MOTO INTERNO ED ESTERNO. P. Di Marco Termofluidodinamica Appl. SL-1

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1 MOO INERNO ED ESERNO P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-1

2 INRODUZIONE - DEFINIZIONI Moto esterno: Il flusso ad una certa distanza non è influenzato dalla presenza della parete. Moto interno: l intera corrente fluida risente (si modifica) per effetto della parete. Zona di imbocco o di sviluppo: zona all ingresso di un condotto (moto interno) in cui gli effetti della presenza della parete si propagano solo ad una parte del fluido. Al termine di questa zona, di dice che il moto è pienamente sviluppato. Scambio termico per convezione: asportazione o cessione di calore da parte di un fluido in moto che lambisce una parete verso/da la parete stessa. Convezione forzata: scambio termico convettivo in cui il moto del fluido è indotto da agenti esterni al sistema (pompe, ventilatori etc.). Convezione naturale: scambio termico convettivo in cui il moto è indotto dall azione del campo gravitazionale sulle differenze di densità dovute ai gradienti di temperatura. Oppure dall azione di un campo di forze sulle variazioni indotte dai gradienti di temperatura su una proprietà ad esso collegata (es. campo elettrico permittività elettrica). P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-

3 IL COEFFICIENE DI CONVEZIONE Legge della convezione o di Newton: si chiama cosi (anche se Newton non la ha mai scritta) in omaggio al fatto che N. fu il primo ad osservare che la velocità di raffreddamento di un corpo immerso in un fluido è proporzionale alla differenza di temperatura tra il fluido ed il corpo stesso. W q" hc ( w ref ) h c m K Moto esterno: ref Moto interno: ref m A immediato contatto della parete il fluido è fermo, quindi lo scambio termico avviene per conduzione λ f q" hc ( w ref ) λ f hc ( w ref ) 0 0 quindi se si riuscisse a determinare il gradiente termico alla parete non ci sarebbe nessun bisogno del coefficiente di convezione. Questo a livello teorico è possibile risolvendo il sistema accoppiato N-S + bilancio energia. P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-3

4 IL COEFFICIENE DI CONVEZIONE Nella pratica: il gradiente termico alla parete non si può determinare che in pochi casi semplici. In particolare, la presenza di turbolenza complica il problema. Sfruttando l analisi dimensionale, si ricorre pertanto a correlazioni di scambio termico, nella forma ( ) ( ) Nu f Re,Pr Nu f Gr,Pr (convezione forzata) (convezione naturale) Nu h L L λ c ( ) 0 f w ref gradiente termico alla parete gradiente termico medio Dove L è un opportuna lunghezza di riferimento (diametro del condotto dimensione della superficie di scambio, etc.). Per capire meglio la convezione, dobbiamo adesso approfondire lo studio del campo termico e di moto in prossimità di una parete solida. P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-4

5 LO SRAO LIMIE LAMINARE P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-5

6 SRAO LIMIE INRODUZIONE Fluido in moto uniforme che incontra una parete parallela a U : gli effetti viscosi sono confinati in un sottile strato aderente alla parete detto da Prandtl SRAO LIMIE (ingl. BOUNDARY LAYER) P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-6

7 SRAO LIMIE INRODUZIONE P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-7

8 SRAO LIMIE INRODUZIONE P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-8

9 SRAO LIMIE INRODUZIONE La piastra agisce da momentum sink : drena quantità di moto dal fluido Spessore dello strato limite,, corrisponde convenzionalmente a v 0.99 U Un concetto analogo si può introdurre, oltre che per la diffusione della quantità di moto, per la diffusione di calore: SRAO LIMIE ERMICO Spessore dello strato limite termico,, corrisponde convenzionalmente a un pari all 1% del massimo 0.01 P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-9 w

10 SRAO LIMIE E davvero sottile? Raleigh s argument: la quantità di moto diffonde con una velocità che è dipende dalla viscosità cinematica, per cui si ipotizza υ t t( ) U dove t è il tempo trascorso da quando il fluido ha incontrato il bordo di attacco della piastra, per cui 1 υ υ U U Re lo strato limite è tanto più sottile quanto maggiore è Re il suo spessore cresce con 0.5 Se lo strato limite è sottile, si avvolge sugli oggetti come un tappeto e si può definire un sistema di coordinate curvilinee locali per descriverlo P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-10

