Capitolo 1 - Misura e incertezza (parte I)

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1 Appunt d Msur lttrh Cptolo - Msur nrtzz (prt I) Mtod d msur... Inrtzz d msur... Il rsultto d un msur... 3 rror... 4 Propgzon dgl rror nll msur ndrtt... 5 smp... 6 Propgzon dll nrtzz nll msur ndrtt... 9 Ossrvzon: nrtzz n un msur ndrtt gnr... Clsszon dgl rror... rror sstmt... 5 Aurtzz prson... 7 rror stmto... 8 Md, dvzon md, dvzon stndrd vrnz d un mpon d msur 9 Contt d rqunz d lss... Proltà sttst... 4 Contto d proltà... 4 Vrl ltor... 4 Vrl ltor dsrt... 5 Vrl ltor ontnu... 5 Il sgnto mtmto dll dnstà... 6 Ossrvzon: pso nullo d sngol punt... 6 Dstruzon umultv d un vrl ltor ontnu... 7 Vlor ttso, ovrnz orrlzon... 8 Stm non dstort, nt, onsstnt Momnt ntrl momnt ssolut... 3 vrl ltor ontnu Dstruzon noml Dstruzon d Posson Dstruzon unorm Dstruzon d Guss (o dstruzon norml) Clolo dll dstruzon umultv pr un vrl d Guss Funzon dnstà d proltà ongunt... 4 Indpndnz d du vrl ltor on dstruzon gussn Funzon dnstà d proltà ondzont Comnzon lnr d vrl ltor on dstruzon gussn Dstruzon sponnzl Dstruzon d Wull Dstruzon gmm Dstruzon h qudro Dstruzon t (o d Studnt)... 47

2 Appunt d Msur lttrh - Cptolo MTODI DI MISURA Con l trmn msurzon ndhmo un sr d oprzon vnt lo sopo d dtrmnr l vlor d un qunttà. S trtt, qund, dl prosso h port ll quntzon d un grndzz. Il rsultto dll msurzon è l msur. Pr smpltà, nl sguto prlrmo d msur nzhé d msurzon, m è n tnr prsnt l drnz tr du trmn. L suzon d un msur rhd, tormnt, un onronto tr l qunttà nognt h s vuol msurr un qunttà not, h è prs om mpon d rrmnto. Pr mtodo d msur s ntnd l squnz log d oprzon, dsrtt n modo gnro, mpgt nll suzon dll msur. Un volt ssto, lvllo dl tutto gnrl, un mtodo d msur, s prod ll ttuzon d un sp msur: pr produr d msur s ntnd llor l nsm d oprzon, dsrtt n modo spo, utlzzt nll suzon d tl sp msur, n ordo l mtodo d msur prssto. Pr msurndo ntndmo un qunttà soggtt msur. C sono du possltà d ttur un msur: l mtodo drtto d msur prmtt d ottnr l rsultto dll msur drttmnt dll lttur dllo strumnto utlzzto, snz l nsstà d onosr spltmnt vlor d ltr prmtr, tto ovvmnt qull dll grndzz h nlunzno l msur stss ; un msur ottnut on l mtodo drtto è ovvmnt dtt msur drtt: s prl nv d mtodo ndrtto d msur qundo l rsultto dll msur è ottnuto dll omnzon d rsultt d msur drtt su prmtr unzonlmnt lgt l msurndo. Prlmo prò n qusto so d un msur ndrtt. Ad smpo, un msur d rsstnz s può ottnr msurndo l tnson suo p l orrnt ttrvrso d ss ndo po l rpporto. L mggor prt dll msur è ottnut pr v ndrtt, qus smpr pr motv d osto. Ad smpo, un msur d dnstà d un dt sostnz potr ssr ottnut drttmnt trmt un pprho h s hm dnsmtro, m è dsmnt pù omodo msurr drttmnt l mss d l volum dll sostnz rn po l rpporto. ICRTZZA DI MISURA Tutt rsultt d un msur sono tt d un nrtzz: l nrtzz d msur è l prmtro, ssoto l rsultto d un msur, h rttrzz l dsprson d vlor h potrro ssr rgonvolmnt ttrut l msurndo. Ad smpo, l rsultto dll msur d un tnson V srà srtto nll orm V 5 ± 0.5 mv L qunttà 0.5 mv rpprsnt l nrtzz dll msur ttut. Il prolm dll vlutzon d qust qunttà è l oggtto dll tor dgl rror dll nrtzz d msur. I motv pr u non potrmo m lmnr l nrtzz d un qulss msur sono moltpl: S trtt dll osddtt grndzz d nlunz, h srnno smnt n sguto. In gnrl, l tor dgl rror omprnd tutt prodmnt d vlutzon mnmzzzon dgl rror n prodmnt pprossmt (sprmntl /o mtmt). on sst un trttto sustvo dll tor dgl rror. Autor: Sndro Ptrzzll

3 Msur d nrtzz (prt I) mprzon strutturl n omponnt dgl strumnt utlzzt (nrtzz strumntl): nonostnt l tnolog mtt dsposzon strumnt smpr pù rnt, non s potrnno m vr strumnt dl, pr u qust us d nrtzz non potrà m ssr null; ndgutzz dl mpon d onronto: gl Isttut Mtrolog mttono dsposzon mpon smpr pù rnt pr vnr nontro ll sgnz dll tn, m qusto non vl smpr; lmttzz dll sl o dl sstm numro d vsulzzzon dllo strumnto; rttolostà d prt dll oprtor; mprzon dl mtodo d msur utlzzto /o ndgutzz dl modllo mtmto prslto (nrtzz ntrns dl msurndo). Ogn modllo può ssr rso pù o mno omplto, pr u qusto ttor d nrtzz è gnrlmnt trsurl; l prolm è h un modllo omplto rsult tlvolt poo prto nll su pplzon, pr u sogn smpr trovr un gusto ompromsso. A qust us s ggung l tto h l nsrzon d uno strumnto d msur n un sstm qus smpr ltr l ondzon nzl dl sstm stsso non onsnt prò l msur dl vlor h l msurndo vv prm dll nsrzon. Qund, l prosso d msur d pr sé dstur l sstm ltr l vlor dll qunttà d msurr. L nttà d tl dsturo vr, vdntmnt, d strumnto strumnto; uno dgl sptt pù mportnt dll snz dll msur è qullo d mnmzzr qusto dsturo. l sguto, rmo smpr rrmnto qunto rportto nll Gud to th prsson o unrtnty n msurmnt, rdtt dll ISO (Intrntonl Orgnzton or Stndrdzton): n qusto mnul (h nl sguto hmrmo smplmnt GUIDA) s rm h lo sopo d un msur è dtrmnr l vlor (non l vlor vro) dl msurndo. Un msur dv nzr on un pproprt spzon dl msurndo, dl mtodo d msur dll produr d msur. IL RISULTATO DI UA MISURA Supponmo d volr msurr un rt grndzz, d smpo l vlor d un tnson tr du punt d un ruto. Immgnmo llor d ndr ompr un sr d msur rptut d qust tnson, sorzndo d mntnr smpr l stss ondzon mntl. In gnrl, notrmo h rsultt dll msur non sono ugul tr d loro: n prtolr, d gnrlmnt h l prm r sgntv s mntngono ugul pr tutt l msur, mntr nv l ltr vrno d msur msur. Pr smpo, s l tnson d msurr è rlmnt d V, vlor h potrmo ottnr srnno.,.9,,.,.8 osì v. L us d qust vrltà d rsultt dll msur sono moltpl sono stt n prt nnt prm; tmo: l prturzon mntl (vrzon d tmprtur, d prsson, d umdtà, d mp mgnt d lttr d ntur prsst osì v); lmtzon tnologh dll strumntzon (mprzon ostruttv, nstltà dll trtur); lmtzon nl potr rsolutvo dll oho dll ltà d lttur dll oprtor: n prtolr, qust lmtzon rgurdno solo gl strumnt nlog (d smpo un 3 Autor: Sndro Ptrzzll

