Azionamenti con motore in corrente continua

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1 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Azonmnt on motor n orrnt ontnu. - Struttur dll'zonmnto. - L struttur d prnpo d un zonmnto on motor orrnt ontnu d tzon ndpndnt, pr l qul s prvd s l ontrollo d rmtur h qullo d mpo, è llustrto n Fg.... Il ruto d rmtur qullo d tzon sono lmntt d du onvrttor stt h fornsono l dsdrt tnson d rmtur u d tzon u proporzonl orrspondnt rfrmnt u,rf u,rf. Qust ultmo sono prodott dl ontrollo dll'zonmnto h lbor sgnl d rfrmnto dll vlotà rf (o, qundo è l so, qullo dll opp o dll poszon) qull d rzon, pr smpo, on rfrmnto ll fgur, sgnl d vlotà dll orrnt d rmtur d tzon, ottnut d rspttv trsduttor. Qundo non è prvst l rgolzon d mpo, l'tzon è lmntt tnson ostnt. Fg... - Struttur gnrl d un zonmnto on motor.. Numros sono l possbl onfgurzon d onvrttor stt d sstm d ontrollo. Ess srnno smnt n dttglo nl sguto d qusto ptolo. Pr qunto rgurd onvrttor stt, s f qu l'ssunzon h ss possno rogr tnson orrnt s ngtv h postv h l tnson d ust sgu lnrmnt qull d ngrsso on un dnm dfnt d un funzon d trsfrmnto dl prmo ordn. Pr onvrttor s ssumrà prtnto l rlzon n s CS(s) Us () K Urf (..) dov K è l gudgno (ostnt) dl onvrttor τ è l ostnt d tmpo h dfns l rtrdo on u l tnson d ust rspond d ogn vrzon dl suo rfrmnto. Dt un funzon f(t), l su sprsson qundo l s rtrd d un tmpo T dvnt f(t-t ). Nl domno d Lpl qusto quvl moltplr l trsformt d f(t), F(s), pr -st. Pr pol vlor d T s può po pprossmr n sr d MLurn l funzon sponnzl, ottnndo l rlzon:

2 Azonmnt Elttr I M.Zglotto In gnr l vlor d τ v dll frzon d mllsondo qulh mllsondo prò è soltmnt nfror ll ostnt d tmpo d rmtur h, su volt, è nfror qull mn qull dl ruto d tzon.. - Azonmnto on l solo nllo d vlotà S onsdrno n qusto n prossm prgrf prnpl shm d ontrollo pr zonmnt mpgnt motor orrnt ontnu omndt sull'rmtur /o sull'tzon d dgut onvrttor stt d potnz. Pr soddsfr ll mpgntv sgnz h s nontrno nll modrn pplzon dgl zonmnt lttr, s pr qunto rgurd l prson rgm s pr l prontzz dll'ntro sstm, l tpo d ontrollo mpgto è qus unvrslmnt qullo tn hus tl srà qullo prso n sm n qust ppunt on rfrmnto d un ontrollo d vlotà. L onfgurzon pù smpl d zonmnto on ontrollo d vlotà, è qull d Fg.... In sso un motor on tzon ostnt (n prt on tzon onnss, pr smpo, d un rddrzztor dod non ontrollt, v. p. 3) è lmntto trmt un onvrttor stto on un tnson d rmtur l u vlor d rfrmnto è prodotto dl rgoltor d vlotà h lbor l'rror fr l rfrmnto d vlotà rf l sgnl d rzon dll stss t. Fg... - Azonmnto on motor.. on solo nllo d vlotà Al sstm d Fg... orrspond lo shm bloh d Fg..., nl qul sono mss n vdnz bloh h rpprsntno l onvrttor (Fg. (..)), l motor l trsduttor d vlotà, ssunto qust'ultmo dsrtto d un smpl gudgno K t. τ L () rf - R ' u rf K u Motor s τ ro t K t Fg... - Shm bloh dll'zonmnto on solo nllo d vlotà

3 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Pr un pù gl studo dll dnm dll'zonmnto un pù smpl sposzon d rtr d progtto d rgoltor, llo shm d Fg... s pplno l trsformzon h lo portno qullo d Fg...3: τ L () * - R u * u Motor s τ ro In Fg...3 s sono post: Fg Shm bloh on ostnt d trsduzon d snsor untr R K Kt R' * rf / K t (..) u* urf K Lo shm d Fg...3 orrspond supporr h l trsduttor d vlotà l onvrttor d'rmtur bbno gudgn stt untr. Un possbl vntggo st nl ftto h osì fndo rfrmnt, or ndt on l'strso, sono sprss nll stss sl untà d msur dll grndzz u s rfrsono sgnl d rzon sono rpprsntt dll stss grndzz ontrollt tn hus. Nl so s vogl tnr n onto l dnm dl trsduttor d vlotà, h om tutt trsduttor, untmnt l loro sstm d ondzonmnto dl sgnl d ust, vrà un rttrst pss bsso, lo shm d Fg...3 dovrà ssr ompltto nsrndo nl nl d rzon l prt dnm ( gudgno stto untro) dl sstm d trsduzon. Assumndo h l'lmntzon dll'tzon dl motor tnson ostnt orrspond d un funzonmnto flusso ostnt h l ro mno s drtto dll rlzon lnr (I.8.), lo shm d Fg...3 può ssr trsformto nl domno d Lpl n qullo d Fg...4, ov, sprtmnt, sono mss n vdnz l funzon d trsfrmnto fr tnson d rmtur vlotà fr opp d ro vlotà (fr. pr..5). T L (s) Ω (s) T L (s) Ω * (s) - Ω (s) R U * (s) s τ U (s) Ω (s) U (s) Ω (s) Fg Shm bloh nl domno d Lpl L sprsson splt dll du funzon d trsfrmnto sono gà stt rvt nl pr.5; n prtolr s frà rfrmnto ll (.5.) (.5.9). C'è d sottolnr h l (.5.) è stt rvt nll pots d vr τ <<τ m τ m <<τ m ; tl pots sono prtmnt smpr vrft s prmtr d nrz d ttrto vsoso s rfrsono l solo motor; può non ssr osì pr prtolr rh, d smpo qull rttrzzt d grnd ttrto vsoso om vntltor. 3

4 Azonmnt Elttr I M.Zglotto In molt pplzon prth non rth s rhd smpltà rutl dl ontrollor d vlotà, pr mntnr bss ost rdott tmp d trtur dll'zonmnto. Vrrnno d sguto smnt progtt d du rgoltor, d tpo proporzonl ("P") proporzonl-ntgrl ("PI"), h unsono smpltà rlzztv buon prstzon dnmh, suffnt oprr grn prt dll pplzon... - Progtto on rgoltor proporzonl (P) - Il rgoltor P è l pù smpl d rgoltor sstnt; sso vn mpgto n qusto so pr produrr un rfrmnto d tnson d'rmtur u * proporzonl ll'rror tr l vlotà dsdrt * l vlotà ffttv dl motor (Fg...4). L su funzon d trsfrmnto è dunqu: R (s) K p (...) L funzon d trsfrmnto d nllo huso pr l'zonmnto d Fg...4, rordndo h s è rondott d vr H(j) d utlzzndo l'sprsson (.5.) pr Ω(s)/U (s), rsult l sgunt: GH ( j) K p K Φ j j ( jτ ) p p (...) L'un vrbl d progtto è l gudgno K p dl rgoltor P; un rtro usulmnt dottto onsst nl fssr om spf un rto mrgn d fs m ϕ d u pr prttà s rhm l dfnzon dll Tor d Controll Automt: m ϕ ( j ) π GH (...3) ttr dov ttr rpprsnt l pulszon d ttrvrsmnto, pr l qul l modulo dll funzon GH dvnt untro: ( j ) GH (...4) ttr Nl so n sm è dunqu suffnt rvr ttr dll (...3) mponndo un mrgn d fs opportuno (pruzonlmnt non nfror 4 ) rvr nfn l gudgno K p sosttundo l vlor d ttr trovto nll (...) d mponndo h l'sprsson soddsf l ondzon (...4). E' fl vrfr h qusto rtro port dovr rsolvr quzon trsndnt, pr l qul è onvnnt rorrr mzz d lolo utomto. In tlun s, omunqu, vlor numr h ntrno n goo onsntono d smplfr l'sprsson (...); un so non rro è h tr pol dll funzon v n s uno frqunz molto lvt rsptto gl ltr du, osì d potr ssr trsurto, n prm pprossmzon, n lol d progtto dl rgoltor. L'zonmnto on rgoltor P, non prsntndo un funzon d trsfrmnto on pol nll'orgn, è un sstm d tpo zro prsnt prtnto rror non nullo rgm. D qusto è fl rndrs onto s s ossrv h è propro un rror d vlotà h prmtt l gnrzon dll'opportuno rfrmnto d tnson d'rmtur. S, pr ssurdo, s nnullss l'rror d vlotà, s nnullrbb nh l tnson pplt l motor l'zonmnto ssrbb d funzonr. Pr l tpolog d ro h non soddsfno l pots h hnno portto ll (.5.) oorr nturlmnt utlzzr l'sprsson pù gnrl (.5.3). 4

