Cognome. Nome. matricola. Matematica Finanziaria a.a (Traccia A) Prof.ssa Ragni Ferrara 02 febbraio 2017

Transcript

1 Cognome Matematica Finanziaria a.a (Traccia A) Prof.ssa Ragni Ferrara 02 febbraio 2017 Nome matricola Firma e indirizzo posta elettronica (solo per chi non si è registrato sul sito) NOTA BENE: si accetta una sola correzione nel gruppo di quesiti 1. Versate in un conto corrente a regime composto a tasso i=8,16%, ne ritirate 500 dopo sei mesi e incassate il montante dopo un anno dal versamento. Se la banca, dopo ogni anno di giacenza, applica una commissione fissa pari ad α>0, quanto deve essere α perché il montante sia il capitale iniziale cresciuto dell 1%? (a) α=190 (b) α=192 (c) α=194 (d) α= Si impiega un capitale C per due anni nel regime composto, al tasso annuo i>0. Se il tasso fosse dimezzato, si percepirebbe un interesse complessivo pari al 49% del caso precedente. Trovare il tasso i. (a) i=8,20% (b) i=8,28% (c) i=8,43% (d) i=8,33% 3. Fra un anno e mezzo vi scade un titolo. Potete riscattarlo oggi nel regime dello sconto commerciale (RSC) a tasso di sconto d > 0 e investire il ricavato a regime composto per due anni a tasso i = 3% oppure riscattarlo, sempre in RSC a tasso d, tra un anno e investire il ricavato per un anno alle stesse condizioni di prima. Per quale valore di d le due operazioni sono equivalenti? (a) d = 2,87% (b) d = 2,75% (c) d = 2,95% (d) d = 2,64% 4. In un piano alla francese annuale, a due anni dal termine, fate spostare la penultima rata di sei mesi in avanti. Sapendo che, ora, la nuova rata, rispetto a quella originaria, aumenta del due per cento, ricavare il tasso i. (a) i=8,2% (b) i=8% (c) i=7,8% (d) i=8,3% 5. In un piano all italiana su prestito di 24000, a rate mensili, durata di due anni, a tasso i m = 1%, non riuscite a pagare la tredicesima rata. Vi si propone allora un nuovo piano annuale all italiana, con rate mensili (dal mese 14 al mese 25), al nuovo tasso i m = 0,5%. Qual é la rata piú alta che paghererete nel nuovo piano? (a) 1074,6 (b) 1068,6 (c) 1070,6 (d) 1072,6 6. Un BTP di nominale N = 1000 a cedola semestrale ha tasso cedolare i = 4%. Se volete comperarlo ad una qualunque epoca intermedia fra la penultima cedola e la scadenza finale, qual é il massimo prezzo di acquisto affinché il rendimento non diventi negativo? (a) 1020 (b) 1010 (c) 1025 (d) Un titolo presenta il seguente cash-flow: {(0; 1000),(1;500),(2;538,125)}. Stabilire se la duration di tale titolo cade a meno di sei mesi della sua scadenza naturale (rispondere solo con un Sí o un No). Risposta:...

2 8. Un BTP Italia, emesso il primo marzo 2015, durata due anni, cedola semestrale a tasso cedolare i=1%, valore nominale N = 1000, collegato all indice FOI per tenere conto dell inflazione semestrale, premio fedeltá del 4 per mille, viene acquistato all emissione alla pari e tenuto fino alla scadenza. La sequenza degli indici semestrali FOI giá usciti, che indicheremo con I j, j= 0,1,2,3, é la seguente: In attesa dell uscita di I 4 : I 0 = 102, I 1 = 102, I 2 = 102,5, I 3 = 102,3. a) determinate il minimo rendimento del titolo in percentuale, detto r m, indipendentemente dal valore che uscirá di I 4, con una approssimazione pari alla prima cifra decimale; b) motivate la possibilitá o meno che si trovi un indice I 4 tale da configurare lo stesso cash-flow del caso a), ma con inflazione nell ultimo semestre; c) stimando un rendimento finale complessivo dell 1,8%, calcolate la duration di tale titolo. Teoria Dimostrare che il fattore di montante la cui funzione associata sia f(t)=(1+i) t, ove i>0, non è scindibile.

3 Soluzione primo quesito Nell operazione, a regime composto e tasso i, investo C 1 = per poi ritirarne C 2 = 500 dopo sei mesi e far maturare il rimanente nei successivi sei mesi. Pertanto, il montante M, tenendo conto della commissione fissa finale pari ad α che la banca applica dopo un anno di giacenza, é dato da M =(C 1 1+i C 2 ) 1+i α. L equazione da impostare é dunque M = 1,01C 1, che porta, dopo qualche semplice passaggio algebrico, a Inserendo i dati, si trova che α=196. α= C 1 (i 0,01) C 2 1+i. Soluzione secondo quesito L interesse complessivo, sui due anni di durata, generato nel regime composto dall investimento a tasso i, é pari a I i = M C= C[(1+i) 2 1]= C i(i+2). Col tasso di interesse pari a i/2, quindi, similmente si otterrebbe: Poiché I i/2 I i = α, ove α=0,49, si ha che I i/2 = C i/2(i/2+2). i/2+2 2(i+2) = α, da cui, con qualche elementare passaggio algebrico, si arriva a i=4 1 2α 4α 1 = 8,33%. Soluzione terzo quesito Se il titolo a scadenza futura t = 1,5 vale S>0, allora la somma liquidata oggi é pari a A=S(1 dt). Se si investe A per due anni a regime composto a tasso i=3%, si ottiene un montante pari a M 2 = A(1+i) 2 = S(1 dt)(1+i) 2. Se invece si accetta di farsi liquidare solo tra un anno, allora la somma liquidata sarebbe pari a A 1 = S(1 d(t 1)). Se si investe A 1 per un anno alle stesse condizioni di prima, si ottiene un montante pari a M 2 = A 1 (1+i)=S(1 d(t 1))(1+i). Se imponiamo che i due montanti coincidano, si ha l equazione S(1 dt)(1+i) 2 = S(1 d(t 1))(1+i), ove d è la nostra incognita. Isolando d, dopo qualche semplice passaggio algebrico, si trova d = i 1+it = 2,87%. Soluzione quarto quesito Il modo piú facile per risolvere questo esercizio è, come spesso succede, quello di ricorrere ai valori attuali. Chiamato D n 2 il debito residuo a due anni dalla fine, dove n è un qualunque numero naturale maggiore di due (sia D n 2 che n risulteranno dati ininfluenti), nel piano originario ci sarebbero state due rate annuali pari a R e tasso i, ossia, in termini di cash-flow {(n 2,D n 2 );(n 1, R);(n, R)}.

