Introduzione alla Statistica. Definizione a priori della probabilità (o classica) Elementi di calcolo delle probabilità. s n

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1 Introduzon ll Sttstc ncssro tuttv dnr l proltà n trmn mtmtc numrc ) l n d potr trttr qusto conctto nturl nch n modo quntttvo Corso d Msur Mccnch Trmch ro. Ing. Dvd Vttur sstono dvrs ormulzon dl conctto d proltà ch nl corso dl tmpo sono stt propost, clsscl n du ctgor: dnzon con crtr oggttv; dnzon con crtr soggttv, coè st sull prczon ndvdul d un rltà sc. lmnt d clcolo dll proltà Il clcolo dll proltà h vuto orgn con goch d zzrdo pr vlutr l l csultà) lgt ll puntt su dd sull crt d goco Attulmnt l clcolo dll proltà trov pplczon n numros dscpln tcnch scntch Il conctto d proltà trov rspondnz nl lnguggo comun snz ncsstà d dnzon: rnd l omrllo, è prol ch ogg pov Dnzon pror dll proltà o clssc) L proltà d un vnto è dnt com l rpporto tr l numro s d rsultt vorvol coè l numro d rsultt ch dtrmnno ) d l numro n d rsultt possl: purché rsultt sno tutt ugulmnt possl tr loro ncomptl s n

2 Dnzon ssomtc d proltà L dnzon d proltà n qu prsntt non sono n gnrl utlzzl pr vr motv. Dnmo un vnto un sottonsm d S Nll loro totltà gl vnt ormno lo spzo dgl vnt A r ovvr qust ssnz d gnrltà dll dnzon prsntt l sclt prrl sul pno torco non oprtvo n gnrl) è qull d utlzzr un dnzon ssomtc d proltà. S Dgrmm d Vnn S F F vnto ntrszon S dc nomno csul o ltoro) un nomno mprco l cu rsultto non è prvdl pror, crttrzzto coè dll proprtà ch l su ossrvzon n un nsm ssto d crcostnz non conduc smpr gl stss rsultt L nsm costtuto d tutt l ossrvzon possl, coè tutt rsultt possl pror, vn dtto spzo cmpon S Smpl Spc) Du vnt d F s dcono ncomptl o mutumnt scludnts s gl nsm dll loro dscrzon sono dsgunt, coè s F F F S vnt ncomptl

3 Assom d Kolmogoro Un unzon d proltà è un unzon d nsm ch h com domno lo spzo dgl vnt, com codomno l ntrvllo [,] ch sodds sgunt ssom: S A con vnt d A) ch s scludono vcnd smpo Consdrmo l lnco d un copp d dd S l vnto = l somm d numr d du dd non s supror S l vnto F= comp lmno un Rsultto dl ddo vnto vnto F F 6 roltà Condzont Dto uno spzo d proltà S, A, [.]) s dnsc proltà condzont dll vnto dto l vnto F, con d F vnt qulunqu d A, l rpporto: F F F con F smpo S s volss clcolr qul s l proltà dll vnto = l somm d numr d du dd non s supror condzonto ll vnto F= comp lmno un 5, llor Rsultto dl ddo vnto vnto F F F F 6 F 6

4 Vrl csul Assgnto uno spzo d proltà S, A, [.]) s dnsc vrl csul un unzon vnt com domno lo spzo d cmpon S) com codomno l rtt rl. Funzon d dstruzon cumultv Dt un vrl csul, s dnsc unzon d dstruzon cumultv F) l unzon ch h pr domno l ss rl pr codomno l ntrvllo chuso [,] così dnt: S L vrl csul s ndcno con lttr muscol F Vrl csul Funzon d dnstà dscrt Dnmo un vrl csul dscrt s qust ssum vlor dscrt Dnmo un vrl csul contnu s qust può ssumr con contnutà tutt vlor d R ss rl) Dt un vrl csul dscrt con codomno=,,, n), s dnsc unzon d dnstà dscrt ) o unzon d proltà) l unzon così dnt: j s s j j 4

5 Funzon d dnstà dscrt L unzon d dnstà dscrt ) h l sgunt proprtà: F : F lm F h h s s Funzon d dnstà d proltà Anlogmnt qunto ppn vsto, l unzon d dnstà d proltà ) h l sgunt proprtà: d d Funzon d dnstà d proltà Dt un vrl csul contnu, s dnsc unzon d dnstà d proltà d ) l unzon tl pr cu: smpo Consdrmo l lnco d un ddo l strzon d un plln d un urn contnnt plln ross, lu 5 vrd. Attrumo ll strzon dll plln l vlor 5 s qust è ross, s lu s vrd. Consdrmo l vrl csul dt dll somm dl rsultto dl ddo con l vlor dll plln strtt. F t dt plln 5 B V R R B B V V V V d d o N )=) F)

6 smpo Vrnz.. ) ) S dnsc vrnz dll vrl csul con md l unzon: N )=) F) F) F) d Md S dnsc md, o vlor ttso, dll vrl csul l unzon: d smpo Consdrmo nuovmnt l prolm lgto l lnco d un ddo ll strzon d un plln d un urn contnt plln ross, lu 5 vrd. Consdrt l vrl csul com prm dnt. S h: n ) 5.9 n ) plln 5 R R B B B V V V V V d d o N )=) F)

