3.6 Esercizi e complementi

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1 88 Capitolo 3. Principi di Modulazione Numerica 3.6 Esercizi e complementi Risolvere i seguenti esercizi ipotizzando, a meno di esplicita indicazione contraria che: 1. la sequenza m(k) sia una sequenza di rv binarie ed indipendenti; 2. P({m(k) = }) = P({m(k) = 1}) = 1/2; 3. non si ricorra ad alcuna tecnica di codifica di canale; 4. l impulso g(t) soddisfi il criterio di Nyquist. Ex-1 Con riferimento alla modulazione M-PAM determinare la struttura del ricevitore a minima probabilità di errore. Ex-2 Con riferimento alla modulazione M-QAM determinare la struttura del ricevitore a minima probabilità di errore nell ipotesi che h = log 2 M sia un numero pari. Dimostrare che la demodulazione di un segnale M-QAM può ricondursi a quella di due segnali M-PAM con portanti in quadratura. Ex-3 Con riferimento alla modulazione M-PPM determinare la struttura del ricevitore a minima probabilità di errore. Ex-4 Per realizzare una trasmissione con bit rate R b pari a 96 bit/s, utilizzando una banda monolatera di 4 khz, si ricorre ad una modulazione M-PAM in banda base e si utilizza un impulso di segnalazione g(t) con G(f) 2 del tipo RCR con fattore di rolloff α =.5 (un segnale di tipo RRCR(α)). Determinare il valore minimo di M necessario a soddisfare il vincolo sulla banda impegnata dal segnale modulato. Ex-5 Ripetere l esercizio precedente per un bit rate pari a R b = 144 bit/s e per una modulazione PAM in banda passante. Ex-6 Si determinino i requisiti in termini di banda degli schemi di modulazione BPSK, QPSK, 8-PSK, 64-PSK, 64-QAM assumendo che sia richiesto di effettuare una trasmissione con bit rate pari a R b = 2 Mbit/s. Si assuma di utilizzare un segnale g(t) con G(f) 2 del tipo RCR nel caso ideale (minimi requisiti di banda) α =. Ex-7 Si assuma di voler trasmettere un segnale dati con bit rate R b = 34 Mbit/s su un canale con larghezza di banda di 26 MHz. Determinare quale schema M-PSK è appropriato allo scopo assumendo di utilizzare un impulso g(t) del tipo RRCR ed α =

2 3.6. Esercizi e complementi 89 Ex-8 Una sorgente con bit rate R b = 9 Mbit/s deve essere trasmessa utilizzando un canale con banda di 3 MHz e filtraggio di Nyquist con α =.3. Determinare quale schema di modulazione M-PSK può essere usato per tale scopo. Ex-9 Si ripeta l esercizio 4 ipotizzando di utilizzare per g(t) un impulso rettangolare, cioè g(t) = 1 Π t /2 ed assumendo come misura della banda monolatera la semilarghezza del lobo principale di G(f) (dove G(f) è la trasformata di Fourier di g(t)) ovvero W = 1/ (per un PAM in banda base). Ripetere il calcolo con riferimento alla banda monolatera al 98 (99) % della potenza, W 98 (W 99 ). Suggerimento: a tal fine è necessario calcolare la banda W 98 (W 99 ) quando g(t) è un impulso rettangolare; tenendo conto dell espressione della PSD di un segnale PAM è immediato verificare che W 98 può essere calcolata risolvendo la seguente equazione: W 98 t.c. W98 W 98 S g (f)df =.98 dove S g (f) denota la ESD di g(t). Analoghe considerazioni valgono per quanto attiene al calcolo di W 99. Impostare il calcolo e risolverlo per via numerica. Ex-1 Con riferimento ad una sorgente i cui messaggi siano modellabili come realizzazioni di una sequenza di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite di tipo Binomiale di parametro p, < p < 1, cioè m(k) B(1, p), k Z, e ad uno schema di modulazione binario si chiede di determinare la struttura del ricevitore coerente a minima probabilità di errore (MAP) e le corrispondenti regioni di decisione; la probabilità di errore (facoltativo). Ex-11 Si consideri uno schema di modulazione con M = 4 che utilizzi nell intervallo (, ), = 2 b, le seguenti forme d onda: s 1 (t) = 4E sin 2πt, t /2, 4E s 2 (t) = sin 2πt, t /2,