5 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Un rtro ltrntvo pr l lolo dl gudgno K p può dunqu onsstr nll'mporr l'rror d vlotà rgm E, qundo l rfrmnto d vlotà * è mposto pr ll vlotà nomnl N d n ondzon d ro nomnl (I I N ). Dll Fg...3, rordndo l (...) l (.3.) è mmdto rvr l sgunt sprsson: RI K K E K N ΦΩN Φ p E (...5) slvo po ssurrs h rmng un mrgn d fs suffnt grntr l stbltà dll'zonmnto. L'rror, nftt, l l rsr dl gudgno dl rgoltor P, m qust zon ondu vrso un zon d nstbltà, om'è fl rlvr trndo d smpo l dgrmm d Bod pr GH(j). Dll (...5) s può nfn rvr l'sprsson h dà l'rror rltvo d vlotà n funzon dl rfrmnto mpostto: E Ω * K KΦ K Φ p * ( K K Φ) Ω p RI (...6) S può notr h s trtt, l vrr dll orrnt d rmtur, d un fmgl d prbol, h l mnmo rror prntul d vlotà s h vuoto, ll mssm vlotà dl motor... - Progtto on rgoltor proporzonl - ntgrl (PI) - Com'è vdnt, n molt s non sst un vlor dl gudgno proporzonl h prmtt d soddsfr ontmpornmnt rqust d stbltà d prontzz dll rspost d vlotà. Oor qund rorrr d un rgoltor pù omplsso, h rlzz d smpo un zon proporzonl-ntgrtr sull'rror d vlotà, ssurndo rror nullo rgm. L funzon d trsfrmnto è n qusto so l sgunt: R K p (...) L funzon d trsfrmnto d nllo huso pr l'zonmnto d Fg...4, tnndo onto dll (...) rsult dsso: GH ( j) jτ K p ( jτ ) K Φ j j ( jτ ) p p (...) Un tn soltmnt sgut pr l progtto dl rgoltor PI (ovvro pr l dtrmnzon dll du ostnt h lo rttrzzno, K p τ onsst nl fr nllr dllo zro ntrodotto dl rgoltor l polo domnnt; supponndo h qusto s p s pon dunqu: τ p (...3) l funzon d trsfrmnto d nllo huso s smplf dvnndo: 5

6 Azonmnt Elttr I M.Zglotto GH ( j) jτ K p K Φ j ( jτ ) p (...4) Il dgrmm d Bod è rportto n Fg...; è vdnt h or l slt dl gudgno stto dl rgoltor srv fssr un mrgn d fs suffnt grntr un funzonmnto stbl, h nh n qusto so non è soltmnt nfror 4. L produr pr l lolo d K p è po nlog qull dl solo rgoltor proporzonl (pr...), ov ll (...) s sosttus l (...4). GH db K p τ db/d K Φ motor.. R τ p ttr p τ log onvrttor 6 db/d Fg... - Dgrmm d Bod pr l ontrollo d vlotà on rgoltor PI L Fg... rport nh, trttggo, l rttrsth d Bod rltv sngol bloh prsnt nllo shm d ontrollo. In prtolr s può notr om l'ntroduzon dl rgoltor PI ondu d un urv GH trslt dstr rsptto ll rttrst Ω(s)/U (s) propr dl motor, on onsgunt nrmnto dll pulszon d ttrvrsmnto ttr. Pr un rgonmnto qulttvo, qul'è d ntndrs l prsnt, ttr può onsdrrs lgt drttmnt ll bnd pssnt dll'nllo d vlotà dunqu rmn vrfto h l rgoltor PI prmtt d mglorr l dnm dl sstm mntnndo nl ontmpo rror nullo rgm, pr l prsnz d un polo nll'orgn dll funzon GH(s) Lmtzon dll orrnt d rmtur - Durnt trnstor, front d rror d vlotà ospu, l'ust d rgoltor P o PI può rhdr tnson d'rmtur molto grnd nh pol vlotà. Consdrndo d smpo l so d rgoltor P, supponndo pr smpltà un ro d tpo purmnt nrzl (B) s può fr rfrmnto ll Fg...3.: Trlsndo pr l momnto l ruto d lmtzon dll orrnt, trttggto n Fg...3., supponndo h l rgoltor R s rttrzzto d un gudgno K p, è fl rndrs onto h l lgm tr rfrmnto d vlotà Ω* l orrnt d rmtur I, sprsso sondo l trsformt d Lpl vl: I Ω p * R Φ ( Φ ) K s s K K L sk L J L p skp L s ξs (..3.) 6

7 Azonmnt Elttr I M.Zglotto dov n prtolr lo smorzmnto ξ vl: Fg Lmtzon dll orrnt d rmtur ξ R L K Φ J ( K K Φ) p (..3.) E' vdnt h pr vlor bbstnz lt d K p lo smorzmnto è polo dunqu grdn d rfrmnto d vlotà produono sovrosllzon nll orrnt h possono dr lmt dl onvrttor o dl motor. Un rmdo smpl è rpprsntto, trttggo, n Fg...3.; l orrnt d rmtur vn trsdott, vntulmnt moltplt pr un offnt K r (nh nfror ll'untà) d nfn ntr n un bloo non lnr d lmtzon. Fno h l orrnt rmn, n vlor ssoluto, ll'ntrno dl lmt prfssto I L, l'ust dl lmttor è null, d è qund om s l rtrozon d orrnt non sstss. All'opposto, qundo l orrnt d l lmt, l bloo lmttor propon l sgnl rtrozonto moltplto pr un gudgno lvtssmo, d ftto fndo tndr zro l gudgno d nllo forzndo osì un rduzon dll orrnt. Com s ntus, qulh problm d stbltà può nsorgr dto h l'zonmnto n lmtzon d orrnt funzon struttur vrbl, ommutndo tr du onfgurzon d u un dott d ltssmo gudgno GH. Qusto nonvnnt spng rrr soluzon pù sofstt d ff, om qull h ontmplno l rlzzzon d vr nll d rgolzon dll orrnt d rmtur. L struttur dgl zonmnt h n drvno srnno stsmnt trttt nl prgrfo sussvo..3 - Azonmnt on nll d vlotà d orrnt Nl pr.. s sono vst dvrs soluzon pr l ontrollo tn hus dll vlotà. S è ossrvto, n onluson dl prgrfo, om durnt trnstor dll vlotà l orrnt poss dr vlor nomnl dl onvrttor o dl motor, nonvnnt h v ssolutmnt vtto pr prsrvr l'ntgrtà dll'zonmnto grntrn un buon funzonmnto prolungto nl tmpo. Pr zonmnt d mggor prgo, s mplmnt, oltr d ntgrzon dll'nllo d vlotà, un rgolzon d orrnt. I vntgg d qust soluzon sono prnplmnt du: s mglor l dnm dll orrnt, dto h on un opportuno progtto dl rgoltor d orrnt s può ompnsr l rtrdo tr l omndo (tnson d rmtur) l grndzz rgolt (orrnt d rmtur, ppunto) ntrodotto dll ostnt d tmpo lttr dl motor; 7

8 Azonmnt Elttr I M.Zglotto s dspon d un ff strumnto d lmtzon dll orrnt, h s ottn smplmnt lmtndon l rfrmnto nll'nllo d rgolzon. Srnno or prs n sm du dvrs topolog rlzztv, vdnzndo d sun l rttrsth slnt Struttur on rgoltor n st - Ess onsst nll'nsrr ll'ntrno dll'nllo d rgolzon dl vlotà un nllo d rgolzon dll orrnt, osì om vdnzto n Fg Fg Rgolzon d vlotà orrnt on rgoltor n st S not h n Fg..3.. tutt l ostnt d trsduzon sono stt rportt ll'ntrno d rgoltor R d R, qund l trttzon sgunt poss bnfr dll smpltà rltv gl shm rtrozon untr (fr. Introduzon-I). Nl sguto s potzz h l motor opr flusso d tzon ostnt; qusto rnd lnr l quzon dnmh dl motor s può rvr un modllo mtmto bloh nl domno d Lpl. S folzzrà dpprm l'ttnzon sul progtto dll'nllo ntrno d rgolzon dll orrnt, nl qul s suppon h l rgoltor R s d tpo PI, rttrzzto d un gudgno K p d un ostnt d tmpo τ r : R K p r r (.3..) L sprsson n s dl onvrttor stto CS(s) dll funzon d trsfrmnto tr tnson orrnt d rmtur GE(s) sono gà stt rvt n prgrf prdnt, vngono qu rportt pr prttà, supponndo B: CS(s) Us () K Urf GE(s) sj KΦ s K Φ p s p (.3..) S s pon τ r -/p, lo zro dl rgoltor nll l polo domnnt dll GE(s) l funzon d nllo huso GH(s) rsult l sgunt: GH K pk s p L p ( ) (.3..3) L slt dl gudgno K p può ssr ftt, om d onsuto, n bs llo studo dl dgrmm d Bod d GH(s), mponndo un mrgn d fs d lmno 6. 8