4 Se impostiamo una equazione dal punto di vista del valore attuale, dove qui attuale si riferisce all epoca n 2, si ha che D n 2 = R (1+i) + R (1+i) 2. (1) Invece, spostando la penultima scadenza di sei mesi in avanti, a tasso invariato, il piano rimane alla francese con rata R e, in termini di cash-flow, diviene {(n 2,D n 2 );(n 1/2, R );(n, R )}. Se impostiamo di nuovo una equazione dal punto di vista del valore attuale, si ha che D n 2 = R R + (1+i) 3/2 (1+i) 2. (2) Ora, ricavando algebricamente R dallq eq. (12) e R dallq eq. (13) si trova rispettivamente che e Se ora calcoliamo il rapporto R /R, si ha che che si puó anche riscrivere come R= D n 2 (1+i) 2 (2+i) R = D n 2 (1+i) i R R = 2+i 1+ 1+i, 1,02 (1+ 1+i)=2+i, sapendo che R R = 1,02. Ora, come primo metodo, possiamo inserire uno alla volta i valori di i proposti come soluzione e verificare che l unica soluzione della suddetta equazione é i=0,08=8%. Chi volesse invece cercare di risolvere la suddetta equazione senza ricorrere a tale metodo casereccio, adoperando la sostituzione di variabile t = 1+i, si accorgerebbe che la precedente equazione si puó riscrivere come 1,02(1+t)=1+t 2, ossia che ha una sola soluzione accettabile t 1 > 0. i= t1 2 1, si trova i=0,08=8%. t 2 1,02t 0,02=0 Se adesso passate alla vecchia variabile tramite la formula inversa Soluzione quinto quesito Il piano originario all italiana prevede 24 quote capitali costanti la cui somma deve dare D 0 = 24000, ossia C k = D 0 /24=1000 per k=1,...,24. L interesse dopo un anno é I 1 = i m D 0, ossia I 1 = 240, poi ogni anno cala di dieci euro: per arrivare a questa conclusione, basta ricordare la formula generale degli interessi in un piano all italiana dato da I k = i m(n k+ 1)D 0, k=1,...,24, n=24. n Dunque, I 2 = 230, I 3 = 220 e cosí via. Al momento della tredicesima rata, quindi, dovrei avere I 13 = 120 e ovviamente sempre C 13 = 1000 per una rata complessiva pari a R 13 = Tuttavia, al tredicesimo mese, l originario piano non viene rispettato perché é come se la rata fosse nulla. Denotiamo allora con un asterisco le quote capitale, interessi, rata e debito residuo reali del tredicesimo mese, quindi C13,I 13,R 13 e D 13. Intanto, possiamo dire che gli interessi che si dovevano pagare rimangono gli stessi, ossia I13 = I 13 = 120. Poi, per far funzionare la prima formula generale di ogni piano di ammortamento, ossia rata uguale alla somma di quota capitale e quota interesse, essendo R 13 = 0, si ha necessariamente che C 13 = I 13 = I 13 = 120 e pertanto D 13 = D 12 C13 = Dal quattordicesimo al venticinquesimo mese, parte un nuovo piano all italiana di durata annuale, a rate mensili, con debito residuo iniziale pari a D 13 e tasso ridotto pari a i m = 0,5%. Pertanto, la nuova quota capitale costante (caratteristica del piano all italiana) risulta D 13 /12 = Tenete ora conto che in ogni piano all italiana le rate vanno a decrescere, pertanto la rata piú alta sará la prima del nuovo piano, data (se non ricordate la formula generale) dalla quota capitale, che come abbiamo appena detto é pari a 1010, piú la prima quota interessi, che secondo la formula generale é data da i m 12120=60,6, dunque la risposta finale é ,6=1070,6.

5 Soluzione sesto quesito Il momento in cui acquistate il titolo é sempre l epoca iniziale, ossia l epoca zero. Se avete acquistato il titolo ad un epoca intermedia compresa tra la penultima cedola e la scadenza finale, detto t il periodo di tempo che intercorre tra il momento dell acquisto e la scadenza finale, sappiamo che t ]0,1/2[; inoltre, il cash-flow è dato da {(0, C tq );(t,n(1+i/2))}, ove C tq > 0 é il corso tel quel, ossia il valore effettivo pagato per acquistare il titolo. Pertanto, il discounted cash-flow é G(x)= C tq + N(1+i/2) (1+x) t. Detto r il rendimento di tale operazione, sappiamo che G(r)=0, quindi C tq = N(1+i/2) (1+r) t. Se vogliamo determinare il massimo C tq affinché r non diventi negativo, basta inserire r= 0 nella suddetta equazione e ricavare Ctq max, che é semplicemente dato da indipendentemente da t. C max tq = N(1+i/2)=1020, Soluzione settimo quesito Prima di tutto, bisogna determinare il rendimento di tale titolo, ossia il TIR. Il discounted cash-flow è dato da G(x)= x + 538,125 (1+x) 2. L equazione algebrica G(x)=0 è di secondo grado: se la risolvete nella variabile v=1/(1+x), risulterá 538,125v v 1000=0. Tale equazione ammette una sola soluzione accettabile, ossia positiva, e, se poi ritornate alla variabile originaria, troverete che x = 2,5%. Pertanto la duration di tale titolo è D= 500 1, ,125 2 (1,025) ossia un anno e poco piú di sei mesi, quindi la risposta é affermativa. 1,512, Soluzione ottavo quesito a) Si noti, dalla sequenza degli indici, che i prezzi sono assolutamente piatti nel primo semestre, mentre é presente inflazione nel secondo semestre e deflazione nel terzo. Si ricordi che la formula piú generale che si puó applicare per calcolarsi i coefficienti di rivalutazione, qualunque sia l andamento degli indici FOI, è α j = M j M j 1 1, j= 1,...,n, (3) ove gli indici M j, per ogni j che va da 1 fino a n (si noti che, nel nostro caso, n=4), sono calcolati ricorsivamente nel seguente modo: { M j = max{i j,m j 1 }, j=1,...,n; (4) M 0 = I 0. Nel nostro caso, si ha dunque che M 0 = I 0 = 102, M 1 = I 1 = 102, M 2 = I 2 = 102,5 e M 3 = 102,5, pertanto, adoperando la formula data in eq. (3), è chiaro che α 1 = α 3 = 0, mentre α 2 = 0,00490 (con approssimazione alla quinta cifra decimale). Tenete conto inoltre che le formule per calcolarsi la cedola c j, il capitale rivalutato CR j e la remunerazione semestrale RS j sono le stesse sia in caso di inflazione che di deflazione, ossia c j = 2 1iN(1+α j), CR j = α j N j= 1,2,3,4; RS j = c j +CR j, j= 1,2,3; (5) RS 4 = N+ c 4 +CR 4 + 0,004 N (l ultimo termine solo se si riscuote il premio fedeltá)

