Il paesaggio matematico

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1 Mripi ico, Griell Crini, Slvtore Mttin Il pesggio mtemtico PRIMI ELEMENTI DI TRIGNMETRIA TRIGNMETRIA GLI INSIEMI NUMERICI: I NUMERI CMPLESSI + G + H

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3 Mripi ico, Griell Crini, Slvtore Mttin Il pesggio mtemtico l

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5 Mripi ico, Griell Crini, Slvtore Mttin Il pesggio mtemtico l Primi elementi di trigonometri G Trigonometri H Gli insiemi nmerici: i nmeri complessi LESCHER EDITRE

6 Loescher Editore I diritti di elorzione in qlsisi form o oper, di memorizzzione nche digitle s spporti di qlsisi tipo (inclsi mgnetici e ottici), di riprodzione e di dttmento totle o przile con qlsisi mezzo (compresi i microfilm e le copie fotosttiche), i diritti di noleggio, di prestito e di trdzione sono riservti per ttti i pesi. L'cqisto dell presente copi dell'oper non implic il trsferimento dei sddetti diritti né li esrisce. otocopie per so personle (cioè privto e individle) nei limiti del 5% di ciscn volme possono essere effettte negli esercizi che deriscono ll ccordo tr SIAE - AIE - SNS e CNA - Confrtiginto - CASA - Confcommercio del 8 dicemre 000, dietro pgmento del compenso previsto in tle ccordo; oppre dietro pgmento ll SIAE del compenso previsto dll rt. 68, commi 4 e 5, dell legge prile 94 n Per riprodzioni d so non personle l editore potrà concedere pgmento l torizzzione riprodrre n nmero di pgine non speriore l 5% delle pgine del presente volme. Le richieste per tle tipo di riprodzione vnno inoltrte : Associzione Itlin per i Diritti di Riprodzione delle pere dell ingegno (AIDR) Corso di Port Romn n. 08, 0 Milno e-mil segreteri@idro.org e sito we L editore, per qnto di propri spettnz, consider rre le opere fori del proprio ctlogo editorile. L riprodzione mezzo fotocopi degli esemplri di tli opere esistenti nelle ilioteche è consentit, non essendo concorrenzile ll oper. Non possono considerrsi rre le opere di ci esiste, nel ctlogo dell editore, n sccessiv edizione, le opere presenti in ctloghi di ltri editori o le opere ntologiche. Nel contrtto di cessione è escls, per ilioteche, istitti di istrzione, msei ed rchivi, l fcoltà di ci ll rt. 7 - per legge diritto d tore. Mggiori informzioni sl nostro sito: Ristmpe N ISBN Nonostnte l pssione e l competenz delle persone coinvolte nell relizzzione di qest oper, è possiile che in ess sino riscontrili errori o imprecisioni. Ce ne scsimo fin d or con i lettori e ringrzimo coloro che, contriendo l migliormento dell oper stess, vorrnno segnlrceli l segente indirizzo: Loescher Editore s.r.l. Vi Vittorio Amedeo II, 8 0 Torino clienti@loescher.it Loescher Editore S.r.l. oper con sistem qlità certificto CERMET n. 679-A secondo l norm UNI EN IS Relizzzione editorile: Cpoverso S.r.l. - Torino - redzione: Polo Binco, Irene Certti, Mrco Zcchelli, - indici nlitici: Teres Boggio - schede storiche: Lr Mggi - lortorio informtico: Teres Morgnte, Pol Port - formlri: Cristin Mrtin - progetto grfico e impginzione: ilippo Cidd, Ginligi Bertin - disegni: Stefni rncesctto Contriti: - revisione scientific del testo: Cpoverso srl: Gilio Citi, Giovnn Griff. Centro Servizi Archeometri. Monic Binchini, Alessndro Ghelrdini, Polo Nrdini, Gimpolo Noris, Giorgio Tommei, Monic Ropele, Riccrdo Rgnti - controllo esercizi: Cpoverso srl: Mrco Brvo, Cristin Mrtin Centro Servizi Archeometri Redttore responsile: Pol Crdno Ricerc iconogrfic: Emnel Mzzcchetti Copertin: Visl Grfik - Torino Stmp: L Grfic - Boves (CN)

7 Indice PRIMI ELEMENTI DI TRIGNMETRIA U Primi elementi di trigonometri TERIA Angoli e rchi orientti Angoli orientti Archi orientti 3 Misr di n ngolo orientto Il sistem sessgesimle 5. perzioni nel sistem sessgesimle 5.3 Il sistem rdinte 6 3 Misr di n rco orientto Seno, coseno, tngente e cotngente di n ngolo orientto L circonferenz goniometric 4. Cosecnte e secnte di n ngolo 5 Vrizione delle fnzioni seno e coseno Periodicità delle fnzioni seno e coseno 7 5. Grfici crtesini di seno e coseno 8 Sinsoide 8 Cosinsoide 9 6 Vrizione delle fnzioni tngente e cotngente Tngente 0 6. Cotngente 6.3 Grfici crtesini di tngente e cotngente 4 Tngentoide 5 Cotngentoide 6 7 Relzioni tr seno, coseno, tngente e cotngente di n ngolo Relzione fondmentle 7 7. Relzioni tr seno, coseno, tngente e cotngente di no stesso ngolo 7 8 Seno, coseno, tngente e cotngente di ngoli prticolri Arcoseno, rcocoseno, rcotngente e rcocotngente Le fnzioni goniometriche inverse 3 9. Grfici di = rcsen, = rccos, = rctg, = rcctg 33 0 Identità goniometriche Identità goniometriche condizionte 35 Angoli ssociti Angoli complementri 37 Angoli spplementri 38 Angoli l ci somm è gle tre ngoli retti 38 Angoli esplementri 39 Angoli opposti 39 Angoli che differiscono di n ngolo pitto 40 Angoli che differiscono di n ngolo retto 40 Angoli che differiscono di tre ngoli retti 4 Ridzione di n ngolo l primo qdrnte 4 66 Q Qestionrio 69 V Verific finle 70 V

