1. Comprensione del problema e calcolo meccanico

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1 Introduzione Questo testo (messo a punto per alunni del 2 ciclo della scuola elementare) si propone di far crescere nel bambino una competenza specifica nel campo dei problemi aritmetici evitando il più possibile il ricorso a spiegazioni verbali. Il metodo qui utilizzato (metodo «intuitivo-percettivo») intende far leva sulle capacità intuitive del bambino, spesso menzionate, ma assai poco attivate nella pratica scolastica. Molti insegnanti tendono infatti a imporre senza elasticità le proprie spiegazioni a scuola, con risultati spesso deludenti, specie con i bambini in difficoltà. Recenti studi in campo neuropsicologico lasciano intravvedere nuove prospettive metodologiche sulla soluzione di problemi in ambito didattico. Quando si parla di risoluzione di problemi si tende tradizionalmente a sottolinare l aspetto «logico» del procedimento. Tuttavia, sta prendendo consistenza l ipotesi che il procedimento mentale di risoluzione di questi problemi sia prevalentemente «analogico» (l alunno, cioè, acquisisce conoscenze scoprendo intuitivamente analogie e somiglianze). Il bambino a sei anni ha accumulato una massa enorme di informazioni e competenze procedendo a balzi, per chiarimenti anche improvvisi, tra zone di luce e ombra. Quando arriva a scuola viene pretesa da lui una comprensione lineare progressiva, consapevolmente padroneggiata. Il materiale qui presentato intende invece rispettare le caratteristiche cognitive del bambino ed è frutto di ripetute esperienze pratiche che sostengono l ipotesi «analogica». Di seguito illustriamo brevemente le caratteristiche principali del metodo analogico seguito in questo volume e le quattro sezioni in cui quest ultimo si articola. 1. Comprensione del problema e calcolo meccanico La ricerca del procedimento attraverso la comprensione profonda del problema e il calcolo computistico fanno riferimento a funzioni diverse della mente. È importante distinguere bene questi due obiettivi e perseguirli uno per volta. Per quanto riguarda le routine del calcolo, in attività di rinforzo o di recupero, è consigliabile l uso della calcolatrice perché permette di: focalizzare l attenzione sui momenti fondamentali della comprensione, evitando un eccessiva concentrazione sui processi di calcolo; mantenere il ritmo dell attenzione senza lunghe interruzioni; accedere a un campo di problemi più vasto e quindi più mirato alla comprensione; procedere nell attività in modo più veloce, produttivo e gratificante. INTRODUZIONE 7

2 2. Trasformazione e semplificazione di un testo di problema La comprensione del problema dipende molto dal testo e da come ne sono presentati i dati. Qui di seguito si riportano le fasi di un processo di trasformazione del testo di un problema, per renderlo più chiaro, semplice e correttamente comprensibile. 1. Testo con struttura subordinata e inversione di ordine. Se Franca ha speso 6 per acquistare 3 lampadine per il magazzino, quanto ha speso per ciascuna di esse? 2. Riduzione in asserzioni semplici. Ogni proposizione ha un solo dato. Franca ha acquistato 3 lampadine per il magazzino. Ha speso 6. Quanto ha speso per ognuna? 3. Formalizzazione. Scelta selettiva dei dati utili. Ci sono 3 lampadine. Il prezzo è di 6. Qual è il prezzo di ognuna? 4. Testo definitivo. I «quantificatori logici» sono espliciti. Ci sono 3 lampadine. Il prezzo totale è di 6. Qual è il prezzo unitario? 5. Rappresentazione grafica. Formazione dell immagine mentale Espressione aritmetica 6 : 3 = 3. Una lavagna mentale L immagine mentale (nella fase 5) costituisce il livello più facile di comprensione del problema da parte del bambino. Il metodo seguito in questo testo parte da questo presupposto. Le immagini sono il punto di partenza, il testo verbale è il punto di arrivo. 8 PROBLEMI PER IMMAGINI

