Cognome. Nome. matricola. Matematica Finanziaria a.a Prof. Ghiselli Ricci + Ferrara 03 luglio 2019

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1 Mtemtic Finnziri Prof. Ghiselli Ricci + Ferrr 03 luglio 2019 Cognome Nome mtricol Firm e indirizzo post elettronic (solo per chi non si è registrto sul sito) NOTA BENE: si ccett un sol correzione nel gruppo di quesiti 1. Un bnc vi ssicur che il vostro cpitle, impiegto regime misto, tsso i > 0, umenterá del 9,70% in tre nni e nove mesi. Qunto vle il tsso i? () 2,5% (b) 2,7% (c) 2,9% (d) 3,1% 2. Un impres h un credito scdente tr sei mesi che puó incssre immeditmente ricvndone il 97%. Se si ttulizzsse tle credito nel regime dello sconto commercile, qule srebbe il tsso di sconto d pplicto? () d = 5,7% (b) d = 5,8% (c) d = 6% (d) d = 6,2% 3. Un conto corrente bncrio vi prelev 5 euro ll fine di ogni mese per le spese e pplic un cpitlizzzione semestrle regime semplice e tsso i = 0, 6%. Se verste un certo cpitle ll inizio dell nno e prelevte il montnte ll fine dell nno, per qule minimo cpitle non ndte in pssivo dopo un nno? () 59, 71 euro (b) 59, 01 euro (c) 59, 81 euro (d) 59, 91 euro 4. Volete costituire un cpitle di tr 5 nni, regime composto e tsso i = 1,4%, con 5 versmenti nticipti ( prtire dll epoc t = 0). Se le rte sono tutte R, eccetto l ultim che é l metá, determinre R. () 10622,56 (b) 10612,56 (c) 10632,56 (d) 10592,56 5. Un prestito viene rimborsto in 6 nni rte semestrli costnti l tsso i s = 2,2%. Se, dopo 2 nni estti, il debitore continu il pino di mmortmento presso un ltro istituto di credito tsso i 1,s = 1,8%, pgndo l vecchio istituto un penle, finnzit dl nuovo istituto, pri d α ]0, 1[ sul debito residuo e ottenendo un dilzione di sei mesi, qunto deve essere α ffinché l nuov rt scend del 5% rispetto ll vecchi? () α = 7,69% (b) α = 7,89% (c) α = 7,79% (d) α = 7,59% 6. Un B.O.T. scdenz tr 9 mesi, di vlore nominle 1000, viene cquistto sul mercto 985. Tenendo conto che sul nominle, l momento dell cquisto, viene ppplict un liquot fiscle pri α = 12,5%, qul è il rendimento netto r N? () r N = 1,87% (b) r N = 1,77% (c) r N = 1,67% (d) r N = 1,57% 7. Un titolo in scdenz tr un nno, cquistto prezzo P = 978, cedole semestrli, fornisce un prim cedol di 100 ed un finle incognit. Qunto deve essere il vlore dell cedol finle per vere un rendimento del 4%? Rispost: Il vlore richiesto é di... (con pprossimzione ll second cifr decimle).

2 8. Un impres h contrtto un mutuo di mmontre 1200 tsso del 2%. Nei due nni successivi h versto due rte di mmortmento pri rispettivmente 424 e 316. ) Clcolre l terz rt se l mmortmento viene chiuso l terzo nno; b) clcolre le tre quote cpitle del suddetto pino. Supponimo or che l terzo nno l impres poss pgre solo 310 e otteng di sldre il resto con un nuovo, ulteriore pino triennle le cui prime due rte sino di 100 ciscun, nuovo tsso pri l 4%. c) Clcolre l rt finle con quttro cifre decimli; d) dimostrre che ll intero pino complessivo di 6 nni corrisponde un tsso costnte (per tutto il periodo) i compreso tr il 2,2% e il 2,3%. Teori Dimostrre che un titolo scdenz nnule e uguli cedole semestrli non puó vere contempornemente rendimento positivo e durtion pri nove mesi.

