Successioni numeriche

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1 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - uccessioi umeriche U successioe umeric è u fuzioe che ssoci d ogi umero turle rele: : N R : ( ) viee spesso idicto co e viee chimto termie -esimo dell successioe. Esempi : ) Abbimo:,,4,9,6.Per idicre quest successioe possimo che scrivere ( ) N u umero : ecc. 4 ) : ecc. 4 9

2 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - 9 ) : Not Alcue successioi vegoo defiite ssegdo il termie iizile e l relzioe tr il termie e il termie successivo e i questo cso si dice che l successioe è defiit per ricorrez. Esempio: cosiderimo l seguete successioe defiit per ricorrez Abbimo: ecc

3 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - Progressioi ritmetiche U progressioe ritmetic è u successioe i cui l differez d tr u termie e il precedete è costte, cioè u successioe i cui si sseg il primo termie e d (che st per differez e che viee chimt rgioe dell successioe): d Esempi ) 4 Abbimo:,6,,4,8,.. I questo cso osservimo che si trtt di u successioe crescete (ogi termie è mggiore del precedete). ) 4 Abbimo:,-,-6,-,-4.. I questo cso l successioe è decrescete (ogi termie è miore del precedete). Osservzioe Il termie di u progressioe ritmetic di primo termie e rgioe d risult d Iftti bbimo: ; d ; ( d) d d ; ecc. Quidi il grfico di u progressioe ritmetic srà formto d puti llieti. Per esempio i figur è rppresetto il grfico dell progressioe vete e rgioe d. 9

4 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - Problem Dt u progressioe ritmetic, come risult l somm dei suoi primi termii? Cosiderimo per esempio l successioe ritmetic di termie e rgioe d. Quto risult l somm dei suoi primi termii cioè quto risult ? Possimo osservre che riscrivedo l somm i ordie iverso e sommdo membro membro bbimo: I geerle quidi bbimo: ( ) ( ) U eddoto Il grde mtemtico Guss qudo er bmbio riuscì clcolre l somm dei primi umeri turli (che il mestro vev dto d clcolre perché i suoi studeti pssssero u po di tempo.) proprio osservdo che l somm del primo e dell ultimo dv così come l somm del secodo e del peultimo ecc. e quidi clcoldo semplicemete. Esercizio s che esprime le posizioi occupte d u puto mterile che si muove di moto rettilieo uiforme co velocità v rispetto d u fissto sistem di riferimeto prtedo d u posizioe iizile s ()? e cosiderimo come il umero di secodi, qul è l successioe ( ) s () 94

5 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - Progressioi geometriche U progressioe geometric è u successioe i cui il rpporto tr u termie e il precedete è costte, cioè u successioe i cui si sseg il primo termie e q (che st per quoziete e viee chimt rgioe dell progressioe) : Esempi q ) Abbimo:, 6,8, 54, 6.. Osservimo che l successioe è crescete ( q > e il primo termie è positivo). ) Abbimo :,,,, Osservimo che l successioe è decrescete ( < q < e il primo termie è positivo). ) Abbimo:, -6, 8, -54, 6. Osservimo che i termii dell successioe soo ltertivmete positivi e egtivi. 4) Abbimo: -, -6,-8,-54,-6.. I termii soo tutti egtivi e l successioe è decrescete. 5) Abbimo:,,, I termii soo tutti egtivi e l successioe è crescete. 95

6 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - Osservzioe Il termie di u progressioe geometric di primo termie e rgioe q risult q Iftti bbimo :, q, ( q) q q ecc. e per esempio cosiderimo l progressioe geometric co e q bbimo: Il grfico cresce rpidmete.,,,,. Problem Come possimo clcolre l somm dei primi termii di u progressioe geometric (,q)? Poimo e moltiplichimo per q bbimo: q q... q q q q q... q Clcolimo or q : osservimo che bbimo poiché gli ltri termii si ullo. Allor possimo scrivere: ( q ) ( q ) q q ( q ) q e per esempio cosiderimo l progressioe geometric co ( ) e q bbimo 69 U eddoto U legged rr che l ivetore del gioco degli sccchi chiedesse come ricompes l re di Persi di vere tti chicchi di gro quti se e potev disporre su u sccchier poedo: chicco ell prim csell, due chicchi ell secod, quttro chicchi ell terz e così vi fio ll 64 csell. Iizilmete il re pesò che l ivetore si fosse ccotetto di poco m qudo si ccorse che vrebbe dovuto drgli 64 chicchi l legged rr che, preso dll ir, decise di tglirgli l test! 96

7 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - ched Coloie di btteri L mitosi è u processo legto ll divisioe cellulre. Attrverso l mitosi u cellul si divide i due cellule figlie che risulto geeticmete e morfologicmete idetiche tr loro e ll cellul mdre. L mggior prte dei btteri si riproduce medite il meccismo dell scissioe cellulre, ovvero dell mitosi. U volt che u cellul h rggiuto u cert dimesioe, si divide i due cellule idetiche, di mss pri circ l metà di quell origiri. Itto che le due cellule figlie crescoo fio dividersi ulteriormete e così vi. U dto btterio si riproduce ogi or circ, proliferdo i coloie molto grdi. uppoimo di poter osservre l evoluzioe di u popolzioe di questi btteri e che ll iizio dell ostr osservzioe si costituit d N btteri. Come risult il umero dei btteri che popolo l coloi l tempo t (misurdo t i ore)? N() N() N ( )... Quidi N ( t)... Prov disegre il grfico di N (t) el pio crtesio. 97