9 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Un pprossmzon h spsso vn utlzzt nl progtto d rgoltor n st, sfruttndo l'pots d rtrozon untr, onsst nll'sprmr, dt l funzon d nllo huso GH(s), l funzon d trsfrmnto om W s s < jo G G s s > j o G dov o /τ o è l pulszon d ttrvrsmnto dll'ss dll sss nl dgrmm d Bod d GH(s). Applndo qust pprossmzon l so n sm onsnt ll'nllo strno (d rgolzon dll vlotà) d vdr qullo ntrno d orrnt om un sstm vnt funzon d trsfrmnto W ( )( ) o (.3..4) W L (.3..4) è un funzon dl sondo ordn. Prgonndol ll funzon srtt n form non ξs o s o s rvno flmnt l sprsson pr lo smorzmnto ξ l pulszon nturl o : τ τ ξ o τoτ ; o τoτ Qust sprsson prmttono un lolo gvol dll bnd pssnt (pprossmt) dll'nllo d orrnt: BP o ξ 4ξ 4ξ 4 π Un dvrso pproo l progtto può ssr qullo d fssr l dsdrt bnd pssnt BP dll'nllo d orrnt, rvndo l pulszon d ttrvrsmnto τ o ; qust può ssr ust pr dtrmnr l gudgno K p dl rgoltor d orrnt. E' opportuno ossrvr h n ogn so v po ftt un vrf sul mrgn d fs, pr grntr l stbltà dll'nllo d rgolzon nh front d smpr possbl vrzon prmtrh. L lmtzon dll orrnt s ottn smplmnt ntrodundo un bloo lmttor ±I L ll'ust dl rgoltor d vlotà; l orrnt vrrà n tl modo lmtt on un vlo dnm (dttt dll bnd pssnt dll'nllo d orrnt) on sovrosllzon ontnut omunqu prdbl dllo studo dll (.3..4). S può pssr or l progtto dll'nllo pr l rgolzon dll vlotà. Lo shm bloh u fr rfrmnto è rportto n Fg Anh n qusto so un slt lrgmnt ondvs pr l rgoltor d vlotà è un PI, rttrzzto d un gudgno K r d un ostnt d tmpo τ r : R K p r r (.3..5) 9

10 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Fg Anllo d rgolzon dll vlotà L funzon GH(s) d nllo huso vl n qusto so: GH K p τ K φ r J ( r ) ( )( ) (.3..6) s o Pr l prsnz dl polo doppo nll'orgn non è n qusto so possbl sglr τ r n modo d ompnsr on lo zro dl rgoltor uno d pol non null dl dnomntor; s può llor sgur un dffrnt produr, d sguto dlnt: s mpon un pulszon d ttrvrsmnto o /τ o pr r l mtà dll pulszon orrspondnt l pssggo dll pndnz dll rttrst GH(j) d 4 db/dd nl dgrmm d Bod; Nll'pots d onsdrr bbstnz lontn gl ltr pol, s può dmostrr, on qulh pprossmzon, h qusto port d vr un mrgn d fs m ϕ d r 64. S può fr rfrmnto ll fgur sgunt : S fossro solo l polo nll'orgn l polo n /τ o, l'voluzon dll fs ttorno /τ o srbb nflunzt solo d tl polo; pr un pulszon pr ll mtà d qull dl polo vrrbb rg jτ o τ o tg d l mrgn d fs srbb dunqu: m ϕ π π tg 64 Nl so dl progtto n sm non sono prsuppost pr qust pprossmzon, lmno pr l'nllo d vlotà; s può omunqu mntnr l slt ftt pr l pulszon d ttrvrsmnto, mponndo po un mrgn d fs h ndrà soddsftto sglndo opportunmnt lo zro dl rgoltor d vlotà.

11 Azonmnt Elttr I M.Zglotto s mpon un ondzon sul mrgn d fs, pr smpo h non s nfror 4 ; dto h l pulszon d ttrvrsmnto è stt fsst l psso prdnt, qust ondzon ondu l lolo drtto dll ostnt d tmpo τ r. S h nftt: m ϕ π rg( GH( j )) π ( τ ) [ tg( τ ) tg( τ ) π ] ttr tg( τ τ ) tg( τ τ ) tg( τ τ ) qund: r o o ttr r ttr o ttr o tg (.3..7) o tg ( τ τ ) m tg( τ τ ) tg( τ τ ) r o ϕ (.3..8) o o d u è mmdto rvr l vlor d τ r. o onosndo l ostnt d tmpo τ r, s può or dtrmnr n modo unvoo l gudgno K r dl rgoltor d vlotà, mponndo h l modulo d GH lolto ll pulszon d ttrvrsmnto stblt l prmo psso dll produr s untro: GH ( j ) ttr K K Φ τ (.3..9) J p τ rttr ttr r ( τ )( τ ) ttr o ttr Il progtto può dunqu onsdrrs onluso; rmngono d svolgr lun ossrvzon d rttr prto, h srnno rportt mrgn dgl srz su qusto ptolo, l pr..6. Durnt l'nls dgl shm d ontrollo dll vlotà s è smpr ssmlt l opp d ro T L d un dsturbo, onsdrto nullo durnt l progtto d rgoltor. A progtto ultmto, è nturlmnt possbl pnsr d ntrodurr un opp d ro, nlzzndon l'nflunz sull vlotà, n trmn d trsformt d Lpl Ω(s)/T L (s) (Fg...4). Dllo shm d Fg..3.., nnullndo l rfrmnto d vlotà, è mmdto rvr l funzon d trsfrmnto rt: Ω T L sj R W K Φ sj (.3..) dll qul, sosttundo l sprsson splt, d n prtolr qull smplft pr W, s gung d un funzon rzonl on du zr tr pol, d dffl ntrprtzon ntutv. S s f nv l'pots smplftv h l dnm dll'nllo d orrnt s molto pù rpd d qull dll'nllo d vlotà ( qusto è norml ngl zonmnt on onvrttor molto vlo, om hoppr) s può pnsr h l funzon d trsfrmnto W s rdu d un smpl gudgno untro; n tl so ottn: Ω T L s K s J Kφ K pkφ s J Jτ p r (.3..)

12 Azonmnt Elttr I M.Zglotto L (.3..) è un funzon dl sondo ordn; ss può ssr prgont ll funzon srtt n form non, prmoltplndol pr l fttor τ r /K p K Φ; dl onfronto s rvno flmnt l sprsson pr lo smorzmnto ξ l pulszon nturl o : ξ KpτrK Φ ; o J KpKΦ Jτr Rmn onfrmto om lo smorzmnto s tnto mglor qunto pù lto è l gudgno dl rgoltor; l sprsson rvt prmttono noltr d rttrzzr, s pur n modo pprossmto, l'ntr dnm dll'zonmnto n onfront d trnstor d opp d ro..4 - Azonmnto on ontrollo msto Com gà ossrvto nl pr..3.3, un dvrs possbltà pr l ontrollo dl motor onsst nl vrr l flusso Φ prodotto dl ruto d tzon. Dto h tl flusso non può ssr umntto l d sopr dl vlor nomnl (prhè, pr un motor bn sfruttto dl punto d vst mgnto, l flusso nomnl non è molto lontno d qullo h provo l sturzon dl ruto mgnto), l'un possbltà rmn qull d dmnur tl flusso (dflussggo ), pr potr rggungr vlotà supror ll vlotà bs Ω b ; tl sopo oorr ntrodurr un ontrollo ombnto d rmtur d mpo. Un prm soluzon, pr motor.. d tzon ndpndnt, è rpprsntt n Fg..4.. Fg Controllo d mpo on rtrozon dll vlotà Nl sstm d ontrollo dll'tzon è prsnt un nllo d orrnt; l rtrozon è qu ntrodott prnplmnt pr llrgr l bnd pssnt dl sstm, ovvro pr rndr pù pront l vrzon d flusso h sono ntrnsmnt rllntt dll'nduttnz, soltmnt grnd, dl ruto d tzon. In qusto shm l grndzz d rfrmnto qust dl ruto d rmtur è drttmnt l vlotà dl motor t. Fno h ss s mntn n vlor ssoluto nfror ll vlotà bs Ω b, ll'nllo d ontrollo dll orrnt d tzon vn proposto un rfrmnto * n grdo d produrr l flusso d'tzon nomnl Φ n. S l rluttnz dll prt n frro dl ruto mgnto dll'tzon rmn trsurbl rsptto qull dl trfrro, s può supporr v s lnrtà tr l orrnt d tzon d l flusso prodotto; qundo vn rhst l motor un vlotà supror qull bs, vn dunqu prodotto

13 Azonmnt Elttr I M.Zglotto un rfrmnto d orrnt d tzon dsrsnt on lgg prbol, pr onsntr d lvorr nll zon potnz ostnt (fr. pr..3.3). Un sond soluzon, smpr pr motor.. d tzon ndpndnt, onsst nll'ffttur l rtrozon drttmnt dll tnson d rmtur, om llustrto n Fg..4.: Fg Controllo d mpo on rtrozon dll tnson d rmtur Durnt l funzonmnto opp ostnt (fr.pr..3.3) l tnson d'rmtur s mntn ntro l vlor nomnl l'rror ll'ngrsso dl rgoltor R u rsult postvo. D onsgunz, vn prodotto un rfrmnto d orrnt * tl d produrr l flusso d tzon nomnl. Qundo vn nv mposto un rfrmnto d vlotà supror qull bs, l tnson d'rmtur grdulmnt gung l vlor nomnl, tndndo suprrlo. L'rror ll'ngrsso d R u tnd dunqu d nnullrs, fno dvntr ngtvo. Corrspondntmnt, vn rdotto l rfrmnto d orrnt d tzon, pr omndr l dflussggo dl motor onsntr l oprzon nll zon potnz ostnt. S not om, pr vlotà nfror qull nomnl, du rut (d'rmtur d tzon) sno ompltmnt sprt d gsno n modo ndpndnt, non ntrfrndo oè l'uno on funzonmnto dll'ltro. S nv s opr vlotà supror qull bs, l ruto d ontrollo dll'tzon ntr n funzon dflussndo l motor; on ò s vrf un vrzon prmtr n bloh dl sstm d ontrollo d'rmtur, ov l flusso r onsdrto ostnt (fr. prr...3). S può ntur om lo studo dnmo omprnsvo d qust ntrzon s omplsso dpnd profondmnt nh dll rttrsth ostruttv dl motor, h dtrmnno l ruto mgnto dunqu l rttrst d mgntzzzon dll'tzon. Dt l mnor prontzz dl sstm d tzon rsptto qullo d'rmtur, s può omunqu pnsr, n prm pprossmzon, h tl vrzon prmtrh sno d vr propr dsturb; l stbltà dll'zonmnto può n tl so ssr dsunt d qull d du sstm sprt, onsdrndo h un dsturbo non provo nstbltà, purhè s s prvsto n ontrollor d'rmtur un mrgn d fs dguto. S l onvrttor stto d'rmtur onsnt l oprzon n quttro qudrnt, s not om s possbl rstrngr l ontrollo d mpo sol vlor postv. Com s è vsto, lo sopo dl dflussggo è qullo d umntr l vlotà on rh rdott ttndo lo svntggo d vr orrnt d rmtur pù lt prtà d opp svluppt; qund non è pproprto 3

