dove con Σ si è indicata la sezione d'urto macroscopica del mezzo.

Transcript

1 . Liber cammin medi Abbiam vist in precedenza che in un sistema semplice a gemetria piana, cn una srgente di neutrni psta ad una estremità, la crrente neutrnica alla distanza x dalla srgente è data dall'equazine Σx j(x) = Se, (.) dve cn Σ si è indicata la sezine d'urt macrscpica del mezz. Piché la quantità j(x)/s è la frazine di neutrni incidenti su una superficie trasversale a distanza x dalla srgente, essa può essere vista cme la prbabilità per un neutrne di giungere al punt x senza subire cllisini. ssend Σ dx (= -dj(x)/j) la frazine di neutrni che subisce una cllisine nell'intervall dx, il liber cammin medi λ, ciè la distanza media che un neutrne percrre prima di subire una cllisine sarà data dall'espressine λ = xe e Σx Σx Σdx Σdx = Σ Si ptrà quindi anche scrivere j(x) = Se x / λ Cme si è già vist, quant maggire sarà la densità dell'element, la sua sezine d'urt e la lunghezza H, tant minre sarà il numer di neutrni che giungerann all'altra estremità del parallelepiped senza subire urti.

2 3. Legge di Fick Cnsideriam un sistema in cndizini di stat stazinari. Pniamci in una regine mgenea sufficientemente lntana da superfici di separazine e cmpsta da materiale scarsamente assrbente (sezine d'urt di assrbiment piccla rispett a quella di scattering). Cnsideriam una arela ds giacente nel pian x,y cme indicat nella figura. In un piccl element di vlume dv in un punt di crdinate r, θ, ϕ, il numer di cllisini per secnd è Σ s φdv, dve φ è il fluss dei neutrni per cm e per sec, mentre Σ s (in cm - ) è la sezine d'urt macrscpica. Avend assunt neutrni mnenergetici, il valre della sezine d'urt avrà un valre cstante. Se le cllisini sn sfericamente simmetriche, ciè, se gli eventi di scattering sn istrpici nel sistema di labratri, un neutrne può srtire dal centr di cllisine in gni direzine cn eguale prbabilità. Assumend qui scattering istrpic, la prbabilità che un neutrne in dv sia scatterat in una direzine tale da farl attraversare l'arela ds sarà data dall'angl slid frazinari sttes da ds al punt di scattering, ciè, da cs θ ds/4πr. La prbabilità che i neutrni che hann la lr direzine di mt entr tale angl slid raggiungan l'arela ds senza ulteriri cllisini è e Σr (3.) dve Σ è la sezine d'urt ttale, che include sia i cntributi di assrbiment (Σ a ) che di scattering (Σ s ).

3 Fig. Nel presente trattament abbiam assunt che il mezz sia pc assrbente, ciè caratterizzat da valri Σ a piccli rispett a Σ s. In quest cas si può sstituire nella () cn trascurabile errre Σ cn Σ s. Il numer di neutrni scatterati dall'element di vlume dv che raggiungn l'arela ds per secnd è quindi dat da ds cs θ Σsr Σ sφ dv e. (3.) 4πr Sstituend dv cn l'element equivalente (in crdinate sferiche) ( r sinθ dϕ)(rdθ)dr la () diventa 3

4 ds 4π φ Σ s e Σs r csθ sinθ dr dϕ dθ. Il numer ttale di neutrni scatterati entr l'area ds per secnd dall'alt, ciè nelle direzini negative rispett all'asse z, è ttenut integrand questa espressine in tutt l spazi al di spra del pian x,y, ciè per tutti i valri di r tra zer e infinit, per ϕ tra 0 e π, e per θ tra zer e π/. Indicand cn J - è la densità di crrente neutrnica, ciè il numer di neutrni che attraversan l'unità di superficie per secnd, nelle direzini negative rispett all'asse zeta, il numer di neutrni passanti attravers ds ptrà quindi definirsi ds π / π Σ J ds e s r Σs φ cs θ sinθ dθ dϕ dr. (3.3) 4π Per valutare quest integrale è necessari esprimere il fluss φ in funzine esplicita delle crdinate spaziali. A quest scp si usa una espansine di Taylr. Arrestandci ai termini del prim rdine, si ha φ(x, y, z) dφ dφ dφ = φ + x + y + z dx dy dz +... (3.4) dve l'indice zer significa che le derivate sn calclate nel punt d'rigine, ciè nel punt in cui è situata l'arela. Le variabili indipendenti x,y,z pssn essere espresse in termini delle crdinate sferiche attravers le relazini x y z = r sinθ csϕ = r sinθ sinϕ = r csθ Pichè nella (3) l'integrazine su ϕ è tra i limiti di zer e π, i termini nella (4) cntenenti x e y nn dann alcun cntribut e quindi pssn essere eliminati. Csì, sstituend z cn r cs θ, e intrducend la (4) nella (3), e dividend per ds entrambi i membri, si ha 4