4 Appunt d Msur lttrh - Cptolo multmtro nlogo), n qunto gl strumnt dgtl (d smpo un multmtro dgtl) ornsono ndzon numrh d vlor msurt. RRORI Prm d sgur un msur d un msurndo, è possl vr dsposzon un stm dl vlor d tl msurndo 3. Indhmo llor on V l vlor vro (h non è m noto) dl msurndo on A l stm (h nv è not) d V. Al n d oprr lun possl orrzon ll msur sgut, è trdzonlmnt rsultto utl ntrodurr l ontto d rror. S dns rror ssoluto,, l drnz tr l vlor msurto l stm A dl vlor dl msurndo: A S no onosssmo sttmnt l vlor dl msurndo, potrmmo nh vlutr sttmnt l rror ssoluto. Al ontrro, dl msurndo mo solo l stm A, pr u l rror ssoluto non potrà m ssr onosuto sttmnt qund l orrzon non potrà m ssr omplt. Qusto è l motvo pr u un msur srà smpr tt d nrtzz. Oorr prò dstngur l prol rror d nrtzz, h non sono ssolutmnt d snonm non vnno prò onus: possmo dr gnrmnt h l nrtzz (smolo: U) d un msur è un qulunqu numro postvo d u s spp on rtzz (!) h è mggornt dl vlor ssoluto dll rror : U Altr du ondmntl drnz tr rror d nrtzz sono l sgunt: n prmo luogo, mntr gl rror sono tt d sgno, l nrtzz sono smpr qunttà postv; n sondo luogo, mntr l nrtzz può ssr vlutt sttmnt, lo stsso non è possl pr l rror, n qunto sso dpnd dl vlor vro dll grndzz sotto msur tl vlor non è onosl prttmnt. In snts, ogn volt h ompmo un msur, no ompmo nh un rror, h prò non possmo onosr; tutto ò h possmo r è stmr tl rror trmt un suo mggornt, qul è ppunto l nrtzz. Lsndo d prt, pr l momnto, l ontto d nrtzz, tornmo gl rror. S dns rror rltvo,, l rpporto tr l rror ssoluto l stm dl vlor dl msurndo: A A A 3 Tl stm può drvr dll dsponltà d un mpon o dll onosnz dl suo vlor ( dll su nrtzz), oppur dll dnzon onvnzonl pror dl vlor dl msurndo, o dl vlor mdo d msur prdntmnt sgut sullo stsso msurndo o d ltr normzon nor. Autor: Sndro Ptrzzll 4

5 Msur d nrtzz (prt I) Consdrndo h l vlor s ssum omunqu stnz prossmo l vlor A, s può nh porr A L rror rltvo può nh ssr ornto n prntul, nl qul so d prl d rror prntul, % : A % 00 A Sgnlmo noltr h, ssndo l rror d msur gnrlmnt polo, è possl trttr l rror ssoluto om drnzl, l h sgn sostnzlmnt srvr h A d A A d PROPAGAZIO DGLI RRORI LL MISUR IDIRTT Amo dtto n prdnz h un msur ndrtt dl msurndo è un omnzon d vlor d msur drtt d grndzz unzonlmnt lgt l msurndo stsso: (,,,...) L unzon rpprsnt l lgm unzonl tr l msurndo (dtto nh grndzz d ust) l qunttà (dtt grndzz d ngrsso susttl d un msur drtt) d u dpnd. smpo nl d msur ndrtt è qullo dl vlor d un rsstnz, h può ssr ottnuto om rpporto tr l tnson msurt p dll rsstnz l orrnt h rsult ttrvrsr l rsstnz (msurt nh ss p dll rsstnz stss). Consdrndo llor h sun msur ndrtt prsnt un rror, hdmo om un msur ndrtt rsnt dgl rror dll sngol msur drtt d u è ottnut 4. Qust nls è mportnt n qunto onsnt, prm d ttur l msur, d sglr l mtodo pù orrtto pr l suzon dll msur stss. D ltr prt, l vlutzon dl modo n u s propgno gl rror non v onus on l produr nssr ll ndzon dl rsultto nl d un msur ndrtt, pr l qul è nv nssro r rrmnto ll propgzon dll nrtzz, dll qul s prlrà n sguto. Consdrmo un grndzz (,,,...) h s unzon d dvrs grndzz msurl,,,.... L msur d sun d qust qunttà,,,... sono tt d rror d è possl studr, on smpl pssgg mtmt, om qust s propgno su. In prtolr, mo l pots h gl rror sno suntmnt pol d potr onondr l rror ssoluto A on l drnzl totl dll unzon : qund l rror ssoluto è A d d d d... 4 In modo nlogo, porrmo n sguto l prolm d lolr l nrtzz dll msur ndrtt not h sno l nrtzz ssot ll sngol msur drtt. 5 Autor: Sndro Ptrzzll

6 Appunt d Msur lttrh - Cptolo Autor: Sndro Ptrzzll 6 vdnt h, n qust ormul, trmn,... d d,, d sono gl rror ssolut sull grndzz,...,,, pr u srvmo h... In s qust rlzon, l rror ssoluto su è un prtolr omnzon lnr dgl rror ssolut sull grndzz,...,, : ont dll omnzon lnr sono l drvt przl dll unzon rsptto d,...,,. Ovvmnt, dll rror ssoluto possmo lmnt rslr ll rror rltvo, dvdndo pr l vlor msurto pr l grndzz n sm:... d A Moltplndo dvdndo l trmn pr, l trmn v pr osì v gl ltr trmn, possmo srvr h In tl modo, nh l rror rltvo su è un prtolr omnzon lnr dgl rror rltv sull grndzz,...,, : ont dll omnzon lnr sono n qusto so l drvt przl dll unzon rsptto d,...,,., moltplt sun pr l grndzz orrspondnt dvs tutt pr :... Qust ormul sprm l osddtto prnpo d sovrpposzon dgl rror. ss rrmnto ll rror rltvo dll msur d, m è vdnt h st moltplr pr pr ottnr l rror ssoluto: smp Fmo llor qulh smpo d pplzon dll ormul ppn ottnut. Consdrmo, d smpo, l so n u l grndzz d ntrss s l prodotto d du ltr grndzz d msurr drttmnt, pr u Pr lolr l rror rltvo su n unzon dgl rror rltv su su, st pplr l ormul rvt poo :

7 Msur d nrtzz (prt I) ( ) ( ) Amo dunqu rvto h l rror rltvo d un grndzz, ottnut dl prodotto d du grndzz msurl, è dto dll somm dgl rror rltv d d. A qusto stsso rsultto possmo rrvr nh pr ltr v. Comnmo on l pplr l dnzon d rror rltvo su : A A D qu possmo rvr l vlor A dl msurndo n unzon dl suo rror rltvo: A ( ) Stsso dsorso possmo r nh pr l grndzz d u è unzon: mo dunqu h A A ( ) ( ) dto h A A A ( ) ( ) ( )( ) ( ) l trmn ( ), l prodotto è surmnt trsurl rsptto gl ltr: A ( ) Conrontndo qust rlzon on l rlzon A ( ) ottnut prm, ddumo h dto h ( ) ( ) Qusto è vdntmnt lo stsso rsultto ottnuto prm. Possmo pplr qusto rsultto d ltr s nlogh. Pr smpo, supponmo h s : pr ottnr l rror rltvo su, st onsdrr l ormul porr, n modo d ottnr : qust ormul d h l rror rltvo d un grndzz, ottnut dl qudrto d un grndzz msurl, è pr du volt l rror rltvo su. In modo dl tutto nlogo, s, llor s vr lmnt h. Inoltr, s..., llor...: l rror rltvo d un grndzz, ottnut dl prodotto d un rto numro d grndzz msurl, è dto dll somm d sngol rror rltv. Consdrmo dsso un grndzz h s dt dl rpporto tr du grndzz msurl: 7 Autor: Sndro Ptrzzll

8 Appunt d Msur lttrh - Cptolo Autor: Sndro Ptrzzll 8 Applndo nor un volt l prnpo d sovrpposzon dgl rror, mo h l rror rltvo su vl ( ) ( ) / / / / Amo n qusto so rvto h l rror rltvo d un grndzz, ottnut dl quoznt d du grndzz msurl, è dto dll drnz dgl rror rltv d d : A proposto d qust ormul, è mportnt ossrvr un os: spsso d, nll prt, h gl rror rltv non sno not on sttzz n nttà sgno, pr u s n ssno lmt h dlmtno l s d nrtzz. In gnr, llor, s prrs ornr un stm dl vlor mssmo dll rror rltvo, n modo d onsdrr l so pggor (worst s): ò sgn, qund, h, nh nl so d /, s prnd omunqu ( ) MA n modo d ndr l mssmo vlor (stmto) dll rror rltvo. C è d ltr prt un ltr possltà: nzhé onsdrr l so pggor, s onsdr l vlor pù prol dll rror rltvo, h è vlutto om ( ) PROB S ottn, on qust ormul, un qunttà h è surmnt mggor d d, m è mnor dll loro somm. Consdrmo dsso un grndzz h s dt dll somm d du grndzz msurl: Applndo l prnpo d sovrpposzon dgl rror, l rror rltvo su rsult ssr ( ) ( ) Qust ormul, nl so prtolr n u, orns vdntmnt : qund, l rror rltvo d un grndzz, ottnut dll somm d du grndzz msurl l u msur sono tt dllo stsso rror rltvo, è pr su volt d. Consdrmo nn