14 Azonmnt Elttr I M.Zglotto utlzzr l dflussggo om ontrollo dll vlotà, lmno fno h non sno stt splort tutt l possbltà d utlzzo dl smpl ontrollo d rmtur. S pù motor sono lmntt dllo stsso bus d tnson d'rmtur, om può ssr nll prth pplzon nll rtr o n lmnto lo ontnuo, pol ggustmnt dl flusso (nfror l %) rpprsntno soltmnt l mglor soluzon pr dgur urtmnt l vlotà d sngol motor ll rhst dl ro..5 - Azonmnt on rtrozon d stto Nl so n u s dott un ontrollo tn prt, l gnrzon dl rfrmnto pr l vrbl d omndo (gnrlmnt, l tnson d rmtur) vvn snz utlzzr lun nformzon r l'voluzon dl sstm. Al ontrro, om'è noto, è possbl tnrn onto n sstm d ontrollo tn hus. Oltr qull, pù smpl, h s bsno sull'utlzzo d nformzon rltv ll'ust, v n sono ltr, pù omplss, h s bsno sull rtrozon dllo stto dl sstm d ontrollr. L vrbl d stto, h non sono nssrmnt rpprsntzon d grndzz on sgnfto fso, hnno nl loro nsm un rttrst pulr, dtt proprtà d sprzon : n qulunqu stnt, vlor ssunt d tl vrbl ontngono nl loro omplsso tutt l stor psst dl sstm, nssr pr vlutr l'ndmnto futuro s dll'ust h dll vrbl d stto stss, un volt noto l'ndmnto dgl ngrss pr tmp sussv ll'stnt onsdrto. Il ontrollo d vlotà pr un motor.. d tzon ndpndnt ostnt può ssr ffttuto nh on rtrozon dllo stto; om vrrà smnto tr poo, n qusto so l vrbl d stto prslt srnno lgt ll vlotà d ll orrnt d'rmtur qund ondrnno on l vrbl ust n ontroll tn hus on rtrozon dll ust ffrontt nl pr..3; prltro, l'pproo gnrl sondo l rtrozon dllo stto onsnt d progttr drttmnt rgoltor on l'llozon d pol dl sstm globl (pol plmnt ), dtrmnndo drttmnt l dnm dll'zonmnto osttus prtnto un ntrssnt rgomnto d studo. Prm d ffrontr l'nls dl ontrollo d vlotà on llozon d pol è nssro dsrvr l motor n orrnt ontnu nll form non d ggornmnto dllo stto, h vn gnrlmnt utlzzt nll trttzon d problm d ontrollo rtrozon dllo stto. Innnztutto, s dfns l vttor dll vrbl d stto: x [ x x ] [ ] (.5.) L quzon lttr mn dl motor, gà rvt nl Cp., possono ssr rsrtt om sgu: dx u R x L KΦx dt dx KΦx Bx J dt d u s rv drttmnt l'sprsson dl modllo dl motor n form non: ẋ( t) A x() t B u( t) y( t) C x() t (.5.) (.5.3) 4

15 Azonmnt Elttr I M.Zglotto dov l mtr A, B C sono dfnt d: R A KΦ C [ ] L J KΦ L B J L B (.5.4) A è dtt mtr dl sstm; nll'mbto dll Tor d Sstm s dmostr h suo utovlor sono pol dl sstm stsso qund n govrnno l dnm. Lo sopo dl progtto dl rgoltor è qullo d snttzzr l'ngrsso u trmt un opportun rtrozon dllo stto, h onsnt d llor pmnto gl utovlor dll nuov mtr A s, pr ottnr l dsdrt dnm dl sstm rtrozonto 3. Bn dfflmnt, prò, s dspon d drtt spfh rgurdnt pol dl sstm, h non sno qull lgt ll stbltà 4 ; prm d ffrontr l progtto dl rgoltor, onvn llor soffrmrs sul lgm sstnt tr gl utovlor dl sstm fnl tn hus λ, λ,...λ n ltr grndzz pù drttmnt ntrprtbl n snso fso, qul d smpo lo smorzmnto l bnd pssnt. Tl lgm rsult prtolrmnt smpl pr sstm dl sondo ordn, l u funzon d trsfrmnto è n gnrl sprss d W s (.5.5) o ξos o dov ξ è lo smorzmnto o è l pulszon nturl dl sstm. Qust du prmtr sono lgt drttmnt ll rttrsth slnt dl sstm, s nl domno dl tmpo h dll frqunz. L rspost nl tmpo d un grdno untro, pr un sstm dl sondo ordn rttrzzto d uno smorzmnto ξ d un pulszon nturl o, è l sgunt: ξo t () t sn( ot ξ rosξ ) (.5.6) ξ vld pr t > qundo s suppong l grdno pplto ll'stnt t. L mssm sovrlongzon prntul mp %, nts om l dffrnz tr l mssmo vlor rggunto dll rspost l grdno l vlor d rgm prmnnt, sprss rltvmnt qust'ultmo vlor, è pur lgt llo smorzmnto dll rlzon: Gl utovlor d un mtr A sono gl zr dl polnomo rttrsto dt [si-a], I mtr dnttà. 3 L funzon d trsfrmnto d un sstm SISO (Sngl Input Sngl Output) rttrzzto dll mtr A, B, C, D ovvro l su rspost forzt ll vrzon grdno dl rfrmnto, s può sprmr om [ si A] [ si A] Adj W C B D dt 4 Condzon nssr suffnt prhè un sstm lnr stzonro SISO s stbl è h pol dll su funzon d trsfrmnto W(s) bbno tutt prt rl ngtv. 5

16 Azonmnt Elttr I M.Zglotto mp% πξ ξ (.5.7) Un ltro prmtro h può fr prt drttmnt dll spfh dsposzon d un progttst è l tmpo d slt tr, dfnto om l'ntrvllo fr l'stnt n u l sstm, n rspost d un grdno d rfrmnto, s port l % dl vlor d rgm prmnnt qullo n u l rspost rggung pr l prm volt l 9% d tl vlor. Esso vl: tr ψ tg ( ψ ) (.5.8) o dov ψ ros(ξ). Infn, l bnd pssnt BP, sprss n Hrtz dfnt om l'sss dl dgrmm d modul h prsnt un ttnuzon d 3 db rsptto l vlor nzl, è lgt llo smorzmnto ll pulszon nturl dll rlzon: 4 πbp o ξ 4ξ 4ξ (.5.9) Un slt bbstnz onsut è d porr ξ/, u orrspond un sovrlongzon prntul dl % r; l pulszon nturl vn po slt n bs ll spfh sul tmpo d slt o, quvlntmnt, sull bnd pssnt. Dtt λ λ pol dll funzon d trsfrmnto (.5.5), l rlzon tr qust l grndzz ξ, o h n rttrzzno l dnm è dt dll'sprsson h sgu: λ, ξo ± o ξ (.5.) I offnt dl polnomo rttrsto dl sstm, ovvro dl polnomo dnomntor dll (.5.5) sono pur lgt llo smorzmnto ll pulszon nturl dll ξo o (.5.) Pr prosgur, un prm vrf v nssrmnt ftt pr vlutr s l sstm (.5.3) d ontrollr god dll proprtà d rggungbltà, ovvro s qulunqu stto x s rggungbl pplndo un opportuno ngrsso u l sstm 5. Affnhè l sstm s (ompltmnt) rggungbl è nssro h l sottospzo dgl stt rggungbl ond on lo spzo d dfnzon dl sstm stsso. Il sottospzo rggungbl è, pr dfnzon, l'mmgn dll mtr d rggungbltà: R B AB... A B n (.5.) L'mmgn d un mtr è l'nsm d vttor h s possono ottnr ombnndo lnrmnt suo vttor olonn. S l mtr R h dtrmnnt non nullo, ss è nvrtbl suo vttor olonn sono lnrmnt ndpndnt, ovvro osttusono un bs pr lo spzo R n ; d onsgunz, l'mmgn d R ond on lo spzo R n d dfnzon dl sstm, h rsult ompltmnt rggungbl. All stss onluson s può gungr rordndo h l dmnson dllo spzo mmgn è dt dl rngo dll mtr R, h ond on l mssmo ordn dl suo mnor nvrtbl. S l mtr è nvrtbl, ss 5 N sstm lnr, s ontnu h dsrt, l rggungbltà mpl l ontrollbltà. 6

