(3.3.1) con σ >0 b = 1 β

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1 3.3 Modllo Blanchard 98: il mrcato azionario Ipotizziamo ora una conomia con tr tipi di assts: titoli sul capital fisico, bonds a brv a lungo con l aggiunta nl sistma dlla monta sogna (la novità dl modllo è proprio rapprsntata dall aggiunta di titoli azionari). Assumiamo ora ch la spsa sia influnzata anch dal valor dll azioni nl mrcato azionario. Facndo l azioni part dlla ricchzza dll famigli dll imprs ss influnzano sia il consumo attravrso l fftto ricchzza ch gli invstimnti attravrso la dtrminazion dl valor dl capital in uso risptto al costo di rplacmnt ( di Tobin). La spsa è poi influnzata dal rddito corrnt dalla politica fiscal ch agisc sia attravrso la spsa pubblica sia attravrso il sistma di tassazion. Com già fatto in prcdnza indichiamo la politica fiscal con un indic g ch riassuma ntramb l componnti dlla manovra. La domanda aggrgata è così sprssa: β a > β [,) d a + + g Tutt l variabili sono rali: d è la spsa complssiva, è il valor di mrcato dll azioni positivamnt corrlato a d. Il livllo dll output si aggiusta al livllo dlla spsa scondo la sgunt rlazion: σ ( d ) σ ( a + g b) con σ > b β (3.3.) Com già spcificato in prcdnza valgono l sgunti du condizioni:) in caso di aumnto dlla domanda aggrgata l imprs attingono all propri scort prima di modificar la produzion; ) la spsa corrnt, ch dv comunu smpr ssr ugual alla produzion, si aggiusta lntamnt al livllo dsidrato d. La prima pon l accnto sui costi rlativi all variazioni dl livllo di produzion, la sconda sulla vlocità di movimnto dlla spsa stssa. I tr assts non montari indicati all inizio sono prftti sostituti tra loro usto implica ch l arbitraggio fra di loro fa sì ch abbiano lo stsso tasso di rndimnto attso. Scriviamo ora la curva LM allo scopo di sprimr l uilibrio di portafoglio nl sgunt modo: i c h( m p) c > ; h > (3.3.) Tratto da Blanchard (98). 7

2 dov i è il tasso nominal a brv, è com smpr il rddito, m p sono i logaritmi dl livllo nominal dlla monta di przzi. Il tasso di intrss ral a brv è dfinito com: r i p (3.3.3) dov p è il tasso di inflazion attso. Poiché assumiamo ch p p tassi nominali rali coincidono m livllo ral di monta. Indicando con R il tasso a lungo possiamo scrivr la nota rlazion sul rndimnto attso di titoli consolidati r R R / R (3.3.4) Abbiamo indicato con il valor dll azioni. Il rndimnto rlativo al loro posssso è / + π / dov con π indichiamo i dividndi (i.., profitti) sprimibili in manira splicita nl sgunt modo: π o + > L arbitraggio tra azioni obbligazioni a brv scadnza conduc alla rlazion: + + r (3.3.5) L uazioni dalla (3.3.) alla (3.3.5) carattrizzano il livllo dll output, dl mrcato azionario dl tasso di intrss com funzioni dll manovr di politica montaria fiscal, dll aspttativ di inflazion, dll aspttativ di crscita dll uotazioni dl livllo di przzi. Ancora una volta poiché abbiamo assunto ch il livllo di przzi sia fissato scludndo uindi sia inflazion corrnt ch attsa i tassi rali nominali risultano uguali il sistma si smplifica notvolmnt in sol tr uazioni cioè la (3.3. ), la (3.3.6) la (3.3.7): (3.3.) σ ( a b + g) (3.3.6) r c h( m p) (3.3.7) + + r Il tasso ral di intrss si sostituisc a ullo nominal nlla (3.3.). La rlazion ch indica la struttura a trmin è la (3.3.4). Nll uilibrio di stato stazionario l output uguaglia la spsa l uazion (3.3.) divnta: a + g. b b L output dipnd così dall andamnto dl mrcato azionario dalla politica fiscal. 8