3 Viene rovesciata così la tradizionale impostazione scolastica di approccio ai problemi, proponendo la seguente scansione: Anzitutto il bambino deve imparare a servirsi della sua lavagna mentale sulla quale disegnare, cancellare, aggiungere, spostare, rovesciare. Successivamente deve avvicinarsi gradualmente con il massimo di attenzione al linguaggio verbale che costituisce la parte più difficile. 4. Precedenza alle immagini immagini chiare I primi problemi presentati sono già tradotti in immagine per motivi di gradualità nella difficoltà. Le immagini presentate sono il più possibile chiare, simmetriche, formalizzate, simili alle immagini mentali che il bambino deve imparare a costruirsi. Risolvere problemi è una questione di corretta lettura e manipolazione mentale di immagini. 5. Economia di linguaggio Il testo verbale è presentato più avanti nel volume e con gradualità. Pochissime parole sono essenziali per la determinazione dei significati nei problemi. Per evitare problemi aggiuntivi di decodificazione verbale, il testo è reso quanto mai chiaro e semplice nella sua struttura sintattica. Spesso infatti l incapacità di risolvere i problemi deriva anche dalla difficoltà di decodificare il testo verbale. 6. Metodo analogico globale È importante presentare con una certa velocità una grande quantità di problemi, perché il bambino impara globalmente, cioè per successive esperienze di approfondimento, dopo aver considerato tutta la materia in questione. Più che da spiegazioni verbali la conoscenza gli deriva dal rinvenimento intuitivo di analogie, di somiglianze tra le situazioni. Dovrebbe essere un processo più intuitivo-percettivo che logicoverbale e mnemonico. 7. Ritmo, ritualità e tempi di attenzione Le schede di questo testo permettono di operare in una diversa organizzazione dei tempi di apprendimento. L opportunità di servirsi di materiale già pronto e della calcolatrice per i calcoli meccanici permette di focalizzare le energie solo sul momento della comprensione. L aumento del ritmo e il rispetto di una ritualità specifica nel presentare i problemi favoriscono il mantenimento dei tempi di attenzione. INTRODUZIONE 9

4 Più l attenzione è labile più si deve far ricorso a sequenze regolari e rapide di lavoro. La regolarità delle sequenze e la cadenza dei tempi aiuta il bambino nello sforzo di sistemare i dati nello spazio e nel tempo della memoria. È un aiuto importantissimo specie per i bambini con difficoltà di apprendimento. 8. Contenuti dei problemi Nel volume è stata dedicata una particolare attenzione ad alcuni procedimenti cognitivi essenziali per la comprensione dei problemi nel secondo ciclo: Ricerca del prezzo totale (addizione e moltiplicazione) Ricerca del prezzo unitario (divisione di ripartizione) Ricerca della quantità (divisione di contenenza) I problemi concernenti la moltiplicazione e la divisione rimandano a questa triplice polarità di opzione. 9. SEZIONE 1: Operare con le immagini Nella prima sezione del volume tutta l attenzione è focalizzata sul procedimento risolutivo, poiché il testo verbale è già tradotto in immagine. Risolvere il problema significa operare su queste immagini mediante azioni simulate di spostamento, cancellazione, sovrapposizione degli oggetti. Due obiettivi Gli esercizi mirano innanzitutto a incrementare questa capacità specifica di operare con immagini mentali. Secondariamente il bambino deve imparare ad associare l operazione mentale all operazione aritmetica adeguata. I bambini con disturbi dell apprendimento non riescono a visualizzare una sequenza ordinata di azioni, inoltre hanno difficoltà a costituire associazioni non ambigue tra l azione e l operazione aritmetica corrispondente. Ripetere il procedimento In questi casi risulta particolarmente efficace ripetere più volte l esecuzione corretta dei vari problemi, senza soffermarsi sugli errori, senza impartire spiegazioni. La comprensione arriva gradualmente, secondo fasi che, né l insegnante né il bambino, riescono spesso a controllare. Succede frequentemente che il bambino scelga le operazioni adeguate lasciandosi guidare dall intuito. 10 PROBLEMI PER IMMAGINI

5 Divisione di ripartizione Per evitare effetti di probabile disorientamento, in questa prima parte, viene introdotta solo la divisione di «ripartizione», come operazione inversa della moltiplicazione: divisione di ripartizione: ricerca del prezzo unitario moltiplicazione: ricerca del prezzo totale. La divisione di «contenenza», più inusuale e difficile, verrà introdotta più avanti. 10. SEZIONE 2: Comprensione del testo Nella seconda sezione del volume viene preso in esame il testo verbale. La comprensione del testo dei problemi dipende dalla comprensione di alcuni termini: tutti uno ciascuno Il termine «ciascuno» in particolare crea difficoltà per il suo significato ambiguo. Indica infatti al contempo i significati opposti di uno e di tutti. Una Ciascuna Tutte Il termine ciascuno può essere sostituito da altre espressioni: «Ognuno» oppure «Al pezzo» «L uno» oppure «A testa» «Unitario» oppure «A bicchiere» Quando gli indicatori «tutto» o «ciascuno» sono assenti, è da ritenersi sottinteso l indicatore «tutto» perché concettualmente più semplice e di uso comune. I problemi di questa sezione intendono sviluppare una competenza semantica su questi termini. INTRODUZIONE 11