9 Msur d nrtzz (prt I) L rror rltvo su vl ( ) ( ) Anh n qust ultmo so, osì om nl so d /, s s pon nll pots dl so pggor, s prnd l vlor mssmo dll rror rltvo, h n qusto so vl ( ) MA In tl modo, l rror rltvo ottnuto su un grndzz ottnut pr drnz è tnto mggor qunto pù l grndzz msurl sono vn tr d loro. rsult, qund, h un mtodo d msur sto sull drnz tr du grndzz msurl v pplto solo n s prtolr. PROPAGAZIO DLL ICRTZZA LL MISUR IDIRTT Amo dtto h l nrtzz ssot d un msur può ssr vst om un mggornt dll rror ssoluto -A ssoto ll msur stss: U Possmo llor sgur dsors sml qull dl prdnt prgro pr studr nh l propgzon dll nrtzz d msur. In prtolr, rmo qu rrmnto non pù ll rror rltvo, m ll rror ssoluto. Consdrmo d smpo un msur ndrtt ottnut om somm d du msur drtt: Sno d rsultt dll msur rspttvmnt d d ; orrspondnt rror ssolut srnno - -. Adsso onsdrmo l rsultto dll msur d, ottnuto om Indto on V l vlor vro (nognto) dl msurndo, l rror ssoluto ssoto ll msur srà dto d V A B ( ) ( ) dov ovvmnt A B sono vlor vr dll grndzz. Amo dunqu trovto h gl rror ssolut n qusto so s sommno. Adsso ndmo lolr l modulo dll rror ssoluto ppn ndvduto: 9 Autor: Sndro Ptrzzll

10 Appunt d Msur lttrh - Cptolo Amo qu pplto l not dsuguglnz trngolr, h è n qusto so un drtt onsgunt dll rgol dl so pggor, ssumndo h du rror sull msur drtt vdno omunqu sommrs. D ltr prt, sppmo h sun rror ssoluto è mggorto dll nrtzz d msur, pr u possmo srvr h U U U Qust dsuguglnz onrm h nh nll msur ndrtt ottnut om somm d msur ndrtt, l rror ssoluto è mggorto dll nrtzz. S not noltr un ondmntl drnz tr l rror ssoluto d msur l nrtzz U d msur: ntt, mntr gl rror ssot ll sngol msur drtt s sommndo lgrmnt ( ), l nrtzz s sommno rtmtmnt, non ssndo tt d sgno (l ontrro dgl rror). Pssmo dsso d un msur ndrtt ottnut om drnz tr du msur drtt: Sno smpr d rsultt dll msur rspttvmnt d d - - orrspondnt rror ssolut. In modo nlogo prm, l rror ssoluto ssoto ll msur srà dto d V A B ( ) ( ) dov ovvmnt A B sono vlor vr dll grndzz. In qusto so, dunqu, gl rror ssolut s sottrggono. Clolndo l modulo dll rror ssoluto ppn ndvduto, ottnmo U U U Com s vd, pplndo nuovmnt l rgol dl so pggor, mo trovto lo stsso rsultto vsto nl so prdnt. Pssmo or d un msur ndrtt ottnut om prodotto d msur drtt: L rror ssoluto ssoto ll msur srà dto d V B A ( A B) ( ) ( A B) [( A ) ( B )] ( A B) [ AB B A ] Rtnndo h gl rror sull sngol msur drtt sno omunqu pol, possmo trsurr l trmn rsptto gl ltr du, pr u onludmo h B A Com n s prdnt, lolmo l modulo dll rror ssoluto ppn ndvduto: B A B A B A B U A U Autor: Sndro Ptrzzll 0

11 Msur d nrtzz (prt I) Inn, onsdrmo un msur ndrtt ottnut om rpporto d msur drtt: / L rror ssoluto ssoto ll msur / è A V B A A B B A(B ) B(A ) B(B ) A B B(B ) Rtnndo nor un volt h gl rror sull sngol msur drtt sno omunqu pol, possmo trsurr l trmn dnomntor rsptto B, pr u onludmo h B A B Clolmo nn l modulo dll rror ssoluto ppn ndvduto: B A B B A B B A B B A B B U A U B Possmo qusto punto rplogr, usndo un tll, rsultt ottnut n qusto nl prdnt prgro proposto dgl rror dll nrtzz nll msur ndrtt: Tpo d msur Msur rror rltvo ndrtt (m) somm: A B A B A B drnz: - - A B rror ssoluto Inrtzz U U U U prodotto: B A B U A U B A rpporto: / / B B U A U B Ossrvzon: nrtzz n un msur ndrtt gnr l prgro sullo studo dll propgzon dgl rror nll msur ndrtt, mo trovto h l rror ssoluto sull msur ndrtt d è sprml, n unzon dgl rror ssolut sull sngol msur drtt, trmt l ormul sgunt:... Autor: Sndro Ptrzzll

12 Appunt d Msur lttrh - Cptolo S lolmo l modulo d ntrm mmr d pplhmo l dsuguglnz trngolr osì om tto nl prdnt prgro, mo h... Mggorndo gl rror ssolut on l rspttv nrtzz, ottnmo h U U U Conludmo prò h l nrtzz dll gnr msur ndrtt è ottnl om U U U U... oss om somm pst dll nrtzz dll sngol msur drtt, dov ont d pso portno n onto l dpndnz dll unzon dll sngol grndzz d ngrsso. Possmo qusto punto r tr ossrvzon mportnt proposto dll nrtzz (h omunqu srnno rprs n sguto): un vlutzon dll nrtzz è smpr nssr; un msur on nrtzz ompltmnt sonosut non è un msur, m puttosto un numro so; dto h un nrtzz è un qulunqu numro mggor dll rror, non h snso hdrs qul s l rror d un nrtzz oppur l nrtzz d un nrtzz; l ontrro, h snso hdrs s un nrtzz è orrtt (oè s è ttvmnt mggor dll rror) s è mglorl (oss s s può dtrmnr un mggorzon nor pù strtt dll rror). CLASSIFICAZIO DGLI RRORI prgr prdnt mo ntrodotto l ontto d rror su un msur. Voglmo dsso nqudrr l prnpl us u sono dovut gl rror, l n d pr s n h modo ss possono ssr rdott l mnmo. Sussst llor l sgunt lsszon: gl rror grossoln sono qull ddtl mprz o dstrzon dll oprtor h st ompndo l msur; possono d smpo drvr d un sglt lttur o d un uso mpropro dgl strumnt, oppur d trsrzon rrt d dt sprmntl o nh d rrt lorzon d tl dt. vdnt prò h tl rror non s prsntno qundo s opr on ur ttnzon omunqu possono ssr lmnt smplmnt rptndo l msur; gl rror sstmt sono qull h s rprsntno smpr on lo stsso sgno l stss mpzz, ov ovvmnt l msur d un grndzz vng rptut pù volt on l stss strumntzon nll stss ondzon oprtv d mntl. Qust rror sono gnrlmnt dovut d un non orrtt trtur dgl strumnt oppur dtt ntrns Autor: Sndro Ptrzzll

13 Msur d nrtzz (prt I) dgl strumnt stss 5 ; qusto sgn, sostnzlmnt, h n tlun stuzon è possl orrggr tl rror o omunqu mnmzzrl; nn, gl rror dntl (dtt nh non sstmt o sul) sono qull h prmngono nh nll pots d ssr rust d lmnr tutt gl rror grossoln sstmt. L us d tl rror sono tpmnt l mprvdl luttuzon nll ondzon oprtv, strumntl d mntl. Gl rror dntl possono ssr nlzzt sttstmnt, n qunto s è vsto mprmnt h ss sono gnrlmnt dstrut sondo lgg smpl. In prtolr, s spsso l pots h l us d tl rror gsno n modo dl tutto ltoro, dtrmnndo prò srt, rsptto l vlor mdo, s ngtv s postv. Qusto utorzz d spttr h gl tt mdmnt s nnullno, oss sostnzlmnt h l vlor mdo dgl rror dntl s nullo. Qust onsdrzon h un onsgunz ondmntl: s rusmo orrggr tutt gl rror grossoln qull sstmt, pr u vrmo h r solo on rror dntl, strà ompr msur rptut po mdr rsultt: qunt pù msur onsdrrmo, tnto mno l rsultto nl (md d sngol rsultt) srà tto d rror dntl. Qunto pù pol rsultno gl rror dntl, tnto pù s d h l msur è prs. In gnrl, dunqu, nll pots d vr lmnto ogn tpo d rror grossolno, possmo rmr h l rror d un msur è somm d un rror sstmto (h s rpt ogn msur, n ugul ondzon oprtv) d un rror dntl (h nv vr sulmnt n ogn msur, nh s l ondzon oprtv rmngono mmutt): S A Il dgrmm sgunt ut omprndr qust ontt: vlor vro S A A S A S A3 S 3 An n vlor ttorno u sono "dstrut" l msur 5 Ad smpo, possono ssr d dtt ostruttv oppur d mlunzonmnt drvnt dll vr usto gl strumnt n prtolr ondzon oprtv o mntl (lvt tmprtur, ort mp lttromgnt, sovrrh osì v). 3 Autor: Sndro Ptrzzll