6 Si noti che la cedola classica, data da 2 1 in, qui é pari a 5, quindi nel primo e nel terzo semestre, non avendo inflazione, sappiamo giá che la remunerazione si ridurrá alla sola cedola classica. In ogni caso, applicando le suddette formule nei primi tre semestri, è evidente che si trovi c 1 = 5, CR 1 = 0, RS 1 = 5, poi infine c 2 = 5,02, CR 2 = 4,90, RS 2 = 9,92, c 3 = 5, CR 3 = 0, RS 3 = 5. Ovviamente, il rendimento del titolo è il minimo possibile quando il coefficiente α 4 sará pari a zero. Ció equivale anche a dire che che la remunerazione dell ultimo semestre si riduce alla cedola classica piú il premio fedeltá di 4, quindi il discounted cash-flow del titolo, denominato G Min (x), sarebbe 5 G Min (x)= (1+x) ,92 (1+x) (1+x) 2 3 (1+x) 2. Considerate il fatto che non siete in grado di trovare una soluzione esatta, denotata x, dell equazione G Min (x)= 0, che vi fornirebbe la risposta cercata, perché algebricamente troppo complicata (anche passando attraverso una opportuna sostituzione di variabile, avreste una equazione algebrica di quarto grado). Allora, ricordando che G Min (x) è una funzione strettamente decrescente, tale che G Min (x) > 0 per x < x e G Min (x) < 0 per x > x, dobbiamo testare il segno di G Min (x) buttandovi dentro valori ragionevoli di x, rammentando che r m non sará molto superiore al tasso cedolare, perché in tre casi su quattro non si ha rivalutazione della cedola classica. Se ad esempio inserite r 1 = 1,4%, risulterá G Min (r 1 ) 0,97 > 0, mentre con r 2 = 1,5% risulterá G Min (r 2 ) 0,97<0, pertanto r 1 < r m < r 2, con l approssimazione richiesta. b) Per avere lo stesso cash-flow del caso precedente, bisogna ovviamente che α 4 = 0. Se si vuole contemperare tale condizione con la richiesta di inflazione nell ultimo semestre, stando alla formula data in eq. (3), bisogna evidentemente che l indice I 4 sia tale che I 3 < I 4 I 2, cosicchè si abbia inflazione ma allo stesso tempo non scatti il meccanismo di rivalutazione in quanto M 4 = M 3 = I 2 = 102,5. Dunque, si deve avere che I 4 ]102,3;102,5]. c) Supponiamo di stimare il rendimento complessivo del titolo pari a r = 1,8%. In tal caso, il discounted cash flow del titolo, denominato ora G 1, é 5 G 1 (x)= (1+x) ,92 (1+x) z (1+x) 2 3 (1+x) 2, ove si noti che l ultimo importo é pari a 1009+z, perché si prevede che la remunerazione finale, oltre alla cedola classica di 5 e il premio fedeltá di 4, contenga anche una rivalutazione ancora da scoprire, indicata con z. Si noti comunque che avendo indicato RS 4 come 1009+z, tramite l eq. (5) si ricava facilmente che Imponendo che G(r )=0, si ha che z=1005α 4. (6) z=1000(1+r ) 2 5(1+r ) 3/2 9,92(1+r ) 5 1+r 1009, ossia, inserendo il dato r = 0,018, si arriva a z 7,045. Pertanto, la remunerazione complessiva dell ultimo semestre, stimando un rendimento finale dell 1,8%, è pari a RS 4 = ,045=1016,045. Ora siamo pronti a calcolarci la duration del titolo, pari a D= ( 1 2 RS 1 (1+r ) RS 2 (1+r ) RS (1+r ) 3 2 RS 4 (1+r ) 2 ossia, inserendo i dati, D 1,980, equivalente a circa un anno e un pó piú di undici mesi. Soluzione quesito teorico ) /1000, (7) La scindibilitá di un fattore di montante significa che la funzione f(t) ad esso associata soddisfa la proprietá f(x) f(y)= f(x+y) per ogni x,y>0. Nel nostro caso, si ha che f(x) f(y)=(1+i) x (1+i) y =(1+i) x+ y,

7 mentre f(x+y)=(1+i) x+y e siccome é facile vedere che x+y< x+ y per ogni x,y>0, si verifica sempre che f(x) f(y)> f(x+y).

8 Cognome Matematica Finanziaria a.a (Traccia B) Prof.ssa Ragni Ferrara 02 febbraio 2017 Nome matricola Firma e indirizzo posta elettronica (solo per chi non si è registrato sul sito) NOTA BENE: si accetta una sola correzione nel gruppo di quesiti 1. Fra un anno e mezzo vi scade un titolo. Potete riscattarlo oggi nel regime dello sconto commerciale (RSC) a tasso di sconto d > 0 e investire il ricavato a regime composto per due anni a tasso i = 4% oppure riscattarlo, sempre in RSC a tasso d, tra un anno e investire il ricavato per un anno alle stesse condizioni di prima. Per quale valore di d le due operazioni sono equivalenti? (a) d = 3,57% (b) d = 3,77% (c) d = 3,97% (d) d = 3,87% 2. In un piano alla francese annuale, a due anni dal termine, fate spostare la penultima rata di sei mesi in avanti. Sapendo che, ora, la nuova rata, rispetto a quella originaria, aumenta del due per cento, ricavare il tasso i. (a) i=8% (b) i=8,2% (c) i=7,8% (d) i=8,3% 3. Versate in un conto corrente a regime composto a tasso i=8,16%, ne ritirate 550 dopo sei mesi e incassate il montante dopo un anno dal versamento. Se la banca, dopo ogni anno di giacenza, applica una commissione fissa pari ad α>0, quanto deve essere α perché il montante sia il capitale iniziale cresciuto dell 1%? (a) α=140 (b) α=142 (c) α=144 (d) α= Si impiega un capitale C per due anni nel regime composto, al tasso annuo i>0. Se il tasso fosse dimezzato, si percepirebbe un interesse complessivo pari al 48% del caso precedente. Trovare il tasso i. (a) i=17,39% (b) i=17,82% (c) i=17,53% (d) i=17,21% 5. Un BTP di nominale N = 1000 a cedola semestrale ha tasso cedolare i = 6%. Se volete comperarlo ad una qualunque epoca intermedia fra la penultima cedola e la scadenza finale, qual é il massimo prezzo di acquisto affinché il rendimento non diventi negativo? (a) 1000 (b) 1010 (c) 1030 (d) In un piano all italiana su prestito di 24000, a rate mensili, durata di due anni, a tasso i m = 1%, non riuscite a pagare la tredicesima rata. Vi si propone allora un nuovo piano annuale all italiana, con rate mensili (dal mese 14 al mese 25), al nuovo tasso i m = 0,5%. Qual é la rata piú alta che paghererete nel nuovo piano? (a) 1074,6 (b) 1070,6 (c) 1068,6 (d) 1072,6 7. Un titolo presenta il seguente cash-flow: {(0; 1000),(1;500),(2;538,125)}. Stabilire se la duration di tale titolo cade a meno di sei mesi della sua scadenza naturale (rispondere solo con un Sí o un No). Risposta:...

