Proiezioni cartografiche

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1 Proiezioni cartografiche Proiezioni cartografiche Paolo Zatelli Departimento di Ingegneria Civile, Ambientale e Meccanica Università di Trento Paolo Zatelli Università di Trento 1 / 37

2 Proiezioni cartografiche Outline 1 Introduzione 2 Rappresentazioni conformi 3 Rappresentazioni equivalenti 4 Esempi di carte conformi 5 Esempi di carte equivalenti Paolo Zatelli Università di Trento 2 / 37

3 Proiezioni cartografiche Introduzione Cartografia Lo scopo della cartografia è la rappresentazione della realtà 3D su un piano 2D. La trasformazione da 3D a 2D avviene in due passaggi: da 3D a ellissoide dalle 3 coordinate (ϕ, λ, h) alle 2 coordinate (ϕ, λ), punti lungo la normale all ellissoide sono rappresentati da un unico punto da ellissoide a piano cartografico da coordinate (ϕ, λ) a coordinate (x, y) (o (E, N)) Il passaggio da ellissoide a piano è detto proiezione cartografica. Paolo Zatelli Università di Trento 3 / 37

4 Proiezioni cartografiche Introduzione Trasformazione da 3D ad ellissoide Per passare da coordinate 3D di un punto nello spazio al corrispondente punto sull ellissoide si deve avere: scelto l ellissoide in modo che approssimi il meglio possibile globalmente o localmente il geoide orientato l ellissoide globalmente o localmente rispetto alla Terra Si deve quindi avere scelto un sistema di riferimento. Paolo Zatelli Università di Trento 4 / 37

5 Proiezioni cartografiche Introduzione Proiezioni cartografiche Per proiezione cartografica si intende una procedura analitica per trasformare coordinate dalla superficie di riferimento al piano cartografico. Alcune carte sono davvero ottenute con procedimenti assimilabili ad una proiezione geometrica, ma hanno lo svantaggio di non poter controllare le deformazioni. Sono quindi usate come passaggio intermedio per costruire le proiezioni usate davvero. Paolo Zatelli Università di Trento 5 / 37

6 Proiezioni cartografiche Introduzione Deformazioni Il passaggio dalla superficie di riferimento ellissoidica al piano della carta comporta sempre deformazioni, perchè le due superfici non sono sviluppabili (o applicabili). Due superfici sono sviluppabili in un punto se in quel punto la loro curvatura totale è uguale. Si sviluppano proiezioni cartografiche per le quali si è in grado di scegliere il tipo di deformazioni e controllarne l entità. Paolo Zatelli Università di Trento 6 / 37

7 Proiezioni cartografiche Introduzione Curvatura totale Le curvature totali delle superfici usate in cartografia sono: Superficie Curvatura totale Piano 0 Cilindro 0 Cono 0 Sfera 1 R 2 Ellissoide di rotazione 1 ρ(p)n(p) dove R è il raggio della sfera, ρ(p) e N(P) sono i raggi di curvatura della sezione meridiana e della gran normale, che dipendono dalla latitudine ϕ del punto (oltre che dalle dimensioni dell ellissoide). Paolo Zatelli Università di Trento 7 / 37

8 Proiezioni cartografiche Introduzione Superfici di proiezione Dato che il passaggio tra superfici sviluppabili non comporta deformazioni, sono possibili due strategie: proiezione sul piano proiezione su superfici sviluppabili rispetto al piano (ad es. cilindro o cono) e successivo passaggio al piano In ogni caso rimangono le deformazioni legate al passaggio tra ellissoide e superficie sviluppabile. Paolo Zatelli Università di Trento 8 / 37

9 Proiezioni cartografiche Introduzione Proiezione cilindrica I Dal centro di una sfera alla superficie di un cilindro: φ λ x = λr y = R tan ϕ Non ha proprietà utili nè è possibile rappresentare l intero globo (poli). Funziona bene vicino all equatore. Paolo Zatelli Università di Trento 9 / 37

10 Proiezioni cartografiche Introduzione Proiezione cilindrica II Questa è la vera proiezione cilindrica, ma si dice proiezione cilindrica qualunque proiezione per cui valgono le { x = f (λ) y = f (ϕ) (1) ogni coordinata sul piano dipende da una sola coordinata sull ellissoide. Se valgono le eq. 1 meridiani e paralleli sono proiettati su una griglia regolare. Paolo Zatelli Università di Trento 10 / 37

11 Proiezioni cartografiche Introduzione Proiezione su un piano Ad esempio su un piano tangente ad un polo, si può proiettare da: il polo opposto (stereografica polare) il centro della sfera I paralleli sono cerchi concentrici, l altra coordinata è radiale. Paolo Zatelli Università di Trento 11 / 37

