Introduzione ad archi volte e cupole

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1 Introduzione ad archi volte e cupole 1

2 Definizioni Arco semplice Volta a crociera Volta a botte Volta a padiglione 2/75

3 Definizioni Tagliando una volta a botte su pianta rettangolare con due piani verticali passanti per i vertici opposti del rettangolo di base si ottengono 4 elementi: 2 cappe o manti 2 unghie o fusi 3/75

4 Definizioni L unione di quattro cappe forma la volta a crociera 4/75

5 Definizioni L unione di quattro unghie forma la volta a padiglione 5/75

6 L arco Aspetti base del comportamento strutturale 6/75

7 L arco Aspetti base del comportamento strutturale Trave appoggiata (sistema trilitico) Trazione Compressione Trasmissione di sole azioni verticali Isostatiche di compressione Arco Isostatiche di trazione Compressione Trasmissione di azioni verticali e orizzontali (spinte) 7/75

8 L arco Aspetti base del comportamento strutturale L arco è un elemento strutturale in grado di incanalare, con la sua traiettoria curvilinea, le sollecitazioni prodotte dai carichi trasformandole in forze prevalenti di compressione. Curva di pressione o funicolare Reazione verticale Reazione orizzontale 8/75

9 L arco Aspetti base del comportamento strutturale La sollecitazione di compressione rappresenta praticamente l unica sollecitazione cui la pietra e la muratura sono in grado di resistere. Curva di pressione o funicolare Reazione verticale Reazione orizzontale 9/75

10 L arco Aspetti base del comportamento strutturale Come si costruisce un arco 10/75

11 Aspetti base del comportamento strutturale Come si costruisce una volta 11/75

12 Il materiale pietra Proprietà principali: Stabilità ottenuta per compressione Scarsa resistenza a trazione Fragile Verifica dell equilibrio GEOMETRIA e DISTRIBUZIONE delle masse garantiscono il corretto flusso delle forze nelle sezioni resistenti Verifica di resistenza Le sollecitazioni nelle sezioni devono essere minori delle resistenze dei materiali 12/75

13 Equilibrio e resistenza Situazione ideale Compressione uniforme d/3 Situazione compatibile Carico eccentrico Sezione compressa Situazione limite Sezione parzializzata Superamento della resistenza Situazione instabile Risultante fuori base RIBALTAMENTO 13/75

14 Equilibrio e resistenza La sezione rettangolare è tutta compressa se il centro di pressione cade all interno del terzo medio 14/75

15 Equilibrio e resistenza Nel caso di due corpi appoggiati l uno sull altro con vincolo di semplice contatto non può sussistere equilibrio se il risultante cade fuori dalla sezione. 15/75

16 Gli studi sull arco Gli studi condotti sull arco nel corso del XIX secolo riguardavano prevalentemente la forma da conferire all arco per garantire la centratura dello sforzo normale in corrispondenza delle facce a contatto tra un concio e l altro Mèry mostrò che il problema della determinazione del regime statico di un arco poteva essere risolto utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave, con retta d azione orizzontale (per arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato) In questo modo noti i carichi esterni, era possibile ottenere l andamento della curva delle pressioni. 16/75

17 Metodo di Mèry La verifica dell arco consiste nell accertare che nelle sue sezioni non siano presenti forze di trazione Per un arco con sezione trasversale rettangolare, bisogna verificare che la curva delle pressioni sia contenuta all interno della fascia delimitata dal terzo medio di tutte le sezioni trasversali (nocciolo centrale d inerzia). 17/75

18 Metodo di Mèry Si determinano i carichi agenti sull arco, considerando le parti di sovrastruttura che competono ad ogni singolo concio ed applicando la forza nel baricentro della regione relativa. P 6 P 5 P 4 P 3 P P /75

19 Metodo di Mèry Essendo l arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato, si può limitare lo studio a metà di esso, applicando nella sezione di chiave la forza trasmessa dalla restante parte. P 6 5 P 4P 3P 2 P 1P H 19/75

20 Metodo di Mèry Tale forza ha retta d azione orizzontale (ortogonale alla sezione cui è applicata) e si considera applicata al terzo medio superiore della sezione stessa. P 6 5 P 4P 3P 2 P 1P H 20/75

21 Metodo di Mèry Costruito il poligono funicolare dei carichi esterni relativa a metà arco, il problema si risolve utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave. P 6 P 5 K P 4 P 3 P 2 R 1P H R 1P P 2 P 3 P4 O Poligono funicolare P 5 P6 Poligono delle forze 21/75

22 Metodo di Mèry Per l equilibrio il poligono dei vettori deve risultare chiuso e le rette d azione devono concorrere in un medesimo punto (K) La retta d azione della reazione d imposta deve passare per K e per il terzo medio inferiore della sezione stessa. 6P K P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 H curva delle pressioni 1P 2P P 3 4P 5P H S Q S P 6 22/75

23 Metodo di Mèry Si può costruire la curva delle pressioni, utilizzando il poligono funicolare costruito sul polo Q Il poligono funicolare costruito utilizzando il polo Q rappresenta il poligono delle successive risultanti, cioè la curva delle pressioni. 6P P 5 P 4 P 3 P 2 P 1 H curva delle pressioni 1P 2P P 3 4P 5P H S Q S P 6 23/75

24 La verifica di stabilità dell arco La linea delle pressioni descrive le azioni scambiate tra conci adiacenti Se non passa per i baricentri delle sezioni si hanno sollecitazioni composte di forza assiale, taglio e flessione. 24/75