11 SRAO LIMIE Grandezze Caratteristiche Spessore di spostamento * (displacement thickness) * 1 d U 0 v Spessore di q.moto θ (momentum thickness) θ 0 v U v 1 d U Il significato fisico di * e θ verrà chiarito in seguito (slide 1) Fattore di Fanning c f 1 Coefficiente medio di attrito τ w ρu C D, f τ w tensione di taglio alla parete τ FD FD A ρ ρ ρ d A U A U bl U bl w P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-11

12 SRAO LIMIE Derivazione delle equazioni - 1 Metodo degli ordini di grandezza: ipotizzo gli ordini di grandezza delle variabili che compaiono nelle equazioni e semplifico i termini di ordine superiore. Le arbitrarietà introdotte trovano giustificazione nell esperienza. Ipotesi iniziali sugli ordini di grandezza (ricordare che << L, Re >>1) v v U ; L ; v U 0 U ; L 0 L ; ; v α, incognito + 0 v U α + 0 L Dall equazione di continuità possiamo determinare l ordine di grandezza di α ne segue che, volendo conservare entrambi i termini α U L P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-1

13 SRAO LIMIE Derivazione delle equazioni - Considero ora N-S su (moto stazionario) e dividendo per U / v v v v v + v + ρ 1 p υ + υ 1 U U 1 U P υ U υ U U + L L L L + + ρ L L L P L L ρu Re L Re se ipotizzo p~ρu sopravvive solo il termine in rosso per cui ottengo p 0 p f ( ) la pressione nello strato limite non varia con : è imposta dall esterno Dato che fuori dallo strato limite il moto è potenziale, posso calcolare la pressione nello S.L. con Bernoulli P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-13

14 SRAO LIMIE Derivazione delle equazioni - 3 Considero ora N-S su (moto stazionario) v ρ v v 1 p v + v v + υ + υ U U U υ U υ U L L L L e dividendo per U /L (ordine più alto) 1 L Re [ 1] [ 1] [ 1] 1 Re Il termine in 1/Re scompare perchè Re >> 1 il termine in rosso viene ritenuto perchè in accordo con Raleigh /L ~1/Re 0.5 per cui si ottiene v v v 1 p v ρ + v + υ P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-14

15 SRAO LIMIE Riepilogo delle equazioni v v + 0 v v 1 p v v ρ p 0 + v + υ continuità N-S su N-S su Inoltre, da Bernoulli applicata ad una streamline fuori dallo strato limite U p 1 p U + cost U ρ ρ quindi N-S su può scriversi anche come v v U v v v U + + υ P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-15

16 SRAO LIMIE ERMICO: equazione Dall equazione del trasporto della temperatura (entalpia), con q ϕ 0 D ρ cp λ + q ''' + ϕ Dt Con una procedura analoga, si ottiene v v a + Simile nella forma a N-S su (senza il termine di pressione) P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-16

17 SRAO LIMIE URBOLENO - Equazioni Sono presenti i termini di trasporto turbolenti (metodo RANS) v v + 0 v v 1 p v 1 p 1 v + v + v ' v ' υ + τ + τ ρ ρ ρ p 0 1 v v a v ' ' ( q " mol q " edd ) + cp ρ + ( ) mol edd la a e la 4 a equazione si scrivono come E definendo le viscosità e diffusività turbolente da v ε M v ' v ', ε H v ' ' v v 1 p v 1 p τapp v + v + ( M ) υ + ε + ρ ρ ρ q" app v + v ( a + εh ) c p ρ P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-17

18 CARAERISICHE DELLO SRAO LIMIE 1. Lo strato limite è sottile se Re è elevato.. Si avvolge sulle superfici. 3. Le equazioni dello strato limite sono paraboliche: quello che è a monte non risente di ciò che è a valle. La evoluzione per > X 0 dipende solo dalle condizioni iniziali in assegnate X La pressione non varia lungo : è imposta dall esterno. Ne segue che si può calcolare la risultante delle azioni di pressione sulla superficie risolvendo il moto potenziale al di fuori dello strato limite, come se lo S.L. non esistesse. 5. Per il calcolo delle tensioni di taglio, bisogna invece trovare il profilo di velocità nello S.L. e calcolare τ τ v µ w Nel caso di moto turbolento, compare una componente di trasporto turbolento sia nella equazione di N-S su che in quella dell energia; La soluzione richiede un modello di turbolenza. P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-18