17 Azonmnt Elttr I M.Zglotto h rngo pno ( pr ll dmnson n dllo spzo n u è dfnto l sstm) d l sstm stssso è ompltmnt rggungbl. Pr l motor orrnt ontnu dsrtto dll (.5.3) (.5.4) l mtr d rggungbltà vl L R R K Φ L JL (.5.3) Il dtrmnnt è surmnt dvrso d zro d l sstm è dunqu rggungbl, om'r prltro ntutvo, onsdrndo h n v tor (ovvro prsndndo d vnol fs) qulunqu vlotà orrnt sono ottnbl on opportun tnson d'rmtur. Dto h l sstm è ompltmnt rggungbl, sst un opportun mtr d rtrozon L[L L ] h lloh ov dsdrto pol λ λ pr l'nllo huso. L'ngrsso u dl sstm non rtrozonto vn ottnuto trmt l'sprsson u Lx u (.5.4) Sosttundo l (.5.4) nll (.5.3) s ottn ẋ( t) ( A LB) x( t) B u( t) As x( t) B u( t) y( t) C x() t (.5.5) dov s è posto vdntmnt A s A-LB. Il sstm tn hus, dopo l rtrozon dllo stto, non modf l suo ordn. Esso rsult oè sprsso nor d un funzon d trsfrmnto dl sondo ordn, u pol possono ssr llot ovunqu modfndo vlor dll mtr d rtrozon L; n prtolr, s trtt d lolr L n modo h pol sno qull ndt dll (.5.). V sono dvrs strd pr l lolo dll mtr L; l pù omod è qull d utlzzr l formul d Akrmnn. In gnrl, dtt λ, λ,... λ n pol dsdrt pr l sstm rtrozonto d ordn n, l polnomo rttrsto s lol om n n n ( s )( s λ ) ( s λn ) s s s n s n P λ... (.5.6) l mtr L vl [.. ] R P( A) L (.5.7) dov P(A) è dt d n n ( A) A A n A n In P... (.5.8),,... n sono offnt dl polnomo rttrsto dl sstm rtrozonto, lolt trmt l (.5.6). Prtolrzzndo l (.5.7) on l mtr d rggungbltà (.5.3) lolndo P(A) trmt l (.5.4) s trov JL [ ] ( ) BL L L L L τ τ m (.5.9) KΦ τ τ m KΦ τ m 7

18 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Sosttundo l posto d d vlor (.5.) rltv ll dsdrt dnm dl sstm s h: L L JL BL ( ξ τ τ ) ξ o m K Φ o τ τ m K Φ o τ m (.5.) dov, s rord: ξ smorzmnto dsdrto pr l sstm rtrozonto o pulszon nturl dsdrt pr l sstm rtrozonto τ L /R ostnt d tmpo lttr dl motor.. τ m J/B ostnt d tmpo mn dl motor.. τ m R J/(K Φ)² ostnt d tmpo lttromn dl motor.. Dll (.5.6), pr un sstm d ordn, è fl rvr l lgm tr offnt dl polnomo rttrsto pol dl sstm; sosttundo tl rlzon nll (.5.9) s ottn: L JL BL ( λ λ τ τ ) λ λ λ λ L m Φ Φ (.5.) K τ τ m K τ m Il ontrollo rtrozon d stto è rportto n Fg..5., h dstr mostr lo shm bloh utlzzndo smbol dll (.5.5), mntr snstr rport l'pplzon l motor n orrnt ontnu. u u ẋ B s A x C y * L u (t) u (t) L motor.. (t) (t) L L Fg Controllo d vlotà rtrozon dllo stto S può notr om l vlotà dl motor vng rtrozont ll'ngrsso trmt l gudgno L. Affnhè s possbl onsdrr l'ngrsso l sstm om un puro rfrmnto d vlotà (ovvro *, sprmbl n rd/s) è nssro ntrodurr un gudgno pr d L nh tr l'ngrsso d l nodo d rtrozon, om vdnzto n Fg..5.. Nturlmnt s trtt solo d un quston d omodo, h non modf n lun modo l dnm dl sstm. Con smpl oprzon d lgbr d bloh sul sstm d Fg..5. s ossrv h nh on opp d ro null (B) l sstm è d tpo, ovvro prsnt rror d vlotà rgm. Il ontrollo rtrozon d stto sopr nlzzto è po prtolrmnt snsbl s ll'nrtzz on u sono not prmtr dl motor dl ro, s ll loro vrzon durnt l funzonmnto dll'zonmnto. Pr porr rmdo du nonvnnt tt, soltmnt s ggung un nllo d rtrozon strno sull'ust, ssondogl un rgoltor ntgrl h rnd l sstm d tpo, om llustrto n Fg

19 Azonmnt Elttr I M.Zglotto L * K s u u B ẋ x s A C y * (t) K s u (t) u (t) motor.. (t) (t) L L Fg Controllo d vlotà rtrozon dllo stto dll'ust Pr tnr onto dl bloo ntgrtor s dfns un nuov vrbl d stto; s dmostr omodo sglr u, h prm rpprsntv l'ngrsso l sstm rtrozonto. L su dnm è dsrtt dll'quzon du dt K * ( Cx) (.5.) Aggungndo tl quzon ll prm dll (.5.5) s ottn l'sprsson n form non dl sstm rtrozonto:. ξ ( t) A ξ y( t) C ξ () t () t * B ( t) (.5.3) Il sstm è or d ordn 3; l vttor d stto umntto è ξ [ u] (.5.4) l mtr dl sstm sono dfnt dll sgunt sprsson: A As K C B ( R L ) L ( K Φ L ) K Φ J B J K L L (.5.5) B C K [ ] (.5.6) Il polnomo rttrsto dl sstm (.5.3) è dto d: dt [ s - A ] ( R L ) K Φ( L K Φ) 3 R L B B KΦK I s s s L J L J (.5.7) L J Utlzzndo l (.5.6) s possono sprmr offnt dl polnomo rttrsto n funzon d pol dsdrt pr l sstm rtrozonto λ, λ, λ 3 : 9

20 Azonmnt Elttr I M.Zglotto 3 ( s - λ )( s - λ )( s - λ3 ) s ( λ λ λ3) s( λλ λλ 3 λλ3 ) λλ λ3 s (.5.8) Il onfronto tr l (.5.7) l (.5.8) port drttmnt d sprmr vlor d gudgn dll rtrozon d stto L, L dl gudgno K dl rgoltor ntgrl n funzon dll poszon dsdrt pr pol λ, λ, λ 3 : L L λ λ λ3 τ τ m (.5.9) L J L B L λλ λλ 3 λλ3 λ λ λ3 KΦ τ τ m KΦ τ m (.5.3) K KΦτ τmλλλ3 (.5.3) S può notr l'nlog forml on l'sprsson (.5.) rltv l ontrollo dl sstm non umntto. Pr l sstm n sm, non è pù bnl l lgm tr l poszon d pol prmtr onsut h rttrzzno l dnm dl sstm, qul sovrlongzon, smorzmnto osì v. Un ndzon può ssr qull d mntnr domnnt du pol omplss onugt dt dll (.5.); l trzo polo, h dv nssrmnt ssr rl ngtvo, può ssr slto n modo h l dnm lgt l suo modo s suffntmnt vlo rsptto qull d pol prsstnt, ovvro fndo n modo h sso s n modulo vr volt mggor dll prt rl d pol domnnt. S ossrv h tl modo d prodr nll slt dl trzo polo non lmn nssrmnt l su nflunz sul sstm, h dpnd dl rsduo non solo dll su poszon. Il modo ssoto l trzo polo potrbb oè vr grnd pso, qullo h s f è rndr vlo l dnm ssot, n modo h s smorz vlomnt l'vntul nflunz sul funzonmnto omplssvo dll'zonmnto. Un ossrvzon d rttr gnrl rgurd po l'ffttv fttbltà dl ontrollo rtrozon d stto. Anh s n tor è possbl llor pol ovunqu, gudgn nssr potrbbro rsultr molto lvt; nll prth pplzon (dvrs dl motor n.. qu nlzzto) non s dspon qus m d tutt gl stt, s rorr d ossrvtor pr stmr qull non ssbl. Evntul rror d stm, ssot grnd gudgn d rtrozon, usno flmnt nstbltà h d ftto lmt l possbl poszon d pol dl sstm. Anh s ttrnt pr l loro rgorostà mtmt, qust tnh vnno dunqu pplt on l nssr ortzz tnndo n grnd onsdrzon lmt drvnt dll non dltà d rut rl Esrzo Progttr un zonmnto pr l ontrollo d vlotà tn hus d un motor n orrnt ontnu d tzon ndpndnt. Il motor bb l sgunt rttrsth: Rsstnz d rmtur R Ω Induttnz d rmtur L 46 mh Costnt d fm d opp K Φ.55 Vs/rd Tnson nomnl d'rmtur V Corrnt nomnl A Vlotà nomnl 8 rpm 88.5 rd/s Momnto d nrz J.93 Kgm Coffnt d'ttrto B (trsurbl)