5 J Σs = 4π + [ φ φ z π π / 0 e π π / 0 Σsr r e cs θ Σsr cs sinθ dθ θ sinθ dϕ dθ dr dϕ dr ] = φ 4 + 6Σ s φ z che dà il valre della densità di crrente attravers ds dei neutrni prvenienti dall'alt. La crrente neutrnica J + nelle direzini psitive rispett all'asse z, si ttiene in maniera analga, tenend cnt che che l'integrazine rispett a θ è in quest cas tra π / e 0, in md da includere slamente l spazi giacente al di stt del pian x,y. Il valre di J + risulta csì J φ + =. 4 6Σs z φ La crrente neutrnica netta J z, rispett l'asse z, sarà data quindi dalla differenza tra J + e J -, ciè J z φ J + J =. (3.5) 3Σ z = s Benché nell'espansine di Taylr ci si sia arrestati ai termini del prim rdine, il trattament è in realtà precis fin al secnd. Ciò in quant i cntributi dei termini del secnd rdine alle crrenti J + e J - sn identici e si cancellan quindi a vicenda. 5 e Σ sr Pichè nella generalità dei casi d'interesse il fattre nell'integrale si riduce rapidamente per valri crescenti di r, e diventa mlt piccl al di là di due tre liberi cammini medi, il maggir cntribut alla crrente neutrnica prviene dai centri di scattering entr tale distanza. L'apprssimazine cnsiderata appare quindi giustificata. Quant dett spra vale a cndizine che la variazine di φ / dz entr una distanza di due tre liberi cammini medi sia trascurabile. In regini vicine ad una srgente neutrnica mlt cncentrata, vicine ad un frte assrbitre di neutrni, vicin a due mezzi cn caratteristiche di diffusine neutrnica mlt dissimili, tale cndizine Pichè Σs è eguale a / λ s, dve λ s è il liber cammin tra un scattering ed il successiv, e Σ sr decresce a e -3 (ciè circa 0.05) vlte il su valre ad una distanza di tre liberi cammini medi.

6 nn è più valida.quindi,la variazine della quantità φ / dz nn è trascurabile e le apprssimazini che prtan alla (5) nn sn valide. Tuttavia, ad una distanza di due tre liberi cammini medi da una srgente intensa, da un frte assrbitre, da una superficie di separazine, a causa del frte decrement di termine e Σ s r su accennat, il fluss può essere espress cn sufficiente accuratezza cn l'apprssimazine al secnd rdine adttata in precedenza, e l'espressine (4) usata per esprimere la densità di crrente neutrnica.. Se Σ s è sstituita da /λ s, il liber cammin di scattering, le espressini ricavate per le densità di crrente neutrnica J -, J +, e per la crrente netta J z, pssn essere scritte nel seguente md J J J s + =. 4 6 z φ λs φ = z φ λ φ z λ s φ =. 3 z In md simile, per una arela giacente sul pian y,z, la densità di crrente neutrnica netta rispett all'asse x sarà dat da J x = λ s 3 φ x mentre per un'arela giacente nel pian x,z l'espressine per la densità neutrnica netta rispett all'asse y sarà J y λs φ =. 3 y Se l'arela, piuttst che essere nrmale rispett ad un degli assi, è rientata in md tale che la sua nrmale frma angli α, β, e γ cn gli assi x, y, e z, rispettivamente, la crrente neutrnica netta attravers questa area sarà data dalla priezine delle tre cmpnenti, ciè λ s φ φ φ J = csα + csβ + cs γ 3 x y z. 6