8 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - ched Iteresse semplice o composto? Qudo versimo dei soldi i bc ricevimo u compeso che è l'iteresse. L'iteresse è il prezzo che l bc pg per poter disporre del ostro dero e può essere: Iteresse emplice: se per esempio bbimo depositto euro e l iteresse è semplice del 5% gudgeremo 5 euro ll o e quidi dopo i, per esempio, vremo 5 euro i più rispetto l cpitle depositto. Iteresse Composto: l iteresse è clcolto ll fie di ogi o e si cpitlizz, cioè si ggiuge l cpitle depositto. Quidi se bbimo depositto euro e l iteresse è del 5% composto il primo o gudgeremo 5 euro m il secodo o gudgeremo il 5% di 55 euro quidi 5,5 euro ecc. uppoimo di ver depositto i bc euro e che l bc pplichi u iteresse i %. Clcol il cpitle C (), C () ) iteresse semplice C()... C()... C( t)... b) iteresse composto C()... C()... C( t)... C(t) dopo, i.t i el cso che si trtti di: Trcci i grfici corrispodeti : è chiro che è più coveiete l iteresse.. Geerlizz: se idichimo co i l iteresse (per esempio i %, ) e co C il cpitle iizile (cioè l tempo ) scrivi come risult il cpitle C (t) dopo t i ) iteresse semplice C ( t)... b) iteresse composto C ( t)

9 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - ched cl musicle tempert Nell scl musicle tempert l itervllo di u ottv (per esempio d Do l Do di frequez doppi) viee diviso i itervlli uguli chimti semitoi temperti cioè il rpporto tr l frequez di due ote cosecutive (esempio Do e Do diesis, Do diesis e Re ecc.) è costte. e chimimo f l frequez ssegt l Do (di u determit ottv), come possimo ricvre le frequeze delle ote successive (Do diesis, Re, Re diesis, Mi, F, F diesis, ol, ol diesis, L, L diesis, i, Do)? uggerimeto: ricord che l frequez del Do successivo dovrà essere f f e che costte cioè le frequeze soo i progressioe geometric. Riesci determire l rgioe di quest progressioe geometric? f f è.. 99

10 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - Problemi sulle successioi ) Tsso lcolemico Il tsso lcol emico el sgue idic l qutità (i grmmi) di lcool puro presete i litro di sgue: se u perso h u tsso lcol emico di g/l vuol dire che h grmmo di lcool puro per litro di sgue. pedo che i medi il fegto riesce smltire l lcool fcedo riducedo il tsso lcol emico del % ogi or, se u perso h iizilmete (dopo u bevut) u tsso lcolemico,5 ( g / )) l crivi l successioe che descrive il tsso lcolemico i fuzioe del tempo misurto i ore cioè clcol (tsso lcol emico dopo ore ). Dopo qute ore il tsso è miore di,( g / l) )? Not: fi u ricerc su qul è il tsso lcolemico fissto per legge oltre il qule ci soo multe per guid i stto di ebbrezz e cotroll bevedo cos e quto si può rggiugere questo limite. [,5 (, 7) ; dopo 8 ore] ) Rimblzi uppoimo che u pll veg lscit cdere d u ltezz iizile h, 4 m e che d ogi rimblzo perd il % dell su eergi. Come ( ) risult l ltezz h dell pll dopo rimblzi? Qul è l ltezz rggiut dopo il 5 rimblzo? e u pll idetic, l 6 rimblzo, rggiuge l ltezz di,5 m, d qule ltezz er stt lscit cdere? Approssim i risultti ll secod cifr decimle. [ h,4 (,8) ;, 46 m ;,9 m ]

11 Apputi di Mtemtic - uccessioi umeriche - ) Allemeto i biciclett )U ciclist progrmm u llemeto stbiledo di percorrere il gioro iizile Km e ei giori successivi il % i più del gioro precedete. Poedo come risult? e l llemeto dur giori, quti chilometri i totle h percorso? b) e ivece l llemeto vesse previsto di umetre di Km l gioro come risulterebbe e quti chilometri i totle si srebbero percorsi i giori? Not: rppreset i Km percorsi dopo giori di llemeto se cosiderimo che il gioro iizile. [ ) (, ) ; circ 478 Km ; b) ; circ 45 Km] 4) Decdimeto rdiottivo Alcue sostze, dette rdiottive, si trsformo i ltre sostze (si dice che decdoo ) e il tempo i cui l sostz si dimezz (metà dell su mss iizile si è trsformt) viee chimto tempo di dimezzmeto ed è diverso d sostz sostz rdiottiv. Per esempio lo iodio- h u tempo di dimezzmeto di 8 giori: se iizilmete hi g di iodio- dopo 4 giori quti grmmi soo rimsti? E dopo 5? 5) Nifee [5 g ;,5 g ] Le ifee di u lgo impiego gioro per rddoppire l propri superficie: se ll iizio occupo m e il lgo h u superficie di m, dopo quti giori le ifee vro occupto l iter superficie del lgo? [5]