12 Proiezioni cartografiche Introduzione Proiezione analitiche L approccio moderno alle proiezioni cartografiche prescinde dalle proiezioni geometriche, sviluppando proiezioni analitiche. La proiezione viene quindi definita dalle equazioni che legano le coordinate sulla supercificie di riferimento alle coordinate del punto corrispondente sul piano in modo biunivoco. Dall ellissoide al piano { x = x (ϕ, λ) Dal piano all ellissoide y = y (ϕ, λ) (2) { ϕ = ϕ (x, y) λ = λ (x, y) (3) Paolo Zatelli Università di Trento 12 / 37

13 Proiezioni cartografiche Introduzione Moduli di deformazione Le deformazioni nel passaggio tra ellissoide e piano sono descritte da tre moduli di deformazione: modulo di deformazione lineare m l = dsr ds e rapporto fra lunghezze di arco infinitesimo sulla sulla rappresentazione (carta) e corrispondente arco infinitesimo sull ellissoide modulo di deformazione areale m A = dσr dσ e rapporto tra area infinitesima sulla rappresentazione e corrispondente area infinitesima sull ellissoide modulo di deformazione angolare δ = α α differenza fra l azimut della trasformata di arco e meridiano sulla rappresentazione e corrispondente angolo tra arco e meridiano sull ellissoide Paolo Zatelli Università di Trento 13 / 37

14 Proiezioni cartografiche Introduzione Proprietà delle proiezioni I Si cerca di conservare il più possibile le caratteristiche delle forme nel passaggio dalla superficie di riferimento alla carta. Proprietà interessanti da conservare sono: 1 la forma 2 la superficie Mentre è possibile conservare la superficie (al netto della scala), non è possibile conservare le forme, se non a livello infinitesimo. Paolo Zatelli Università di Trento 14 / 37

15 Proiezioni cartografiche Introduzione Proprietà delle proiezioni II È possibile nel passaggio tra ellissoide e piano della carta: conservare gli angoli (carta conforme) conservare le superfici (carta equivalente) minimizzare tutte le deformazioni, senza annullarne nessuna (carta afilattica) Paolo Zatelli Università di Trento 15 / 37

16 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni conformi Rappresentazioni conformi I Sarebbe utile conservare, nel passaggio da ellissoide a carta, la forma delle figure. Conservare la forma significa che si mantengono figure simili, cioè con angoli e rapporti fra lunghezze uguali. Ciò non è possibile nel passaggio tra superfici non sviluppabili, e quindi tra ellissoide (o sfera) e piano. Ad esempio un triangolo equilatero ha angoli di 60 sul piano e 90 sulla sfera per un triangolo con lati che sono un quarto di cerchio massimo (superficie pari a un ottavo della sfera). Paolo Zatelli Università di Trento 16 / 37

17 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni conformi Rappresentazioni conformi II Si cerca quindi di conservare la forma di figure infinitesime, nel senso che la deformazione tende a zero più velocemente delle dimensioni delle figure. Più le figure sono piccole più la loro forma è conservata nel passaggio tra ellissoide e carta. È equivalente a dire che si conservano gli angoli tra le tangenti alle curve sull ellissoide e le corrispondenti linee sul piano. Le tangenti sono definite localmente, quindi le proprietà che definiscono le carte conformi sono proprietà locali. Paolo Zatelli Università di Trento 17 / 37

18 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni conformi Rappresentazioni conformi III In modo analitico, cerchiamo una generica funzione f { x = f (ϕ, λ) y = f (ϕ, λ) (4) per cui m l = m l (P), il coefficiente di deformazione lineare dipende solo dalla posizione (e non dalla direzione, è isotropo). In modo equivalente δ (P) = 0 P, il modulo di deformazione angolare è nullo in tutti i punti. Dato che si tratta di proprietà locali, devono valere anche per le approssimazioni locali della funzione f. È quindi possibile imporre la condizione di conformità sui termini lineari di uno sviluppo in serie. Paolo Zatelli Università di Trento 18 / 37

19 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni conformi Latitudine isometrica I Gli incrementi delle due coordinate ellissoidiche dϕ e dλ corrispondono a uno spostamento (infinitesimo) del punto pari a ρdϕ lungo il meridiano e rdλ lungo il parallelo (ρ ed r sono i raggi del meridiano e quello del parallelo). In un intorno abbastanza piccolo di un punto si può istituire un sistema di assi cartesiani diretti come il meridiano e come il parallelo. Su questi assi non è conveniente usare coordinate proporzionali agli incrementi di ϕ e λ perchè sarebbero coordinate con unità di misura diversa lungo i due assi. Paolo Zatelli Università di Trento 19 / 37