7 Da questa espressine si vede che la crrente netta di neutrni attravers una superficie unitaria dipende dalla sua rientazine. La crrente neutrnica è quindi in realtà una quantità vettriale. Spra essa è stata scritta cme una quantità scalare, ttenuta cme prdtt di due vettri, N e J: il prim essend un vettre unitari nrmale all'element di area in cnsiderazine, ciè mentre N = i cs α + j cs β + k cs γ λ s φ φ φ J = i + j + k 3 x y z dve i, j, e k sn vettri unitari lung gli assi x, y, e z.. Cn ntazine vettriale, la crrente neutrnica netta può quindi essere espressa cme λs J = grad φ. 3 7

8 4. Rallentament dei neutrni Il meccanism dell scattering elastic In precedenza si è parlat di scattering di neutrni mnenergetici. In realtà i neutrni nascn dalla fissine ad energie mlt elevate, dell'rdine dei MeV, e sn quindi sggetti a rallentament a seguit di urti elastici (e anelastici) cn i nuclei del mderatre. Quest meccanism di rallentamemt è fndamentale nei sistemi csiddetti "termici", nei quali ciè i neutrni "velci" rallentan fin a trvarsi in equilibri termic cn il mezz circstante. Quest meccanism è imprtante anche in rapprt alla distanza media tra il punt di nascita di ciascun neutrne per fissine ed il punt in cui ess raggiunge la sglia di energia termica. Tale distanza infatti cnsente di determinare la prbabilità di leakage (fuga) dei neutrni dal sistema nel lr prcess di rallentament, cui le dimensini critiche del sistema sn legate. Il rallentament dei neutrni velci può essere trattat cnsiderand le leggi della meccanica classica, assumend i neutrni ed il nucle scatterante cme sferette perfettamente elastiche. Applicand le leggi di cnservazine del mment e dell'energia, è pssibile ttenere una relazine tra l'angl di scattering e l'energia del neutrne prima e dp la cllisine cn il nucle, assumend nta la distribuzine anglare dell scattering alle varie energie. Nel trattament dell scattering elastic ccrre adttare due sistemi di riferiment: il sistema di riferiment rispett al labratri (L) e quell rispett al centr di massa (C). Nel prim si assume che il nucle sia ferm, nel secnd è ritenut stazinari il centr di massa. Nel sistema L il punt di vista è quell di un sservatre estern, mentre nel sistema C il punt di vista è quell di un sservatre che viaggia slidale cn il centr di massa del nucle e del neutrne. Per il trattament teric dell scattering quest'ultim sistema di riferiment è più semplice. Le cndizini prima e dp la cllisine nei due sistemi sn indicate nella figura. Fig. 8

9 Suppniam che nel sistema L il neutrne, suppst di massa relativa unitaria, si muva a velcità v vers un nucle ferm cn numer di massa A. La velcità del neutrne è v rispett al nucle, e, pichè la massa è unitaria, il mment è pure v. Pichè il nucle è ferm, tale quantità rappresenta il mment ttale del sistema neutrne/nucle. La massa ttale delle particelle che entran in cllisine è A+, e di cnseguenza la velcità v m del centr di massa nel sistema L sarà: v m = v A + (4.) Nel sistema C il centr di massa è suppst a rips. Quindi in quest sistema il nucle si avvicina al centr di massa cn velcità v m. Piché il neutrne prima della cllisine si avvicina al nucle alla velcità v, il su avvicinament al centr di massa avviene alla velcità (v -v m ), ciè, ricrdand la (4.), Av v vm =. A + Si vede, quindi, che nel sistema C il neutrne ed il nucle scatterante si muvn Av l'un vers l'altr cn velcità e, rispettivamente. Il mment del A + Av + Av neutrne (di massa unitaria) è quindi, nella sua direzine iniziale di mt, A + Av mentre quella del nucle, di massa A, è nella direzine ppsta. Il mment A + ttale prima della cllisine rispett al centr di massa è quindi zer e, per il principi di cnservazine del mment, tale sarà anche dp la cllisine. Dp la cllisine il neutrne nel sistema C emerge lung una direzine secnd un angl, rispett alla direzine di rigine, che indichiam cn θ. Quest è l'angl di scattering nel sistema C. Il nucle dp la cllisine si muverà in direzine ppsta, piché il centr di massa giace sempre sulla linea che unisce le due particelle. Se v a è la velcità del neutrne e v b quella del nucle dp la cllisine nel sistema C, per la cndizine di mment null si avrà v a =Av b. (4.) In base alla legge di cnservazine dell'energia, di avrà anche Av A + v + A A + = v a + Av b, (4.3) 9