8 U Indice Trigonometri: ppliczioni TERIA Teoremi reltivi i tringoli rettngoli 7 89 Risolzione di n tringolo rettngolo 7 Prolemi si tringoli rettngoli 9 Appliczioni dei teoremi si tringoli rettngoli ll geometri Are di n tringolo Are di n prllelogrmm Are di n qdriltero Teorem dell cord Prolemi di riepilogo 96 3 Significto trigonometrico del coefficiente ngolre di n rett Condizione di prllelismo e di perpendicolrità tr rette 78 Condizione di prllelismo 78 Condizione di perpendicolrità 79 4 Rotzione degli ssi ttorno ll'origine del sistem di riferimento Vettori nel pino crtesino Addizione tr vettori Prodotto di n vettore per n nmero rele 84 perzioni con vettori Componenti crtesine di n vettore Coordinte polri di n vettore Prodotto sclre informtic & LAB Q Qestionrio 04 V Verific finle 06 L Sinsoidi diltte e trslte 07 G TRIGNMETRIA U L goniometri: le formle goniometriche TERIA ormle di ddizione e sottrzione G G 8. Coseno dell differenz di de ngoli G. Coseno dell somm di de ngoli G 3.3 Seno dell somm di de ngoli G 3.4 Seno dell differenz di de ngoli G 4.5 Tngente dell somm e dell differenz di de ngoli G 4.6 Cotngente dell somm e dell differenz di de ngoli G 5 ormle di dpliczione G 7 G 6 3 ormle di isezione G 9 G 3 4 ormle di prostferesi G 3 G 36 5 ormle di Werner G 4 G 38 6 ormle prmetriche G 5 G 40 Q Qestionrio G 4 V Verific finle G 43 VI

9 U L goniometri: eqzioni e diseqzioni goniometriche Indice TERIA Eqzioni goniometriche elementri G 44 G 74 Eqzioni goniometriche ricondciili eqzioni elementri G 5 G 78 3 Eqzioni goniometriche lineri G 5 G 8 4 Eqzioni goniometriche omogenee G 56 G Eqzioni goniometriche ricondciili omogenee G 57 5 Eqzioni goniometriche simmetriche G 58 G 87 Eqzioni di riepilogo G 88 Sistemi goniometrici G 9 6 Diseqzioni goniometriche elementri G 59 G 93 7 Diseqzioni goniometriche ricondciili diseqzioni elementri G 64 G 96 8 Diseqzioni goniometriche lineri G 65 G 98 9 Diseqzioni goniometriche omogenee G 7 G Diseqzioni omogenee di secondo grdo G 7 9. Diseqzioni omogenee di terzo grdo G 7 Esercizi finli G 0 informtic & LAB Q Qestionrio G 06 V Verific finle G 07 L Risolzione di diseqzioni trigonometriche: metodo grfico G 08 U 3 L trigonometri: teoremi si tringoli e ppliczioni TERIA Teoremi reltivi i tringoli qlnqe G G 36. Teorem di Crnot o del coseno G. Teorem dei seni G 4.3 Risolzione di n tringolo qlnqe G 4 G 37.4 Appliczioni di trigonometri G 9 Altezz di n grttcielo G 9 Rggio dell Terr G 0 Risltnte di de forze G 0 Esercizi finli G 40 Prolemi senz incognit G 4 Prolemi con incognit G 44 Prolemi trtti di temi di Mtrità ed Esme di Stto G 47 Sistemi prmetrici misti goniometrici G G 49. Eqzioni prmetriche di primo grdo in n sol fnzione goniometric G. Eqzioni prmetriche lineri in seno e coseno G 3.3 Eqzioni prmetriche di secondo grdo in n fnzione goniometric G 4.4 Eqzioni prmetriche goniometriche omogenee o ricondciili esse G 6 3 Prolemi con discssione G 7 G 5 mtemtic & stori S L trigonometri nell Greci ntic G 34 Q Qestionrio G 58 V Verific finle G 60 VII

10 Indice GLI INSIEMI NUMERICI: H I NUMERI CMPLESSI U Gli insiemi nmerici: i nmeri complessi Introdzione H TERIA I nmeri complessi H H 36. perzioni in H Addizione H 3 Moltipliczione H 3 Amplimento del cmpo dei nmeri reli H 5 3 Il pino complesso H 6 H rdinmento H 7 4 orm lgeric dei nmeri complessi H 7 H 39 Addizione H 8 Moltipliczione H 9 Complesso conigto H 9 Inverso di n nmero complesso H 0 5 Il nmero complesso come vettore H H 43 Coordinte polri H 6 orm trigonometric del nmero complesso H H Il prodotto in form trigonometric H 4 6. orm trigonometric dell inverso H Potenz n-esim di n nmero complesso H Rdice qdrt di n nmero complesso H Rdice n-esim di n nmero complesso H Rdici n-esime dell nità H 7 orm esponenzile del nmero complesso H 4 H 48 Rdici H 49 8 Eqzioni di secondo grdo in H 5 H 5 8. Il teorem fondmentle dell lger H 6 9 Approfondimento: eqzioni di terzo grdo H 8 H orm normle dell eqzione di terzo grdo H 8 9. L forml di Crdno H Un sitzione prdossle H Interpretzione dell forml di Crdno H Troppe solzioni H Regol di selezione H 3 Riepilogo H 33 Esercizi di riepilogo H 57 mtemtic & stori S L ditri tr Trtgli e Crdno H 34 Q Qestionrio H 6 V Verific finle H 64 Appendici ormlrio Principli simoli tilizzti nel testo H 66 Alcne formle già note H 67 Modlo H 69 Modlo G H 7 Modlo H H 73 Indice nlitico Modli + G + H H 75 VIII

11 Primi elementi di trigonometri Sommrio del modlo UNITÀ Primi elementi di trigonometri TERIA Angoli e rchi orientti Misr di n ngolo orientto Misr di n rco orientto Seno, coseno, tngente e cotngente di n ngolo orientto Vrizione delle fnzioni seno e coseno Vrizione delle fnzioni tngente e cotngente Relzioni tr seno, coseno, tngente e cotngente di n ngolo Seno, coseno, tngente e cotngente di ngoli prticolri Arcoseno, rcocoseno, rcotngente e rcocotngente Identità goniometriche Angoli ssociti Ridzione di n ngolo l primo qdrnte 4 66 Q Qestionrio 69 V Verific finle 70 UNITÀ Trigonometri: ppliczioni TERIA Teoremi reltivi i tringoli rettngoli 7 89 Appliczioni dei teoremi si tringoli rettngoli ll geometri Significto trigonometrico del coefficiente ngolre di n rett Rotzione degli ssi ttorno ll origine del sistem di riferimento Vettori nel pino crtesino 8 00 Q Qestionrio 04 V Verific finle 06 L Sinsoidi diltte e trslte 07 Pino dei modli A Teori degli insiemi e fnzioni B Le eqzioni e le diseqzioni C Il pino crtesino: l rett D Il pino crtesino: le coniche E Esponenzili e logritmi Primi elementi di trigonometri G Trigonometri H Gli insiemi nmerici: i nmeri complessi I Sccessioni e progressioni L Geometri nello spzio M nzioni e limiti N Clcolo differenzile Clcolo integrle P Clcolo comintorio Q Proilità R Sttistic descrittiv S Sttistic inferenzile T Le geometrie non eclidee e le teorie formli U Gli insiemi nmerici: d V Alger linere Z Le ffinità del pino