3 9 Capitolo 3. Principi di Modulazione Numerica 4E s 3 (t) = sin 2πt, /2 t e 4E 2πt s 4 (t) = sin, /2 t, in modo da costruire il segnale modulato s(t) = K 1 k= E g(t k, ck ) con E g(t, ck ) {s i (t)} 4 i=1 al fine di trasmettere la sequenza c,...,c K 1. Determinare: l energia delle forme d onda s i (t), i = 1,...,4; la struttura del ricevitore coerente a minima probabilità di errore (MAP) e l insieme delle regioni di decisione; la probabilità di errore sul simbolo del ricevitore coerente (facoltativo). Ex-12 Si consideri uno schema di modulazione con M = 2 che utilizzi nell intervallo (, b ) le seguenti forme d onda: 2E s 1 (t) = cos(2πf 1 t + ϕ 1 ), t b, b 2E s 2 (t) = cos(2πf 2 t + ϕ 2 ), t b, b con f i = f + (i 1) f, i = 1, 2 ed f 1/ b. Si dimostri che: - le forme d onda hanno energia E, cioè b s 2 i (t)dt E; - le forme d onda utilizzate sono fra loro ortogonali, comunque si scelgano le fasi iniziali ϕ i, i = 1, 2, cioè b s 1 (t)s 2 (t)dt E, ϕ 1, ϕ 2, se f = k/ b con k numero intero. Quindi è la minima separazione in frequenza che garantisce l ortogonalità delle forme d onda s 1 (t) e s 2 (t). Dimostrare inoltre che se ϕ 1 = ϕ 2 = la condizione di ortogonalità diventa f = 1/(2 b ). Derivare, infine, la struttura del ricevitore coerente assumendo f = 1/ b e calcolare la corrispondente probabilità di errore (facoltativo). 1 b

4 3.6. Esercizi e complementi 91 Ex-13 Un segnale passa-banda reale u(t) con banda monolatera W e componenti frequenziali in un intorno di f (e f ) può essere rappresentato attraverso il corrispondente inviluppo complesso u(t) = v u (t)e jϕu(t). Si supponga di filtrare u(t) ricorrendo ad un sistema reale con risposta in frequenza H(f) = A(f)e jθ(f) dove A(f) e θ(f) denotano, rispettivamente, la risposta in ampiezza e in fase del filtro. Si assuma, inoltre, di poter approssimare la risposta in ampiezza e quella in fase, nella banda di u(t), rispettivamente, con il termine di ordine zero e con i termini di ordine zero ed uno della espansione in serie di aylor, cioè A(f) A(f ), f (f W/2, f + W/2) θ(f) θ(f ) + (f f ) θ(f ) f (f W/2, f + W/2) dove θ(f ). = d df θ(f) f=f. ale ipotesi è ragionevole per segnali passa-banda a banda stretta. Mostrare che 1) la trasformata di Fourier dell equivalente passa-basso dell uscita del sistema v(t) può essere scritta come 2) l uscita del filtro è data da Ṽ (f) Ũ(f)A(f )e j(θ(f )+f θ(f )) ; v(t) A(f )v u (t t g ) cos(2πf (t t p ) + ϕ u (t t g )) dove t g = 1 2π d df θ(f) f=f t p = 1 2π θ(f) f f=f e sono denominati, rispettivamente, ritardo di gruppo e di fase di v(t) rispetto ad u(t). Ex-14 Si determinino i requisiti minimi in termini di banda e il rapporto segnale/rumore per bit degli schemi di modulazione BPSK, QPSK, 8-PSK e 64-PSK, assumendo che sia richiesto di effettuare una trasmissione con R b = 2 Mbit/s e P b (e) = 1 4. Ex-15 Ripetere l esercizio precedente con riferimento ad un QAM per M = 16 e M = 64.