10 dve il termine a sinistra indica l'energia cinetica ttale prima della cllisine, mentre il termine a destra quella dp la cllisine. Dalle (4.) e (4.3) si ricavan i valri di v a e v b : v a Av = e A + v b v =. (4.4) A + che risultan identici a quelli delle velcità che le particelle avevan prima della cllisine. Pertant un sservatre slidale cn il centr di massa delle particelle in cllisine vedrebbe, prima della cllisine, il neutrne ed il nucle avvicinarsi ad ess da ppste direzini cn velcità inversamente prprzinali alle lr masse. Dp la cllisine le particelle apparirebber allntanarsi da ess in direzini ppste, generalmente diverse da quelle iniziali, cn velcità immutate. Per determinare la perdita di energia cinetica del neutrne a seguit di una cllisine è necessari trasfrmare i risultati ttenuti nel sistema di riferiment C in quell L. A tal fine si fa us del fatt che i due sistemi si devn muvere sempre l'un rispett v all'altr cn la velcità del centr di massa nel sistema L, ciè vm =. Quindi A + la velcità del neutrne dp la cllisine nel sistema L è ttenuta aggiungend il vettre (v m ) rappresentante il mt del centr di massa nel sistema L al vettre v a indicante la velcità del neutrne dp la cllisine nel sistema C, cme indicat in figura. Fig.3 L'angl tra i due vettri, angl di scattering, cme indicat nella figura precedente, è θ. 0

11 Se v è la velcità del neutrne dp la cllisine nel sistema L, allra per la legge dei cseni si ha v m a = v + v + v v csθ m a e, intrducend i valri per v m e v a dati dalle (4.) e (4.4), rispettivamente, si ha v = v (A v = A + + A csθ + ) (A + ) Av + A + Av + csθ (A + ). (4.5) L'energia cinetica del neutrne prima della cllisine è cinerica dp la cllisine è mv dp e prima della cllisine è dat dalla equazine mv, mentre l'energia. Quindi il rapprt tra l'energia neutrnica v A + A csθ + = =. (4.6) v (A + ) Questa legge può esprimersi in md più efficace se intrduciam la quantità A α =. (4.7) A + La (4.6) può quindi esprimersi cme = cs [( + α) + ( α) θ]. (4.8) Il valre massim del rapprt, ciè l'urt cn minima perdita di energia, avviene allrché θ =0, ciè per una cllisine in cui il neutrne sfira appena il nucle. In quest cas csθ= e la (4.7) diventa

12 max = ssia max =. In quest cas le energie del neutrne prima e dp la cllisine sn eguali, e il neutrne nn sffre di perdita di energia nella cllisine. Il valre minim del rapprt, ciè il massim trasferiment di energia pssibile del neutrne al nucle, avviene allrché θ = π, ciè nella cllisine frntale. In quest cas csθ = e la (4.7) diventa, min = α ssia min = α. Pertant, il valre minim di energia a cui il neutrne può giungere dp una cllisine è α, dve è l'energia prima della cllisine. In termini di frazine di energia persa, si può scrivere min. = α La quantità α è data dalla (4.7) e quindi dipende dal numer atmic del nucle bersagli. Per l'idrgen A= per cui si ha α=0. ' quindi pssibile per un neutrne la perdita ttale della sua energia cinetica in una cllisine cn un nucle d'idrgen (che ha massa eguale). Per il carbni A=, per cui si ha α=0.76. Quindi la massima perdita (frazinaria) di energia cinetica per un neutrne che entra in cllisine cn un atm di carbni è spandend la (4.6), α può essere espressa cme α = 4 A + 8 A 3 A +... Per valri di A in eccess di 50 ci si può fermare al prim rdine di espansine, ciè 4 α =, A cn errre trascurabile. Per esempi, per un nucle cn A eguale a 00, si rileva che la massima perdita per urt è circa il 4%, mentre per un nucle cn A eguale a 00 è del %.