14 Appunt d Msur lttrh - Cptolo qu llustrto qullo h d qundo vngono omput msur rptut d un stss qunttà, l u vlor vro (nognto) è A. S not h sun msur è tt d un dnto rror sstmto S (pr ll drnz tr A d l vlor ttorno l qul rsultno dstrut l, d smpo l loro vlor mdo), mntr ò h m, d volt n volt, è l rror dntl A, h rnd dvrs un msur dll ltr. Com s vd, l rror dntl m s n mpzz s n sgno. Possmo nh usr un rpprsntzon gr ltrntv ll prdnt. Usmo n prtolr un dgrmm rtsno h prsnt n sss numr dnttv dll vr msurzon (,,...,) d n ordnt vlor ottnut pr l msur: msur S A 3 msurzon Così om nl so prdnt, vngono qu rportt (qust volt n ordnt) l vlor vro A (nognto) dl msurndo vlor ottnut dll vr msur; tl vlor sono dstrut ttorno l loro vlor mdo (s vd n proposto qunto dtto n prossm prgr), h drs d A pr un qunttà pr, pr dnzon, ll rror sstmto 6. L drnz tr l rsultto d sun msur d A è nv l rror dntl dll msur -sm, h m d so so. L dsprson d vlor ttorno l vlor mdo dlmt un rgon, dtt s d nrtzz, n u rsultno omprs tutt l msur ttut: msur s d nrtzz 3 msurzon Fmo notr, omunqu, h l s d nrtzz è dnt rgorosmnt om qull rgon, vllo dl vlor vro A dl 6 L gur rportt non dv trrr n ngnno: rsultt dll sngol msur possono, n gnrl, rsultr s supror s nror d A, nh s l gur rport solo vlor supror d A. Autor: Sndro Ptrzzll 4

15 Msur d nrtzz (prt I) msurndo, nll qul s dstrusono rsultt dll vr msur. Tuttv, l dsorso tto poo s dtt qust dnzon nll pots h l vlor mdo s pprossm l vlor vro A, l h d qundo, oss nll pots d ompr un numro suntmnt lvto d msur rptut. In modo dl tutto quvlnt, è vdnt h, s rusmo d lmnr l rror sstmto (l qul, om vsto, nd n gul msur sull ), l msur srnno dstrut propro ttorno d A drrnno d ss pr un qunttà A (nognt) vrl d so so: msur A s d nrtzz 3 msurzon Com vdrmo nl prossmo prgro, l rttrst ondmntl dgl rror dntl è qull d ssr vlor mdo nullo, pr u è nullo l vlor mdo dgl srt A d sun msur rsptto d A. rror sstmt Sormmo dsso mggormnt sugl rror sstmt, dovut ssnzlmnt, om s è dtto, mprzon (ostruttv o d trtur) dgl strumnt mpgt pr ompr l msur. In prmo luogo, è vdnt h è possl rdurr gl rror sstmt ttundo un nuov mglor trtur dgl strumnt, usndo tl strumnt nl modo pproprto sottoponndol d un urt prod mnutnzon. In sondo luogo, gl rror sstmt dpndono nh dll ondzon mntl, oss dll mnt n u s sgu l msur: qusto prhé vntul vrzon dll tmprtur oppur prsnz d vntul mp lttromgnt sono nomn h possono nlunzr s l strumntzon s lo stsso msurndo. S d n qust s h sst un ntrrnz strn sul sstm d msur gl rror prndono nh l nom d rror ondzont. In gnrl, dmo h gl rror sstmt sono dl d vlutr d hnno nh un mggor mportnz d qull dntl: ntt, mntr gl rror dntl nlunzno l prson d un msur, gl rror sstmt nlunzno l nrtzz dll msur stss. Il modo lsso d vlutr l rror sstmto su un msur è qullo d onrontr un stm A not dl vlor dl msurndo d l rsultto dll msur 7 : S A Qust è n prt l dnzon d rror dt n prdnz. D notr h ss drs dl modo on u vlutr gl rror dntl: ntt, sruttndo l tto h gl rror dntl s 7 Al posto dl rsultto dll sngol msur, s potr prndr l vlor mdo d rsultt d msur rptut. 5 Autor: Sndro Ptrzzll

16 Appunt d Msur lttrh - Cptolo possono rtnr vlor mdo nullo, tl rror dntl dvono ssr lolt om drnz tr l rsultto d un sngol msur l md d rsultt d un sr d msur rptut: A dov qund. Tornndo gl rror sstmt, s dns orrzon l vlor d ggungr, lgrmnt, l rsultto non orrtto d un msur pr ompnsrn l rror sstmto. Il ontto è smpl: s l rsultto dll msur è tto d un rror sstmto d, l orrzon C- S : S V, llor potrò ompnsr tl rror sommndo, C S ( V) V Così ndo, ottnmo propro l vlor dl msurndo. ovvo h l dsorso è purmnt toro: ntt, non ssndo prttmnt noto S (prhé non è noto l vlor V dl msurndo), non lo srà nmmno l orrzon C qund l ompnszon non srà omplt. Un ltro modo d smnr lo stsso ontto onsst nl onsdrr l osddtto ttor d orrzon, C F, dnto om qul numro pr u moltplr l rsultto d un msur l n d ompnsr l rror sstmto ssoto tl msur: ò sgn porr V C Possmo dsso r l sgunt onsdrzon: supponmo d vr omputo un dt msur d vr ottnuto l rsultto ; qusto rsultto è tto d un rror sstmto S h non è prttmnt noto; d ltr prt, sstono dll stuzon n u è possl potzzr un modllo mtmto dl qul rvr l nttà dll rror sstmto, l h onsnt un orrzon dll rror, om vsto poo ; l prolm è h l modllo potzzto non è prtto, pr u non lo potrà ssr nh l orrzon; qund, qundo provmo orrggr un rror sstmto, pportmo un orrzon nh ss surmnt mprtt; d onsgunz, l rsultto nl dll nostr msur prsnt du us d nrtzz: qull dovut ll vr pplto un orrzon non prtt qull ssot ll prsnz d tt dntl. Qund, dopo l orrzon, l rsultto potr nh ssr molto vno l vlor vro V dl msurndo, oss potr vr un rror sstmto rsduo molto polo, m potr omunqu ssr tto d grnd nrtzz, n qunto ttor h l dtrmnno non vnno onus on gl rror. In ltr prol, è n non onondr l rror sstmto rsduo non orrtto on l nrtzz dl rsultto d un msur: pur rdundo l rror sstmto, l nrtzz potr rmnr lvt. In ln gnrl, possmo dr h h snso provr orrggr gl rror sstmt solo qundo s stm h l loro ontruto s dll ordn dll nrtzz; s gl rror rsultno ssr pol, è possl vtr l orrzon; nn, s s stm l prsnz d rror grnd, llor potr ssr opportuno mr mtodo d msur. F Autor: Sndro Ptrzzll 6

17 Msur d nrtzz (prt I) ACCURATZZA PRCISIO Amo pto, n prgr prdnt, h ogn msur è soggtt dll lmtzon, pr u l rsultto dll msur dv nssrmnt ssr ompgnto dll ndzon quntttv dll nrtzz dll msur stss. Bsogn str ttnt non onondr trmn om urtzz, nrtzz prson. Pr urtzz (ury) ntndmo l grdo d pprossmzon dll qunttà msurt l vlor vro dl msurndo oppur d un su stm. S trtt d un ontto tpmnt qulttvo non quntttvo. S nv s vuol pssr d un vlutzon qulttv, s onsdr l urtzz rltv (smolo: ), dnt nl modo sgunt: s è l rsultto d un dt msur d S è l rror sstmto (solo stml) d tl msur, l urtzz rltv è dt d vdnt h, l dmnur dll rror sstmto, umnt l urtzz, no l vlor mssmo (toro, non rggungl) qundo S 0. Rordmo h l rror sstmto è dnto om S V, pr u possmo nh srvr h V V L qunttà sotto l sgno d vlor ssoluto è surmnt mnor d, pr u l vlor mnmo dll urtzz rltv è 0. Tlvolt, s snt dr h uno strumnto prsnt un urtzz dllo 0.5%: s s rrss ll urtzz rltv ppn dnt, ò sgnhr h lo strumnto orns dll pssm prstzon. Al ontrro, prolmnt s rrv ll nrtzz: n qusto so, n modo dl tutto qulttvo, s dovr smplmnt dr h lo strumnto prsnt un ottm urtzz. Dstnto dll urtzz è l ontto dll prson: pr prson d un msur ntndmo l ndzon numr dll pprossmzon d un nsm rptuto d msur dll stss qunttà l vlor mdo dll nsm d msur. Vdmo d spgr mglo: supponmo d ondurr un sr d msur (,,...,) dll stss qunttà; lolndo l vlor mdo d tl msur, srvmo h S Allor, qunto pù l sngol msur s vvnno l loro vlor mdo, tnto pù drmo h l msur è qulttvmnt prs. Anltmnt, l prson dll gnr msur srà p L md rtmt dll p rpprsnt nv l prson dl mpon d msur (,,.., ): p p 7 Autor: Sndro Ptrzzll

