risultato è di 27 anni, inferiore ai 28,3 calcolati prima. Per capire meglio la ragione della differenza conviene ricordare che N (x) = f x P x. Quando ci si riferisce agli f x, si considera, implicitamente, una struttura per età rettangolare, con tutti i P x = 1. Quando ci si riferisce agli N (x), invece, si considera una struttura per età "vera", normalmente (e anche in questo caso) con più persone in età giovani che non in età anziane. Di conseguenza, la popolazione effettiva che si considera è più giovane di quella "rettangolare", e così anche la sua età media al parto. Tab. 8 - Età media al parto calcolata su N(x) nel x (medio) N(x) x N(x) Età media Età (1) (2) (3) (4) Totale (3) = (1) x (2) (4) = (3) / (2) [solo per il totale] 1) [Tavola di mortalità del periodo e diagramma di Lexis].La tavola di mortalità che è possibile ricostruire sulla base dei dati disponibili non è una tavola completa (tab. 9). In primo luogo è una tavola abbreviata (per intervalli decennali di età) e, in secondo luogo, non può essere definita rispetto a tutte le sue funzioni biometriche. Le uniche disponibili sono quelle riportate, e cioè la serie dei L p x e dei L q x (riferiti cioè agli L x e non agli l x, dette ) e la serie, conseguente, degli L x. La somma degli L x consente di calcolare la retrocumulata degli anni vissuti T x e, in particolare, T =2. Si ottiene poi e =T /l.=2. Tab. 9 - Sviluppo della tavola di mortalità abbreviata per il (tra parentesi, i valori ottenuti sulla base delle ipotesi più semplici, discusse nel testo) lx L qx L px Lx,x+9 Tx ex dx,x+9 qx Età (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (.3) (.3) 1 (.7) (17.14) (.2) (.29) 2 (.5) (12.) (.2) (.4) 3 (.3) (6.67) (.3) (1.) (.) -- Totale (3) = 1 - (2). (4) [1^ riga] = (1) x (3) x 1 [ampiezza della classe]. (4) [altre righe] = Riga precedente x (3). (1) [2^ -> ultima riga] = media semplice tra 2 righe del (4), diviso 1. (5) = Somma retrocumulata (=dal basso) di (4) (6) = (5) / (1). (7) = Diffenzenze successive tra le righe di (1). (8) = (7) / (1).

18 Fig. 2 - Tavola di mortalità del periodo Età Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 18/27 Corrispondente popolazione stazionaria rappresentata sul diagramma di Lexis w M N 4 I () L 2 3 G (3) H 4 2 E (5) F 6 1 C (7) D 8 A 1 B Nota: tra parentesi, i valori ottenuti sulla base di stime. A questo punto sono finite le informazioni certe fornite dall'esercizio. Se, come richiesto, non ci si vuole fermare, conviene proseguire sulla base di ipotesi semplici: la più semplice di tutti è quella di un'evoluzione lineare dei decessi nei periodi per cui non si dispone di informazioni dirette. Con l'aiuto anche del diagramma di Lexis della fig. 2, si vede che l'ipotesi di linearità porta ai valori di l x indicati tra parentesi. Occorre qui aprire un inciso. Di solito, l'ipotesi di linearità si avanza per calcolare i valori di L x sulla base dei valori l x e non viceversa. Tuttavia, questa scelta non è obbligatoria: anzi spesso è introdotta per ragioni di comodo, per passare da ciò che è disponibile (l x )a ciò che non lo è (L x ). Qui, il problema è rovesciato (si conoscono gli L x e si vogliono stimare gli l x ), e appare legittimo procedere di conseguenza. Tra parentesi si può notare che l'evoluzione degli l x, e degli L x è tale che vale, in generale, anche la relazione consueta L x = (l x +l x+1 )/2, con due eccezioni. La prima è che risulta L,9 = (l x 1/3 + 1 l x 2/3) x 1, cosa che non è del tutto inverosimile, data la maggior concentrazione dei decessi infantili nei primi istanti di vita. La seconda è che risulta L 3,39 = (l 3 x 2/3 + 4 l x 1/3) x 1, anch'essa difendibile, in quanto i decessi alle età anziane (e qui siamo vicini all'età limite di questa popolazione particolare) si concentrano di solito verso l'inizio del periodo). Infine, si noti la decisione di aver supposto 4 l =, non 1. Questo dipende dal fatto che, nel problema, si dice che L 4,49 =. Ma se ci fosse almeno una donna sopravvivente all'età esatta di 4 anni, sarebbe impossibile non osservare almeno una frazione di anno vissuto da questa donna nelle età tra il 4 e il 5 compleanno, per cui si avrebbe che L 4,49 >. 11) [Età media, mediana e modale alla morte] L'età media alla morte, o speranza di vita alla nascita e =T /l, è pari a 2 anni (cfr. risposta precedente). Il calcolo preciso dell'età mediana alla morte è impossibile, poiché, come si è detto, non si dispone della serie degli l x. Sulla base delle ipotesi che si sono fatte, tuttavia, si ne dovrebbe dedurre che tale età è di 2 anni, perché lì si stima sia ancora sopravvivente esattamente il 5% del contingente iniziale. Il fatto che età media e età mediana alla morte coincidano, suggerisce una distribuzione simmetrica dei