21 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Costnt d trsduzon dll vlotà K t V/(rd/s) Costnt d trsduzon dll orrnt K t V/A D qust dt è possbl ntnto lolr ltr du grndzz, h vrrnno utlzzt pù vnt: l ostnt d tmpo lttr dl motor : τ L /R 46 ms l ostnt τ m, dfnt nl pr..4 : τ m R J/(K Φ)².3 s Un soluzon lss pr l ontrollo d vlotà prvd du nll d rgolzon n st (fr.pr..3), uno ntrno pr l ontrollo d orrnt (h, n bs ll (..4) quvl, pr un motor d tzon ndpndnt ostnt, d un ontrollo d opp) d uno strno, pr l rgolzon d vlotà. S ffrontrà oè l so n u l orrnt non vng smplmnt lmtt, m, l ontrro, vng ostntmnt rgolt. In qusto srzo gudgn d trsduttor non vngono rportt ll'ntrno d rgoltor on oprzon d lgbr d bloh, om nv s è ftto nl orso dll trttzon tor; qusto pproo, d rttr pù prto, ndurrà lv modfh ll formul gà rvt n prdnz, snz tuttv modfr l sostnz dll trttzon. Fg Shm bloh dll'zonmnto n orrnt ontnu Dto h l flusso è ostnt, l quzon dl motor sono lnr, n qunto moltpltor dvntno oprtor lnr, s può rvr un modllo mtmto bloh nl domno d Lpl (Fg..6..). S folzzrà l'ttnzon pr l momnto sull'nllo ntrno d rgolzon dll orrnt. L funzon d trsfrmnto GE(s), CS(s) R (s), dsuss nl pr..3, sono d sguto rportt pr prttà; s not h, ssndo vrft l'pots τ m >>τ, vl l (.5.8) pr u GE(s) h du pol rl dstnt p -/τ p -/τ m. S h dunqu: GE I U m R ( )( ) m (.6..) Il onvrttor stto utlzzto nll'zonmnto è un rddrzztor stll trfs. Un pprossmzon gnrlmnt ttt onsst nl onsdrrlo un sstm on gudgno K rtrdo τ pr mtà dl prodo dll tnson d'ust prm dl fltrggo h l rnd ontnu (fr. (..)). Rsult dunqu: CS K (.6..)

22 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Supponndo d vr un ngrsso d rfrmnto d tnson vrbl tr ± V (bbstnz usul), l qul dv orrspondr un tnson ffttvmnt pplt ll'rmtur dl motor d ± V rordndo h l frqunz dll tnson d'ust prm dl fltrggo è d 3*55 Hz, l (.6..) s rttrzz on sgunt vlor: K τ ms 3.33 ms 3 A volt τ vn trsurto, sp s s utlzzno onvrttor pont (pr qul sso rsult dmzzto rsptto l so onsdrto) o, pr motor d pol md potnz, s s utlzzno hoppr, pr qul s onsdr om rtrdo tr l rfrmnto l tnson d'ust l prodo d swthng, gnrlmnt molto polo. Il rgoltor d orrnt R è d tpo proporzonl-ntgrl (PI); l su funzon d trsfrmnto è l sgunt: R K p (.6..3) L funzon d trsfrmnto d nllo huso pr l orrnt rsult dunqu: GH K p K R t ( )( ) m m K (.6..4) Pr l progtto dl rgoltor d orrnt, spsso s pon τ τ m, osì d produrr l'lmnzon s dllo zro h d uno d pol d GE(s). In rltà, oorr smpr molt prudnz nl onfdr n un prftt nllzon dl polo dl motor on lo zro dl rgoltor. Tr l dffoltà pù vdnt, bst rordr l vrzon prmtrh (h omptono l motor, m non l rgoltor) l nvtbl mprson dll rlzzzon dsrt dl rgoltor. L (..4) offr noltr lo spunto pr un sond rflsson. Nll'pots, solo tor, d vr un offnt d'ttrto nullo (om dl problm) on l slt d ffttur l nllzon polo-zro, vn mnr nll funzon GH l polo nll'orgn, prtnto l sstm rsult d ordn zro. Pur vndo slto un rgoltor d orrnt d tpo PI, non è prtnto pror ssurto rror nullo rgm. Lo shm bloh u fr rfrmnto può ssr rvto d qullo d Fg..6.., lmnndo pr smpltà l onvrttor stto onsdrndo untr tutt l ostnt d trsduzon, sfruttndo l proprtà dll'lgbr d bloh n pots d lnrtà. Rfrmnto vlotà R Controllo d vlotà Copp d ro R PI d orrnt KF s FdT u u u s L.s R.s(KF)^ FdT KF tu - tu-tl Js lod

23 Azonmnt Elttr I M.Zglotto S onsdr n un prmo momnto null l opp d ro. C s rnd flmnt onto h l sstm h om un possbl ondzon d rgm qull rltv d un opp prodott null. In so ontrro, s ossrvrbb un ontnu lrzon, dto h l ro è supposto d tpo purmnt nrzl. L'un possbltà pr vr un'ust dll FdT null rgm onsst nll'vr ll'ngrsso dl bloo un qunttà ostnt h, ssndo prodott d un rgoltor d tpo PI, prsuppon un rror nullo d orrnt. Nl so v s pplt un opp d ro ostnt 6, l ondzon d rgm dll vlotà mpon, om'è noto, l'uguglnz tr l opp prodott dl motor qull d ro. Qusto omport (nll sol rpprsntzon prslt, non nll rltà fs dll'zonmnto) un tnson d rmtur n ostnt rst, rpprsntt dl trmn u, h è ppunto gnrto dll prsnz dll opp d ro. Null mb pr u, vlndo l sovrpposzon dgl fftt. Dunqu, rgm, s h nor rror nullo d orrnt. Qusto pprofondmnto è stto ftto pr vdnzr om l ssson dll funzon d trsfrmnto dl motor n GE(s) GM(s) poss ondurr shm fuorvnt d dffl ntrprtzon n qunto, fsmnt, fnomn non sono sprbl. In prtolr, n un zonmnto rl l'ust rgm dl rgoltor PI srà un rfrmnto d tnson ostnt volto produrr nh l orrnt hmt d un vntul opp d ro. Il progtto dll'zonmnto può ssr ontnuto fndo rfrmnto l dgrmm d Bod d Fg..6..: Fg Dgrmm d Bod pr l'nllo d rgolzon dll orrnt Com vdnzto n Fg..6.., l prm spf pr l snts dl rgoltor è stt dunqu qull d porr τ τ m.3 s, d u è mmdto ottnr /τ /τ m 3.33 rd/s. Il sondo prmtro dl rgoltor, K p, v slto on l'obttvo d grntr l stbltà dll'nllo d orrnt mntnndo un bnd pssnt bbstnz sts. S ossrv om l stbltà s un rqusto rrnunbl, mntr un buon bnd pssnt ( dunqu un buon prontzz d rspost) ontrburà smplfr l progtto dll'nllo strno d vlotà. Un rtro bbstnz omun pr lolr K p onsst nll'mporr un pulszon d ttrvrsmnto dll rttrst d GH(j) dll'nllo huso /τ o pr ll mtà d qull pr u vvn l mbo d pndnz (d 4 db/d) dll rttrst stss (fr.pr..3). Nl so n sm s pon qund: τ o τ 5 rd/s (.6..5) 6 S non foss ostnt, s vrbb dffoltà dfnr un ondzon d rgm pr l'zonmnto. 3

24 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Con rfrmnto ll Fg..6.., l numro d dd 7 tr l pulszon /τ /τ o vl: ( τ ) log( τ ) log( τ τ ) log o o Tnndo onto h l pndnz dll rttrst GH nl trtto omprso tr l du pulszon onsdrt è d db/d, vl l rlzon: ( K ) [ ] log( τ τ ) log / (.6..6) tot db d o d u è mmdto rvr ntnto l vlor dl gudgno d Bod K tot : K tot τ τ o (.6..7) L'sprsson (.6..4) d GH(s) dll'nllo d orrnt, smplft dll'pots τ τ m on ostnt d trsduzon K t gnr rsult: GH K t K p ( )( ) K R s vn h l'un nognt rmn qusto punto K p, h s rv dunqu om sgu: R K tot 6.9 K p.67 (.6..8) K K t Il progtto dl rgoltor d orrnt può osì drs ompltto; l'nllo d orrnt h un funzon d trsfrmnto W h, n prm pprossmzon, può ssr rvt dll rttrst GH d Fg..6..; n prtolr, s ssum h ss s pr d un gudgno /H /K t fno ll pulszon d ttrvrsmnto /τ o, po ond on G (fr. pr..3). S può srvr oè: W (s) I I rf K ( )( ) o t (.6..9) S pss or l progtto dl rgoltor d vlotà. Lo shm bloh u fr rfrmnto è rportto n Fg..6..3: Fg Shm bloh pr l'nllo d rgolzon dll vlotà Anh n qusto so s sgl un rgoltor d tpo PI, h ssur rror nullo rgm buon prstzon dnmh: 7 Du frqunz f d f dstno tr loro n dd qundo l loro rpporto è n, ovvro qundo log(f /f ) n. 4

25 Azonmnt Elttr I M.Zglotto R K p (.6..) L funzon d trsfrmnto d nllo huso pr l vlotà rsult dunqu 8 : Kt KΦ K t GH K p (.6..) ( )( ) sj o Il dgrmm d Bod pr l sstm d Fg è l sgunt: Fg Dgrmm d Bod pr l'nllo d vlotà In nlog qunto ftto pr l'nllo d orrnt, nh qu s è mpost un pulszon d ttrvrsmnto dll rttrst d nllo huso pr mtà dll pulszon orrspondnt l pssggo d 4 db/d dll rttrst stss; s è posto oè 75 τ τ rd/s (.6..) o o Sgundo l produr d progtto llustrt nl pr..3., s è po posto un mrgn d fs m ϕ.7 rd. S sprm dunqu l fs dll'nllo GH d vlotà pr ttr /τ o n funzon dll dvrs ostnt d tmpo d qust sprsson s rv l'un nognt, ovvro l ostnt d tmpo dl rgoltor d vlotà: m ϕ π rg( GH( jttr )) π ( ttrτ ) [ tg( ttrτ o ) tg( ttrτ ) π ] tg( τ τ ) tg( τ τ ) tg( τ τ ) qund: o o o tg o tg ( τ τ ) m tg( τ τ ) tg( τ τ ).7 ( 6.66ms 75) tg( 3.33ms 75) o ϕ o o o tg 8 C'è d ossrvr h n qusto so non s può mporr h lo zro dl rgoltor PI nll uno d pol dll W ; n rsultrbb un sstm on du pol nll'orgn, on onsgunt nstbltà. 5