18 Appunt d Msur lttrh - Cptolo Sottolnmo h, pur potndo quntr l urtzz l prson d un msur o d un nsm d msur rptut, s trtt omunqu d ontt ssnzlmnt qulttv. Contto n qulh modo nlogo qullo dll prson è qullo dll rptltà, dnt om l grdo d pprossmzon sstnt tr rsultt d msur sussv dll stss qunttà, sgut nll stss ondzon d msur. Com vdrmo pù vnt, l dvzon stndrd dll msur sgut rpprsnt un nd d rptltà dll msur stss. Anlogmnt, l osddtt rprodultà è dnt om l grdo d pprossmzon sstnt tr rsultt d msur sussv dll stss qunttà, sgut n dvrs ondzon d msur. Sottolnmo nor un volt, om trspr dll dnzon ornt, h l urtzz l prson sono ontt qulttv non quntttv. Com vdrmo, un ss nrtzz d msur s potrà vr solo qundo s l urtzz s l prson sono lvt. Aurtzz prson dpndono d vr ttor, tr u tmo l qultà dgl strumnt utlzzt l ur srtt dll utnt nl ompr l msur. Avr un lvt prson sgn vr s un lvt rptltà dll msur s un sunt numro d r sgntv: ntt, qunto mggor è l prson dll msur tnt pù r sgntv l rpprsntno tnto pù pol sono gl srt tr un msur l ltr. Al ontrro, qundo sono poh l r sgntv h rpprsntno l msur, l prson è pol nh s gl srt tr l vr msur sono pol: qusto propro prhé tl srt ntrssno r v v pù sgntv. Fmo un smpo: supponmo d vr uno strumnto lttur dgtl (d smpo un multmtro dgtl), n u oè l rsultto dll msur s ndto su un dsply dgtl on un rto numro d r; s, pr smpo, l r ossro solo du, vrmmo prolmnt un sr d msur rptl (oè on rsultt sml tr loro), m non prs (dt l ssnz d ultror r sgntv d lggr). Vn or d hdrs s l prson mpl l urtzz /o vvrs. S può rmr h l prson è un ondzon nssr m non sunt pr l urtzz: qusto sgn h un msur, pr ssr urt, dv nh ssr prs ( qund rpprsntl on un lvto numro d r sgntv), m un msur prs potr omunqu ssr non urt. Fmo nh qu un smpo: supponmo d vr uno strumnto h prmtt d lggr 6 r dll grndzz d msurr supponmo noltr d ompr dvrs msur, stnz rvvnt (nl tmpo) tr d loro; n qust ondzon, possmo surmnt rmr d vr omputo un msur prs s l msur s sostno poo un dll ltr, m non è dtto h l msur s urt, d smpo prhé lo strumnto non è n trto. Fn qu, dunqu, l urtzz l prson ornsono ndzon solo qulttv sull ontà dll nostr msur. S voglmo dll ndzon pù quntttv, domo rvolgr ll nrtzz, l qul, om gà dtto, rpprsnt sostnzlmnt l nostr mpossltà vlutr on sttzz l msurndo n quston. Pr ntrodurr qusto ontto, prò, domo ntrodurr lun ontt d sttst, u sono ddt prossm prgr. RROR STIMATO Supponmo d volr msurr un rt grndzz, d smpo un rsstnz, supponmo h s A l vlor vro ( no sonosuto) d tl qunttà. Supponmo noltr d ompr du dstnt msur d, un on uno strumnto molto urto (h hmmo strumnto d rrmnto) d un on uno strumnto mno urto (dtto strumnto oprtvo), d smpo qullo usto n un lortoro unvrstro. I du strumnt drnno du dstnt msur, h ndhmo rspttvmnt on 0 d m. Possmo dsporr tl vlor, nsm l vlor vro A, su un ss orzzontl, l n d dr un ntrprtzon gr d ò h stmo ndo: 8 Autor: Sndro Ptrzzll

19 Msur d nrtzz (prt I) vlor vro stm (urt) dl vlor stm (poo urt) dl vlor A 0 m rror dllo strumnto d rrmnto (sonosuto) rror dllo strumnto d oprtvo (sonosuto) L qunttà 0 0 -A rpprsnt l rror omputo dllo strumnto d rrmnto: s trtt d un qunttà sonosut (dto h non s onos A), m omunqu pol, dt l ontà dllo strumnto usto. Anlogmnt, l qunttà m m -A rpprsnt l rror omputo dllo strumnto oprtvo: nh qust è un qunttà sonosut s prsum noltr pù grnd d 0, dt l mnor ontà dllo strumnto usto. L un qunttà not è l drnz m - 0 tr l rror dllo strumnto oprtvo qullo dllo strumnto d rrmnto: ntt, possmo srvr h m 0 ( m A) ( 0 A) m 0 Qust qunttà può llor ssr prs om un stm dll rror dllo strumnto oprtvo. In ltr prol, qund, s voglmo stmr l rror ommsso dl nostro strumnto oprtvo, domo nssrmnt r dmnto d uno strumnto d rrmnto (o, qunto mno, d un mpon). MDIA, DVIAZIO MDIA, DVIAZIO STADARD VARIAZA DI U CAMPIO DI MISURA Supponmo d ompr msur sussv dllo stsso msurndo; s è l rsultto dll gnr msur, l nostro mpon d msur è dnto om l -pl dll : (,,..., ) Trmt gl lmnt d qusto vttor possmo lolr un sr d qunttà. L prnpl d ss è l md rtmt dll msur, gà ntrodott prdntmnt: Com vdrmo n sguto om dl rsto è stnz ntutvo spttrs, qust qunttà rpprsnt l mglor stm possl h possmo ornr dl nostro msurndo. 9 Autor: Sndro Ptrzzll

20 Appunt d Msur lttrh - Cptolo In tlun s, dl rsto, h snso lolr, l posto dll md rtmt, un md pst, n modo d ttrur mggor pso d lun msur rsptto ll ltr. S onsdr prò l sgunt qunttà: p S trtt ovvmnt d dnr nl modo pù opportuno possl ps w sondo u ttur tl md pst. I rtr possono ssr dvrs: d smpo, s potr dr mggor pso ll msur h sono pù ttndl o omunqu mggormnt sgntv. Il rtro pù snsto s s sull sgunt onsdrzon: domo ntt onsdrr h sun msur è tt d un propr nrtzz (h ndhmo on u ); llor, s può ttrur mggor pso ll msur tt d nrtzz mnor; pr ottnr qusto, sogn smplmnt prndr d ont d pso h sno nvrsmnt proporzonl ll nrtzz dll orrspondnt msur: gnrlmnt, s pon llor w u w w otmo h, ovvmnt, s l msur vssro tutt l stss nrtzz, ont d pso sr ugul qund l md pst rsultr pr ll md rtmt. Consdrmo dsso l md rtmt 8 mo qulh pssggo n pù. In prtolr, ndhmo, rspttvmnt, on s gl rror sstmt dntl sull -sm msur ; llor, qust ultm può ssr srtt om V V s dov ovvmnt l qunttà V (vlor vro dl msurndo) non è tt d nd n qunto l msur sono tutt rltv llo stsso msurndo. Clolndo dsso l md rtmt d du mmr, prmo mmro ottnmo l md rtmt dll msur, mntr sondo mmro ottnmo qunto sgu: V s V s In s qunto n prdnz, gl rror dntl rpprsntno un tp vrl ltor vlor mdo zro; qusto vl, prò, solo pr, oè pr un numro molto grnd d msur. Fndo llor qust pots d molto grnd, possmo onludr h V s Qust rlzon suggrs dvrs onsdrzon: 8 Rordmo h l md rtmt onsnt d vlutr l rptltà dll msur ttut, oss l grdo d pprossmzon d tl msur l vlor dll loro md. Autor: Sndro Ptrzzll 0

21 Msur d nrtzz (prt I) Autor: Sndro Ptrzzll n prmo luogo, ss d h l md rtmt d un nsm d msur è sostnzlmnt un stm dl vlor V dl msurndo, tnto mglor qunto mnor è l vlor mdo dgl rror sstmt sull sngol msur; n sondo luogo, s srvmo qull rlzon om V s s ottnmo l dnzon dl osddtto s (polrzzzon) dl nostro nsm d msur: sso è dnto om l vlor mdo dgl rror sstmt d è qund pr ll drnz tr l vlor mdo dll msur d l vlor vro dl msurndo. Ovvmnt, l s mto d sgno rpprsnt l orrzon totl d pportr d pr ottnr un mglormnto dll urtzz. S dns noltr dvzon dll msur -sm l drnz tr l rsultto dll msur l md d rsultt dll msur: d Qusto ontto onsnt d dnr nh l dsprson dll nsm d msur rsptto l vlor mdo. Ad smpo, un modo d quntr tl dsprson è qullo d lolr l vlor mdo d modul dll dvzon dll sngol msur, oss l osddtt dvzon md: α d Il motvo pr u s onsdrno l dvzon n modulo è smplmnt qullo pr u tl dvzon hnno vlor mdo nullo: ( ) 0 d Ad ogn modo, l prmtro tpmnt utlzzto pr vlutr l dsprson dll msur è l dvzon stndrd, dnt n trmn d qudrt dll dvzon dll sngol msur, nl modo sgunt: ( ) σ d Fmo suto ossrvr h l sgno d ll nr ugul n qust ultm rlzon srà hrto pù vnt. Il qudrto dll dvzon stndrd è l osddtt vrnz dl mpon d msur: ( ) ( ) σ