5 92 Capitolo 3. Principi di Modulazione Numerica Ex-16 Un segnale vocale è campionato alla frequenza di 8 KHz, compresso (logaritmicamente) 5 e codificato (con un formato PCM) usando 8 bit per campione. Il segnale PCM è trasmesso su un canale AWGN in banda base utilizzando un M-PAM. Determinare i requisiti di banda minimi qualora si assuma a) M=4, b) M=8 e c) M=16. Ex-17 Una navicella spaziale distante 1 8 m dalla terra trasmette dati verso una stazione terrestre (con una frequenza media di informazione R b ). La banda utilizzata è centrata a 2 GHz e la potenza trasmessa è 1 W. La stazione ricevente utilizza una antenna parabolica del diametro di 5 m mentre l antenna trasmittente ha un guadagno di 1 db. La temperatura di rumore di sistema del ricevitore è S = 3K (in ingresso al LNA). Determinare la potenza utile ricevuta nella sezione di ingresso del LNA (trascurando l eventuale attenuazione della guida d onda) e il massimo valore di R b che può essere utilizzato, in assenza di codifica, al fine di garantire P b (e) 1 6 utilizzando uno schema di segnalazione binario antipodale. Esistono scelte migliori per il numero di livelli di segnalazione e per il formato di modulazione? Ex-18 Un satellite geostazionario (36 Km) opera come ripetitore rigenerativo in un sistema di comunicazione numerico che adopera il formato di modulazione QPSK. Considerando la tratta in discesa l antenna a terra ha un guadagno di 5 db mentre quella sul satellite di 6 db ed opera alla frequenza di 4 GHz con una banda di 1 MHz. Valutare il bit rate e la potenza trasmessa necessaria per garantire una probabilità di errore sul bit non superiore a 1 5 assumendo una temperatura di rumore del sistema ricevente di 3 K. Ex-19 Un sistema con ripetitori della lunghezza di 4 Km consiste di m sezioni in cavo (identiche) con α =.4 db/km ed m amplificatori identici con guadagno massimo di 3 db. Determinare il numero minimo di sezioni ed il guadagno per amplificatore in modo che P in = 2 W e P out = 5 mw. Ex-2 Un sistema con ripetitori della lunghezza di 3 Km consiste di m sezioni in cavo (identiche) con α =.6 db/km ed m amplificatori identici. Determinare il numero minimo di sezioni ed il guadagno per amplificatore in modo che P in = P out = 1 mw e la potenza di segnale in ingresso a ciascun amplificatore sia almeno pari a 25 µw. Ex-21 Un sistema di comunicazione numerico utilizza un collegamento via cavo con 1 ripetitori non rigenerativi. Si assumano tratte identiche ed uno schema di segnalazione binario antipodale. Si determini il valore minimo del rapporto segnale/rumore per bit in uscita alla prima tratta necessario a garantire una probabilità di errore sul bit non superiore a 1 4 (P b (e) 1 4 ). 5 Le informazioni tra parentesi non sono necessarie ai fini dell esercizio.