9 8. Un BTP Italia, emesso il primo marzo 2015, durata due anni, cedola semestrale a tasso cedolare i=1%, valore nominale N = 1000, collegato all indice FOI per tenere conto dell inflazione semestrale, premio fedeltá del 4 per mille, viene acquistato all emissione alla pari e tenuto fino alla scadenza. La sequenza degli indici semestrali FOI giá usciti, che indicheremo con I j, j= 0,1,2,3, é la seguente: In attesa dell uscita di I 4 : I 0 = 102, I 1 = 102, I 2 = 102,5, I 3 = 102,3. a) determinate il minimo rendimento del titolo in percentuale, detto r m, indipendentemente dal valore che uscirá di I 4, con una approssimazione pari alla prima cifra decimale; b) motivate la possibilitá o meno che si trovi un indice I 4 tale da configurare lo stesso cash-flow del caso a), ma con inflazione nell ultimo semestre; c) stimando un rendimento finale complessivo dell 1,8%, calcolate la duration di tale titolo. Teoria Dimostrare che il fattore di montante la cui funzione associata sia f(t)=(1+i) t, ove i>0, non è scindibile.

10 Soluzione primo quesito Se il titolo a scadenza futura t = 1,5 vale S>0, allora la somma liquidata oggi é pari a A=S(1 dt). Se si investe A per due anni a regime composto a tasso i=4%, si ottiene un montante pari a M 2 = A(1+i) 2 = S(1 dt)(1+i) 2. Se invece si accetta di farsi liquidare solo tra un anno, allora la somma liquidata sarebbe pari a A 1 = S(1 d(t 1)). Se si investe A 1 per un anno alle stesse condizioni di prima, si ottiene un montante pari a M 2 = A 1 (1+i)=S(1 d(t 1))(1+i). Se imponiamo che i due montanti coincidano, si ha l equazione S(1 dt)(1+i) 2 = S(1 d(t 1))(1+i), ove d è la nostra incognita. Isolando d, dopo qualche semplice passaggio algebrico, si trova d = i 1+it = 3,77%. Soluzione secondo quesito Il modo piú facile per risolvere questo esercizio è, come spesso succede, quello di ricorrere ai valori attuali. Chiamato D n 2 il debito residuo a due anni dalla fine, dove n è un qualunque numero naturale maggiore di due (sia D n 2 che n risulteranno dati ininfluenti), nel piano originario ci sarebbero state due rate annuali pari a R e tasso i, ossia, in termini di cash-flow {(n 2,D n 2 );(n 1, R);(n, R)}. Se impostiamo una equazione dal punto di vista del valore attuale, dove qui attuale si riferisce all epoca n 2, si ha che D n 2 = R (1+i) + R (1+i) 2. (8) Invece, spostando la penultima scadenza di sei mesi in avanti, a tasso invariato, il piano rimane alla francese con rata R e, in termini di cash-flow, diviene {(n 2,D n 2 );(n 1/2, R );(n, R )}. Se impostiamo di nuovo una equazione dal punto di vista del valore attuale, si ha che D n 2 = R R + (1+i) 3/2 (1+i) 2. (9) Ora, ricavando algebricamente R dallq eq. (12) e R dallq eq. (13) si trova rispettivamente che e Se ora calcoliamo il rapporto R /R, si ha che che si puó anche riscrivere come R= D n 2 (1+i) 2 (2+i) R = D n 2 (1+i) i R R = 2+i 1+ 1+i, 1,02 (1+ 1+i)=2+i, sapendo che R R = 1,02. Ora, come primo metodo, possiamo inserire uno alla volta i valori di i proposti come soluzione e verificare che l unica soluzione della suddetta equazione é i=0,08=8%. Chi volesse invece cercare di risolvere la

11 suddetta equazione senza ricorrere a tale metodo casereccio, adoperando la sostituzione di variabile t = 1+i, si accorgerebbe che la precedente equazione si puó riscrivere come 1,02(1+t)=1+t 2, ossia che ha una sola soluzione accettabile t 1 > 0. i= t1 2 1, si trova i=0,08=8%. t 2 1,02t 0,02=0 Se adesso passate alla vecchia variabile tramite la formula inversa Soluzione terzo quesito Nell operazione, a regime composto e tasso i, investo C 1 = per poi ritirarne C 2 = 550 dopo sei mesi e far maturare il rimanente nei successivi sei mesi. Pertanto, il montante M, tenendo conto della commissione fissa finale pari ad α che la banca applica dopo un anno di giacenza, é dato da M =(C 1 1+i C 2 ) 1+i α. L equazione da impostare é dunque M = 1,01C 1, che porta, dopo qualche semplice passaggio algebrico, a Inserendo i dati, si trova che α=144. α= C 1 (i 0,01) C 2 1+i. Soluzione quarto quesito L interesse complessivo, sui due anni di durata, generato nel regime composto dall investimento a tasso i, é pari a I i = M C= C[(1+i) 2 1]= C i(i+2). Col tasso di interesse pari a i/2, quindi, similmente si otterrebbe: Poiché I i/2 I i = α, ove α=0,48, si ha che I i/2 = C i/2(i/2+2). i/2+2 2(i+2) = α, da cui, con qualche elementare passaggio algebrico, si arriva a i=4 1 2α 4α 1 = 17,39%. Soluzione quinto quesito Il momento in cui acquistate il titolo é sempre l epoca iniziale, ossia l epoca zero. Se avete acquistato il titolo ad un epoca intermedia compresa tra la penultima cedola e la scadenza finale, detto t il periodo di tempo che intercorre tra il momento dell acquisto e la scadenza finale, sappiamo che t ]0,1/2[; inoltre, il cash-flow è dato da {(0, C tq );(t,n(1+i/2))}, ove C tq > 0 é il corso tel quel, ossia il valore effettivo pagato per acquistare il titolo. Pertanto, il discounted cash-flow é G(x)= C tq + N(1+i/2) (1+x) t. Detto r il rendimento di tale operazione, sappiamo che G(r)=0, quindi C tq = N(1+i/2) (1+r) t. Se vogliamo determinare il massimo C tq affinché r non diventi negativo, basta inserire r= 0 nella suddetta equazione e ricavare Ctq max, che é semplicemente dato da C max tq = N(1+i/2)=1030,