12 nità Teori - Primi elementi di trigonometri TERIA Primi elementi di trigonometri Angoli e rchi orientti Angoli orientti Considerimo le semirette e di origine dell IGURA ; esse individno de ngoli di origine e di lti le semirette e. Tenendo fisso il pnto, possimo fr rotre l semirett fino sovrpporsi. oppre l semirett fino sovrpporsi. IG. Indichimo con â l ngolo ottento dll rotzione ttorno dell semirett, dett primo lto dell ngolo, sll semirett, dett secondo lto dell ngolo. Si osserv sito che possimo rggingere rotndo l semirett in no dei de possiili versi di rotzione, orrio o ntiorrio (IG. ). IG. D e f i n i z i o n e Un ngolo â di vertice si dice orientto qndo l semirett rot ttorno ll origine, in no dei de possiili versi di rotzione (orrio o ntiorrio), fino sovrpporsi. Per convenzione: il verso di rotzione ntiorrio viene ssnto come verso positivo; il verso di rotzione orrio viene ssnto come verso negtivo. Dicimo llor: orientto positivmente o semplicemente positivo l ngolo â descritto dll semirett per sovrpporsi ll semirett se l rotzione vviene in senso ntiorrio; orientto negtivmente o semplicemente negtivo l ngolo â descritto dll semirett per sovrpporsi ll semirett, se l rotzione vviene in senso orrio. IG. 3 +

13 Teori - Primi elementi di trigonometri nità Nell IGURA 3 sono rppresentti gli ngoli orientti â e : â h come primo lto ed è orientto in verso ntiorrio; h come primo lto ed è orientto in verso orrio; â e sono detti opposti perché orientti in verso opposto, il primo è orientto positivmente e il secondo negtivmente: scrivimo â = o nche â + =0. L definizione di ngolo orientto permette di definire nche ngoli mggiori di n ngolo giro. isste de semirette e esistono infinite rotzioni che portno l semirett sovrpporsi ll semirett secondo n verso prefissto. L semirett pò inftti sovrpporsi direttmente, oppre dopo ver descritto l intero pino n nmero ritrrio di volte. A ciscn di qeste rotzioni corrisponde n differente ngolo orientto. Ttti qesti ngoli, enché differenti, srnno indicti con l medesim notzione â: Il primo, detto ngolo principle, è qello ottento fcendo descrivere ll semirett n ngolo minore di n ngolo giro fino sovrpporsi. Il secondo ngolo è ottento fcendo sovrpporre l semirett ll semirett dopo ver descritto n ngolo giro. IG. 4 Il terzo ngolo è ottento fcendo sovrpporre l semirett ll semirett dopo ver descritto de ngoli giri e così vi. IG. 5 IG. 6 Dnqe sono infiniti gli ngoli â. Essi differiscono tr loro di no o più ngoli giro, descritti in senso ntiorrio o in senso orrio. Archi orientti Considerimo sll circonferenz Ɣ de pnti A e B; essi individno de rchi di estremi A e B. Indichimo con AB ognno dei de rchi venti A come primo estremo, detto origine, e B come secondo estremo. Prtendo dll origine A possimo rggingere s Ɣ l estremo B in no dei de possiili versi di percorrenz, orrio o ntiorrio. IG. 7 + B A 3

14 nità Teori - Primi elementi di trigonometri D e f i n i z i o n e issti de pnti A e B s n circonferenz, l rco AB si dice orientto qndo, prtendo d A, si ginge B percorrendo l circonferenz in no dei de possiili versi di percorrenz. Per convenzione: il verso di percorrenz ntiorrio viene ssnto come verso positivo; il verso di percorrenz orrio viene ssnto come verso negtivo. Dicimo llor: orientto positivmente o semplicemente positivo l rco percorso in senso ntiorrio; orientto negtivmente o semplicemente negtivo l rco percorso in senso orrio. Nell IGURA 7 sono rppresentti gli rchi orientti AB e BA: AB h come primo estremo A ed è orientto in verso ntiorrio BA h come primo estremo B ed è orientto in verso orrio. AB e BA sono detti opposti perché orientti in verso opposto, il primo è orientto positivmente e il secondo negtivmente: scrivimo AB = BA o nche AB + BA =0. A ciscno dei de rchi AB corrisponde n ngolo l centro AÔB. Tle ngolo è n ngolo orientto ed è l ngolo che l semirett A di origine descrive qndo rot nel verso prefissto fino sovrpporsi B. Pertnto se AB è positivo, nche AÔB è positivo; se AB è negtivo, nche AÔB è negtivo e vicevers. L definizione di rco orientto permette di definire nche rchi mggiori di n ngolo giro. isste de pnti A e B sll circonferenz Ɣ il pnto A pò rggingere B in infiniti modi secondo n verso prefissto. Inftti il pnto A pò sovrpporsi B direttmente, oppre dopo ver descritto n o più volte l circonferenz stess. A ciscn di qeste rotzioni corrisponde n differente rco orientto. Ttti qesti rchi, enché differenti, srnno indicti con l medesim notzione AB. 44 Misr di n ngolo orientto Si pò ttriire n ngolo orientto â n misr con segno (o reltiv). D e f i n i z i o n e Dto n ngolo orientto â e n ngolo ĉd (non orientto), scelto come nità di misr, l misr reltiv di â rispetto ĉd è l misr ssolt di â rispetto ĉd, pres col segno positivo se â è orientto in senso ntiorrio, negtivo se â è orientto in senso orrio, zero se â è l ngolo nllo. L misr reltiv di â si indic con il nmero rele. Dto n ngolo non orientto ĉd scelto come nità di misr e n nmero rele, esiste ed è nico l ngolo orientto â tle che l misr dell mpiezz dell ngolo â, rispetto ĉd, si il vlore ssolto di. 4