3 Soluzione primo quesito L equzione d impostre é C + 0,097C = C (1 + i) 3 ( α i), ove C é il cpitle (dto ininfluente), mentre α = 9 é il periodo residuo (giá clcolto in mesi) dopo i primi tre nni di impiego del cpitle. Se inserite nell equzione suddett i dti e, l posto di i, le vrie soluzioni proposte (d un d un), vi ccorgerete che l unico tsso che vi permette di ottenere un identitá ( meno di pprossimzioni ll terz cifr decimle) é i = 2,5%. Soluzione secondo quesito Il vlore ttule del credito S esigibile fr sei mesi é 0, 97S. All interno del regime sconto commercile, il vlore ttule A di un credito esigibile fr sei mesi tsso di sconto d é ( A = S 1 d ). 2 Se or sostituimo A con 0,97S, ottenimo l equzione nell incognit d dt d d cui si ricv fcilmente d = 0,06 = 6%. 0,97 = 1 d 2, Soluzione terzo quesito Si C il cpitle versto ll inizio dell nno: dopo sei mesi vi ritroverete con un cpitle pri C 30, perché vi sono stti prelevti 5 euro ll fine di ogni mese per sei mesi. A tle somm v pplict l cpitlizzione regime semplice e tsso i, il che signific che dopo sei mesi vrete diritto (C 30)(1+i/2). Ripplicndo lo stesso rgionmento, dopo un nno vi ritroverete con un montnte M pri ( ) M = (C 30)(1 + i/2) 30 (1 + i/2). Il minimo cpitle C per cui non si vd in pssivo ll fine dell nno é quel C tle che M = 0, il che equivle porre (C 30)(1 + i/2) 30 = 0. Dopo qulche semplice pssggio lgebrico, si trov che Inserendo i dti, si trov che C = 59,91 euro. C = i 2 + i. Soluzione qurto quesito Si deve clcolre il montnte, riferito ll epoc finle t = 5, di un rendit i cui versmenti sono pri R lle epoche t = 0,1,2,3 e R/2 ll epoc t = 4. Un modo possibile (NON l unico) per risolvere tle problem é di osservre come il montnte di tle operzione si poss ottenere come quello di un rendit stndrd (periodicitá nnule) con rt costnte pri R per cinque nni, MENO il montnte dto dll cpitlizzzione dl qurto l quinto nno di metá dell rt R. Pertnto, il montnte M di tle operzione si puó determinre come: Rccogliendo fttor comune R(1 + i), si h che M = R(1 + i) 5 + R(1 + i) 4 + R(1 + i) 3 + R(1 + i) 2 + R(1 + i) R (1 + i). 2 ( M = R(1 + i) 1 + (1 + i) + (1 + i) 2 + (1 + i) 3 + (1 + i) 4 1 ). 2 Si noti or che i primi cinque termini presenti ll interno dell prentesi tond rppresentno esttmente il montnte di un rendit stndrd di rt unitri e tsso i, quindi l suddett equzione puó essere riscritt come ( (1 + i) 5 1 M = R(1 + i) 1 ). i 2 Isolndo R, dopo qulche pssggio lgebrico intermedio, si trov che M R = ( ). (1 + i) (1+i)5 1 i 1 2 Inserendo i dti, si trov R = 10622,56, con pprossimzione ll second cifr decimle.