12 indipendentemente da t. Soluzione sesto quesito Il piano originario all italiana prevede 24 quote capitali costanti la cui somma deve dare D 0 = 24000, ossia C k = D 0 /24=1000 per k=1,...,24. L interesse dopo un anno é I 1 = i m D 0, ossia I 1 = 240, poi ogni anno cala di dieci euro: per arrivare a questa conclusione, basta ricordare la formula generale degli interessi in un piano all italiana dato da I k = i m(n k+ 1)D 0, k=1,...,24, n=24. n Dunque, I 2 = 230, I 3 = 220 e cosí via. Al momento della tredicesima rata, quindi, dovrei avere I 13 = 120 e ovviamente sempre C 13 = 1000 per una rata complessiva pari a R 13 = Tuttavia, al tredicesimo mese, l originario piano non viene rispettato perché é come se la rata fosse nulla. Denotiamo allora con un asterisco le quote capitale, interessi, rata e debito residuo reali del tredicesimo mese, quindi C13,I 13,R 13 e D 13. Intanto, possiamo dire che gli interessi che si dovevano pagare rimangono gli stessi, ossia I13 = I 13 = 120. Poi, per far funzionare la prima formula generale di ogni piano di ammortamento, ossia rata uguale alla somma di quota capitale e quota interesse, essendo R 13 = 0, si ha necessariamente che C 13 = I 13 = I 13 = 120 e pertanto D 13 = D 12 C13 = Dal quattordicesimo al venticinquesimo mese, parte un nuovo piano all italiana di durata annuale, a rate mensili, con debito residuo iniziale pari a D 13 e tasso ridotto pari a i m = 0,5%. Pertanto, la nuova quota capitale costante (caratteristica del piano all italiana) risulta D 13 /12 = Tenete ora conto che in ogni piano all italiana le rate vanno a decrescere, pertanto la rata piú alta sará la prima del nuovo piano, data (se non ricordate la formula generale) dalla quota capitale, che come abbiamo appena detto é pari a 1010, piú la prima quota interessi, che secondo la formula generale é data da i m 12120=60,6, dunque la risposta finale é ,6=1070,6. Soluzione settimo quesito Prima di tutto, bisogna determinare il rendimento di tale titolo, ossia il TIR. Il discounted cash-flow è dato da G(x)= x + 538,125 (1+x) 2. L equazione algebrica G(x)=0 è di secondo grado: se la risolvete nella variabile v=1/(1+x), risulterá 538,125v v 1000=0. Tale equazione ammette una sola soluzione accettabile, ossia positiva, e, se poi ritornate alla variabile originaria, troverete che x = 2,5%. Pertanto la duration di tale titolo è D= 500 1, ,125 2 (1,025) ossia un anno e poco piú di sei mesi, quindi la risposta é affermativa. 1,512,

13 Cognome Matematica Finanziaria a.a (Traccia C) Prof.ssa Ragni Ferrara 02 febbraio 2017 Nome matricola Firma e indirizzo posta elettronica (solo per chi non si è registrato sul sito) NOTA BENE: si accetta una sola correzione nel gruppo di quesiti 1. Si impiega un capitale C per due anni nel regime composto, al tasso annuo i>0. Se il tasso fosse dimezzato, si percepirebbe un interesse complessivo pari al 49,5% del caso precedente. Trovare il tasso i. (a) i=4,40% (b) i=4,28% (c) i=4,08% (d) i=4,53% 2. Fra un anno e mezzo vi scade un titolo. Potete riscattarlo oggi nel regime dello sconto commerciale (RSC) a tasso di sconto d > 0 e investire il ricavato a regime composto per due anni a tasso i = 2% oppure riscattarlo, sempre in RSC a tasso d, tra un anno e investire il ricavato per un anno alle stesse condizioni di prima. Per quale valore di d le due operazioni sono equivalenti? (a) d = 1,75% (b) d = 1,87% (c) d = 1,73% (d) d = 1,94% 3. In un piano alla francese annuale, a due anni dal termine, fate spostare la penultima rata di sei mesi in avanti. Sapendo che, ora, la nuova rata, rispetto a quella originaria, aumenta del due per cento, ricavare il tasso i. (a) i=8,2% (b) i=7,8% (c) i=8% (d) i=8,3% 4. Versate in un conto corrente a regime composto a tasso i=8,16%, ne ritirate 450 dopo sei mesi e incassate il montante dopo un anno dal versamento. Se la banca, dopo ogni anno di giacenza, applica una commissione fissa pari ad α>0, quanto deve essere α perché il montante sia il capitale iniziale cresciuto dell 1%? (a) α=250 (b) α=248 (c) α=246 (d) α= In un piano all italiana su prestito di 24000, a rate mensili, durata di due anni, a tasso i m = 1%, non riuscite a pagare la tredicesima rata. Vi si propone allora un nuovo piano annuale all italiana, con rate mensili (dal mese 14 al mese 25), al nuovo tasso i m = 0,5%. Qual é la rata piú alta che paghererete nel nuovo piano? (a) 1070,6 (b) 1074,6 (c) 1068,6 (d) 1072,6 6. Un BTP di nominale N = 1000 a cedola semestrale ha tasso cedolare i = 3%. Se volete comperarlo ad una qualunque epoca intermedia fra la penultima cedola e la scadenza finale, qual é il massimo prezzo di acquisto affinché il rendimento non diventi negativo? (a) 1030 (b) 1020 (c) 1010 (d) Un titolo presenta il seguente cash-flow: {(0; 1000),(1;500),(2;538,125)}. Stabilire se la duration di tale titolo cade a meno di sei mesi della sua scadenza naturale (rispondere solo con un Sí o un No). Risposta:...

14 8. Un BTP Italia, emesso il primo marzo 2015, durata due anni, cedola semestrale a tasso cedolare i=1%, valore nominale N = 1000, collegato all indice FOI per tenere conto dell inflazione semestrale, premio fedeltá del 4 per mille, viene acquistato all emissione alla pari e tenuto fino alla scadenza. La sequenza degli indici semestrali FOI giá usciti, che indicheremo con I j, j= 0,1,2,3, é la seguente: In attesa dell uscita di I 4 : I 0 = 102, I 1 = 102, I 2 = 102,5, I 3 = 102,3. a) determinate il minimo rendimento del titolo in percentuale, detto r m, indipendentemente dal valore che uscirá di I 4, con una approssimazione pari alla prima cifra decimale; b) motivate la possibilitá o meno che si trovi un indice I 4 tale da configurare lo stesso cash-flow del caso a), ma con inflazione nell ultimo semestre; c) stimando un rendimento finale complessivo dell 1,8%, calcolate la duration di tale titolo. Teoria Dimostrare che il fattore di montante la cui funzione associata sia f(t)=(1+i) t, ove i>0, non è scindibile.