19 SRAO LIMIE SOLUZIONE DI BLASIUS (1) Blasius risolse numericamente le equazioni dello S.L. nell ipotesi di moto laminare e gradiente di pressione nullo (U uniforme) v v + 0 v v v v + v υ η Re Si definisce una η Re variabile ausiliaria E la funzione di corrente ψ υ U f ( η ) v / U ψ ψ υu v U f '( η ), v η f '( η) f ( η) 4 d dove f '( η f ) d η Sostituendo in N-S si ha [ ] f ''' + f f " 0 f ' f 0, η 0 Con condizioni al contorno f ' 1, η Integrando numericamente si ottiene 4.91 Re P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-19 p v 0 Coerente con l ipotesi di Raleigh

20 SRAO LIMIE SOLUZIONE DI BLASIUS () Riepilogo dei risultati di Blasius Spessore dello s.l Re U υ * 1.71 Spessore di spostamento dello s.l Re θ Re Spessore di momento dello s.l C Df 0.33ρU τ w ensione di taglio alla parete Re τw c f Fattore di Fanning c f Re ReL U L υ Coeff. medio di attrito C, ρu w d A F τ D A 1 1 ρu bl ρu bl P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-0 1 D f

21 SPESSORI DI SPOSAMENO e Q.MOO: signif. fisico Spessore di spostamento * (displacement thickness) * v bd U bd U bd U bd U * ( U v ) d 0 * * 1 d U 0 v Spessore di q.moto θ (momentum thickness) U b b v ( U v ) d 0 θ mancanza di q. moto dovuta a θ deficit di q. moto nello strato limite Forza di taglio risultante sulla superficie (vedi slide successiva) θ 0 v U v 1 d U P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-1

22 BILANCIO INEGRALE NELLO SRAO LIMIE (1) Se dp/d0, dal bilancio integrale di q. moto su applicato allo strato limite F τ d A ρv ( v n)d A+ ρv ( v n)da D w Aw A1 A FD U U da v da A A ρ + ρ Risolvendo h d 0 0 F ρ b U ρ b v d D 1 U bh b v d U bh b U v d 0 0 (cons. massa) ρ ρ ρ ρ da bd D ρ ρ d ρ ( )d ρ θ 0 0 F U b h b v b v U v b U 1 dfd dθ v v spessore di τ w ρ U θ 1 d b d d U U 0 momento Più in generale, se dp/d 0, Polhausen ha dimostrato che (Panton p.507) dfd d U d p τ w ρ ( θ U ) +ρ * U ρ ( θu ) * d d d che restituisce la precedente nel caso p cost (U cost da Bernoulli). P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-

23 BILANCIO INEGRALE NELLO SRAO LIMIE () Ipotizziamo un profilo di velocità qualunque Allora v U g g( Y ) [ ] 1 D ρ ( )d ( ) 1 ( ) d 0 ρ 0 F b v U v U b g Y g Y Y Ovvero F D ρ U b C1 per confronto con pag. precedente [ ] 1 1 ( ) 1 ( ) d 0 C g Y g Y Y θ Essendo nota g (Y), C 1 è noto, quindi è noto θ/: Ma ci vuole un altra condizione per trovare!!! Poi si possono determinare F D e τ w P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-3

24 BILANCIO INEGRALE NELLO SRAO LIMIE : esempio Ad esempio, per un profilo di velocità lineare, trovare τ w e g( Y ) 3 1 Y Y 1 Y C1 Y [ 1 Y ] dy 0 + θ Da fluido newtoniano v U τ w µ µ profilo lineare Dal bilancio di d U τ θ ρ d w ρ U quantità di moto d 6 d A. la seconda vale solo per profilo lineare Uguagliando Integrando Infine µ U ρu d 6µ d d 6 d ρu 6µ 1 υ υ ρu U U Re U U Re ρ U τ w µ µ Re (Blasius: 4.91, 0.33) AENZIONE: ci vogliono due diverse espressioni di τ w in funzione di P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-4