6 3.6. Esercizi e complementi 93 Ex-22 Un sistema di comunicazione numerico utilizza un collegamento via cavo con 1 ripetitori rigenerativi. Lo schema di segnalazione è binario antipodale. Si determini il valore minimo del rapporto segnale/rumore per bit necessario a garantire una probabilità di errore sul bit del sistema non superiore a 1 4. Ex-23 Un sistema in cavo della lunghezza di 1 km è utilizzato per trasmettere dati ricorrendo ad un PAM binario. Si prevedono ripetitori rigenerativi ogni 5 km. Ciascun segmento del canale ha una risposta in frequenza ideale (costante) sulla banda di frequenze f 12 e una attenuazione di 1 db/km. Il rumore è additivo, gaussiano e bianco (AWGN). Determinare: 1. il più alto bit rate (R b ) compatibile con l utilizzo di segnali del tipo RRCR(α); 2. il valore di E b N necessario per ottenere P b (e) = 1 7 ; 3. la potenza trasmessa (da ciascun ripetitore) al fine di ottenere il valore precedentemente calcolato di E b N se si assume N = W/Hz. Suggerimento: per il calcolo di E b N al punto 2 si utilizzi la disuguaglianza: Q(x) 1 2 e x2 2, x. Ex-24 Per trasmettere i messaggi emessi da una sorgente con un bit rate pari a R b = 64 kbit/s ad una distanza di 1 km si ricorre ad un collegamento realizzato attraverso 1 tratte in cavo coassiale. Si vuole garantire una probabilità di errore non superiore a 1 4 utilizzando una modulazione antipodale in banda passante e ripetitori intermedi rigenerativi. Determinare i requisiti minimi in termini di banda e di energia media per bit per M = 2. All uopo si assuma N = 1 21 W/Hz e si ipotizzi di utilizzare impulsi di Nyquist con α =.4. Ex-25 Con riferimento ad un sistema di comunicazione che utilizzi la modulazione binaria antipodale; una codifica a blocchi a ripetizione (ciascun simbolo binario da trasmettere è ripetuto n volte, con n dispari, il decodificatore decide per un uno se dal demodulatore riceve più cifre 1 che e decide per uno zero in caso contrario); determinare la probabilità di errore sul bit in funzione di E b /N (il contrasto di energia in ingresso al demodulatore). Ex-26 Costruire un codice per generare realizzazioni di una variabile aleatoria X di tipo Binomiale di parametri 1 e p. Determinare la media di tale variabile aleatoria come frequenza relativa su N prove (ovvero ricorrendo alla simulazione Monte Carlo).

7 94 Capitolo 3. Principi di Modulazione Numerica Quale valore é necessario scegliere per N in modo da garantire un errore relativo inferiore al 2 % nel 9% dei casi? Si considerino per p i valori 1 3 e 1 6 ; si provi ad estrapolare una regola empirica valida per p 1. Suggerimento: al fine di determinare N si approssimi la frequenza relativa dell evento con una variabie aleatoria gaussiana con media p e varianza p(1 p) N. Ex-27 Costruire un codice per generare realizzazioni della variabile aleatoria v(k) di un decisore simbolo a simbolo per un formato di modulazione 2-PAM in banda base assumendo di essere nell ipotesi di ISI nullo (ad esempio, perché si utilizza un impulso di segnalazione del tipo RRCR(α) e si ipotizza assenza di errori di sincronismo). Calcolare P b (e) in funzione del rapporto segnale/rumore per bit ricorrendo alla tecnica di simulazione Monte Carlo. Ex-28 Con riferimento ad un sistema di comunicazione che utilizza la modulazione 2-PAM in banda base ed impulsi di segnalazione del tipo RRCR(α) costruire un codice per generare campioni a passo assegnato del segnale modulato assumendo di trasmettere N simboli con N numero dispari. Costruire inoltre una sequenza di realizzazioni della variabile aleatoria x((n 1)/2) in presenza ed in assenza di errori di sincronismo. Calcolare P b (e) in funzione del rapporto segnale/rumore per bit ricorrendo alla tecnica di simulazione Monte Carlo.

8 3.6. Esercizi e complementi 95 Soluzioni Ex-4 In questo caso W = 1+α e quindi R 2 b /W = 2log 2 M. Indicata con W 1+α la banda disponibile (W = 4 khz) si deve imporrre ovvero M 4. M t.c. W = R b(1 + α) 2 log 2 M W Ex-9 In questo caso W = 1 e quindi R b/w = log 2 M. Indicata con W la banda disponibile (W = 4 khz) si deve imporrre ovvero M 8. M t.c. W = R b log 2 M W Con riferimento ad un impulso rettangolare con energia unitaria la ESD assume la forma S g (f) = (sinc(f)) 2 e si verifica facilmente che W W S g (f)df = ( 1 + cos(2π(w)) + 2π sinint(2π(w))(w))/π 2 /(W). Di conseguenza è possibile calcolare W ovvero la banda monolatera normalizzata ad 1/. A tal riguardo si può far uso del seguente codice Matlab. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Programma per il calcolo di W_{99} clear all; =1; W=[:.1:12]; f=(-ones(1,length(w))+cos(2*(w*)*pi)+ 2*pi*sinint(2*(W*)*pi).*(W*))/pi^2./(W*) -99/1*ones(1,length(W)); %plot(w, f);