19 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 19/27 decessi. In effetti così è: nel diagramma di Lexis della fig. 2 si vede che tutti i triangoli compresi nella striscia tra AB e IL racchiudono 1 casi di decesso, tranne i due estremi (ABC e HIL), che ne racchiudono 2. Questo risponde anche all'ultima domanda, sulla (classe di) età modale alla morte. Le maggiori densità di frequenza si osservano nei primi 1 anni di vita (e in particolare, nel triangolo ABC) e negli ultimi 1 (e in particolare nel triangolo HIL). 12) [Tassi di incremento annuo] Come si è detto, nel periodo la popolazione non è cresciuta. Il tasso di incremento medio annuo è quindi, indipendentemente dal modo di calcolo. 13) [Numero di morti nel decennio ] Si è già detto che si tratta di una popolazione stazionaria, per cui il numero dei decessi deve essere uguale a quello delle nascite = 5. In alternativa, si può applicare l'equazione della popolazione (chiusa), per cui M = P - t P + N, cioè = 5. Infine, si può calcolare il numero dei decessi come somma di prodotti tra la popolazione esposta al rischio ( 8 P x ) e il corrispondente rischio di morte. I calcoli sono sviluppati nella tab. 12, e il totale è ancora 5. 14) [Tasso di incremento come differenza tra tasso di natalità e di mortalità] Il numero dei nati nel decennio è 5, con una media annua di 5. La popolazione media è P = ( t P + P)/2, cioè 1. Il tasso di natalità nel periodo è quindi del 5%. Idem per la mortalità (5%), per cui risulta r=n-m=%. 15) [Tasso specifico di mortalità m x,x+9 e relazione con il rischio di morte q x ] Ricordiamo innanzi tutto che il rischio di morte è la probabilità che si verifichi l'evento morte in un certo intervallo di tempo, mentre il tasso di mortalità è la frequenza dell'evento morte per numero medio di anni persona di presenza in quella popolazione. Nella nostra popolazione (che è stazionaria) il numero medio di persone anno, ad esempio, nelle età -9 è pari a 4 persone mediamente presenti per 1 anni = 4 persone anno. Il numero dei decessi (parzialmente stimato) è (1+5)=15. Il tasso di mortalità è quindi 15/4, ovvero del 38 per mille. Analogamente si procede al calcolo degli altri tassi specifici di mortalità, secondo i calcoli indicati nella tab. 1 (cfr. anche la fig. 3). Tab. 1 - Calcolo dei tassi di mortalità specifici Pop. Ampiezz. Anni Morti mx media classe persona stimate per mille Età (1) (2) (3) (4) (5) (15) (38) (1) (33) (1) (5) (15) (15) Totale (5) (5) (3) = (1) x (2) (4) = con ipotesi di distribuzione lineare dei decessi. (5) = (4) / (3) x 1..

20 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 2/27 Fig. 3 -Viventi e decessi nel periodo organizzati sul diagramma di Lexis Età Persone Persone w E 1 1 (5) D (5) 2 (5) C (5) 3 (5) B (5) 4 1 A 5 E' 1 D' 2 C' 3 B' 4 A' Nota: Nei triangoli sono indicati i decessi del periodo. I decessi tra parentesi sono stimati in ipotesi di linearità del fenomeno. La relazione teoricamente attesa tra il tasso specifico di mortalità e il corrispondente rischio di morte 2q è data dalla formula m = m, dove n è l'ampiezza della classe. Per tutte le età, i calcoli sono n(2 q) sviluppati nella tab. 11, dalla quale si vede che il valore di m x,x+9 teoricamente atteso coincide con quello effettivamente calcolato solo per gli anni in cui la relazione tra gli l x e gli L x è quella teoricamente attesa, e cioè L x = ½(l x +l x+1 ). Tab Confronto tra i tassi di mortalità e i rischi di morte Ampiezz. qx mx per mille classe per mille teorico effettivo differenza Età (1) (2) (3) (4) (5) 9 1 (3) (35) (38) -(2) (286) (33) (33) () (4) (5) (5) () (1) (2) (15) (5) Totale (3) = [2x(2)]/[2-(2)], diviso (1) [N.B. (2) considerato in frazioni di unità] (5) = (2) - (4), con arrotondamenti. 16) [Relazione tra i tassi di mortalità specifici e il tasso generico] La relazione che si verifica in questa, come in tutte le possibili popolazioni, è che il tasso generico è una mx Px media ponderata dei tassi specifici, e cioè m. Per la verifica, cfr. tab. 12. Px Tab Confronto tra tassi di mortalità specifici e tasso generico Pop. Ampiezz. mx media classe per mille Px mx Età (1) (2) (3) (4) (38) (15) (33) (1)