13 Legge di scattering Nel paragraf precedente si è ttenut il rapprt tra l'energia del neutrne dp l'urt e l'energia prima dell'urt in funzine della massa A e dell'angl di scattering nel sistema del centr di massa. Tale rapprt è dat dall'equazine (4.8). Se si specifica una legge empirica di distribuzine anglare dell scattering cme funzine dell'angl di scattering, si ptrebbe ricavare attravers questa equazine una crrispndente legge di distribuzine dell'energia neutrnica. I risultati sperimentali indican che per energie al di stt di alcuni Mev l scattering dei neutrni è sfericamente simmetric, ciè istrpic, nel centr di massa. Assumerem quindi tale cndizine nel seguit. La prbabilità che un neutrne sia scatterat nell'element di angl slid dω crrispndentemente all'element cnic che giace tra gli angli θ e θ+d θ nel sistema C è dω πsinθdθ p ( θ)dθ = = = sinθdθ. 4π 4π La prbabilità che dp l scattering un neutrne cn energia iniziale abbia dp l scattering un'energia cmpresa tra ed +d è (nta: dθ e d hann segni cntrari) p ( dθ =. (4.9) )d p( θ) d d Dalla (4.8), che cllega a θ, si ricava, differenziand, dθ d = ( α)sinθ e quindi la (4.9) si può scrivere p( )d d =. (4.0) ( α) Si vede cme la prbabilità che dp l scattering l'energia di un neutrne si trvi in un dat intervall sia indipendente dall'energia finale, e risulti eguale a divis per (-α), ciè il massim decrement di energia per cllisine. 3

14 L'integrale di p ( ) d su tutt il range tra ed α deve naturalmente essere eguale all'unità. Infatti risulta p( )d = d =. ( α) α... α.. Se l scattering risulta istrp nel sistema C, nn l è più in quell L del labratri, a men che la massa del nucle scatterante nn sia grande rispett a quella del neutrne. In quest cas, infatti, il centr di massa del sistema è situat praticamente nel nucle e i sistemi L e C cincidn. Pssiam dimstrare ciò sservand la Figura 3, da cui si deduce che v csψ = v a csθ + v m Av v = csθ + A + A +, dve ψ è è l'angl di scattering rispett al sistema L. Inltre, dalla (4.5) si ha e quindi v v = A + A csθ + (A + ) A cs θ + cs ψ =. A + A cs θ + Per un nucle pesante A>> e quindi cs ψ cs θ. Ciò vale a dire che l'angl di scattering nel sistema L tende a cincidere cn quell del sistema C. Di cnseguenza, se l scattering relativ a nuclei pesanti è istrp rispett al centr di massa, tale risulta anche l scattering rispett al sistema del labratri. Il decrement lgaritmic medi Il decrement lgaritmic medi è una quantità usata negli studi del rallentament neutrnic, prpsta da Fermi nei sui primi studi dulla neutrnica. ss rappresenta il valre medi del decrement lgaritmic (ξ) dell'energia del neutrne in una singla cllisine in un mezz cmpst di un dat element scatterante, ssia il "decrement lgaritmic medi per cllisine". 4

15 Se ed sn le energie prima e dp la cllisine, il decrement lgaritmic medi ξ si può quindi rappresentare cme: α ln p( )d ξ ln = (4.) α p( )d dve p ( ) d è la prbabilità definita nel precedente paragraf. Il denminatre della (4.) è eguale all'unità. Sstituend l'espressine per p ( ) data dalla (4.0) si ha d ξ α d ln. ( α) Per l'integrazine cnviene cnsiderare la variabile x = sicché ξ = ln x dx = α (4.a) = + α α α ln α Ricrdand la definizine di α data dalla (4.7), si ha infine (A ) A ξ = + ln. (4.) A A + Per valri di A al di spra di 0, una buna apprssimazine è la seguente 5

16 3 ξ =. A + / 3 Usand questa espressine apprssimata nel cas di A=, l'errre è cmunque limitat al 3.3%. Da ntare che il valre di ξ risulta indipendente dal valre iniziale dell'energia del neutrne, nell'iptesi che l scattering sia istrp nel sistema del centr di massa. Ciò significa che, nell scattering in un mezz cn un dat nuclide, la frazine media dell'energia di un neutrne persa per cllisine è la stessa per gni valre dell'energia iniziale. Diam nella Tabella i valri di ξ per un cert numer di elementi, in particlare quelli di bass numer atmic A. Il numer medi di cllisini cn i nuclei di un determinat mderatre richiesti per raggiungere l'energia termica (circa 0.05 ev) a partire da quella media di fissine (circa Mev) è ttenut per gni nuclide dalla espressine Numer medi raggiungere la di cllisini per termalizzazine 6 x0 ln = 0.05 ξ 8. = ξ. (4.3) TABLLA. Prprietà di scattering dei nuclei Cllisini per lement N. di massa ξ termalizzare Idrgen Deuteri li Liti Berilli Carbni Ossigen Urani