7 5.9. N )=) F) smpo F) ) ) F) Dsuguglnz d Tchych Corollro dll dsuguglnz d Tchych S vrl csul vrnz nt. Allor s h: o quvlntmnt: Dvzon Stndrd S dnsc com dvzon stndrd o scrto qudrtco mdo o scrto tpo dll vrl csul ) l rdc qudrt dll vrnz, coè: Dstruzon dscrt L vrl csul h dstruzon unorm dscrt s l su unzon d dnstà dscrt è dt d: N pr,,.., N ltrov S dmostr ch: N N 7

8 Dstruzon noml L vrl csul h dstruzon noml s l su unzon d dnstà dscrt è dt d: n p n p) pr,,,.., n ltrov Dstruzon noml Utlzzndo l dstruzon noml con: p=.5 n= n p n p) pr,,,.., n ltrov S dmostr ch: n p n p p S h: ) ) ) ) ) smpo Dstruzon noml Consdrmo l vrl rltv l lnco d un mont volt dov con s ndc l numro d volt n cu rsult tst. T C C T T C T C T C T C T C = = = = = = = = ) ) ) ) Dstruzon prgomtrc L vrl csul h dstruzon prgomtrc s l su unzon d dnstà dscrt è dt d: K M K n M n S dmostr ch: K n M n K M pr,,,.., n ltrov M K M n M M

9 Dstruzon prgomtrc smpo Consdrmo un orntur d C porttl d cu 6 prsntno un dtto llo schrmo. smnndon, qul è l proltà d vrn con qul dtto? M K 6 n Dstruzon d osson L vrl csul h dstruzon d osson s l su unzon d dnstà dscrt è dt d: S dmostr ch:! pr,,,.., n,.. ltrov Dstruzon prgomtrc Utlzzo d cl Tornndo ll smpo: M K 6 n Dstruzon contnu L vrl csul h dstruzon unorm contnu) nll ntrvllo [,] s l su unzon d dnstà d proltà è dt d: ) pr ltrov 9

10 Dstruzon unorm Md d ) d d d ) ) ) d d d d Dstruzon unorm Vrnz ) d d d d ) ) ) d d d d Dstruzon unorm Vrnz ) d Dstruzon sponnzl L vrl csul h dstruzon sponnzl ngtv) s l su unzon d dnstà d proltà è dt d: pr pr con: coè R

11 Dstruzon sponnzl S dmostr ch: Trsormzon d vrl csul =g) Rrmnto: G. Vcro, R. Lv, Sttstc proltà pr nggnr, sculpo Bologn) - rgro.. - pg. 4 C smo gà occupt dl prolm rgurdnt un vrl csul unzon d un ssgnt vrl csul ) Un torm c consnt d clcolr l unzon d dnstà d proltà d not l unzon d dnstà d proltà d d l lgm r d, coè =g) Vrl csul unzon d vrl csul In molt cs s uso d trsormzon d vrl csul. S vrl csul con unzon d dnstà d proltà ) ssgnt. S un vrl csul unzon d con =g). Ovvmnt è possl clcolr md vrnz d not l su unzon dnstà d proltà y). Trsormzon d vrl csul =g) Torm.7 S un vrl csul contnu con unzon d dnstà d proltà ). L vrl csul =g) è contnu d noltr y d dy y g y g y dov y=g) è un trsormzon unvoc d D n Dy d g y contnu y Dy dy

12 Trsormzon d vrl csul =g) Vrl csul unzon d vrl csul ) y ) =g) S dmostr ch, s =g), llor: y ydy d g ) g ) Torm dll md Trsormzon d vrl csul =g) Ossrvzon Dcomponndo D n un nsm d sottonsm D dsgunt tl pr cu y=g) s unvoc r cscun D Dy llor y y g y g y d dy Vrl csul unzon d vrl csul S dmostr ch, s =g), llor: y y g ) g ) d dy Torm dll md cso dll vrnz)

13 Dstruzon norml d Guss) L vrl csul h dstruzon norml o dstruuzon d Guss) s l su unzon d dnstà d proltà è dt d: Dstruzon norml stndrdzzt L vrl csul con dstruzon norml tl pr cu Vn chmt vrl csul norml stndrdzzt comunmnt è ndct con Z Z z z Dstruzon norml d Guss) S dmostr ch: Dstruzon norml stndrdzzt oché comunmnt è ncssro clcolr l vlor dll unzon d dstruzon comultv d Z, qust è stt clcolt un volt pr tutt. ) I rsultt d qust vlutzon sono dsponl n tll com l sgunt: F Z z z z u du

14 F Z z z z u du z.5 z Dstruzon norml S Z è un vrl csul norml stndrdzzt llor =gz) con Z è un vrl csul con norml con F Z z z z u du z.7 z z Dstruzon norml Utlzzndo qunto vsto prcdntmnt s h: g Z) Z qund sosttundo n con s h: d d Z g ) g g d g d ) z z 4