21 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 21/ (5) (1) (15) (15) Totale 1 -- (5) (5) (4) = (1) x (3) (4, totale) = somma dei (4) / somma degli (1) PARTE B (Nota: nelle risposte a queste domande, le spiegazioni sono omesse o ridotte al minimo in tutti i casi in cui valgono i ragionamenti condotti nella corrispondente domanda della parte a) 2b) [Popolazione per età oltre i 1 anni alla fine del 199] Fig. 1b - Previsioni demografiche sul diagramma di Lexis Età Persone Persone w ?? I calcoli sono sviluppati nella fig. 1b e nella tab. 1b. Le persone vive nel 199 con oltre 1 anni di età sono 8 (contro le 6 del caso a). Tab. 1b - Previsioni demografiche per i già nati Pop. L qx L px Pop. Età (1) (2) (3) (4) ?? Totale (8) (3) = 1 - (2) (4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga. 3b) [Popolazione femminile media nelle classi di età feconde] Media aritmetica semplice tra i due anni estremi del periodo (198 e 199) per le classi di età 2-29 e 3-39 (cfr. tab. 2b): si hanno 35 anni-donna nelle età feconde, di cui 22,5 nelle età 2-29 e 12,5 nelle età Tab. 2b - Calcolo della pop. femminile media in età feconda

22 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 22/ Pop. Pop. Pop. Età (1) (2) (3) Tot (3) = media tra (1) e (2) 4b) [Calcolo del TFT] R = 1,5 e TFT = 3,9 (cfr. tab. 3b). Tab. 3b - Calcolo del TFT nel fx Età (1) R = Somma x TFT = R x 26/ b) [Numero di nate femmine nel periodo] Cfr. tab. 4b. Nel periodo nasceranno 22,5 bambine da donne di 2-29 anni e 6,25 bambine da donne di 3-39, per un totale di 28,75 (che, in fase di diffusione dei risultati, si arrotonderà a 29, mentre in fase di sviluppo dei calcoli seguenti si terrà come numero decimale). Tab. 4b - Nate femmine nel Pop. fx N(x) Età (1) (2) (3) Totale (3) = (1) x (2) x 1 [Totale escluso] 6b) [Popolazione femminile di età -9 al 199] (cfr. tab. 5b, che riprende e allarga la tab. 1). Delle 28,75 nate nel , con mortalità dimezzata rispetto all'ipotesi precedente (e quindi L q nati,1 =1%), 25,875 (arrotondabili a 26) saranno presumibilmente vive (in età -9) alla fine del 199. Tab. 5b - Previsioni demografiche per il complesso della popolazione femminile Media Pop. qx px Pop. Pop. Età (1) (2) (3) (4) (4) Nate nel periodo tasso di incr. per mille arit geom esp. Totale (3) = 1 - (2)

23 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 23/27 (4) = (1) x (3), con risultato 'scalato' di una riga. 7b) [Struttura per età e età media della popolazione femminile al 199] Cfr. tab. 6b. x=19,2, contro 15 del 198: la diminuzione della fecondità e l'aumento della sopravvivenza alle età anziane hanno provocato un invecchiamento che l'aumento della sopravvivenza alle età giovani non è riuscito a contrastare. Tab. 6b - Struttura per età e età media della popolazione al x (medio) Pop. x Pop. Età media cx Età (1) (2) (3) (4) (5) Totale (3) = (1) x (2) (4) = (3) / (2) [solo per il totale] (5) = distribuzione percentuale di (4). 8b) [Età media al parto, calcolata sui tassi di fecondità] E' ovvio che non è mutata rispetto a 8a), perché i tassi di fecondità sono diminuiti tutti nella stessa proporzione (si sono dimezzati). I calcoli, comunque, sono sviluppati nella tab. 7b: a=28,3 anni. Tab. 7b - Età media al parto calcolata sugli fx nel x (medio) fx x fx Età media Età (1) (2) (3) (4) Totale (3) = (1) x (2) (4) = (3) / (2) [solo per il totale] 9b) [Età media al parto calcolata sulla distribuzione delle nascite per età della madre] Per i calcoli, cfr. tab. 8b, e per i commenti, cfr. 8a. Si noti l'invecchiamento rispetto alla risposta 9a (27,2 contro 27), dovuto esclusivamente al fatto che è un po' invecchiata anche la popolazione femminile in età feconda (per i tassi si è già detto che le variazioni non provocano alterazione dell'età media al parto). Tab. 8b - Età media al parto calcolata su N(x) nel x (medio) N(x) x N(x) Età media Età (1) (2) (3) (4) Totale (3) = (1) x (2) (4) = (3) / (2) [solo per il totale] 1b) Tavola di mortalità del periodo e diagramma di Lexis. I calcoli sono nella tab. 9b e nella fig. 2b. Emerge il forte innalzamente della vita media, rispetto ai calcoli della parte a (da 2 a 3,8 anni). Si noti tuttavia che nella tab. 9b, tuttavia, rispetto alla tab. 9a,