9 96 Capitolo 3. Principi di Modulazione Numerica [fmin,xmin]=min(abs(f)); W=xmin/1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Utilizzando il precedente codice è immediato verificare che W e, analogamente, W con un errore assoluto inferiore a.1. Ovviamente è possibile ricorrere a metodi più efficienti per la risoluzione numerica dell equazione. Procedendo come per la prima parte si trova M 2 13 (M 2 25 )! Ex-12 Si procede dapprima al calcolo dell energia delle forme d onda s 1 (t) ed s 2 (t): b s 2 i (t)dt = b 2E cos 2 (2πf i t + ϕ i )dt = 2E b 1 b b 2 [1 + cos(2π2f it + 2ϕ i )]dt = E b dt + E b cos(2π2f i t + 2ϕ i )dt E, i = 1, 2. b b ßÞ Ð, se f i 1/ b La condizione da imporre su f per garantire l ortogonalità tra le forme d onda è la seguente Pertanto b = 2E b b b s 1 (t)s 2 (t)dt =. (3.59) s 1 (t)s 2 (t)dt = 2E b cos(2πf 1 t + ϕ 1 ) cos(2πf 2 t + ϕ 2 )dt b 1 2 {cos[2π(f 2 f 1 )t + ϕ 2 ϕ 1 )] + cos[2π(f 1 + f 2 )t + ϕ 1 + ϕ 2 )]}dt = E b cos(2π ft + ϕ)dt + E b cos[2π(f 1 + f 2 )t + ϕ 1 + ϕ 2 )]dt b b ßÞ Ð = E sin(2π ft + ϕ) b 2π f t=b = E 1 t= b 2π f [sin(2π f b + ϕ) sin( ϕ)], dove si è posto, per definizione, ϕ = ϕ 2 ϕ 1.

10 3.6. Esercizi e complementi 97 Escludento il caso f =, segue che la condizione (3.59) si riduce a che è verificata quando sin(2π f b + ϕ) = sin( ϕ), (3.6) 2π f b + ϕ = ϕ + 2kπ, k Z, a causa della periodicità della funzione seno. Risolvendo rispetto a f si ha f = k b, k Z. La minima separazione in frequenza si ottiene ovviamente per k = 1, ovvero f = 1 b. Nell ipotesi ϕ 1 = ϕ 2 =, la (3.6) si semplifica a che ha soluzioni sin(2π f b ) =, 2π f b = kπ, k Z. Risolvendo rispetto a f e ponendo k = 1 si ottiene la minima separazione in frequenza che garantisce l ortogonalità tra le forme d onda s 1 (t) ed s 2 (t) nel caso di fasi iniziali nulle, cioè f = 1 2 b. Ex-21 Per un sistema numerico che utilizzi N tratte fra loro identiche con ripetitori non rigenerativi (o trasparenti) il rapporto segnale/rumore in ingresso al demodulatore è S = 1 S N N N N 1 dove S denota il rapporto segnale/rumore in uscita alla prima tratta. Per N 1 uno schema di modulazione binario antipodale, ricorrendo ad un impulso ideale di Nyquist, si ottiene un efficienza di banda uguale a due. Quindi la probabilità di errore è data da P b (e) = Q 1 N 2E b N dove E b /N rappresenta il contrasto di energia in uscita alla prima tratta. In questo caso quindi per ottenere P b (e) = 1 4 si deve imporre 1 N E b/n = 8.4 db. Quindi E b /N = 28.4 db.

11 98 Capitolo 3. Principi di Modulazione Numerica Ex-22 Per un sistema numerico che utilizzi N ripetitori rigenerativi identici ed un formato di modulazione di tipo 2-PAM la probabilità di errore complessiva e la probabilità di errore relativa alla singola tratta p sono legate dalla relazione: N N P b (e) = p n (1 p) (N n) Np n n=1 dove l approssimazione vale per p 1 ed N non troppo grande. Quindi nel caso in esame, per N = 1, se si vuole garantire P b (e) = 1 4 è necessario imporre p = 1 6 che implica E b /N 1.5 db con un guadagno (detto di rigenerazione) rispetto ad una soluzione che non ricorra a ripetitori rigenerativi di 17.9 db.