6 11. SEZIONE 3: Prezzo totale, prezzo unitario, quantità Nella terza sezione è introdotta la divisione di «contenenza» (ricerca della quantità). Per sostenere l apprendimento, reso più difficile, con modalità spazio-percettive, viene proposto uno schema grafico simile alle «etichette di prezzo» che vengono poste sui prodotti in vendita nei negozi. Compilando questo schema il bambino risolve più facilmente il problema. A seconda dell incognita del problema, l operazione risolutiva è la seguente: Moltiplicazione PREZZO TOTALE QUANTITÀ PREZZO UNITARIO Divisione di contenenza Divisione di ripartizione Compilando lo schema il bambino è guidato a identificare i dati essenziali. È un aiuto grafico alla formalizzazione. La disposizione fissa dei dati tra loro introduce una facilitazione in base alla posizione: se manca il dato «sopra» è una moltiplicazione se manca il dato «sotto» è una divisione. 12. SEZIONE 4: Prezzo e misure Nella quarta sezione i problemi presentano nell immagine un solo oggetto. Non si parla più di quantità di oggetti ma di «parti» dello stesso oggetto. Nuove immagini Il bambino deve dar prova di conoscere e di saper utilizzare un nuovo repertorio di immagini mentali: kg, hg, cm, km, ecc. Aumenta il livello di astrazione, ma le strategie risolutive rimangono le stesse già incontrate nelle precedenti sezioni. Moltiplicazione o divisione Il dilemma della scelta tra moltiplicazione e divisione viene risolto, anche in situazioni molto complesse, ricorrendo allo schema-etichetta, che funziona da guida nella decodificazione-identificazione dei dati e suggerisce da solo l operazione da eseguire. 12 PROBLEMI PER IMMAGINI

7 Ricerca di indizi La ricerca della soluzione è per il bambino una messa a fuoco graduale di tutti gli indizi linguistici e non linguistici utili alla comprensione: se compare la parola «ciascuno» nella domanda è indizio di divisione. se compare la parola «contiene» è indizio probabile di divisione di contenenza. se il dato presenta due marche è identificato come prezzo unitario. se il dato ha una sola marca in euro o centesimi è il prezzo totale. se il dato in euro o centesimi è grande è un indizio non sufficiente che si tratta del prezzo totale, ecc. Calcolo di probabilità Come in tutte le situazioni di apprendimento questi indizi vengono soppesati secondo un complesso calcolo di probabilità e man mano che il bambino diventa esperto nella scelta dell operazione diminuisce il grado di approssimazione della sua risposta. AVVERTENZA PER LA NUOVA EDIZIONE La nuova edizione di questo volume è stata completamente aggiornata con l inserimento dei prezzi in euro. Si è scelto di evitare il più possibile i numeri decimali e di omettere il doppio zero dopo la virgola (quindi 2 anziché 2,00), affinché il bambino riesca a risolvere le operazioni da solo. Per quanto riguarda i prezzi inferiori un euro, sempre per motivi di semplificazione, si è optato per la cifra in centesimi (quindi 50 cent anziché 0,50). L insegnante potrà eventualmente insegnare ai bambini alcune regole per trasformare successivamente i centesimi in euro.* Negli esercizi in cui sono previste operazioni con i numeri decimali, l insegnante valuterà se sia opportuno permettere al bambino di utilizzare la calcolatrice. * Per insegnare l uso dell euro agli alunni in difficoltà si veda M. Malagoli, Laboratorio euro, Trento, Erickson, INTRODUZIONE 13

8 6 NOME OME ADDIZIONE MOLTIPLICAZIONE OME 8 cent 8 cent 8 cent 8 cent 5 cent 5 cent 5 cent 5 cent 5 cent 15 cent 20 cent Qual è il prezzo totale? SVOLGI QUI L OPERAZIONE Segna la risposta esatta: 92 cent 98 cent , Camillo Bortolato, Problemi per immagini, Trento, Erickson

9 42 NOME OME COMPRENSIONE DEL TESTO OME Ci sono 4 formaggini. Il prezzo è di 50 cent l uno. Ci sono 4 biscotti. Il prezzo è di 10 cent ciascuno. Ci sono 4 cioccolatini. Ognuno costa 40 cent. Qual è il prezzo complessivo? SVOLGI QUI L OPERAZIONE Segna la risposta esatta: , Camillo Bortolato, Problemi per immagini, Trento, Erickson 69

10 116 NOME OME VELOCITÀ OME Per andare al mare la distanza da percorrere è 150 km. Luisa ha impiegato 3 ore per arrivarci. Inserisci i dati nella tabella e formula la domanda. TOTALE KM ORE KM / ORA (velocità) Domanda? SVOLGI QUI L OPERAZIONE Segna la risposta esatta: 55 km / ora 50 km / ora 2002, Camillo Bortolato, Problemi per immagini, Trento, Erickson 147