26 Azonmnt Elttr I M.Zglotto tg tg (.6..3).7 (.5) (.5). 4 d u: (.4).8s τ τ o tg (.6..4) Rmn or d dtrmnr l gudgno K p dl rgoltor, mponndo, om s è dtto, un pulszon d ttrvrsmnto d /τ o 75 rd/s d usndo l vlor ppn lolto pr τ. S può srvr: GH ( j ) ttr K K K Φ t τ pr ttr 75 rd/s (.6..3) K Jτ p ttr Sosttundo vlor not s ottn: t ttr ( τ )( τ ) ttr o ttr K p d u, subto: ( 6.66 ) 3 75 ( 3.33 ) (.6..4) K p 4.4 (.6..5) Il progtto dll'zonmnto è osì onluso; rmngono lun onsdrzon sull rlzzzon prt dl sstm. Pr un progtto rlsto d un sstm d ontrollo oorr tnr onto d lun fnomn nonlnr. S motor h onvrttor hnno d lmt fs, h non possono ssr oltrpsst: un motor h un vlotà mssm, un nvrtr h un mssm tnson rogbl. S un sstm d ontrollo s trov d oprr n un rng stso, può dr h l vrbl d ontrollo rggungno quluno d qust lmt. In tl so l tn d rtrozon è brusmnt ntrrott d l sstm s trov d oprr tn prt, dto h l vrbl d ontrollo rmrrà ostnt l suo vlor lmt, ndpndntmnt dll'ust dl prosso ontrollto. In qust stuzon, s l sstm d ontrollo prvd un'zon ntgrl, l'rror ontnurà d ssr ntgrto, snz prò fftt sull vrbl d ontrollo. Il trmn ntgrl può llor rggungr vlor molto lvt, stuzon h n ngls è soltmnt hmt "wnd up", h è l "rrs d un moll". Pr gungr ll fn d un stuzon d rgm, pr un lungo prodo l'rror n ngrsso ll'ntgrtor dovrà vr sgno opposto; n ltr prol, qundo l sstm ntr n sturzon nsorgrnno lrgh sovrosllzon trnstor. Il fnomno è prtolrmnt omprnsbl nll'pots h l sstm d ontrollr s un puro ntgrl (bloo /s). L grndzz volvono om n fgur: Nll'ordn, sono rportt l'ust, l'ngrsso l prt ntgrl. E' d notr h l'ngrsso l sstm, vl dr l'ust dl rgoltor PI, è lmtt tr ±.. Il rfrmnto è untro, osì grnd h l'ngrsso stur subto.. Mntr l sstm ntgr tl

27 Azonmnt Elttr I M.Zglotto ngrsso, l'rror ll'ngrsso dll prt ntgrl vn ontnumnt ntgrto, portndo vlor molto grnd. Qundo fnlmnt l'ust rggung l rfrmnto, n t, l prt ntgrl è molto lt, prò l'ust ontnu rsr, l'ntgrl omn sndr, dto h or l suo ngrsso h un rror ngtvo. Qundo fnlmnt l'ntgrl smlts tutt l prt umult, un po' prm d t, l'ust è orm molto sopr l rfrmnto, tutto s rpt, on sgn oppost. L prt proporzonl smorz qust osllzon; ll fn l'ust dl sstm dvnt osì vn l rfrmnto h l'ngrsso non stur pù, d l sstm d ontrollo rtorn d vr un omportmnto lnr. Il fnomno dl wnd-up è noto bn omprso nh nl mondo ndustrl, nh s rmd sono spsso onsdrt know-how strtgo non vngono pubblt. Il mtodo h vn d sguto proposto sgu l prnpo d rlolr l vlor dll'ust dll prt ntgrl n prsnz d sturzon, n modo h l nuovo vlor d un'ust molto vn l lmt stsso. E' onvnnt vtr d rsttr l'ntgrl stntnmnt, m d ffttur l lolo n modo dnmo, on un ostnt d tmpo τ t. Lo shm u fr rfrmnto è rportto n Fg Lmttor y * y v u K p K p τ s s τ t Fg Rgoltor PI on ntwndup bsto su bk-lulton nd trkng. Rsptto l PI onvnzonl, l sstm h un nuov rtrozon h è gnrt dl onfronto tr l'ngrsso v l'ust u dl lmttor dl rgoltor PI. L'rror s è portto ll'ngrsso dll'ntgrtor trmt l gudgno /τ t. Nturlmnt, s è nullo qundo non v è sturzon, d n tl so l mnsmo non nflunz ssolutmnt l rgoltor PI, h s omport n modo onvnzonl. In sturzon, l norml rtrozon vn blot, n qunto u rmn ostnt. Entr prò n funzon l rtrozon ttorno ll'ntgrtor, l u voluzon forz zro l rltvo ngrsso: τ t s K p τ > s kτ t τ (.6..6).5 Dto h s u-v (Fg..6..5) s può srvr nfn: v u lm kτ t τ dov u lm rpprsnt l vlor dl lmt n sturzon dl PI. Dto h l'rror d l lmt u lm hnno lo stsso sgno, v è d mpzz smpr mggor d u lm qusto tn l'ntgrtor dnmmnt rto d

28 Azonmnt Elttr I M.Zglotto un vlor dguto, vno l lmt. Non ppn l'rror mb d sgno v rggung u lm l'ntwndup s sblo, lsndo funzonr l PI n zon lnr. L Fg rport gl ndmnt dll stss grndzz ossrvt sopr, qundo è nsrto l mnsmo d ntwndup ppn dsrtto.l vlotà on u l'ntgrtor è rsttto dpnd dl gudgno dll rtrozon, /τ t. Ess è spsso dfnt trkng tm onstnt. Può smbrr onvnnt sglr un vlor d τ t molto polo, prhè qusto prmtt d rsttr molto vlomnt l'ntgrtor. Oorr omunqu prstr ttnzon qundo è prsnt nh l prt drvtv dl rgoltor (PID), prhè pol rror n ngrsso potrbbro (pr l'fftto drvtvo) fr sturr brvmnt l'ust, stnndo l mnsmo d ntwndup rsttndo l rgoltor. Com rgol pprossmt, tt v slt mggor d τ mnor dll'vntul τ d (s l bloo drvtvo è sprsso om K p τ d s). S può pnsr d porr (rul of thumb) τ t τ τ d. Nl progtto n sm s è slto pr l'nllo d orrnt τ t τ. S è po ffttut un prov, on un grdno d rfrmnto d A, pr ll orrnt nomnl, supponndo un lmt d rfrmnto d tnson d V, on motor frmo. I rsultt, rspttvmnt snz on mnsmo d ntwndup, sono rportt n Fg Fg Anllo d orrnt snz ( snstr) on ( dstr) ntwndup. [, prt ntgrl, u *] S può notr h n ssnz d ntwndup l prt ntgrl s r molto durnt l trnstoro n lmtzon, qusto omport un lungo prodo d orrnt l d sopr dl lmt. Al ontrro, l bnf zon d ntwndup ( dstr) rdu notvolmnt l rst (rmnto) dll'ntgrl, on un rspost molto pù pront prv d ovrshoot. E' possbl rr d ompnsr prt dll opp d tpo nrzl, ntrvnndo nll gnrzon dl rfrmnto d orrnt. L drvt dll vlotà ffttv può ssr sosttut dll drvt d rf, h rsult gnrlmnt mno dsturbt; ovvmnt non è l stss os, dto h osì fndo s trsur d ftto l dnm dll'nllo d vlotà; n ogn so, om n tutt l ompnszon fdforwrd, l orrzon srà solo przl (6-7%), pr mpdr h rror nh grossoln possno nnsr rzon postv dstblzznt. E' possbl n qusto modo fornr pror un gross prt dl rfrmnto d orrnt, mglorndo l prstzon dnmh dl sstm. Qunto dtto è shmtzzto n Fg..6..7: 8

29 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Fg Fdforwrd nl rfrmnto d orrnt E' d sottolnr h l mglormnto nll dnm dl sstm non drv d qulh ntrvnto sull tn GH, h, l ontrro, rmn nvrt. Fg Prlborzon dl rfrmnto d orrnt D ftto, om llustrto n Fg..6..8, l ompnszon propost quvl d un prlborzon dl rfrmnto, h h om fftto un mggor rpdtà d rspost l grdno dunqu un umnto dll bnd pssnt. Un lmtzon è ovvmnt osttut dll'mpossbltà d rlzzr un prftt drvt d un funzon grdno (mpulso dl). Durnt l'lrzon (n lmtzon d orrnt), l orrnt non è pr l suo rfrmnto (Fg..6..9). rf Fg Andmnto dll orrnt durnt l'vvmnto Qusto non ontrst on l ftto h l'nllo d rgolzon d orrnt s un sstm d tpo (oè on un polo nll'orgn) prtnto dbb vr rror nullo rgm; nftt, durnt l'lrzon non s è rgm d vlotà, dto h ss prtp ll dnm dll'nllo d orrnt, nh qust'ultmo non può ssr onsdrto rgm, dunqu mmtt rror non nullo. 9