22 Appunt d Msur lttrh - Cptolo Com ultm dnzon, ornmo qull d momnto ntrl d ordn q dl gnro mpon d msur: q q [ ] ( ) S vd suto h qust qunttà è un gnrlzzzon d qull ntrodott n prdnz: ntt, pr q ottnmo un qunttà null, mntr pr q ottnmo l vrnz. A onluson dl prgro, sottolnmo h l dnzon dt n qusto prgro sono rrt smpr l mpon d msur h mo dsposzon. Vdrmo n sguto dll nlogh dnzon d rttr pù gnrl om tl dnzon sono lgt qull ntrodott n qusto prgro. COCTTI DI FRQUZA DI CLASSI Spsso, l omprnson d un nomno so può ssr ltt d un sm vsvo d rsultt d msur rptut d un grndzz o, omunqu, n gnrl, d dt sttst. Bsogn llor ndvdur l modo mglor pr rpprsntr grmnt dt dsponl. C vngono llor n uto lun ontt. S dto l nostro mpon d msur (,,..., ) omposto d lmnt. S l rsultto dll -sm msur; è possl h qusto stss rsultto s ottng n pù d un msur; llor, l numro d volt n n u l msur h ornto vlor prnd l nom d rqunz dll msur. L qunttà n /n prnd nv l nom d rqunz rltv d. Ovvmnt, s tutt l msur ornsono rsultt dvrs, l rqunz dll sngol msur sr qund l rqunz rltv srro tutt pr d /n. Al ontrro, s tutt l msur dssro lo stsso rsultto, llor rsultr n n qund. Un modo ltrntvo d dnr l rqunz rltv s s sul rggruppmnto dll msur n grupp (dtt lss): s trtt nlmnt d ntrvlln n u l msur possono dr, dnt prò suno d un strmo nror d uno supror. S K sono n totl l lss ndvdut, l mpzz dll -sm lss srà m, mn, K dov ovvmnt m, mn, sono, rspttvmnt, l strmo supror d nror dll lss - sm. Un volt ttut qust suddvson, drmo h l rqunz rltv dll -sm lss è l numro d msur h dono n tl lss, rpportto l numro totl d msur: S può dr un ntrprtzon gr. Consdrmo ntt un gro rtsno; n sss mttmo l vlor dll msur, mntr n ordnt mttmo l rqunz rltv : Autor: Sndro Ptrzzll

23 Msur d nrtzz (prt I) L ss dll sss è stto suddvso nll vr lss, suppost tutt pr omodtà d mpzz untr, l h sgn h K, oss h K. m, mn, m, mn, Con qust slt, ottnmo un stogrmm, n u l rqunz rltv rpprsnt l r dl gnro rttngolno. Ovvmnt, dto h l somm dll rqunz rltv è pr d, l r omplssv sotts dll stogrmm è su volt untr: Ovvmnt, sono d onsdrr du possltà, sond d rsultt h possmo ttndr dll msur: l so rpprsntto nll ultm gur è qullo n u l msur possono ssumr qulss vlor rl omprso tr l mnmo d l mssmo; l ltro so, rpprsntto nll gur sgunt, è nv qullo n u rsultt possono ssumr solo vlor dsrt (pnsmo d smpo l lno d du dd, h può dr, om rsultto, solo numr,3,...,): Pr dntr sun lss, possmo onsdrr l vlor mdo dll msur h dono n tl lss: possmo oè ssor ll -sm lss l qunttà F F h h dov F è l rqunz dll lss -sm, oss l numro d msur h dono n tl lss, dov h è l h-sm msur h d nll lss -sm. Adsso, possmo lolr nuovmnt l md dll msur: K F h h K F F F h h K F K K 3 Autor: Sndro Ptrzzll

24 Appunt d Msur lttrh - Cptolo dov mo vdntmnt tnuto onto h rqunz rqunz rltv sono lgt dll rlzon F /. L ormul ppn rvt mtt n vdnz h l md rtmt dll msur non dpnd pù dl numro d prov sgut: notmo ntt h ss è pr d un md pst d vlor md dll sngol lss onsdrt, dov ont d pso sono l rqunz rltv ssot ll lss. turlmnt, sndo sull, possmo rptr gl stss dsors tt n prdnz r l dvzon md, l dvzon stndrd l vrnz, h ssumono l sgunt sprsson (ottnut on prodmnto nlogo qullo sguto pr l lolo dll md ): dvzon md: α K K dvzon stndrd: σ ( ) K vrnz: σ ( ) Proltà sttst COCTTO DI PROBABILITÀ Contnumo onsdrr l ontto d rqunz rltv d un dt lss -sm. S mo un numro d msur molto grnd ( ), l rqunz rltv tndono d ssumr vlor smpr pù stl, no rggungr un vlor n dnto, dtto proltà dll vnto. Il ontto d proltà è stto mpmnt trttto n ors prdnt, pr u non vrrnno trttt l prnpl dnzon d sso rltv, rtnndol mpmnt not. prossm prgr srnno tt solo ontt d pù strtto ntrss pr l msur. VARIABILI ALATORI spsso onvnnt ssor, d ogn rsultto dll sprmnto sul onsdrto, un vlor numro: tl vlor può ssr slto n modo dl tutto onvnzonl oppur può ssr ntrodotto l solo sopo d lssr n modo pù prso rsultt o può nh rpprsntr l vlor ssunto d un grndzz s n orrspondnz dl rsultto ottnuto. Pr smpo, nll produzon d un rto tpo d oggtt, è possl ssor onvnzonlmnt l vlor logo 0 sun pzzo dttoso d l vlor logo sun pzzo sno. Oppur, s l sprmnto onsst nll produzon n sr d un rto tpo d rsstor, vn mmdto pnsr d rttrzzr l rsstor prodotto (oè l rsultto dll sprmnto) on l vlor dll su rsstnz. Consdrmo prò un sprmnto sul l u spzo d proltà s (S,P), dov S è lo spzo d vnt, oss l nsm d tutt possl rsultt ossrvl pr l nomno, P è l Autor: Sndro Ptrzzll 4

25 Msur d nrtzz (prt I) unzon proltà, h sun vnto d S sso l proltà h sso s vrh. Consdrmo noltr un unzon osì dnt: : S R k S trtt oè d un unzon h sun vnto ontnuto n S sso un rto vlor numro, h srà un vlor rl nl so h k oppur un vttor d lmnt rl s k>. D notr h non s trtt d un unzon proltà: s trtt smplmnt d un lgg nlt h orrspondr, sun vnto, un rto vlor dtrmnto n un modo prstlto. Un unzon dl tpo d prnd l nom d vrl ltor (o nh sul) k- dmnsonl. l sguto no lmtrmo onsdrr s n u k k, oss vrl ltor monodmnsonl (k) dmnsonl (k). S dns rngo dll vrl ltor l odomno d, oss l nsm (S) d vlor ossrvl pr. Vrl ltor dsrt Un vrl ltor è vlor dsrt (o smplmnt dsrt) s l suo rngo (S) è un nsm nto o omunqu numrl. Qund, dr h un rt vrl è dsrt sgn dr h l suo rngo è dl tpo (S),,...,,... { } dov,,..., n,... (on n nto nl so d (S) nto oppur ndtrmnto s (S) è nnto numrl) sono dgl slr s è monodmnsonl oppur d vttor k omponnt s è k- dmnsonl. Allor, no smo smpr ntrsst vlutr l proltà h l vrl ltor ssum qu vlor, oss srmo ntrsst vlutr P( ) P( )... Qust numr, h spsso ndhrmo on l lttr mnusol p,p,..., godono ovvmnt d proprtà: trttndos d vlor d proltà rltv d uno stsso nomno, ss sono tutt mggor o l pù ugul zro; noltr, pr lo stsso motvo, l loro somm, pr n nto o nnto, è smpr pr d. L unzon P h sso d ogn vlor dl rngo d l proltà h ssum qul vlor prnd l nom d unzon d proltà d. L nsm dll opp (,p ), on,,..., osttus nv ò h s hm dstruzon d proltà d. n Vrl ltor ontnu L ltr tgor d vrl ltor è qull dll vrl ltor ontnu. Drmo h è un vrl ltor vlor ontnu (o smplmnt ontnu) s sst un unzon rl p : R k R h god d 3 proprtà rttrsth: 5 Autor: Sndro Ptrzzll

26 Appunt d Msur lttrh - Cptolo. p() 0 R k. p ()d k 3. R : P( A) A p()d : qust proprtà d h, prso un qulss sottonsm A A d R k, l proltà h vlor rsontrt pr mo prt d A è dt d qull ntgrl Un unzon p() h god dll prm proprtà s d h è un dnstà; l trz proprtà nv sì h d s d l nom d dnstà d proltà. Com srà hro tr poo om s ddu propro dll trz proprtà, un unzon dnstà d proltà srv ndr l pso d sngol punt o d ntr sottonsm d R k. Il sgnto mtmto dll dnstà Rgurdo l trz proprtà dll unzon dnstà p() rltv d un rt vrl ltor, possmo vsulzzr l suo sgnto nl modo h sgu: l unzon dnstà può ssr rpprsntt su d un gro rtsno n unzon d d vrà un rto ndmnto: p() Fssmo dsso un ntrvllo [,] gnro, on h potrro nh ssr nnt; s no ndmo lolr, mdnt l proprtà 3, l vlor d P(<<), non mo ltro h msurr l r dll rgon d pno omprs tr l urv d p(), l ss dll sss d punt. Qusto dl punto d vst mtmto; dl punto d vst prolsto, on qusto lolo msurmo l PSO dll ntrvllo [,] rltvmnt ll vrl ltor prs n sm. Ossrvzon: pso nullo d sngol punt Consdrmo un vrl ltor ontnu onsdrmo un qulss punto d R k. S è ontnu, ss vrà un rt dnstà p(). Voglmo lolr l proltà h pr s ossrv l vlor, oss voglmo P(). Utlzzndo l trz proprtà d p(), mo h P ( ) A p()d { } Autor: Sndro Ptrzzll 6