3 S poi imponiamo ottniamo: π + (3.3.8) r c h( m p) Il valor dll azioni è il rapporto tra i profitti di stato stazionario il tasso di intrss. Sia i profitti ch il tasso di intrss sono funzioni crscnti dl livllo dll output. Il livllo di incid sui profitti dirttamnt tramit il paramtro ; allo stsso tmpo un maggior rddito aumnta la domanda di monta a scopo di transazioni di ui i tassi di intrss tramit il paramtro c. L fftto final dll variazioni di su risulta così incrto tanto da dovr distingur du divrsi casi (Grafico ). S l fftto dl tasso di intrss prval allora un aumnto di farà alzar i tassi via domanda di monta tanto da far diminuir il valor azionario com indicato nl caso A Bad Nws. Il cofficint c sarà maggior di così ch il dnominator crscrà più dl numrator. CASO BAD NEWS L inclinazion dlla curva è ngativa:. ( + ) ( ) S invc il flusso di profitti aumntrà in manira cospicua allora il numrator crscrà più dl dnominator spingndo vrso l alto com nl Caso B Good Nws. In usto caso avrà una fort incidnza su suprior a c l inclinazion dlla curva CASO GOOD NEWS L inclinazion dlla curva è positiva:. ( + ) ( + ) Riscriviamo l du rlazioni nl sgunt modo: σ ( a + g b) ( c ) h( m p) ( a g) b + c h( m p) Vogliamo ora calcolar l inclinazion dlla rtta, valutata nl punto di stato stazionario cioè pr d d pr. [ c h( m p) ] c( [ c h( m p ] ) + ) ( c h( m p)) + + c c c c. [ c h( m p) ] [ c h( m p) ] r c h( m p) c h( m p) r r r 9

4 d d ( c ) r dov indica il valor di di stato stazionario sattamnt com r. Caso A (Bad Nws) : d d < c > s lungo la curva Caso B (Good Nws): d d > c < s lungo la curva Il Grafico mostra il sntiro di aggiustamnto vrso l uilibrio vidnziato dal braccio stabil il sntiro splosivo ch portrbb il sistma lontano dal suo punto di stad stat. Caso A: Bad Nws Caso B: Good Nws Grafico Analizziamo nl dttaglio i movimnti dll frcc facndo rifrimnto all uazion (3.3.7) ch indica l arbitraggio tra titoli azionari obbligazioni. Riscriviamo pr comodità l uazion nl sgunt modo: + r( ) Il sgunt grafico può risultar util:

5 A C C A) B) Poniamoci nl caso A) su un punto C al di sopra di in cui a parità di, è maggior. Poiché siamo nl caso di Bad nws l aumnto di fa crscr i tassi r, via domanda di monta, più di uanto siano aumntati i profitti. In usto modo r( ) è maggior di +. Affinché l uazion continui a valr dv ssr positivo, >, dv crscr. Infatti s i tassi obbligazionari sono saliti l arbitraggio impon ch aumnti ni dividndi mno marcati siano compnsati da guadagni in conto capital. Nl caso B invc di Good Nws l andamnto è diffrnt. S ci poniamo ancora su un punto C a parità di, aumnta, ma + usta volta l fftto sui profitti è dominant. La maggior crscita di risptto a r( ) fa diminuir la part a dstra dll uazion; prché l uilibrio vnga raggiunto dv diminuir ( < ). Infatti s il dividndo aumnta, prché l arbitraggio funzioni il rndimnto obbligazionario sia lo stsso di ullo azionario il guadagno in conto capital dv diminuir cosi ch r + +. Pr i casi opposti il ragionamnto è idntico. Ad smpio dcrmnti di nl caso A faranno diminuir i tassi molto più dl dcrmnto di profitti cosi da indurr, pr uilibrar, ad una discsa di guadagni in conto capital uindi di. Quanto alla curva i movimnti dll frcc risultano ssr facilmnt intuibili data l uazion (3.3.). A parità di aumnti di fanno crscr, ( > ), vicvrsa nl caso opposto. Efftti dlla politica montaria Vniamo ora all manovr di politica montaria fiscal iniziando con una spansion montaria. L condizioni iniziali finali di stato stazionario sono chiar. Nl nuovo uilibrio