15 Teori - Primi elementi di trigonometri nità L ngolo â è orientto positivmente se il nmero rele è positivo, orientto negtivmente se è negtivo, è nllo se è zero. Per semplicità di scrittr convenimo di indicre si l ngolo si l s misr con l stess notzione. Pertnto con indicheremo si l ngolo si l s misr. Se ponimo gle d R + l ngolo â orientto positivmente, llor indicherà lo stesso ngolo orientto negtivmente. sservimo che, se de ngoli orientti e di vertice hnno i lti coincidenti, per le loro misre vle l relzione = + kγ dove k è n nmero intero e γ è l misr dell ngolo giro. Pertnto ngoli orientti con i lti coincidenti possono vere differenti misre, se è diverso il nmero di giri compiti dl primo lto per sovrpporsi l secondo. I sistemi più comni di nità di misr degli ngoli sono: il sistem sessgesimle; il sistem rdinte.. 44 E S E M P I Il sistem sessgesimle Nel sistem sessgesimle si ssme il grdo come nità di misr dell mpiezz di n ngolo. D e f i n i z i o n e Si dice grdo l 360 prte dell ngolo giro. I sottomltipli del grdo sono: il primo: 60 prte del grdo; il secondo: 60 prte del primo indic l mpiezz di n ngolo di 74 grdi, 8 primi e 36 secondi orientto positivmente indic l mpiezz di n ngolo di 3 grdi, 3 primi e 5 secondi orientto negtivmente.. 44 perzioni nel sistem sessgesimle Nel sistem sessgesimle sono definite lcne operzioni elementri tr ngoli che si riportno d nloghe operzioni con le rispettive misre. Vedimo or lcni esempi nmerici. Addizione E S E M P I = = =

16 nità Teori - Primi elementi di trigonometri Sottrzione E S E M P I = 5 4. Mltiplo di n ngolo E S E M P I E S E M P I Determinimo il triplo dell ngolo di ( )= = Sottomltiplo di n ngolo Determinimo l qrt prte dell ngolo di ( )= Il sistem rdinte Introdcimo or n novo sistem per l misr degli ngoli in ci l nità di misr è il rdinte. Si â n ngolo orientto di vertice ; tle ngolo pò essere pensto come ngolo l centro di n circonferenz. In n circonferenz le mpiezze degli ngoli l centro e le lnghezze degli rchi d essi individti soddisfno il criterio generle di proporzionlità dirett; possimo llor scrivere: : giro = l : C [] Essendo l mpiezz di n ngolo l centro dell circonferenz C e l l lnghezz dell rco rettificto individto d, dl momento che : giro = : 360,posto l misr in grdi dell ngolo l centro e C =r, indicto con r il rggio dell circonferenz, l [] divent: : 360 = l :r d ci l = r 360 o nche l r =. [] 80 Se considerimo or n circonferenz concentric ll precedente di rggio r, ripetendo le considerzioni ppen esposte possimo scrivere l r = 80 dove l è l lnghezz dell rco rettificto individto dll ngolo l centro. Dll [] e dll [3] si h l r = l r. IG. 8 [3] 6

17 Teori - Primi elementi di trigonometri nità Considerte più circonferenze concentriche di centro e fissto n ngolo con vertice in, possimo concldere che il rpporto tr ogni rco individto d tle ngolo e il rggio dell circonferenz ci tle rco pprtiene non dipende dll prticolre circonferenz considert, ensì nicmente dll mpiezz dell ngolo. r l r l IG. 9 Dicimo misr in rdinti dell mpiezz di n ngolo il rpporto tr l lnghezz dell rco rettificto individto dll ngolo s n circonferenz vente il centro nel vertice dell ngolo e il rggio dell circonferenz stess: ϱ = l r. In prticolre, se l = r, llor =. Qeste considerzioni ci permettono di definire n nov nità di misr per gli ngoli. D e f i n i z i o n e Si chim ngolo rdinte l ngolo l centro di n circonferenz, di rggio ritrrio, che sottende n rco, che rettificto, h lnghezz gle l rggio Misr di n rco orientto Si n ngolo che sceglimo come nità di misr. Avendo posto tle ngolo l centro dell circonferenz C, esso individ l rco che sceglimo come nità di misr degli rchi. Si or â n ngolo l centro, orientto; esso individ sll circonferenz C l rco orientto AB. Per l proporzionlità tr le mpiezze degli ngoli l centro e le lnghezze degli C rchi d essi individti s n stess B circonferenz, scrivimo: C B â : = AB :. [4] Considerimo or n second circonferenz C, concentric C. L ngolo scelto come nità di misr determin s tle circonferenz n rco che sceglimo come nità di misr degli rchi. IG. 0 A A 7

18 nità Teori - Primi elementi di trigonometri L ngolo orientto l centro â individ sll circonferenz C l rco orientto A B. Per l proporzionlità tr le mpiezze degli ngoli l centro e le lnghezze degli rchi d essi individti s n stess circonferenz, scrivimo: â : = A B : [5] confrontndo l [4] e l [5] si h: â : = AB : = A B : m â : è il nmero rele reltivo che esprime l misr dell ngolo orientto â rispetto. AB : è il nmero rele reltivo che esprime l misr dell rco orientto AB rispetto. A B : è il nmero rele reltivo che esprime l misr dell rco orientto A B rispetto. Concldimo che il nmero rele che esprime l misr dell ngolo l centro, orientto, di n circonferenz esprime nche l misr dell rco orientto corrispondente. Inoltre rchi orientti che pprtengono circonferenze di rggi diversi m che corrispondono d ngoli orientti l centro congrenti, hnno l stess misr; in ltre prole no stesso nmero rele rppresent si l misr di n rco si l misr dell ngolo l centro corrispondente. È importnte sottolinere che qest conclsione vle solo per rchi non rettificti per i qli le nità di misr degli rchi sono i rggi dell circonferenz ci tli rchi pprtengono. Se si considerno invece rchi rettificti e n stess nità di misr, le lnghezze di de rchi che pprtengono circonferenz concentriche diverse, m che sono individti dllo stesso ngolo l centro sono diverse. D e f i n i z i o n i isst n circonferenz di rggio r si definisce: rco grdo qell rco che corrisponde ll ngolo l centro di n grdo; rco rdinte qell rco che corrisponde n ngolo l centro di n rdinte. Sppimo che l lnghezz dell circonferenz è C =r; pertnto C r =. Ciò signific che, scelto come nità di misr il rggio dell circonferenz, l lnghezz dell circonferenz rettifict è. Dnqe rppresent l misr in rdinti si dell inter circonferenz che l misr in rdinti dell ngolo l centro corrispondente, cioè dell ngolo giro. Possimo llor scrivere l segente proporzione: : 360 = r : [6] dove r è l misr in rdinti dell ngolo di mpiezz e è l misr in grdi dell ngolo di mpiezz. Dll [6] si h: = 360 r r = 360 formle che ci permettono di pssre dll misr in rdinti di n ngolo ll misr in grdi e vicevers. 8