27 Msur d nrtzz (prt I) dov mo oè posto l nsm A pr smplmnt l vlor. Tuttv, propro pr l tto d ssr osttuto d solo punto, è noto h d A s ssgn msur null d un ntgrl stso d un nsm d msur null è smpr 0, qul h s l unzon ntgrnd. Qund P() 0. Qust è un proprtà ondmntl dll vrl ltor ontnu: dt un vrl ltor, ogn sngolo punto dl rngo (oè dl odomno), h può ssr R k o un suo sottonsm, h pso 0. Apprntmnt qusto tto può smrr poo ntutvo: tuttv, domo smpr tnr prsnt h, s ssummo h poss ssumr tutt vlor d un dtrmnto ntrvllo, domo d un lto dr h l proltà h ssum un dtrmnto vlor s 0, m, ontmpornmnt, domo nh mmttr h l proltà ugul zro non quvlg ll mpossltà. In ltr prol, nl so d vrl ltor ontnu, l tto h P(A)0 O mpl nssrmnt h A s un nsm vuoto. Dstruzon umultv d un vrl ltor ontnu Supponmo d vr un vrl ltor ontnu supponmo h s p() l su dnstà. Dto un qulss punto dl odomno d, lolmo l proltà h l vrl ssum un vlor mnor o l pù ugul d : sruttndo l unzon dnstà, possmo srvr h P( ) p()d S pon llor F() P( ) p()d Qust unzon F() è un unzon rl d vrl rl h non ps ogn sngolo punto m ps d - no qul punto. ss god dll proprtà ondmntl pr u p () df() d oss è un prmtv dll unzon p(). M l unzon F() god nh d ltr proprtà, h sono l sgunt:. lm F() : ntt, è rto h. lm F() 0 : ntt è mpossl h - 3. F() è un unzon ontnu 4. F() è strttmnt monoton (rsnt o drsnt) sul rngo d, mntr l d uor dl rngo, potr nh ssr ostnt. 7 Autor: Sndro Ptrzzll

28 Appunt d Msur lttrh - Cptolo Qust unzon F() prnd l nom d dstruzon umultv o unzon d dstruzon dll vrl ltor. vdnt h l onosnz d F() quvl ll onosnz d p(): ntt, n s ll rlzon vst prm, st drvr F() pr onosr p(). Vdmo un sr d ltr proprtà d F(). L prm è l sgunt: L dmostrzon è mmdt: ntt, dto h ( ) F( ) F( ) P ( ) ( ) ( ) ( ) P P P P è hro h ( ) P( ) P( ) F( ) F( ) P Chrmnt, un onsgunz mmdt d qust ultm proprtà dll dnzon d dnstà d proltà è h P ( ) p() d Smpr sull ls rg d qust ultm rordndo h F(- )0, è hro h Un ltr proprtà è l sgunt: P ( ) p()d F( ) S F() F() monoton monoton rsnt drsnt F( ) F( ) F( ) F( ) VALOR ATTSO, COVARIAZA CORRLAZIO Supponmo d sgur un grn numro d prov rltv d un dto nomno ndhmo on l vrl ltor dsrt h nd l rsultto d tl prov. Supponmo noltr h ssunto l vlor pr n volt, l vlor pr n volt osì v no l vlor m pr n m volt. S supponmo h s l prov sgut n totl (qund n n...n m ), possmo lolr l md rtmt d vlor ssunt d : srvmo h m n m ( n n... mn m )... m n n n m dov ovvmnt n / è l rqunz rltv dl rsultto. Tl rqunz rltv tnd ll proltà p dl rsultto s l numro omplssvo d prov è stnz lvto: mttndo qund nll pots h, possmo srvr h Autor: Sndro Ptrzzll 8

29 Msur d nrtzz (prt I) m Amo ottnut un sort d dlzzzon dll md rtmt: ss è ntt dvntt un md pst d rsultt possl, dov ont d pso sono ppunto l proltà d vr rsultt. on s trtt pù, dunqu, d un md rtmt, pr u l hmmo vlor ttso (oppur spttzon oppur nor md sttst) dll vrl ltor. ll mggor prt d s, l smolo usto pr rpprsntr l md d è [] oppur µ, pr u nl sguto dottrmo qust smolog: µ [] opportuno sottolnr h l dnzon ppn ornt vl solo qundo è un vrl ltor dsrt, oss qundo ss può ssumr solo vlor dsrt, osì v. S nv è un vrl ltor ontnu, on un rt dnstà d proltà p(z), llor l su md (s sst) è osì dnt: p m p [] p() d Gl strm d ntgrzon qu rportt sono pù gnrl; pr ogn so spo, s trttrà dl vlor rspttvmnt mnmo mssmo ssuml d. Possmo or rptr, proposto dll dvzon md, dll dvzon stndrd dll vrnz, gl stss dsors tt poo pr l vlor ttso: s trtt sostnzlmnt d rprndr l stss sprsson trovt n prdnz sosttur l proltà ll rqunz rltv. Qund, pr un vrl ltor dsrt, srvmo qunto sgu: dvzon md: α m p m dvzon stndrd: σ p ( ) m vrnz: σ p ( ) S nv è un vrl ltor ontnu, llor l dnzon dvntno l sgunt (s trtt sostnzlmnt d sosttur l sommtor d prm on dgl ntgrl sts l domno d p(): dvzon md: α p() µ d dvzon stndrd: σ p() ( µ ) vrnz: σ p() ( µ ) d d 9 Autor: Sndro Ptrzzll

30 Appunt d Msur lttrh - Cptolo otmo suto h, nll dnzon ornt n qusto prgro, non mo pù usto l smolo d r ugul, om nv vvmo tto n prdnz. Il motvo è smplmnt nl tto d vr sosttur l rqunz rltv on l proltà. STIM O DISTORT, FFICITI, COSISTTI Amo n prdnz ossrvto h, dopo vr tto un sr d msur rptut dopo vr orrtto gl rror sstmt h ossro orrggl, possmo onsdrr l md rtmt dll msur om un stm dl vlor V dl msurndo: mo ntt trovto l rlzon V s dov è l rsultto dll gnr msur. Fmo suto notr h prlmo d stm n qunto è, d tto, un numro, ottnuto om md rtmt d rsultt numr dll prov sgut. Possmo llor vlutr l ontà d qust stm, sruttndo lun prnp sttst. Pr prm os, domo nssrmnt vrr h l stm non s dstort: qusto sgn vrr h l vlor ttso dll stm ond on [], oss on l vlor ttso dll vrl ltor [ [ ] ] Potr smrr mpropro prlr d vlor ttso d, n qunto mo dtto poo h è un numro. In rltà, s trtt d un vrl ltor h ssum un vlor n prso lddov s dsponl un mpon d msur rpprsntto d rsultt (,,..., ) dll prov sgut. ss s drnz qund d [], h è un qunttà purmnt tor. S l rlzon [ ] [] rsult vrt, s d h è uno stmtor non dstorto d []. Un ltro prmtro d rlvo è l osddtto rror qudrto mdo dll stm : onsdrndo h l rror ommsso d tl stm è [], l rror qudrto mdo è dnto om [( [ ) ] qm ] S trtt qund d lolr l qudrto dll rror [] po d lolrn l md. Drmo h l stm è nt qundo l orrspondnt rror qudrto mdo rsult pù polo d qullo h s vr onsdrndo ltr stm : j qm [( [] ) ] qm, j ( j [] ) [ ] j Inn, s d h l stm è onsstnt qundo ss s pprossm d [] on un proltà tnto mggor qunto mggor è l numro dll prov sgut. In trmn mtmt, possmo sprmr dndo h, sst un qunttà ε>0 pol pr, rsult lm P ( [] ε) 0 Autor: Sndro Ptrzzll 30