15 Soluzione primo quesito L interesse complessivo, sui due anni di durata, generato nel regime composto dall investimento a tasso i, é pari a I i = M C= C[(1+i) 2 1]= C i(i+2). Col tasso di interesse pari a i/2, quindi, similmente si otterrebbe: Poiché I i/2 I i = α, ove α=0,495, si ha che I i/2 = C i/2(i/2+2). i/2+2 2(i+2) = α, da cui, con qualche elementare passaggio algebrico, si arriva a i=4 1 2α 4α 1 = 4,08%. Soluzione secondo quesito Se il titolo a scadenza futura t = 1,5 vale S>0, allora la somma liquidata oggi é pari a A=S(1 dt). Se si investe A per due anni a regime composto a tasso i=2%, si ottiene un montante pari a M 2 = A(1+i) 2 = S(1 dt)(1+i) 2. Se invece si accetta di farsi liquidare solo tra un anno, allora la somma liquidata sarebbe pari a A 1 = S(1 d(t 1)). Se si investe A 1 per un anno alle stesse condizioni di prima, si ottiene un montante pari a M 2 = A 1 (1+i)=S(1 d(t 1))(1+i). Se imponiamo che i due montanti coincidano, si ha l equazione S(1 dt)(1+i) 2 = S(1 d(t 1))(1+i), ove d è la nostra incognita. Isolando d, dopo qualche semplice passaggio algebrico, si trova d = i 1+it = 1,94%. Soluzione terzo quesito Il modo piú facile per risolvere questo esercizio è, come spesso succede, quello di ricorrere ai valori attuali. Chiamato D n 2 il debito residuo a due anni dalla fine, dove n è un qualunque numero naturale maggiore di due (sia D n 2 che n risulteranno dati ininfluenti), nel piano originario ci sarebbero state due rate annuali pari a R e tasso i, ossia, in termini di cash-flow {(n 2,D n 2 );(n 1, R);(n, R)}. Se impostiamo una equazione dal punto di vista del valore attuale, dove qui attuale si riferisce all epoca n 2, si ha che D n 2 = R (1+i) + R (1+i) 2. (10) Invece, spostando la penultima scadenza di sei mesi in avanti, a tasso invariato, il piano rimane alla francese con rata R e, in termini di cash-flow, diviene {(n 2,D n 2 );(n 1/2, R );(n, R )}. Se impostiamo di nuovo una equazione dal punto di vista del valore attuale, si ha che D n 2 = R R + (1+i) 3/2 (1+i) 2. (11)

16 Ora, ricavando algebricamente R dallq eq. (12) e R dallq eq. (13) si trova rispettivamente che e Se ora calcoliamo il rapporto R /R, si ha che che si puó anche riscrivere come R= D n 2 (1+i) 2 (2+i) R = D n 2 (1+i) i R R = 2+i 1+ 1+i, 1,02 (1+ 1+i)=2+i, sapendo che R R = 1,02. Ora, come primo metodo, possiamo inserire uno alla volta i valori di i proposti come soluzione e verificare che l unica soluzione della suddetta equazione é i=0,08=8%. Chi volesse invece cercare di risolvere la suddetta equazione senza ricorrere a tale metodo casereccio, adoperando la sostituzione di variabile t = 1+i, si accorgerebbe che la precedente equazione si puó riscrivere come 1,02(1+t)=1+t 2, ossia che ha una sola soluzione accettabile t 1 > 0. i= t1 2 1, si trova i=0,08=8%. t 2 1,02t 0,02=0 Se adesso passate alla vecchia variabile tramite la formula inversa Soluzione quarto quesito Nell operazione, a regime composto e tasso i, investo C 1 = per poi ritirarne C 2 = 450 dopo sei mesi e far maturare il rimanente nei successivi sei mesi. Pertanto, il montante M, tenendo conto della commissione fissa finale pari ad α che la banca applica dopo un anno di giacenza, é dato da M =(C 1 1+i C 2 ) 1+i α. L equazione da impostare é dunque M = 1,01C 1, che porta, dopo qualche semplice passaggio algebrico, a Inserendo i dati, si trova che α=248. α= C 1 (i 0,01) C 2 1+i. Soluzione quinto quesito Il piano originario all italiana prevede 24 quote capitali costanti la cui somma deve dare D 0 = 24000, ossia C k = D 0 /24=1000 per k=1,...,24. L interesse dopo un anno é I 1 = i m D 0, ossia I 1 = 240, poi ogni anno cala di dieci euro: per arrivare a questa conclusione, basta ricordare la formula generale degli interessi in un piano all italiana dato da I k = i m(n k+ 1)D 0, k=1,...,24, n=24. n Dunque, I 2 = 230, I 3 = 220 e cosí via. Al momento della tredicesima rata, quindi, dovrei avere I 13 = 120 e ovviamente sempre C 13 = 1000 per una rata complessiva pari a R 13 = Tuttavia, al tredicesimo mese, l originario piano non viene rispettato perché é come se la rata fosse nulla. Denotiamo allora con un asterisco le quote capitale, interessi, rata e debito residuo reali del tredicesimo mese, quindi C13,I 13,R 13 e D 13. Intanto, possiamo dire che gli interessi che si dovevano pagare rimangono gli stessi, ossia I13 = I 13 = 120. Poi, per far funzionare la prima formula generale di ogni piano di ammortamento, ossia rata uguale alla somma di quota capitale e quota interesse, essendo R 13 = 0, si ha necessariamente che C 13 = I 13 = I 13 = 120 e pertanto D 13 = D 12 C13 = Dal quattordicesimo al venticinquesimo mese, parte un nuovo piano all italiana di durata annuale, a rate mensili, con debito residuo iniziale pari a D 13 e tasso ridotto pari a i m = 0,5%. Pertanto, la nuova quota capitale costante (caratteristica del piano all italiana) risulta D 13 /12 = Tenete ora conto che in ogni piano all italiana le rate vanno a decrescere, pertanto la rata piú alta sará la prima del nuovo piano, data (se non ricordate la formula generale) dalla quota capitale, che come abbiamo appena detto é pari a 1010, piú la prima quota interessi, che secondo la formula generale é data da i m 12120=60,6, dunque la risposta finale é ,6=1070,6. Soluzione sesto quesito