6 il livllo di di sono maggiori di ulli di partnza proprio a causa dll abbassamnto di tassi di intrss di consgunza dl costo dl capital dovuti alla maggior offrta di monta. I minori costi conducono ad un valor più alto dll uotazioni, ad un incrmnto dlla spsa dlla produzion di profitti. S a livllo di statica comparata uindi il modllo è dl tutto simil al noto schma IS-LM l aggiustamnto dinamico risulta invc molto più complsso. L analisi dinamica richid prò di distingur il caso in cui la manovra di politica montaria sia annunciata implmntata contmporanamnt da ullo in cui invc l annuncio avvnga in un priodo prcdnt alla sua ffttiva ralizzazion. Inoltr si dovrà distingur tra i casi di Bad Nws Good Nws. Politica montaria spansiva non anticipata (Grafico 3). Nllo stato inizial l conomia si trova nl punto Ε. Il mrcato azionario ragisc alla manovra saltando nl punto A. L conomia poi nl tmpo convrgrà al punto Ε sgundo il sntiro in grasstto indicato dalla frccia. Il movimnto dl tasso di intrss a brv a lungo nl tmpo è indicato nl grafico sottostant. Nl momnto in cui la uantità di monta vin incrmntata il livllo di è dato il tasso di intrss a brv diminuisc pr mantnr l uilibrio di portafoglio (LM). Caso A: Bad Nws Caso B: Good Nws Grafico 3

7 Il tasso di intrss a brv a sguito dlla manovra spansiva risulta ssr minor i profitti tndranno a salir, ma cosa accadrà ai tassi a lungo? Nonostant la caduta di tassi a brv l aspttativ di aumnto dll output portranno anch ad un aumnto dll aspttativ circa la domanda di monta. L innalzamnto dlla domanda avrà un fftto contrario sui tassi a brv attsi ch tndranno a aumntar. I tassi a lungo uindi cadranno ma in misura più contnuta di ulli a brv; la struttura a trmin dopo l attuazion dlla manovra spansiva risultrà così inclinata vrso l alto. Pr comprndr il comportamnto dl mrcato azionario il suo salto nl punto A può ssr util la consuta rlazion (il valor attual di profitti)in tmpo discrto: t π t+ π t+ π t ( + rt + ) ( + rt + )( + rt + ) ( + rt + )( + rt + )( + rt + 3) scritta anch nlla forma di intgral(in tmpo continuo): v v s π t+ v ( + r t+ s ) t π ( s) t r s ( v) dv ds Analizziamo ust ultima rlazion in tmpo continuo: col trascorrr dl tmpo nll intgral si sostituiscono tassi di sconto crscnti a causa dll aumnto di tassi a brv via domanda di monta maggiori profitti dovuti all aumnto di. Nl caso A Bad nws l fftto dl tasso di intrss domina su ullo di profitti. Il valor di dovrà uindi dcrscr fino al nuovo valor di uilibrio in corrispondnza di Ε dopo un inizial salto su un livllo più alto di ullo dl nuovo uilibrio: procsso di ovrshooting. In usto caso oltrtutto i movimnto di azioni titoli consolidati ( ) hanno un impatto un comportamnto dinamico simil R sgundo la stssa dirzion. CASO GOOD NEWS /R t 3

8 Nl caso B Good nws invc l fftto sui profitti è tanto grand da compnsar il rialzo di tassi spingndo vrso l alto. Dopo l inizial aumnto, ovvro dopo il salto nl punto A, il procsso di crscita di continua fino ad arrivar al nuovo valor di uilibrio. Nl caso Good Nws titoli consolidati azioni dopo un inizial contmporano incrmnto si muovono su sntiri opposti. Mntr il salto inizial non può ssr in nssuno di du casi anticipato, il movimnto succssivo si basa sull aspttativ di futuro aggiustamnto dl tasso a brv uindi di ullo a lungo. Politica montaria anticipata dagli agnti. (Grafico 4): supponiamo ora ch la manovra spansiva dlla banca sia annunciata al tmpot ma implmntata al tmpot > t.lo stato final dll conomia è ugual a ullo prcdnt ma la dinamica dll aggiustamnto è divrsa. Caso A: Bad Nws Caso B: Good Nws Grafico 4 Tcnicamnt il sntiro sguito dall conomia è il sgunt: tnndo conto ch al tmpo t il livllo è dato, durant l arco di tmpo ch intrcorr tra t o t il sistma si muov lungo l uazioni di moto rlativ all uilibrio prcdnt all spansion montaria più 4