25 BILANCIO INEGRALE NELLO SRAO LIMIE LAMINARE Adottando diversi profili di velocità, si ottiene per lo S.L. laminare PROFILO di velocità nello s.l. Re c f Re C D f Re L * Re Lineare Parabolico Cubico Sinusoidale Blasius Ricordare 1 1 τ w c f ρ U, FD CD f ρu b L P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-5

26 SCAMBIO ERMICO NELLO SRAO LIMIE LAMINARE Si distinguono due casi: lo strato limite termico è più spesso di quello dinamico ( >> ) o viceversa ( << ): vedremo che questa differenza dipende dal valore del numero di Prandtl Se il moto è laminare si ha comunque che q" λ λ 0 P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-6

27 SCAMBIO ERMICO NELLO SRAO LIMIE LAMINARE Caso 1: strato limite termico più spesso di quello dinamico ( >> ) Guardando gli ordini di grandezza Dagli ordini di grandezza dell equazione di continuità inoltre v ~ U perchè lo strato dinamico è sottile, per cui v v v U + v a + v a v v + U U a Il termine in rosso è trascurabile perchè / << 1 per cui U a a U U ma a U ρ µ Re Pr µ ρa Pe (numero di Peclet) quindi P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-7 Pe 0.5

28 SCAMBIO ERMICO NELLO SRAO LIMIE LAMINARE Caso 1: strato limite termico più spesso di quello dinamico ( >> ) D altra parte si ha Pe Re Pr Per cui 1 Pr 1 ovvero υ a come previsto (met. liquidi) Per il flusso termico si ha q" λ λ Pe 0.5 Ovvero introducendo Nu h λ c q" λ si ha infine 0.5 Nu Pe Pr, 1 P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-8

29 SCAMBIO ERMICO NELLO SRAO LIMIE LAMINARE Caso : strato limite termico più sottile di quello dinamico ( << ) In questo caso si ha per le velocità v U v v U Guardando gli ordini di grandezza da cui e quindi 3 3 a U ma Re v v a + + U U +U a 0.5 υ 0.5 U a a υ a υ 1 1 U U U υ U Pr Re infine Pr Re P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-9

30 SCAMBIO ERMICO NELLO SRAO LIMIE LAMINARE Caso : strato limite termico più sottile di quello dinamico ( << ) Allora si ha Pr Re Re Pr Per cui 1 Pr 1 ovvero υ a come previsto (olii) Per il flusso termico si ha q Re Pr " λ λ Ovvero introducendo Nu q" λ si ha infine Nu Re Pr, Pr P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-30

31 SCAMBIO ERMICO NELLO SRAO LIMIE LAMINARE Polhausen, con un metodo simile a quello di Blasius ha trovato i coefficienti per piastra piana (altre relazioni su Bejan, cap.5) ( ) 0.5 Nu Re Pr Pr < 0.5 Nu Re Pr Pr > Parete isoterma ( cost) Nu Re Pr Pr > Flusso termico q cost Le proprietà fisiche vanno calcolate alla temperatura del film Una volta trovato Nu si ottengono i valori locali q e h c da w + f Nu q"( ) Nu hc ( ) P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-31 λ λ

32 SCAMBIO ERMICO NELLO SRAO LIMIE LAMINARE Ha interesse anche determinare i valori medi di q e α sull intera piastra 1 L q " q"( ) d L 0 q " hc n C f ( L) f ( ) C f ( L) 1+ n In generale se Nel nostro caso q"( ) C 0.5 ( ) 0.5 L Nu 1.18 Re Pr Pr < 0.5 L L Nu Re Pr Pr > L 0.5 Parete isoterma ( cost) P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-3

33 ESEMPIO: RAFFREDDAMENO DI UN CORPO A cost Una piastra sottile, L 100 mm b 00 mm, si trova a w 100 C, è raffreddata da aria a a 0 C che la investe con U m/s. rovare: potenza asportata W, valore medio di h c, valore locale di q (). U L Aria 60 C: Pr 0.70, µ Pa s, ρ 1.06 kg/m 3, λ 0.08 W/ m K Pr ρu U L 0.7, ReL µ Nu Re Pr L L 60.1 h Nu λ L L c W hc bl( w a ) q"( ) 17 W/m K 54 W ( ) 0.33 ( ) Nu λ Re Pr λ w a w a W/m Notare che q () ha una singolarità per 0, dove non vale la teoria dello strato limite. P. Di Marco ermofluidodinamica Appl. SL-33