19 Teori - Primi elementi di trigonometri nità Nell tell sottostnte sono riportte le misre in grdi e in rdinti di lcni ngoli notevoli. TAB. r E S E M P I. Determin l misr in rdinti dell ngolo di 38. Dll relzione r = 80 si ottiene r = 80 38, dnqe r = Determin l misr in rdinti dell ngolo di 405. Dll relzione r = 80 si ottiene r = , dnqe r = Determin l misr in grdi dell ngolo di 5 rdinti. Dll relzione = 80 r si ottiene = 80 5, dnqe = Determin l misr in grdi dell ngolo di n rdinte. Dll relzione = 80 r si ottiene = 80. Qindi l ngolo di rdinte eqivle circ = Seno, coseno, tngente e cotngente di n ngolo orientto 46 In n sistem di riferimento crtesino ortogonle considerimo n ngolo orientto Ô tle che il vertice coincid con l origine del sistem e il primo lto coincid con il semisse positivo delle scisse. Si l misr di Ô rispetto n sistem di nità di misr prefissto. Considerimo sl secondo lto dell ngolo n pnto qlnqe P ( P ; P ) e si H l s proiezione sll sse dell scisse. IG. P H D e f i n i z i o n i Si chim seno di n ngolo orientto di vertice il rpporto tr l ordint di n pnto qlsisi P, pprtenente l secondo lto dell ngolo, e l distnz di P dll origine del sistem di riferimento. In simoli: sen = P P + P. 9

20 nità Teori - Primi elementi di trigonometri Si chim coseno di n ngolo orientto di vertice il rpporto tr l sciss di n pnto qlsisi P, pprtenente l secondo lto dell ngolo, e l distnz di P dll origine del sistem di riferimento. In simoli: cos = P P + P. Si chim tngente di n ngolo orientto di vertice il rpporto rispettivmente tr l ordint e l sciss di n pnto qlsisi P pprtenente l secondo lto dell ngolo. In simoli: tg = P. P Si chim cotngente di n ngolo orientto di vertice il rpporto rispettivmente tr l sciss e l ordint di n pnto qlsisi P pprtenente l secondo lto dell ngolo. In simoli: ctg = P. P sservimo che Le definizioni dte non dipendono dll posizione del pnto P pprtenente l secondo lto dell ngolo. Se considerimo inftti n lteriore pnto R sllo stesso lto e indichimo con K l s proiezione sll sse delle scisse, i tringoli PH e RK sono simili e i rpporti vengono mntenti. P H R K IG. Le definizioni dte dipendono nicmente dl prticolre ngolo orientto considerto. Esse sono fnzioni dell ngolo stesso e prendono il nome di fnzioni goniometriche o fnzioni circolri. L ngolo è detto rgomento (vriile indipendente). Qndo si prl di fnzione goniometric di n ngolo si intende l fnzione goniometric dell misr dell ngolo rispetto n nità di misr prefisst. Le fnzioni goniometriche sono dnqe fnzioni di n nmero rele. I vlori ssnti dlle fnzioni goniometriche di n ngolo inoltre, essendo rpporti tr de nmeri reli, sono nmeri reli. In ltre prole il dominio e il codominio delle fnzioni goniometriche sono sottoinsiemi propri o impropri di R. Nel segito, con le revizioni sen, cos, tg, ctg intenderemo le fnzioni sen, cos, tg, ctg, ovvero fnzioni di eqzioni = sen, = cos, =tg, = ctg, in ci l ngolo (identificto con l s misr in rdinti) rppresent l vriile indipendente e i vlori corrispondenti (secondo il cso) sen, cos, tg, ctg rppresentno l vriile dipendente. 0

21 Teori - Primi elementi di trigonometri nità 4. L circonferenz goniometric 46 D e f i n i z i o n e In n sistem di riferimento crtesino ortogonle, si dice circonferenz goniometric l circonferenz con centro l origine e rggio nitrio. IG. 3 Considerimo or in n sistem di riferimento crtesino ortogonle l circonferenz goniometric e n ngolo orientto Ô di misr tle che il vertice coincid con l origine del sistem e il primo lto coincid con il semisse positivo delle scisse. Il secondo lto dell ngolo intersec l circonferenz goniometric nel pnto P ( P ; P ). Per le definizioni di seno, coseno dte nel prgrfo precedente si h: sen = P = P, cos = P = P. Possimo dnqe fornire le segenti definizioni. D e f i n i z i o n i IG. 4 Si chim seno di n ngolo orientto l ordint del pnto P d intersezione del secondo lto dell ngolo con l circonferenz goniometric. In simoli: sen = P. Si chim coseno di n ngolo orientto l sciss del pnto P d intersezione del secondo lto dell ngolo con l circonferenz goniometric. In simoli: cos = P. H P( P ; P ) Trccimo or l rett tngente in A(; 0) ll circonferenz goniometric e si T il pnto d intersezione dell tngente con il secondo lto dell ngolo. T In se ll definizione di tngente dt nell pgin precedente, si h tg = T = T, essendo T =. A(; 0) IG. 5