9 prcisamnt si trova sul sntiro splosivo; al tmpot dll implmntazion s l conomia dv convrgr al punto Ε dv ncssariamnt trovarsi sul braccio stabil dl sistma dopo l spansion montaria (SS ). Qusta ipotsi si rgg sull assunto di prftta razionalità dgli agnti. Esist un'unica traittoria ch soddisfi usti ruisiti anch s la sua idntificazion dipnd anch dalla lunghzza dl priodo; la curva A B corrispond al priodo ( t t ) mntr la curva A B corrispond ad un priodo più lungo. Il solo annuncio dll intnzion di attuar una politica montaria spansiva ha fftti spansivi sull intro sistma. Il mrcato azionario al momnto t dll annuncio ragisc salta prima ancora uindi ch i tassi di intrss si abbassino ralmnt i profitti aumntino al tmpo t. Tra il momnto dll annuncio ullo dll implmntazion l output aumnta. Poiché la uantità di monta non è ancora cambiata mntr sta aumntando i tassi di intrss a brv aumntano via domanda di monta. I tassi di intrss a lungo invc diminuiscono proprio a causa dll attsa di diminuzion di tassi a brv al momnto dll attuazion dll spansion a t. In usto caso la struttura a trmin ha una forma anomala con tassi a brv a lungo ch si muovono nlla dirzion opposta (twis L attsa di ribasso dl tasso sping vrso l alto anch s il supramnto dl livllo di stato stazionario dipnd ancora una volta s si è nl caso di Bad nws o Good nws. Nl momnto in cui la manovra ha inizio in raltà l unica variabil ch si muov è il tasso a brv ch scnd pr mantnr l uilibrio di portafoglio mntr il tasso a lungo non ragiscono; dopo l implmntazion il comportamnto dll conomia è dl tutto simil al caso di manovra non anticipata. I movimnti di output, tassi di intrss uotazioni avvngono prciò nl priodo tra l annuncio l attuazion snza ch nulla sia ancora cambiato nlla politica. Nlla figura sgunt mostriamo il comportamnto dl przzo dll azioni di titoli consolidati ( Q ) nl caso di Good Nws: R /R CASO GOOD NEWS t o t 5

10 Un ossrvator strno, non a conoscnza dll annuncio, potrbb pnsar ch un pisodio spculativo nl mrcato azionario sia stata la causa dll aumnto di ch l incrmnto dll offrta di monta sia stata una manovra corrttiva volta a ridurr la prssion sui tassi. Politica fiscal anticipata (Grafico 5). Anch nl caso di spansion fiscal gli fftti di stato stazionario sono noti: aumnto dlla produzion, di profitti di tassi di intrss. In usto caso prò gli fftti sul mrcato azionario sono ambigui; infatti dcrsc nl caso di Bad Nws crsc nl caso di Good Nws. Considriamo dirttamnt una manovra di politica fiscal annunciata al tmpo t implmntata al tmpo t analizziamo sparatamnt i du casi. Risulta infatti molto probabil ch si vrifichi la situazion in cui l variazioni di politica fiscal siano atts uindi anticipat dagli agnti. Caso A: Bad Nws Caso B: Good Nws Grafico 5 Nl caso A (Bad Nws) il cambiamnto dlla politica fiscal ha fftti ngativi sul mrcato azionario ch cad al momnto dll annuncio. La ragion di usta caduta va crcata nll 6