25 La verifica di stabilità dell arco La verifica di stabilità richiede che siano verificate le condizioni: T f N M/N = e h/2 f = tgφ è il coefficiente di attrito e = eccentricità della forza assiale rispetto al baricentro: Se e h/6 la sezione è interamente compressa Se e > h/6 la sezione è parzializzata Se e > h/2 l equilibrio è impossibile. 25/75

26 Metodo di Mèry Lo spostamento della risultante dei carichi verso le imposte comporta una riduzione della reazione orizzontale. 26/75

27 Il ruolo dell attrito Un vincolo scabro è in grado di fornire, oltre alla reazione R v una reazione R t ortogonale ad essa, diretta secondo lo spostamento che esso consente. Cono di attrito 27/75

28 Il ruolo dell attrito L entità della componente R t non può superare un aliquota della reazione principale R v : R t f R v Cono di attrito 28/75

29 Il ruolo dell attrito Il coefficiente di attrito f si può esprimere come: f =R t / R v = tgφ Cono di attrito 29/75

30 Il ruolo dell attrito Il vincolo è in grado di equilibrare una forza inclinata rispetto alla direzione ortogonale al piano di scorrimento < f (interna al cono di attrito) φ φ Cono di attrito 30/75

31 Trovare la giusta curva delle pressioni Il tracciato della linea delle pressioni è un indice della stabilità dell arco Quanto più si discosta dalla linea d asse dell arco tanto maggiore deve essere lo spessore dell arco 31/75

32 Trovare la giusta curva delle pressioni Domanda: la curva delle pressioni trovata è quella giusta (data la scelta arbitraria del polo H)? 32/75

33 Esercizio Trovare la giusta curva delle pressioni col metodo del Mèry P1 = 10 kn P2 = 20 kn = P3 = P4 = P5 Scala: 10 kn = 1 cm Proviamo due poli diversi! 33/75

34 Esercizio Trovare la giusta curva delle pressioni col metodo del Mèry 34/75

37 Aspetti base del comportamento strutturale Teorema di minimo di J. Heymans: Se è possibile trovare un campo di tensioni nella struttura che sia ovunque equilibrato internamente e con i carichi esterni, senza violare la condizione di rottura, tali carichi esterni saranno portati dalla struttura in sicurezza. Interpretazione: Se il progettista è così furbo da trovare un polo che dia luogo ad una curva delle pressioni interna all arco e prossima alla massima eccentricità ammissibile, allora l arco sarà altrettanto furbo da trovarne una per proprio conto! 37/75

38 Spessore dell imposta medievale 38/75

39 Spessore dell imposta analitico b 3 oppure e b 6 39/75

40 Spessore dell imposta 40/75

41 Danneggiamento degli archi Assestamento dell imposta 41/75

42 Danneggiamento degli archi Assestamento dell imposta Dimensionamento insufficiente 42/75

43 Danneggiamento degli archi Assestamento dell imposta Dimensionamento insufficiente Forze concentrate / carico eccessivo del riempimento 43/75

44 Danneggiamento degli archi Assestamento dell imposta Dimensionamento insufficiente Forze concentrate / carico eccessivo del riempimento Degradazione dei mattoni/malta e allentamento/scorrimento dei conci Roma (via S. Vito) 44/75

45 Danneggiamento degli archi Assestamento dell imposta Dimensionamento insufficiente Forze concentrate / carico eccessivo del riempimento Degradazione dei mattoni/malta e allentamento/scorrimento dei conci modifica delle condizioni, ad es. cambiamento di destinazione d uso 45/75

46 Intervento Incremento della componente verticale R S P1 P2 e > b 6 46/75

47 Intervento Incremento della componente verticale P1 F S R e < b 6 P2 47/75

48 Intervento Incremento della componente verticale riempimento guaina barra 48/75

49 Intervento Diminuzione dell eccentricità Speroni di contrasto Catene all estradosso 49/75

50 Intervento Diminuzione dell eccentricità Catene all intradosso 50/75

51 Intervento Diminuzione dell eccentricità Catene all intradosso (Roma - via S. Vito) 51/75

52 Intervento Miglioramento dell attrito Colla o inserimento di elementi trasversali Collegamento dei conci con spinotti 52/75

53 Intervento Incremento della capacità portante Strati di cls all estradosso 53/75

54 Intervento Incremento della capacità portante Strati di cls all estradosso 54/75

55 Intervento Incremento della capacità portante Irrigidimenti all estradosso 55/75

56 Sicurezza Può essere definita come la distanza fra lo stato corrente ed un dato stato limite 56/75

57 Elementi strutturali: cupole La prima cupola della storia: La stanza del tesoro a Micene (XIV s. a.c.) 57/75

58 Esempi Prima cupola costruita in opus cementitium (cls romano): il Pantheon 58/75

59 Esempi Pantheon 59/75

60 Esempi Combinazione di archi e cupole: Hagia Sofia ad Istanbul (6 secolo D.C.) 60/75

61 Esempi Falsi archi : Tempio del Sole a Konarak (India) 61/75

62 Esempi Schemi nascosti: Duomi a bulbo ad Isfahan 62/75

63 Esempi Schemi nascosti : Taj Mahal in India 63/75

64 Esempi Schemi misti: Santa Maria del Fiore a Firenze 64/75

65 Elementi strutturali: cupole Comportamento strutturale 65/75

66 Danneggiamento delle cupole Assestamento delle imposte Effetti biologici, ad es. semi 66/75

67 Danneggiamento delle cupole Assestamento delle imposte Effetti biologici, ad es. semi Tamburo inefficiente Translation of supporting columns/walls 67/75

68 Danneggiamento delle cupole Assestamento delle imposte Effetti biologici, ad es. semi Tamburo inefficiente Traslazione dei pilastri/muri di supporto 68/75