30 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Comunqu, è possbl dr un spgzon ll dsrpnz tr rfrmnto vlor ttul, fndo rfrmnto llo shm bloh d Fg..6..: Fg Error d orrnt nl funzonmnto n lmtzon Durnt l fs d lrzon ffttut n lmtzon d orrnt dopo un trnstoro, l orrnt ffttv s pon rgm d un vlor ostnt I L nfror l rfrmnto (Fg..6..9). Supponndo un ro d tpo nrzl, l f..m. (t) rs on pndnz: d dt () t d() t K Φ dt K L K Φ I Φ J (.6..8), rordndo l'quzon lttr dl motor n.., drvndo ntrmb mmbr onsdrndo l orrnt ostnt, tl rst dv ssr blnt d un stss rst dl rfrmnto d tnson. Qusto prsuppon spg l prsnz dll'rror d orrnt ; n qusto modo, l tnson u rf rs 9 on pndnz K (K p /τ ). S foss nullo, l tnson d rfrmnto non rsrbb. Uguglndo l du pndnz, s può fr un stm numr dll'rror : K I ( L K ) ( ) Φ I L τ (.6..9) J J ( ) ( KΦ) K p dov I L è l lmt d orrnt I L è, om dtto sopr, l vlor ffttvo dll orrnt durnt l lmtzon. Sosttundo vlor numr s ottn, pr l so n sm: K ( K Φ) ( K τ ) J ( K Φ) p I L A (.6..) Un rmdo ll'nonvnnt ppn dsrtto (h, omunqu, non è rlvnt n molt pplzon prth) onsst nll'pprontr un ompnszon d tnson (voltg fdforwrd). Dto h un prt onsdrvol dll tnson d rmtur v ontrstr l f..m. K Φ dto h l vlotà vn trsdott qund è not, nll rzon dl rfrmnto d tnson s può gà fornr drttmnt " pror" un tnson pr ll f..m., lsndo l rgoltor l ompto d supplr solo l prt d tnson d rmtur h produ l orrnt. Qunto dtto è vdnzto n Fg..6..: 9 Qusto prsuppon h nor non s ntrvnut l lmtzon d tnson, ±V, ll'ust dl rgoltor d orrnt. 3

31 Azonmnt Elttr I M.Zglotto S è nftt ossrvto h durnt l'lrzon l rfrmnto d tnson dbb rsr pr blnr l'umnto dll f..m. (t), om qusto omport l nssr prsnz d un rror d orrnt pr "muovr" l'ntgrtor dl rgoltor d orrnt; fornndo grn prt dll nssr vrzon d u rf Fg Fdforwrd d tnson trmt l fdforwrd vn lmnt d ftto qust nsstà d onsgunz l'rror d orrnt s rdu notvolmnt (fno somprr s s ttu un ompnszon l %). Un vrzon dll tnson d rt, ntro rt lmt (qull mpost dll sturzon dll'nllo d orrnt) non nflunz l ontrollo, prhé n qusto zonmnto vn ontrollt drttmnt l opp, mntr l tnson è solo l "mzzo" usto pr l ontrollo. Ad un dmnuzon d tnson d rt orrspondrà smplmnt un umnto dll tnson d rfrmnto gnrt dl rgoltor d orrnt qusto fno h non ntr n goo l sturzon dll'ust dll'nllo d orrnt Esrzo Progttr un zonmnto pr l ontrollo d vlotà tn hus n rtrozon d stto pr un motor n orrnt ontnu d tzon ndpndnt. Il motor bb l sgunt rttrsth: Rsstnz d rmtur R Ω Induttnz d rmtur L 46 mh Costnt d fm d opp K Φ.55 Vs/rd Tnson nomnl d'rmtur V Corrnt nomnl A Vlotà nomnl 8 rpm 88.5 rd/s Momnto d nrz J.93 Kgm Coffnt d'ttrto B 58*-6 Nms/rd Costnt d trsduzon dll vlotà K t V/(rd/s) Costnt d trsduzon dll orrnt K t V/A D qust dt è possbl ntnto lolr l ostnt d tmpo rttrsth dl motor, h vrrnno utlzzt pù vnt: l ostnt d tmpo lttr dl motor : l ostnt d tmpo mn dl motor : l ostnt d tmpo lttromn: τ L /R 46 ms τ m J/B.6 s τ m RJ/(K Φ )².3 s Il modllo dl motor n Smulnk è l sgunt: 3

32 Azonmnt Elttr I M.Zglotto orrnt tnson - Sum 46-3s /(RsL).55 KF 93-3s.58 /(BsJ) vlot.55 KF Fg Modllo Smulnk dl motor n orrnt ontnu L tnson d rmtur è stt onsdrt l'ngrsso, mntr l vlotà dl motor è l'ust dl sstm. L orrnt è pur rs dsponbl om ust dl bloo, n qunto vrbl d stto. L'nls tor dll tn d rtrozon dllo stto è stt ffrontt nl pr..5; nl sguto s frà dunqu rfrmnto rsultt v ottnut, prtolrzzndol on dt numr dll'smpo. S prt on l rlzzzon d un zonmnto rtrozon d stto pur, fssndo om spfh pr l sstm rtrozonto un offnt d smorzmnto ξ/.77 d un tmpo d slt t r d 66 ms u orrspond (fr..5.8) un pulszon nturl o 33 rd/s. Qust dt prmttono d stblr l poszon dsdrt pr pol λ λ dl sstm rtrozonto; l (.5.) porg nftt λ, ξo ± o ξ -3.3 ±j3.3 (.6..) L L mtr d rtrozon d stto (.5.) può or ssr vlutt: ( λ λ τ τ ) L.464 m JL BL L λλ λ λ 7.9 KΦ τ τ m KΦ τ m Lo shm bloh dl ontrollo rtrozon d stto n Smulnk è rportto n Fg..6..; s ossrv om nh l rfrmnto vng moltplto pr L pr rndrlo omogno on l rtrozon d vlotà qund pr potrlo sprmr drttmnt n rd/s. wr rfrmnto w* l.4 orrnt w* 7.9 l_ - - Sum Motor CC w vlot w 7.9 l Fg Modllo Smulnk dll'zonmnto n rtrozon d stto Il dgrmm d Bod rltvo l sstm (fr.(.5.5) pr..3) è l sgunt: 3

33 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Fg Dgrmm d Bod (modulo fs) dll'zonmnto n rtrozon d stto L rspost d un grdno d rfrmnto d vlotà d 5 rd/s è rportt n Fg..6..4: 5 [A] t [s] 6 [rd/s] 4 w* w t [s] Fg Rspost l grdno d vlotà (n lto l orrnt d'rmtur) n rtrozon d stto Appr un rror rgm prmnnt, nh n ssnz d rror n prmtr utlzzt pr l ontrollo. Qusto può ssr gustfto onsdrndo h l funzon d trsfrmnto dl sstm tn prt non h pol nll'orgn, h qund l sstm è d tpo, on rror d rgm prmnnt nll rspost l grdno. Un rpprsntzon grf dvrs, sppur quvlnt, dllo shm d Fg..6.. è rportt nll sgunt Fg..6..5: wr rfrmnto w* orrnt - Sum 6.9 L/L - Sum.4 L u Motor CC w vlot w w* 33

34 Azonmnt Elttr I M.Zglotto Fg Azonmnto n rtrozon d stto, ntrprtto om uno shm n st Tl rpprsntzon vdnz l smltudn dl ontrollo proposto on qullo n st nlzzto n prgrf prdnt, ov s utlzzno rgoltor d tpo proporzonl s pr l'nllo d vlotà h d orrnt. E' hro h nh n ssnz d ro (ovvro on orrnt null) l'ust dl rgoltor d vlotà dbb produrr un rfrmnto d tnson d'rmtur pr ll f..m. K Φ, h qusto gnr nssrmnt un rror rgm pr rp K Φ / L K Φ (*- rp ) / L (.6..) d u subto KΦ.55 5 rp 3.4rd / s L K Φ * (.6..3) S può nh notr l grnd ovrshoot d orrnt (ss rggung 3 A, pr 6.5 volt l vlor nomnl dl motor) h vn omndto pr soddsfr ll spfh d bnd pssnt dl sstm. In ltrntv llo shm proposto, h soffr d vdnt lmtzon, s sprmnt or lo shm rtrozon d stto on nllo ntgrl sull vlotà, om spgto nll sond prt dl pr..5. Tl shm umnt l'ordn dl sstm omplssvo, ntrodundo un polo nll'orgn nll tn drtt, h h l bnfo fftto d nnullr l'rror rgm n rspost d un grdno d vlotà. Pr l lolo d prmtr d rgolzon è nssro fssr l poszon dsdrt d tr pol dl sstm tn hus; om suggrto, s mntn l poszon d prm du: λ, ξo ± o ξ -3.3 ± j 3.3 (.6..4) u s ggung l trzo, suffntmnt lontno d prm du: λ 3 (.6..5) Con qust dt s trovno sgunt prmtr, pr l mtr d rtrozon dllo stto pr l gudgno dll'nllo ntgrl rspttvmnt: L L λ λ λ (.6..6) τ τ m L J L B L λλ λλ3 λλ3 λ λ λ3 44. (.6..8) KΦ τ τ m KΦ τ m K Φτ τ 847 (.6..9) K mλ λλ3 Lo shm bloh n Smulnk è rportto nll sgunt Fg..6..6: 34