17 Il momento in cui acquistate il titolo é sempre l epoca iniziale, ossia l epoca zero. Se avete acquistato il titolo ad un epoca intermedia compresa tra la penultima cedola e la scadenza finale, detto t il periodo di tempo che intercorre tra il momento dell acquisto e la scadenza finale, sappiamo che t ]0,1/2[; inoltre, il cash-flow è dato da {(0, C tq );(t,n(1+i/2))}, ove C tq > 0 é il corso tel quel, ossia il valore effettivo pagato per acquistare il titolo. Pertanto, il discounted cash-flow é G(x)= C tq + N(1+i/2) (1+x) t. Detto r il rendimento di tale operazione, sappiamo che G(r)=0, quindi C tq = N(1+i/2) (1+r) t. Se vogliamo determinare il massimo C tq affinché r non diventi negativo, basta inserire r= 0 nella suddetta equazione e ricavare Ctq max, che é semplicemente dato da indipendentemente da t. C max tq = N(1+i/2)=1015, Soluzione settimo quesito Prima di tutto, bisogna determinare il rendimento di tale titolo, ossia il TIR. Il discounted cash-flow è dato da G(x)= x + 538,125 (1+x) 2. L equazione algebrica G(x)=0 è di secondo grado: se la risolvete nella variabile v=1/(1+x), risulterá 538,125v v 1000=0. Tale equazione ammette una sola soluzione accettabile, ossia positiva, e, se poi ritornate alla variabile originaria, troverete che x = 2,5%. Pertanto la duration di tale titolo è D= 500 1, ,125 2 (1,025) ossia un anno e poco piú di sei mesi, quindi la risposta é affermativa. 1,512,

18 Cognome Matematica Finanziaria a.a (traccia D) Prof.ssa Ragni Ferrara 02 febbraio 2017 Nome matricola Firma e indirizzo posta elettronica (solo per chi non si è registrato sul sito) NOTA BENE: si accetta una sola correzione nel gruppo di quesiti 1. In un piano alla francese annuale, a due anni dal termine, fate spostare la penultima rata di sei mesi in avanti. Sapendo che, ora, la nuova rata, rispetto a quella originaria, aumenta del due per cento, ricavare il tasso i. (a) i=8,2% (b) i=7,8% (c) i=8,3% (d) i=8% 2. Versate in un conto corrente a regime composto a tasso i=8,16%, ne ritirate 600 dopo sei mesi e incassate il montante dopo un anno dal versamento. Se la banca, dopo ogni anno di giacenza, applica una commissione fissa pari ad α>0, quanto deve essere α perché il montante sia il capitale iniziale cresciuto dell 1%? (a) α=92 (b) α=94 (c) α=96 (d) α=98 3. Si impiega un capitale C per due anni nel regime composto, al tasso annuo i>0. Se il tasso fosse dimezzato, si percepirebbe un interesse complessivo pari al 48,5% del caso precedente. Trovare il tasso i. (a) i=12,20% (b) i=12,77% (c) i=12,34% (d) i=12,53% 4. Fra un anno e mezzo vi scade un titolo. Potete riscattarlo oggi nel regime dello sconto commerciale (RSC) a tasso di sconto d > 0 e investire il ricavato a regime composto per due anni a tasso i = 5% oppure riscattarlo, sempre in RSC a tasso d, tra un anno e investire il ricavato per un anno alle stesse condizioni di prima. Per quale valore di d le due operazioni sono equivalenti? (a) d = 4,35% (b) d = 4,27% (c) d = 4,65% (d) d = 4,84% 5. Un BTP di nominale N = 1000 a cedola semestrale ha tasso cedolare i = 2%. Se volete comperarlo ad una qualunque epoca intermedia fra la penultima cedola e la scadenza finale, qual é il massimo prezzo di acquisto affinché il rendimento non diventi negativo? (a) 1015 (b) 1025 (c) 1010 (d) In un piano all italiana su prestito di 24000, a rate mensili, durata di due anni, a tasso i m = 1%, non riuscite a pagare la tredicesima rata. Vi si propone allora un nuovo piano annuale all italiana, con rate mensili (dal mese 14 al mese 25), al nuovo tasso i m = 0,5%. Qual é la rata piú alta che paghererete nel nuovo piano? (a) 1074,6 (b) 1068,6 (c) 1072,6 (d) 1070,6 7. Un titolo presenta il seguente cash-flow: {(0; 1000),(1;500),(2;538,125)}. Stabilire se la duration di tale titolo cade a meno di sei mesi della sua scadenza naturale (rispondere solo con un Sí o un No). Risposta:...

19 8. Un BTP Italia, emesso il primo marzo 2015, durata due anni, cedola semestrale a tasso cedolare i=1%, valore nominale N = 1000, collegato all indice FOI per tenere conto dell inflazione semestrale, premio fedeltá del 4 per mille, viene acquistato all emissione alla pari e tenuto fino alla scadenza. La sequenza degli indici semestrali FOI giá usciti, che indicheremo con I j, j= 0,1,2,3, é la seguente: In attesa dell uscita di I 4 : I 0 = 102, I 1 = 102, I 2 = 102,5, I 3 = 102,3. a) determinate il minimo rendimento del titolo in percentuale, detto r m, indipendentemente dal valore che uscirá di I 4, con una approssimazione pari alla prima cifra decimale; b) motivate la possibilitá o meno che si trovi un indice I 4 tale da configurare lo stesso cash-flow del caso a), ma con inflazione nell ultimo semestre; c) stimando un rendimento finale complessivo dell 1,8%, calcolate la duration di tale titolo. Teoria Dimostrare che il fattore di montante la cui funzione associata sia f(t)=(1+i) t, ove i>0, non è scindibile.