11 atts di incrmnto di futuri tassi di intrss a brv anch s l spansion avvrrà al momnto t. Il tasso a lungo R comincrà così ad aumntar. In usto caso uindi l fftto tassi di intrss sarà suprior all incrmnto di profitti ch invc avrà inizio solo uando la politica vrrà attuata. L fftto sull output è vidnt: il dcrmnto di ridurrà la spsa privata mntr ulla pubblica non si è ancora modificata rndndo in un crto snso prvrso il mccanismo nl priodo [ t,t ). Il livllo di continurà la sua discsa pr tutto il tmpo via domanda di monta usta caduta tndrà ad abbassar i tassi a brv. I tassi a lungo trmin saliranno invc com visto in prvision dl succssivi rialzo di ulli a brv. La struttura a trmin risulta così inclinata positivamnt ma, nl priodo tra annuncio implmntazion, tassi a brv a lungo sguiranno du andamnti opposti. Al tmpo t la spsa pubblica aumntrà innscando la crscita di Y di tassi a brv. In usto caso titoli consolidati azioni mostrranno lo stsso andamnto. Nl caso di Good Nws l annuncio di una prossima spansion fiscal non ha alcun fftto prvrso. L attsa di maggiori profitti più ch compnsrà l attsa di maggiori tassi spingndo vrso l alto. Il salto dl mrcato azionario provoca l aumnto di ; i tassi a lungo si impnnranno prima ancora ch ulli a brv inizino la loro crscita. Al tmpo t l unico fftto sarà un ancora più marcata crscita dl prodotto. L andamnto di titoli consolidati azioni sarà in dirzioni oppost com si può vdr nl grafico sgunt : Caso A: Bad Nws Caso B: Good Nws consol consol Conclusioni In ust dispns si è analizzato il lgam fra macroconomia, politica conomica mrcati finanziari. In particolar, abbiamo visto com i tassi d intrss a brv a lungo trmin, i 7

12 corsi dl mrcato azionario siano influnzati dalla politica conomica, d altro canto, com usti si riflttano in movimnti di fdback sulla domanda aggrgata ch possono portar anch a risultati pr così dir prvrsi risptto al modllo IS-LM standard. Inoltr com anticipato nll introduzion abbiamo dimostrato uanto sia crucial il ruolo dll aspttativ (ossia dll aggiustamnto dinamico) ai fini dll fficacia dll politich macroconomich. In particolar abbiamo visto com il solo annuncio di una futura manovra rstrittiva montaria possa avr riflssi immdiati ngativi vicvrsa com un annuncio di futura strtta fiscal possa crar, contrariamnt a uanto ci si potrbb attndr, una tmporana fas di spansion. Il capitolo dovrbb avr chiarito com l dinamich dl sistma siano condizionat da una moltplicità di fattori la cui portata talvolta può non ssr prfttamnt prvista: snsibilità dgli invstimnti, snsibilità di consumi, fftti sui profitti, aspttativ di rialzo di tassi cc.. Il ruolo dll autorità divnta così particolarmnt dlicato dovndo porr la propria attnzion non soltanto sull variabili strutturali dl sistma, ma anch sul momnto congiuntural, sulla fas dl ciclo ch il sistma sta attravrsando, sull informazion ch gli agnti prcpiscono. 8

13 APPENDICE Euazioni diffrnziali diagrammi di fas Un uazion diffrnzial è un uazion ch coinvolg l drivat dll variabili,nl caso ci sia una sola variabil indipndnt allora si parlrà di uazion all diffrnz ordinari(ode). L ordin dll ODE dipnd dall ordin dlla drivata. Quando siamo nl caso di uazioni linari si parlrà di ODE linari. La maggior part dll uazioni diffrnziali prsnti nlla nostra analisi riguardano drivat di variabili risptto al tmpo. Un smpio di uazion diffrnzial è la sgunt: t + ( + x( dov il indica la drivata di risptto al tmpo () t d dt, sono costanti, x ( è una funzion dl tmpo a volt chiamata funzion forcing. Nl caso x( 3 costant allora l uazion vrrà dfinita autonoma, s invc x( l uazion vin chiamata omogna. Una ODE linar di scondo ordin a cofficinti costanti può ssr cosi sprssa: ( + ( + 3 ( + x( dov d ( dt la sgunt struttura: sono costanti. Una ODE non linar di primo ordin ha invc log ( + ( t ) L obittivo uando si vuol risolvr una uazion diffrnzial è individuar il comportamnto di (. Un mtodo molto fficac è la risoluzion grafica s non foss ch il suo utilizzo è possibil solo nl caso di uazioni autonom. Considriamo un ODE autonoma con la sgunt forma : [ ( )] ( f t dov f( ) è una funzion nota ch può ssr linar ma può anch non ssrlo. Pr potrla disgnar assgniamo all ass dll asciss all ordinat f (). A valori positivi di corrispondono valori positivi di f (). Poichè è la drivata di risptto al tmpo valori Tratto da Economic growth Robrt J.Barro, Xavir Sala I-Martin