31 dov ovvmnt ( [] ε) Msur d nrtzz (prt I) P è l proltà h s vrh qunto ndto n prnts, oss h l drnz (n modulo) tr stm vlor ttso s non nror ll ε prssto. Fn qu mo dunqu ornto smplmnt tr dnzon. Vdmo llor s sodds l tr proprtà ppn dnt. In prtolr, mostrmo h è un stm non dstort d []. Pr prm os, domo lolr l vlor ttso d : rordndo om è stto dnto, mo h [ ] [ ] [ ] [] dov mo tnuto onto h, pr dnzon, l vlor ttso d sun msur ond on l vlor ttso d. Qund, mo rvto h l stm ottnut on è non dstort. Snz r ultror dmostrzon, possmo rmr h l suddtt stm è nh nt onsstnt. MOMTI CTRALI MOMTI ASSOLUTI Com vdrmo mglo n sguto, rsult molto onvnnt onsdrr l vrl ltor [] ottnut d sottrndol l suo vlor ttso. ss prmtt d lolr l osddtto momnto ntrl q-smo d, osì dnto: [( [] ) ] q S possono lmnt vrr du proprtà d qusto momnto ntrl: s q0, l momnto ntrl rsult ugul d : ntt ( [] ) s q, l momnto ntrl rsult ugul 0: ntt ( [] ) q [ ] Dto smpr ( [] ) 0 [ ] [] [ ] [ ] [ [] ] [] [] 0, possmo sosttur, l posto dll prnts tond, l vlor ssoluto, ottnndo l osddtto momnto ssoluto q-smo d : q [ [] ] A prsndr dll uso o mno dl vlor ssoluto, s dns vrnz d (smolo V() oppur σ ) ò h s ottn ponndo q: σ [( [ ) ] V() ] L rd qudrt (postv) dll vrnz prnd nn l nom d dvzon stndrd d : σ [( [ ) ] σ ] Rordmo dsso h, n prdnz, mo dnto nh l vrnz l dvzon stndrd d un mpon d msur: 3 Autor: Sndro Ptrzzll

32 Appunt d Msur lttrh - Cptolo vrnz dl mpon (,,..., ): σ ( ) dvzon stndrd dl mpon (,,..., ): σ σ ( ) Vdmo llor s sst qulh lgm tr qust du qunttà, rspttvmnt, l vrnz l dvzon stndrd d. In tt, s può dmostrr h σ è un stm dstort d σ, ovvmnt, h σ è un stm dstort d σ. Consdrmo d smpo l vrnz σ. Applndo l dnzon ornt prm d stm dstort, domo lolr l vlor mdo d σ vrr s sso ond o mno on σ : omnmo llor srvr h [ σ ] ( ) ( ) ( ) [ ] Convn qusto punto ggungr sottrrr µ ( vlor ttso d ) ll ntrno dll prnts tond, n modo d r sgunt pssgg: [ ] [ ( µ ) ( µ )( µ ) ( µ ) ] [ σ ] ( µ µ ) [( µ ) ] ( µ )( µ ) [( µ ) ] ( µ )( µ ) [ ] [ ] ( µ ) [ ] [ ] ( µ ) L prm qunttà sondo mmro è propro l vrnz d ; pr qunto rgurd l sond qunttà, nv, possmo srvr h [( µ )( µ )] ( µ ) ( µ ) ( µ ) ( µ ) Tornndo ll uguglnz gnrl, mo dunqu h [ ] [ σ ] σ ( ) µ In s qust rlzon, l vlor ttso d σ non ond on [ ] qunttà ( µ ) [ ] ( µ ) [ ] σ, m drs d ss pr l. Domo llor ndgr sul vlor d qust qunttà. A tl n, s dns ont d orrlzon mutu tr du msur d j l sgunt qunttà: C µ µ [( )( )] j j L du msur s dono norrlt qunto l loro ont d orrlzon mutu è nullo: C j 0 Autor: Sndro Ptrzzll 3

33 Msur d nrtzz (prt I) Autor: Sndro Ptrzzll 33 Drmo noltr h l msur sono mutumnt norrlt qundo rsult ( )( ) [ ] j on j 0 C j j µ µ Sull s d qust dnzon, ndmo svluppr spltmnt l trmn ( ) [ ] µ : ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) µ µ µ µ µ µ µ µ S supponmo h l msur sno mutumnt norrlt, s ntus h qul prodotto d sommtor (dnth) s può rdurr d un sol sommtor on rgomnto lvto l qudrto: ( ) [ ] ( ) µ µ A qusto punto, s vd om qull md non s ltro h l vrnz d, pr u srvmo h ( ) [ ] σ µ Tornndo llor ll rlzon [ ] ( ) [ ] µ σ σ, srvmo h [ ] σ σ σ σ Qust rlzon onrm qunto ntpto n prdnz, oss h l vrnz σ dl gnro mpon d msur è un stm dstort dll vrnz σ d. L nttà dll dstorson è dt d σ d è prò tnto mnor qunto mggor è l numro dll msur sgut. In tt, qunto ppn rvto suggrs qul poss ssr un stm non dstort d σ : st ntt onsdrr l qunttà ( ) s h qund drs d σ pr l trmn (-) dnomntor. Rptndo gl stss ont d prm, vrhmo h qust qunttà è un stm non dstort d σ :

34 Appunt d Msur lttrh - Cptolo [s ] σ σ ( ) ( ) [ ] [ ( µ ) ] [( µ ) ] [ ( µ ) ] σ [ ( µ ) ] [( µ ) ] ( µ )( µ ) σ σ...(om prm)... Fndo un dsorso prttmnt nlogo, uno stmtor non dstorto pr l dvzon stndrd d srà l sgunt: s s ( ) S può noltr dmostrr h l stm s d s sono nh nt onsstnt. ss sono not om stm orrtt d Bssl. D notr h l sosttuzon d on (-) non h mportnz prt, n qunto stmo omunqu supponndo molto grnd. VARIABILI ALATORI COTIU Consdrmo dsso un unzon Yg(), dov è un vrl ltor ontnu on unzon dnstà d proltà p(). hro h nh Y è un vrl ltor. S può llor dmostrr h l vlor ttso d Y s lol nl modo sgunt: [Y] g()p() d Il vlor ttso d è nv dto notormnt d µ [] p() d Qust ultm rlzon può ssr vst om un onsgunz dll prdnt: st prndr g(). possl stmr l vlor ttso d mdnt l sgunt stm: S trtt sostnzlmnt d sgur ossrvzon ndpndnt dll vrl ltor po d rn l md rtmt. Autor: Sndro Ptrzzll 34

35 Msur d nrtzz (prt I) In modo nlogo, ossrvndo h l vrnz d h l sprsson σ ( ) µ p() d l s può stmr trmt l sgunt stm: s ( ) S, d ltr prt, oss noto l vlor ttso µ dll vrl ltor, llor lo s potr trnqullmnt sosttur, n qust ultm sprsson, l posto dll su stm, sosttundo nh - on : s ( µ ) S dns ovrnz d du vrl ltor d Y l sgunt qunttà: [( Y µ )( )] ov(,y) ov(y,) µ ss è un msur dll loro dpndnz mutu. Applndo l proprtà vst prm r l md d un unzon d vrl ltor 9, s può srvr h Y ( µ )( y µ y ) p(, y)ddy y p(, y) ddy µ Y ov(,y) µ dov p(,y) è l unzon d dnstà d proltà ongunt dll vrl d Y. Qust unzon god dll proprtà pr u l du vrl d Y sono tr loro ndpndnt s solo s rsult p(,y)g()h(y), dov g() è l dnstà d proltà d h(y) è l dnstà d proltà d Y. Anh pr l ovrnz è possl ttur un stm st su ossrvzon ndpndnt: ov(, y) ( )( y y) dov è un stm dl vlor mdo d y è un stm dl vlor mdo d Y. S dns ont d orrlzon d d Y l sgunt qunttà: ov(, Y) ov(, Y) ρ(,y) ρ(y,) σσy σ σ Y 9 In tt, n qusto so sogn tnr onto h l unzon g(,y) d u lolr l md è un unzon d du vrl ltor 35 Autor: Sndro Ptrzzll

36 Appunt d Msur lttrh - Cptolo Pr stmr qusto prmtro, è possl usr l sgunt qunttà: ov(, y) r (,Y) r(y, ) s s Y ov(, y) s s Y Il ont d orrlzon è un numro omprso tr -. sso vl 0 qundo è null l orrlzon tr d Y. In qusto snso, l ont d orrlzon nd sostnzlmnt l grdo d dpndnz mutu rltv tr d Y. DISTRIBUZIO BIOMIAL Consdrmo un vrl on dstruzon osddtt noml. Qusto sgn h può ssumr solo vlor ntr postv o null (0,,,..., ) h l proltà h ssum vlor gnro k è k k P( k) p ( p) k Ossrvmo dunqu h tl dstruzon è rttrzzt d prmtr, p. Il sgnto d qust prmtr è l sgunt: l prmtro è l numro d prov (ndpndnt) h sono stt sgut (rltvmnt d un dtrmnto vnto A); l prmtro p è nv l proltà h, nll gnr prov, l vnto A onsdrto s s vrto. In tl modo, rpprsnt l numro d volt, su prov, n u l vnto A s è vrto. Qund, P(k) è l proltà h, su prov, l vnto A s s vrto k volt. Spsso, s pon q-p, pr u qull proltà s trov srtt nll orm P k k k ( k) p q S può vrr h l md (o momnto dl prmo ordn) d l momnto dl sondo ordn d sono [] p [ ] p pq d u sturs h l vrnz d è σ [ ] [] pq. Autor: Sndro Ptrzzll 36