24 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 24/27 la relazione L x = ½ (l x + l x+1 ) non è mai rispettata esattamente, per cui i risultati riportati per gli l x e i q x devono essere considerati validi solo approssimativamente. Tab. 9b - Sviluppo della tavola di mortalità abbreviata per il (tra parentesi, i valori ottenuti sulla base delle ipotesi più semplici, discusse nel testo) lx L qx L px Lx,x+9 Tx ex dx,x+9 qx Età (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (.16) (.16) 1 (.84) (25.86) (.12) (.14) 2 (.72) (19.32) (.15) (.2) 3 (.57) (12.86) (.21) (.36) 4 (.37) (6.67) (.37) (1.) (.) -- Totale (3) = 1 - (2). (4) [1^ riga] = (1) x (3) x 1 [ampiezza della classe]. (4) [altre righe] = Riga precedente x (3). (1) [2^ -> ultima riga] = media semplice tra 2 righe del (4), diviso 1. (5) = Somma retrocumulata (=dal basso) di (4) (6) = (5) / (1). (7) = Diffenzenze successive tra le righe di (1). (8) = (7) / (1). Fig. 2b - Tavola di mortalità del periodo Corrispondente popolazione stazionaria rappresentata sul diagramma di Lexis Età 5 M () N 4 I (37) 25 L 3 G (57) 49 H 2 E (72) 66 F 1 C (84) 79 D A 1 9 B Nota: tra parentesi, i valori ottenuti sulla base di stime. 11b) [Età media, mediana e modale alla morte] e =3,8 anni. Come si è detto, gli l x valgono solo approssimativamente, per cui il calcolo preciso dell'età mediana alla morte è impossibile. Inoltre, tale calcolo non si effettua mai su classi poliennali troppo ampie, come queste. Tuttavia, volendo a tutti i costi procedere, si può notare che l'età mediana dovrebbe essere compresa tra il 3 e il 4 compleanno. Anzi, se valesse la tradizionale ipotesi di linearità dei decessi, si potrebbe procedere persino a una interpolazione lineare, che darebbe come risultato, 33,6 anni.

25 Demografia (G. De Santis): Esercizi risolti - p. 25/27 La classe di età modale alla morte, infine, è l'ultima, oltre il 4 anno di età (37 decessi), e in particolare all'interno del triangolo LMN (25 decessi). 12b) [Tassi medi di incremento annuo] Si ha 8 P=1, 9 P=15,875 e t=1. Le tre formule di calcolo danno, come risultato, a r=5,87 per mille, g r=5,73 per mille e e r=5,71 per mille. La popolazione è crescente, quindi si ha che a r > g r > e r. 13b) [Numero di morti nel decennio ] Con l'equazione della popolazione (chiusa), si ha M= 1-15,9+28,8=22,9. Come somma di prodotti tra la popolazione esposta al rischio ( 8 P x ) e il corrispondente rischio di morte, i calcoli sono sviluppati nella tab. 1b, e il totale è ancora 22,9. Tab. 1b - Decessi femminili nel Pop. ^qx Decessi Età (1) (2) (3) Nate (28.75) Totale (3) = (1) x (2) 14b) [Tasso di incremento come differenza tra tasso di natalità e di mortalità] Si ha che n = N/P= 27,93 per mille e m = 22,22 per mille, per cui, per differenza, d r= +5,71 per mille. Il risultato è analogo a quello ottenuto per l'incremento geometrico, benché si sia considerata una popolazione media in senso aritmetico. In realtà, d r < a r perché in d r si considera al denominatore la popolazione media del periodo, che è maggiore della popolazione iniziale considerata invece in a r. 18b) [Tasso specifico di mortalità m x,x+9 e relazione con il rischio di morte q x ] I calcoli per gli m x,x+9 sono indicati nella tab. 11b (cfr. anche la fig. 3b).