20 Soluzione primo quesito Il modo piú facile per risolvere questo esercizio è, come spesso succede, quello di ricorrere ai valori attuali. Chiamato D n 2 il debito residuo a due anni dalla fine, dove n è un qualunque numero naturale maggiore di due (sia D n 2 che n risulteranno dati ininfluenti), nel piano originario ci sarebbero state due rate annuali pari a R e tasso i, ossia, in termini di cash-flow {(n 2,D n 2 );(n 1, R);(n, R)}. Se impostiamo una equazione dal punto di vista del valore attuale, dove qui attuale si riferisce all epoca n 2, si ha che D n 2 = R (1+i) + R (1+i) 2. (12) Invece, spostando la penultima scadenza di sei mesi in avanti, a tasso invariato, il piano rimane alla francese con rata R e, in termini di cash-flow, diviene {(n 2,D n 2 );(n 1/2, R );(n, R )}. Se impostiamo di nuovo una equazione dal punto di vista del valore attuale, si ha che D n 2 = R R + (1+i) 3/2 (1+i) 2. (13) Ora, ricavando algebricamente R dallq eq. (12) e R dallq eq. (13) si trova rispettivamente che e Se ora calcoliamo il rapporto R /R, si ha che che si puó anche riscrivere come R= D n 2 (1+i) 2 (2+i) R = D n 2 (1+i) i R R = 2+i 1+ 1+i, 1,02 (1+ 1+i)=2+i, sapendo che R R = 1,02. Ora, come primo metodo, possiamo inserire uno alla volta i valori di i proposti come soluzione e verificare che l unica soluzione della suddetta equazione é i=0,08=8%. Chi volesse invece cercare di risolvere la suddetta equazione senza ricorrere a tale metodo casereccio, adoperando la sostituzione di variabile t = 1+i, si accorgerebbe che la precedente equazione si puó riscrivere come 1,02(1+t)=1+t 2, ossia che ha una sola soluzione accettabile t 1 > 0. i= t1 2 1, si trova i=0,08=8%. t 2 1,02t 0,02=0 Se adesso passate alla vecchia variabile tramite la formula inversa Soluzione secondo quesito Nell operazione, a regime composto e tasso i, investo C 1 = per poi ritirarne C 2 = 600 dopo sei mesi e far maturare il rimanente nei successivi sei mesi. Pertanto, il montante M, tenendo conto della commissione fissa finale pari ad α che la banca applica dopo un anno di giacenza, é dato da M =(C 1 1+i C 2 ) 1+i α. L equazione da impostare é dunque M = 1,01C 1, che porta, dopo qualche semplice passaggio algebrico, a Inserendo i dati, si trova che α=92. α= C 1 (i 0,01) C 2 1+i. Soluzione terzo quesito

21 L interesse complessivo, sui due anni di durata, generato nel regime composto dall investimento a tasso i, é pari a I i = M C= C[(1+i) 2 1]= C i(i+2). Col tasso di interesse pari a i/2, quindi, similmente si otterrebbe: Poiché I i/2 I i = α, ove α=0,485, si ha che I i/2 = C i/2(i/2+2). i/2+2 2(i+2) = α, da cui, con qualche elementare passaggio algebrico, si arriva a i=4 1 2α 4α 1 = 12,77%. Soluzione quarto quesito Se il titolo a scadenza futura t = 1,5 vale S>0, allora la somma liquidata oggi é pari a A=S(1 dt). Se si investe A per due anni a regime composto a tasso i=5%, si ottiene un montante pari a M 2 = A(1+i) 2 = S(1 dt)(1+i) 2. Se invece si accetta di farsi liquidare solo tra un anno, allora la somma liquidata sarebbe pari a A 1 = S(1 d(t 1)). Se si investe A 1 per un anno alle stesse condizioni di prima, si ottiene un montante pari a M 2 = A 1 (1+i)=S(1 d(t 1))(1+i). Se imponiamo che i due montanti coincidano, si ha l equazione S(1 dt)(1+i) 2 = S(1 d(t 1))(1+i), ove d è la nostra incognita. Isolando d, dopo qualche semplice passaggio algebrico, si trova d = i 1+it = 4,65%. Soluzione quinto quesito Il momento in cui acquistate il titolo é sempre l epoca iniziale, ossia l epoca zero. Se avete acquistato il titolo ad un epoca intermedia compresa tra la penultima cedola e la scadenza finale, detto t il periodo di tempo che intercorre tra il momento dell acquisto e la scadenza finale, sappiamo che t ]0,1/2[; inoltre, il cash-flow è dato da {(0, C tq );(t,n(1+i/2))}, ove C tq > 0 é il corso tel quel, ossia il valore effettivo pagato per acquistare il titolo. Pertanto, il discounted cash-flow é G(x)= C tq + N(1+i/2) (1+x) t. Detto r il rendimento di tale operazione, sappiamo che G(r)=0, quindi C tq = N(1+i/2) (1+r) t. Se vogliamo determinare il massimo C tq affinché r non diventi negativo, basta inserire r= 0 nella suddetta equazione e ricavare Ctq max, che é semplicemente dato da C max tq = N(1+i/2)=1010,

22 indipendentemente da t. Soluzione sesto quesito Il piano originario all italiana prevede 24 quote capitali costanti la cui somma deve dare D 0 = 24000, ossia C k = D 0 /24=1000 per k=1,...,24. L interesse dopo un anno é I 1 = i m D 0, ossia I 1 = 240, poi ogni anno cala di dieci euro: per arrivare a questa conclusione, basta ricordare la formula generale degli interessi in un piano all italiana dato da I k = i m(n k+ 1)D 0, k=1,...,24, n=24. n Dunque, I 2 = 230, I 3 = 220 e cosí via. Al momento della tredicesima rata, quindi, dovrei avere I 13 = 120 e ovviamente sempre C 13 = 1000 per una rata complessiva pari a R 13 = Tuttavia, al tredicesimo mese, l originario piano non viene rispettato perché é come se la rata fosse nulla. Denotiamo allora con un asterisco le quote capitale, interessi, rata e debito residuo reali del tredicesimo mese, quindi C13,I 13,R 13 e D 13. Intanto, possiamo dire che gli interessi che si dovevano pagare rimangono gli stessi, ossia I13 = I 13 = 120. Poi, per far funzionare la prima formula generale di ogni piano di ammortamento, ossia rata uguale alla somma di quota capitale e quota interesse, essendo R 13 = 0, si ha necessariamente che C 13 = I 13 = I 13 = 120 e pertanto D 13 = D 12 C13 = Dal quattordicesimo al venticinquesimo mese, parte un nuovo piano all italiana di durata annuale, a rate mensili, con debito residuo iniziale pari a D 13 e tasso ridotto pari a i m = 0,5%. Pertanto, la nuova quota capitale costante (caratteristica del piano all italiana) risulta D 13 /12 = Tenete ora conto che in ogni piano all italiana le rate vanno a decrescere, pertanto la rata piú alta sará la prima del nuovo piano, data (se non ricordate la formula generale) dalla quota capitale, che come abbiamo appena detto é pari a 1010, piú la prima quota interessi, che secondo la formula generale é data da i m 12120=60,6, dunque la risposta finale é ,6=1070,6. Soluzione settimo quesito Prima di tutto, bisogna determinare il rendimento di tale titolo, ossia il TIR. Il discounted cash-flow è dato da G(x)= x + 538,125 (1+x) 2. L equazione algebrica G(x)=0 è di secondo grado: se la risolvete nella variabile v=1/(1+x), risulterá 538,125v v 1000=0. Tale equazione ammette una sola soluzione accettabile, ossia positiva, e, se poi ritornate alla variabile originaria, troverete che x = 2,5%. Pertanto la duration di tale titolo è D= 500 1, ,125 2 (1,025) ossia un anno e poco piú di sei mesi, quindi la risposta é affermativa. 1,512,