14 positivi di corrispondono a valori crscnti di. Pr riflttr usta rlazion uando f () è positivo crsc, uando è ngativo dcrsc. Spsso l uazioni diffrnziali vngono sprss in trmini di diffrnza tra du funzioni ad smpio: [ ( ] g[ ( )] ( f t il tasso di variazion di ( cioè ( è dato dalla distanza vrtical ch intrcorr tra f () g( ) disgnat sparatamnt sullo stsso grafico. Pr tutti ui valori di ch fanno si ch f () sia sopra g () ( è positivo,vicvrsa uando f () giac sotto g () punto di stato stazionario è ullo in cui f () g( ) smpio: [ ( ] a ( x ( f (A). Il si incrociano. Considriamo il sgunt con a x costanti a >. Il grafico di f () è una rtta positivamnt inclinata ch incontra l ass dll ordinat nl punto x ullo dll asciss nl punto x a. Pr i valori di > la funzion giac sopra l ass dll asciss, è positivo sta crscndo. instabil S il valor inizial () uguaglia l uazion (A) implica ch in modo ch non cambi nl tmpo. Qusto significa ch ( rimarrà al valor ch vin così chiamato valor di di stato stazionario. S invc () > allora > così ch crsc nl tmpo vicvrsa nl caso in cui ) ( <. La dinamica ualitativa di ( (è indicata nlla figura. Nonostant 3

15 () la dinamica dll uazion fa si ch si muova dal suo valor di stato stazionario usto poiché a >. In usto caso l uazion diffrnzial si dfinisc instabil. S a < l inclinazion dlla rtta è ribaltata alla sinistra di, è positivo, cosi ch crsc.in usto caso la dinamica dll uazion riporta ( vrso il suo valor di stato stazionario ogni volta ch s n discosta prndndo di consgunza il nom di uazion stabil. stabil Studiamo ora un sistma di ODE dl primo ordin linari : ( a n ( an ( +... a n ( +... a nn ( + x ( n ( + x n n ( scritta in forma matricial nl sgunt modo: ( Α ( + x( dov ( x( sono vttori colonna, A è una matric n n ch racchiud i cofficinti a ij. Prndiamo in considrazion un smplic caso con una matric A diagonal du uazioni omogn, uindi x (. Il sistma può ssr così idntificato: ( a ( a ( ( (*) 3

16 dov a a sono numri rali. Un diagramma di fas è uno strumnto grafico ch aiuta a visualizzar la dinamica dl sistma. Nlla sgunt figura è sull ass dll asciss su ullo dll ordinat. Qualunu punto nllo spazio comprso tra gli assi rapprsnta la posizion dl sistma (, ) in un dato momnto t. () () Immaginiamo ad smpio ch al tmpo zro il sistma si posizioni nl punto con coordinat ), (). S vogliamo conoscr la posizion raggiunta nll istant succssivo ( dall conomia dobbiamo costruir un grafico a tr dimnsioni pr rapprsntar il tmpo. Qusto tipo di lavoro non risulta più ncssario nl momnto in cui rapprsntiamo la dinamica di moto dl punto ch in usto caso vd crscr ntramb l variabili. La dirzion dipnd dal sgno di cofficinti dlla matric A. Possiamo analizzar almno tr casi: cofficinti ntrambi positivi, ntrambi ngativi, di sgno opposto. Caso a >, a : pr costruir il diagramma è ncssario innanzitutto disgnar il luogo di > punti pr i uali. Nl caso dll uazioni (*) sso corrispond all ass dll ordinat. Una volta individuato il luogo di punti ch soddisfa la condizion si analizza la dinamica nll du rgioni crat dalla funzion alla dstra alla sinistra dll ass. Pr i valori positivi di, è positivo prché a > >, pr i valori ngativi di < prché è ugual al prodotto di un numro ngativo, <, di uno positivo a >. Lo stsso ragionamnto la stssa procdura va ffttuata pr : in usto caso l ass dll asciss 3