4 Soluzione quinto quesito L rt R che il debitore dovrebbe pgre per 6 nni (e che in reltá onor l primo istituto di credito solo per i primi due) è dt dll formul ll frncese i s R = D 0, (1) 1 (1 + i s ) 12 ove D 0 é il debito residuo inizile (dto ininfluente), mentre le rte sono 12 perché semestrli su 6 nni. Dopo 2 nni, usndo l formul comptt che leg un debito residuo intermedio quello inizile nel pino ll frncese, il debito residuo è D 4 = D 0 1 (1 + i s) (2) 1 (1 + i s ) 12 Poiché il debitore, cmbindo istituto di credito, pg un penle di α centesimi di D 4 finnzit dl nuovo istituto, signific che nel nuovo istituto si deve ripinre un debito di (1 + α) D 4 ll frncese in 9 semestri (tenete conto dell llungmento del pino di un semestre) tsso i 1,s. L nuov rt costnte R, pertnto, secondo lo stesso tipo di formul ust in (1), risult R i 1,s = (1 + α) D 4. (3) 1 (1 + i 1,s ) 9 Inserendo nell (3) l (2), si h che Tenendo conto dell (1), l (4) port R = (1 + α) D 0 R R i 1,s (1 (1 + i s ) 8 ) (1 (1 + i 1,s ) 9 ) (1 (1 + i s ) 12 ). (4) = (1 + α) i1,s i s 1 (1 + i s) 8 1 (1 + i 1,s ) 9 (5). Richiedere che l nuov rt scend del 5% rispetto ll vecchi equivle dire che R R membro dell (5) con 0,95 e isolndo α, dopo qulche pssggio lgebrico, si trov che = Sostituendo il primo α = 0,95 is 1 (1 + i 1,s) 9 1. i 1,s 1 (1 + i s ) 8 Inserendo or i dti numerici nell suddett equzione, si h che α = 7,79%, con pprossimzione ll second cifr decimle nell form percentule. Soluzione sesto quesito Il rendimento netto é inserito nell equzione dell operzione regime semplice in cui si cquist l prezzo A piú l percentule del plusvlore α(n A), d versre llo stto, e si riceve il nominle N dopo nove mesi, ossi ove t = 3/4. Se si vuole ricvre r N, si h che N = (A + α(n A))(1 + r N t), r N = (N A)(1 α) (A + α(n A))t. Immettendo i dti, si h che r N = 1,77%, con pprossimzione ll second cifr decimle nell form percentule. Il discounted csh-flow del titolo é dto d Soluzione settimo quesito G(x) = P + c x + c 2 (1 + x), ove c 1 e c 2 sono rispettivmente l prim cedol e quell finle. Se voglimo che il rendimento del titolo si r = 4%, é sufficiente porre G(r) = 0, che, dopo qulche pssggio lgebrico, port c 2 = P(1 + r) c r. Inserendo i dti, si trov che c 2 = 915,14, con l pprossimzione richiest.

5 Soluzione ottvo quesito ) Un possibile scelt di risoluzione (NON l unic) del primo punto di questo esercizio é di stilre il pino completo di mmortmento. In tl modo, comunque, vremo risposto nche l secondo punto dell esercizio. Il pino di mmortmento fino ll epoc finle t = 3 é dunque: t C k I k R k D k Pertnto, l terz rt é di 510. b) Avendo completto il pino di mmortmento, si vede immeditmente che le tre quote cpitle sono rispettivmente 400, 300 e 500. c) Il nuovo pino di mmortmento di tre nni prte con un debito residuo di 200, dovuto ll rt finle che l impres vrebbe dovuto corrispondere meno i 310 che l impres effettivmente pg ll fine del terzo nno. Se stilimo tle nuovo pino si trov: t C k I k R k D k ,68 4, , ,32 0, , Pertnto, l rt finle é di 12,8128 (senz lcun pprossimzione, riportndo il risultto ll qurt cifr decimle come richiesto). d) Per spere qule tsso costnte i vrei ottenuto lo stesso, intero pino di sei nni, mi bst impostre l condizione di chiusur finnziri sul pino stesso, ossi 6 k=1 R k (1 + i) k = 1200, ove R k, per k = 1,...,6, sono le rte effettivmente pgte. L formul precedente si puó riscrivere come un equzione del tipo f (i) = 0 nell incognit i, ove f (i) = 6 k=1 R k = (1 + i) k (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) ,8128 (1 + i) Per rispondere quest domnd, bst dimostrre che l soluzione di tle equzione é unic e compres tr i vlori indicti. Notte che: () f (0) > 0; (b) f (i) < 0 per i molto elevti; (c) f (i) é monoton decrescente (lo si vede fcilmente clcolndo l derivt di f (i)). Attrverso lunghi m bnli clcoli, si verific che f (0,022) > 0, mentre f (0,023) < 0, il che implic qunto si volev dimostrre. Soluzione quesito teorico L durtion del titolo si ottiene pplicndo l seguente formul: D = ove > 0 é l cedol comune del primo e secondo semestre, mentre r > 1 é il rendimento. Se imponimo che D = 0,75 (ossi durtion di nove mesi), si h che 2 + +, = 0,75,

6 d cui 0,5 1 + r r = 0,75 + 0, r 1 + r. Segue quindi che, dopo ver portto secondo membro il primo termine del primo membro e, nlogmente, primo membro il secondo termine del secondo membro, 0,25 Semplificndo or per 0,25 mbo i membri, si rriv 1 + r = 0, r 1 + r = 1, ossi r = 0, che er qunto si volev dimostrre.