17 Ptenza di rallentament e rapprt di mderazine Secnd la (4.3) ξ è inversamente prprzinale al numer di cllisini di scattering necessarie per rallentare il neutrne dall'energia di fissine a quella termica. ss rappresenta quindi una misura parziale delle capacità di mderazine di un dat materiale scatterante. ' un bun mderatre quell in cui la perdita di energia per cllisine è elevata, ed è quindi desiderabile che ξ sia il più alt pssibile. Tuttavia un valre elevat di ξ nn serve a mlt, a men che la prbabilità di scattering (prprzinale alla sua sezine d'urt) nn sia elevata. Il prdtt ξσ s, dve Σ s è la sezine d'urt macrscpica di scattering, è chiamata "ptenza di rallentament". ssa rappresenta una buna misura delle capacità di rallentament di un mderatre in quant rappresenta la capacità di rallentament di tutti i nuclei in un cm 3 di materiale. Piché Σ s è eguale a N ρσ s /A, dve N è il numer di Avgadr, ρ la densità del mderatre, σ s la la sua sezine d'urt micrscpica ed A il pes atmic, la ptenza di mderazine è rappresentata dalla espressine N ρσ A s ξ. Nella Tabella sn riprtati la ptenza di rallentament di alcuni mderatri imprtanti. TABLLA. Prprietà di rallentament dei mderatri Mderatre Ptenza di rallentam. Rapprt di mderaz. Acqua.53 cm - 7 Acqua pesante li.6 x 0-5 (*) 83 Berilli Grafite (*) A temperatura e pressine atmsferica. Sebbene la ptenza di rallentament dia una indicazine sddisfacente della capacità del materiale mderatre di rallentare i neutrni, ess nn prende in cnt la pssibilità che il materiale sia un frte assrbitre neutrnic. La ptenza di rallentament del br, ad esempi, è miglire di quella della grafite, ma il br 7

18 sarebbe inutilizzabile cme mderatre dat l'elevat valre della sua sezine d'urt di assrbiment. Il rapprt della ptenza di rallentament su definita rispett alla sezine d'urt macrscpica di assrbiment Σ a, ciè Σ s ξ/σ a, è chiamat rapprt di mderazine. ss è una quantità che megli indica l'efficacia di un materiale cme mderatre. Alcuni valri apprssimati di quest rapprt sn dati nella Tabella. Si rileva che l'acqua pesante è il mderatre di gran lunga miglire. Tra i mderatri slidi il berilli e la grafite sn cnvenienti. Letargia Per mlti scpi è cnveniente esprimere l'energia di un neutrne in frma lgaritmica, nn-dimensinale, attravers una quantità, u, chiamata "letargia", data dall'espressine u = ln 8 (4.4) dve è l'energia iniziale dei neutrni della srgente di fissine. I neutrni di srgente avrann quindi letargia zer, ed il su valre aumenterà nel prcess di rallentament. Se u è la letargia crrispndente a, l'energia del neutrne prima di una cllisine, ed u quella crrispndente ad, l'energia del neutrne dp la cllisine, la differenza u -u è data da u u = ln. Piché la quantità ξ definita spra rappresenta il valre medi di ln, è evidente che ξ può essere vista cme la variazine media di letargia di un neutrne per cllisine. Nei casi di scattering istrp, tale variazine di letargia è indipendente dalla energia del neutrne incidente. Csì, indipendentemente dalla sua energia, un neutrne deve subire in media l stess numer di cllisini per aumentare la sua letargia di una data quantità. Quest fatt rappresenta un dei vantaggi di usare la letargia cme variabile. Dalla espressine (4.4) si ttiene l'espressine espnenziale u = e. Si deduce facilmente quindi che un neutrne perde, in media, mlta più energia nelle prime cllisini di quant ne perda in quelle successive.