22 nità Teori - Primi elementi di trigonometri D e f i n i z i o n e Si chim tngente di n ngolo orientto l ordint del pnto T d intersezione dell rett del secondo lto dell ngolo con l rett tngente ll circonferenz condott per il pnto A(; 0). In simoli: tg = T. Trccimo or l rett tngente in B(0; ) ll circonferenz goniometric; si Q il pnto d intersezione dell tngente con il secondo lto dell ngolo. In se ll definizione di cotngente dt PAGINA 0, si h ctg = Q = Q, essendo Q =. B(0; ) Q IG. 6 D e f i n i z i o n e Si chim cotngente di n ngolo orientto l sciss del pnto Q d intersezione dell rett del secondo lto dell ngolo con l rett tngente ll circonferenz condott per il pnto B(0; ). In simoli: ctg = Q Cosecnte e secnte di n ngolo È tile conoscere nche de ltre fnzioni goniometriche, l cosecnte e l secnte di n ngolo orientto. D e f i n i z i o n e Si chim cosecnte di n ngolo l fnzione reciproc dell fnzione seno di. In simoli cosec = sen. L fnzione è definit per qei vlori di che non nnllno sen, cioè si h k, con k Z. D e f i n i z i o n e Si chim secnte di n ngolo l fnzione reciproc dell fnzione coseno di. In simoli sec = cos. L fnzione è definit per qei vlori di che non nnllno cos, cioè si h + k con k Z.

23 47 5 Vrizione delle fnzioni seno e coseno In n sistem di riferimento crtesino ortogonle, si P il pnto di intersezione del secondo lto dell ngolo con l circonferenz goniometric. Le coordinte di P sono (cos ; sen ). Voglimo esminre come vrino le fnzioni sen e cos l vrire dell ngolo. sservimo qnto sege. Se =0, llor sen =0e cos =. Inftti le coordinte di P sono (; 0). Teori - Primi elementi di trigonometri nità P(; 0) IG. 7 Se 0 <<, llor 0 < sen < e 0 < cos <. Il secondo lto dell ngolo si trov nel I qdrnte, qindi si l sciss si l ordint del pnto P sono positive e minori di. All mentre dell ngolo : l fnzione sen è crescente e ssme ttti i vlori compresi tr 0 e ; l fnzione cos è decrescente e ssme ttti i vlori compresi tr 0 e. IG. 8 P Se =, llor sen =e cos =0. Inftti le coordinte di P sono (0; ). P(0; ) IG. 9 3

24 nità Teori - Primi elementi di trigonometri Se <<, llor 0 < sen < e < cos <0. Il secondo lto dell ngolo pprtiene l II qdrnte, qindi l ordint del pnto P è positiv e l sciss è negtiv. P All mentre dell ngolo : l fnzione sen è decrescente e ssme ttti i vlori compresi tr 0 e ; l fnzione cos è decrescente e ssme ttti i vlori compresi tr e 0. IG. 0 Se = llor sen =0e cos =. Inftti le coordinte di P sono ( ; 0). P( ; 0) IG. Se << 3, llor < sen <0 e < cos <0. Il secondo lto dell ngolo pprtiene l III qdrnte, qindi si l ordint si l sciss del pnto P sono negtive. All mentre dell ngolo : l fnzione sen è decrescente e ssme ttti i vlori compresi tr e 0; l fnzione cos è crescente e ssme ttti i vlori compresi tr e 0. IG. P Se = 3, llor sen = e cos =0. Inftti le coordinte di P sono (0; ). IG. 3 P(0; ) 4

25 Teori - Primi elementi di trigonometri nità Se 3 <<, llor < sen <0 e 0 < cos <. Il secondo lto dell ngolo pprtiene l IV qdrnte, qindi l ordint del pnto P è negtiv e l sciss positiv. All mentre dell ngolo : l fnzione sen è crescente e ssme ttti i vlori compresi tr e 0; l fnzione cos è crescente e ssme ttti i vlori compresi tr 0 e. IG. 4 P Se = ritornimo nell stess sitzione dell ngolo =0. Pertnto per gli ngoli <<4 i vlori dell fnzione sono qelli ssnti nell intervllo 0 <<. L stess cos ccde per ttti gli intervlli k < < +k, con k Z 0. P IG. 5 Dll nlisi svolt si dedcono lcne importnti osservzioni. Per l fnzione seno: l fnzione sen è definit R; il so dominio è R. sen R, cioè il codominio dell fnzione è [ ; ]. Dicimo llor che sen è n fnzione limitt, essendo il so codominio n intervllo limitto. sen è positiv nel I e nel II qdrnte, nll per =0e =, negtiv nel III e nel IV qdrnte. sen è: crescente in senso stretto negli intervlli 0 << e 3 <<; decrescente in senso stretto negli intervlli <<e <<3. Per l fnzione coseno: l fnzione cos è definit R; il so dominio è R. cos R, cioè il codominio dell fnzione è [ ; ]. Dicimo llor che cos è n fnzione limitt, essendo il so codominio n intervllo limitto. cos è positiv nel I e nel IV qdrnte, nll per = e = 3 e nel III qdrnte. cos è: crescente in senso stretto nell intervllo <<; decrescente in senso stretto nell intervllo 0 <<., negtiv nel II 5

26 nità Teori - Primi elementi di trigonometri TAB. Nell segente tell sono evidenziti i segni che ssmono le fnzioni goniometriche seno e coseno di n ngolo qndo il secondo lto dell ngolo si trov nei qdrnti indicti nell prim colonn. cos sen I qdrnte + + II qdrnte + III qdrnte IV qdrnte + Nell segente tell sono riportti i vlori del seno e del coseno dei prticolri ngoli esminti. TAB. 3 cos sen E S E M P I Esempio Rppresentimo in n sistem di riferimento crtesino ortogonle l ngolo tle che sen = con 0 <<. Ricordndo che il seno di n ngolo è l ordint del pnto di intersezione del secondo lto con l circonferenz goniometric trccimo l rett di eqzione =. P = Ess intersec l circonferenz goniometric in de pnti. Per le limitzioni imposte considerimo il pnto P sitto nel primo qdrnte. Condcimo l semirett P di origine ; l ngolo AÔP è l ngolo cercto. A IG. 6 Esempio Determinimo le condizioni ci deve soddisfre il prmetro k ffinché l ngolo, con sen = k 3 k, si tle che 0 <<. Perché il secondo lto dell ngolo si contento nel I qdrnte deve essere 0 < k 3 k <. k 3 k > 0 D ci k 3 k < Risolvendo il sistem si ottiene 5 < k < 3. 6