17 rapprsnta il luogo di punti pr cui. Pr i valori positivi di, uanto è il prodotto di un numro positivo a > pr >, <. è positivo in,vicvrsa pr i valori ngativi di S proviamo ad unir l du figur sopra possiamo individuar uattro rgioni ch nl nostro caso corrispondono ai uattro uadranti di un grafico cartsiano. Nl primo uadrant una frccia punta vrso l alto una vrso dstra, una loro combinazion cra una frccia ch punto vrso nord-st. S riptiamo il ragionamnto pr i rstanti uadranti ottniamo la sgunt figura: Nl punto di origin sono uguali a zro. Nl caso l conomia si trovi in usto punto di stato stazionario non s n discostrà più, ma s la posizion inizial è divrsa allora la dinamica dl sistma portrà l conomia fuori dall uilibrio (uilibrio instabil). 33

18 Caso a <, a : anch in usto caso l ass dll asciss ullo dll ordinat < rapprsntano i luoghi di punti ch rndono uguali a zro. Qusta volta prò la dinamica dl sistma farà si ch l conomia possa tornar smpr nl suo punto di stato stazionario grazi. L frcc infatti si dirzionano in manira divrsa proprio in rlazion al fatto ch a <, a < ch il loro prodotto con >, > produc un valor ngativo. Stato stazionario Caso a <, a :anch in usto trzo caso l ass dll asciss ullo dll ordinat > rapprsntano, anch s la dinamica dl sistma risulta più complicata risptto ai casi prcdnti. L frcc puntano infatti vrso nord ovst nl primo uadrant, vrso nord-st nl scondo, vrso sud-st nl trzo sud ovst nl uarto. () (4) nl primo uarto uadrant : a <, > < a >, > > a >, < < 34

19 In usto caso il sistma non è né stabil né instabil. S part dal punto di stato stazionario rimarrà frmo; s invc part da un ualunu punto sull ass dll asciss la dinamica lo riportrà naturalmnt all uilibrio. Nl caso il punto di partnza si trovi sull ass vrtical o in ualunu altro allora il sistma splodrà snza più tornar inditro. Qusto caso vin gnralmnt chiamato sntiro di slla. E possibil individuar du sntiri ch passano attravrso il punto di stato stazionario. Il primo riporta al punto di stato stazionario d è pr usto chiamato braccio stabil, il scondo vin chiamato braccio instabil prché porta il sistma lontano dall uilibrio. Abbiamo finora analizzato casi in cui gli assi cartsiani rapprsntavano i luoghi di punti pr cui rimanvano stabili; analizziamo ora un sistma ODE non diagonal utilizzando lo stsso mtodo sguito i diagrammi prcdnti. Com smpio considriamo l sgunti uazioni: ( +.6 ( (.4 (**) ( +.4 (.4 (***) con la condizion inizial ().6t lim [ ( ] t Il luogo di punti ch rndono è S partiamo da un punto su usta funzion un incrmnto anch piccolo di fa crscr la part dstra dll uazion (**) uindi. Tutti i punti alla dstra di fanno si ch il sistma si sposti vrso dstra vicvrsa pr i punti alla sinistra di. Il luogo di punti invc ch azzra è dato da uindi da una rtta vrtical indipndnt da. L sprssion (***) implica ch uando crsc <; uindi alla dstra di, è ngativo infatti la frccia punta vrso il basso, alla sinistra la frccia puntrà vrso l alto in uanto >. L du funzioni dividono il piano in uattro uadranti o rgioni indicat in figura in snso antiorario. Il punto di stato stazionario è il punto in cui l du funzioni si incrociano di coordinat. Nlla rgion () la combinazion dll frcc punta vrso sud-ovst, nlla rgion () vrso nord-ovst, nlla (3) vrso nord-st nlla (4) vrso sud-st. Possiamo individuar anch il braccio stabil ullo instabil. Il sistma tornrà vrso il punto di stato stazionario solo s part dall rgioni () (3). In usto caso il sistma prsnta un sntiro di slla 35

20 stabil. Nl caso invc il sistma parta da un punto in un altra rgion allora divrgrà snza più tornar allo stato stazionario. L satto sntiro lungo il ual il sistma si muovrà dipndrà dalla condizion inizial () (data la condizion inizial sistrà un solo valor di uilibrio, in usto caso ). () () braccio stabil (3) (4) braccio instabil () 36