27 Teori - Primi elementi di trigonometri nità 5. Periodicità delle fnzioni seno e coseno 47 In n sistem di riferimento crtesino ortogonle considerimo l ngolo e gli ngoli β = +, γ = +4, δ = +6 ecc. Cioè considerimo ttti gli ngoli del tipo +k, con k Z. sservimo che il secondo lto di ciscno degli ngoli intersec l circonferenz goniometric nello stesso pnto P. β Vicevers n pnto P dell circonferenz è il pnto di intersezione del secondo lto si dell ngolo si di ttti gli ngoli del tipo +k, con k Z. IG. 7 Possimo llor scrivere l segente cten di gglinze: P =cos =cos ( +)=cos ( +4)=cos ( +6)=...=cos ( +k) con k Z; P =sen =sen ( +)=sen ( +4)=sen ( +6)=...=sen ( +k) con k Z. Dicimo llor che il coseno e il seno di n ngolo sono fnzioni periodiche di periodo. D e f i n i z i o n e Un fnzione f (), definit nell insieme D, si dice fnzione periodic di periodo T se esiste n nmero rele T per il qle vle l relzione: f () =f ( + kt ), con k e T [7] per ogni pprtenente D. Un fnzione periodic ssme llor gli stessi vlori intervlli gli, di mpiezz T. Il periodo di n fnzione periodic è il minimo tr i nmeri reli T che verificno l relzione [7]. Le fnzioni sen e cos sono periodiche di periodo T =. Scrivimo: cos = cos ( +k) con k Z; sen = sen ( +k) con k Z. E S E M P I. Se = 6 si h sen 6 = sen ( 6 +k ). E dnqe se considerimo d esempio k =0, k =, k = ottenimo: sen 3 ( = sen 6 6 = sen ) 6.. Se = 4 si h cos 4 = cos ( 4 +k ). E dnqe se considerimo d esempio k =0, k =, k = ottenimo: cos 4 = cos 9 ( 4 = cos 5 ) 4. 7

28 nità Teori - Primi elementi di trigonometri 5. Grfici crtesini di seno e coseno 47 Voglimo or rppresentre in n sistem di riferimento crtesino ortogonle le crve rppresenttive delle fnzioni di eqzioni = sen e = cos, dette rispettivmente sinsoide e cosinsoide. Denominimo con l ngolo, vriile indipendente delle fnzioni goniometriche considerte. Sppimo che le fnzioni seno e coseno di n ngolo sono periodiche di periodo ; srà perciò sfficiente trccire il trtto dell crv reltiv ll intervllo [0; ]. Sccessivmente, per il grfico completo, sterà ripetere infinite volte l crv in intervlli di mpiezz. Disegnimo or in n sistem di riferimento crtesino ortogonle l circonferenz goniometric. Dividimo l ngolo l centro in n prti gli. (Sicrmente, mggiore è il nmero di sddivisioni considerte, più ccrto srà il grfico dell crv che otterremo.) H P Per nostr comodità dividimo l ngolo l centro in prti gli. IG. 8 Considerimo gli ngoli orientti in senso ntiorrio che hnno il primo lto coincidente con il semisse positivo delle scisse, di misre, espresse in rdinti, rispettivmente pri 6, 6 = 3 ; ; 3 ecc. gnno degli ngoli considerti individ n pnto P intersezione del so secondo lto con l circonferenz goniometric. Le misre dei segmenti orientti HP e H sono, rispettivmente, il seno e il coseno dell ngolo. Disegnimo or n lteriore sistem di riferimento crtesino ortogonle e ponimo sll sse delle scisse le misre di tli ngoli IG. 9 Sinsoide In tle sistem di riferimento riportimo, per ogni ngolo scelto, l misr del segmento orientto HP. I pnti ottenti hnno coordinte (; sen ), dnqe sono pnti del grfico dell fnzione di eqzione = sen. 8

29 Teori - Primi elementi di trigonometri nità Trccimo n crv che pss per i pnti considerti e ottenimo n trtto dell sinsoide. 3 IG. 30 Ripetimo poi lo stesso grfico nei sccessivi intervlli di mpiezz e ottenimo l sinsoide complet. 3 4 IG Cosinsoide Nel sistem di riferimento crtesino ortogonle rppresentto nell IGURA 9 riportimo, per ogni ngolo, l misr del segmento orientto H. I pnti ottenti hnno coordinte (; cos ), dnqe sono pnti del grfico dell fnzione di eqzione = cos. Trccimo n crv che pss per i pnti considerti e ottenimo n trtto dell cosinsoide. 3 IG. 3 Ripetimo poi lo stesso grfico nei sccessivi intervlli di mpiezz e ottenimo l cosinsoide complet. 3 4 IG

30 nità Teori - Primi elementi di trigonometri Di grfici ppen costriti osservimo che: il grfico dell fnzione di eqzione = sen è simmetrico rispetto ll origine del sistem di riferimento, dnqe = sen è n fnzione dispri; per ogni del so dominio sen( ) = sen ; il grfico dell fnzione di eqzione = cos è simmetrico rispetto ll sse delle ordinte, dnqe = cos è n fnzione pri; per ogni del so dominio cos( ) =cos ; il grfico di = sen si pò ottenere nche trslndo il grfico di = cos di n ( ) vettore di componenti ;0. Vrizione delle fnzioni tngente e cotngente Tngente In n sistem di riferimento crtesino ortogonle, si T il pnto di intersezione del secondo lto dell ngolo con l rett tngente ll circonferenz goniometric condott per il pnto A(; 0). Le coordinte di T sono (; tg ). Voglimo esminre come vri tg l vrire dell ngolo. sservimo qnto sege. Se =0, llor tg =0. Inftti le coordinte di T sono (; 0). T(; 0) A T IG. 34 Se 0 <<, llor tg >0. Il secondo lto dell ngolo si trov nel I qdrnte, qindi l ordint del pnto T è positiv. All mentre dell ngolo l fnzione tg è crescente e ssme ttti i vlori reli positivi. Esminimo or l sitzione per ngo- T li che si vvicinno. IG. 35 Per ngoli minori di e che si vvicinno sempre più l ordint di T ssme vlori sempre più grndi. Per indicre qest sitzione prticolre scrivimo: lim tg =+ 0

31 Teori - Primi elementi di trigonometri nità che si legge: il limite dell tngente di qndo tende, per vlori minori di, è +. Se =, tg non è definit. Inftti il secondo lto dell ngolo si sovrppone l semisse positivo delle ordinte ed è dnqe prllelo ll rett tngente in A ll circonferenz. Non esiste dnqe il pnto T. Per ngoli mggiori di e che si vvicinno sempre più, l ordint di T ssme vlori negtivi, in vlore ssolto sempre più grndi. Scrivimo llor: lim tg = + che si legge: il limite dell tngente di qndo tende, per vlori mggiori di, è. Se <<, llor tg <0. Il secondo lto dell ngolo pprtiene l II qdrnte, il so prolngmento intersec l rett tngente ll circonferenz in A in n pnto T del qrto qdrnte. Pertnto l ordint del pnto T è negtiv. All mentre dell ngolo l fnzione tg è crescente e ssme ttti i vlori reli negtivi. Se = ritornimo nell stess sitzione dell ngolo = 0. L fnzione tngente è llor n fnzione periodic di periodo T =, inftti, se << l rett del secondo lto dell ngolo intersec l tngente in A negli stessi pnti di intersezione del secondo lto degli ngoli, con 0 <<. Pertnto tg =tg( + k) con k Z. IG. 36 IG. 37 A A T T IG. 38 Dll nlisi svolt si dedce che: l fnzione tg è definit R, + k, con k Z; l fnzione tngente ssme ttti i vlori reli, pertnto il so codominio è R.

32 nità Teori - Primi elementi di trigonometri Dicimo llor che l fnzione tngente è n fnzione illimitt, essendo il so codominio n intervllo illimitto (ovvero l inter rett dei nmeri reli). tg è positiv nel I e nel III qdrnte, nll per = k, negtiv nel II e nel IV qdrnte, non definit per = + k; tg è n fnzione sempre crescente in senso stretto fr +k e +k, con k Z Cotngente In n sistem di riferimento crtesino ortogonle, si Q il pnto di intersezione del secondo lto dell ngolo con l rett tngente ll circonferenz goniometric condott per il pnto B(0; ). Le coordinte di Q sono (ctg ;). Voglimo esminre come vri ctg l vrire dell ngolo. sservimo qnto sege. Se =0, ctg non è definit. Inftti il secondo lto dell ngolo si sovrppone l semisse positivo delle B(0; ) scisse ed è prllelo ll rett tngente in B ll circonferenz. Non esiste dnqe il pnto Q. Per ngoli mggiori di 0 e che si vvicinno sempre più 0 l sciss di Q ssme vlori positivi sempre più grndi. Scrivimo llor: lim ctg =+ 0 + IG. 39 che si legge: il limite dell cotngente di qndo tende 0 per vlori mggiori di 0, è +. Se 0 <<, llor ctg >0. Il secondo lto dell ngolo si trov nel I qdrnte, qindi l sciss del pnto Q è positiv. All mentre dell ngolo l fnzione ctg è decrescente e ssme ttti i vlori reli positivi. Q IG. 40 Se =, llor ctg =0. Inftti le coordinte di Q sono (0; ). Q(0; ) IG. 4

33 Teori - Primi elementi di trigonometri nità Se <<, llor ctg <0. Il secondo lto dell ngolo pprtiene l II qdrnte, pertnto l sciss del pnto Q è negtiv. All mentre dell ngolo l fnzione ctg è decrescente e ssme ttti i vlori reli negtivi. Per ngoli minori di e che si vvicinno sempre più, l sciss di Q ssme vlori negtivi, in vlore ssolto sempre più grndi. Scrivimo llor: IG. 4 lim ctg = che si legge: il limite dell cotngente di qndo tende, per vlori minori di, è. Q Se =, ritornimo nell stess sitzione dell ngolo = 0. L fnzione ctg è llor n fnzione periodic di periodo T =, inftti se << l rett del secondo lto dell ngolo intersec l tngente in B negli stessi pnti di intersezione del secondo lto degli ngoli, con 0 <<. B Pertnto ctg = ctg( + k), con k Z. Dll nlisi svolt si dedce che: IG. 43 l fnzione ctg è definit R, k, con k Z; l fnzione cotngente ssme ttti i vlori reli, pertnto il so codominio è R. Dicimo llor che l fnzione cotngente è n fnzione illimitt, essendo il so codominio n intervllo illimitto (ovvero l inter rett dei nmeri reli). ctg è positiv nel I e nel III qdrnte, nll per = + k, negtiv nel II e nel IV qdrnte, non definit per =0e = ; ctg è n fnzione sempre decrescente in senso stretto fr k e (k +), con k Z. E S E M P I Esempio Rppresentimo in n sistem di riferimento crtesino ortogonle l ngolo tle che tg = 5, con <<3. 3

34 nità Teori - Primi elementi di trigonometri Ricordndo che l tngente di n ngolo è l ordint del pnto di intersezione del secondo lto dell ngolo con l rett tngente t ll circonferenz goniometric condott per il pnto A(; 0), sll rett t considerimo il pnto T ( ; 5 ). T L rett T intersec l circonferenz goniometric in de pnti. Per le limitzioni imposte considerimo il pnto P sitto nel terzo qdrnte; l ngolo AÔP è l ngolo cercto. IG. 44 P A Esempio Determinimo le condizioni ci deve soddisfre il prmetro k ffinché l ngolo, con ctg = k +, si tle che k <<. Perché il secondo lto dell ngolo si contento nel secondo qdrnte deve essere k + < 0. k Risolvendo si ottiene l condizione < k < Grfici crtesini di tngente e cotngente Voglimo or rppresentre in n sistem di riferimento crtesino ortogonle le crve rppresenttive delle fnzioni di eqzioni =tg e = ctg dette rispettivmente tngentoide e cotngentoide. Denominimo con l ngolo, vriile indipendente delle fnzioni goniometriche considerte. Sppimo che le fnzioni tngente e cotngente di n ngolo sono periodiche di periodo ; srà perciò sfficiente trccire il trtto dell crv reltiv ll intervllo [0; ]. Sccessivmente, per il grfico completo, sterà ripetere infinite volte l crv in intervlli consectivi di mpiezz. Come per i grfici delle fnzioni di eqzioni = sen e = cos disegnimo or n sistem di riferimento crtesino ortogonle e ponimo sll sse delle scisse le misre degli ngoli ottenti dividendo in dodici prti gli IG. 45 4