20 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni conformi Latitudine isometrica II Per avere coordinate con unità di misura uguali lungo i due assi bisogna sostituire la coordinata ϕ con una altra coordinata funzione della stessa ϕ e denominata u. Se si impone la relazione differenziale la coppia di coordinate u e λ sono isometriche. rdu = ρdϕ (5) Significa che gli incrementi delle due coordinate ellissoidiche du e dλ corrispondono a uno spostamento (infinitesimo) del punto pari a rdu lungo il meridiano e rdλ lungo il parallelo. Il risultato importante è che in entrambe le espressioni appare lo stesso fattore r. Le coordinate cartesiane locali proporzionali agli incrementi di u eλ hanno quindi la stessa unità di misura. Paolo Zatelli Università di Trento 20 / 37

21 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni conformi Latitudine isometrica III ρdφ rdλ Paolo Zatelli Università di Trento 21 / 37

22 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni conformi Condizioni di monogeneità I Si riscrivono le equazioni sostituendo u a ϕ: { x = f (u, λ) y = f (u, λ) (6) e la loro linearizzazione [ x y ] = [ x0 y 0 ] [ x + u y u x λ y λ ] [ δu δλ ] (7) Paolo Zatelli Università di Trento 22 / 37

23 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni conformi Condizioni di monogeneità II La richiesta di conformità sulla parte lineare si riflette sulla struttura della matrice che deve essere del tipo e quindi [ x u y u x λ y λ ] [ ] a b b a (8) (9) { x u = y λ x λ = y u Al primo ordine è una rotraslazione e variazione di scala. (10) Paolo Zatelli Università di Trento 23 / 37

24 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni conformi Condizioni di monogeneità III Le condizioni { x u = y λ x λ = y u sono dette condizioni di monogeneità di Cauchy. (11) Tutte le funzioni che rappresentano una proiezione conforme devono soddisfare questa condizione. Per definire le diverse proiezioni cartografiche conformi si aggiungono alle equazioni differenziali condizioni al contorno o condizioni di altro tipo. Paolo Zatelli Università di Trento 24 / 37

25 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni equivalenti Rappresentazioni equivalenti I Le carte equivalenti conservano le aree nel passaggio tra l ellissoide e la carta. Ciò è possibile anche per figure non infinitesime. Si usa/usava quando è importante determinare l area delle figure, ad es. per scopi fiscali o statistici. Paolo Zatelli Università di Trento 25 / 37

26 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni equivalenti Rappresentazioni equivalenti II Sull ellissoide l area della superficie compresa tra due paralleli e due meridiani si può scrivere ma ρdϕ = rdu, quindi da = (ρdϕ) (rdλ) (12) da = rdu rdλ = r 2 du dλ (13) Lo stesso elemento si trasforma in un parallelogrammo (infinitesimo) i cui lati sono rappresentati sul piano cartografico dai vettori: ( ) (dx, dy) = x y λdλ, ( λ dλ ) (dx, dy) = x y u du, u du lungo la trasformata del parallelo lungo la trasformata del meridiano (14) Paolo Zatelli Università di Trento 26 / 37

27 Proiezioni cartografiche Rappresentazioni equivalenti Rappresentazioni equivalenti III La superficie sul piano è quindi data dal prodotto vettore dei due segmenti, che deve essere pari all area sull ellissoide calcolata nell eq. 13. Risulta che deve valere det [ x u y u x λ y λ ] = r 2 (15) Questa condizione è incompatibile con la condizione di conformità, quindi non esistono trasformazioni cartografiche che abbiano entrambe le proprietá. Alcune carte conformi sono però quasi equivalenti quando sono usate su una zona di estensione limitata. Paolo Zatelli Università di Trento 27 / 37

28 Proiezioni cartografiche Esempi di carte conformi Carte conformi - condizioni per le soluzioni Le carte conformi devono soddisfare le condizioni di monogeneità di Cauchy in eq. 11. Le equazioni differenziali ammettono infinite soluzioni, si devono aggiungere oppurtune condizioni per individuare le soluzioni utili per la cartografia. Al variare delle condizioni si individuano diverse proiezioni conformi: carta di Mercatore, carta di Gauss, ecc. Paolo Zatelli Università di Trento 28 / 37

29 Proiezioni cartografiche Esempi di carte conformi Carta di Mercatore I Si parte dalla soluzione per la proiezione cilindrica, valgono cioè le { x = f (λ) y = f (ϕ) (16) Si cerca una soluzione della forma di eq. 16 che soddisfi la condizione di conformità. Imponendo x = λ r si ottiene y = u r. Queste sono le equazioni della proiezione conforme di Mercatore. Paolo Zatelli Università di Trento 29 / 37

30 Proiezioni cartografiche Esempi di carte conformi Carta di Mercatore II Rispetto alla trasformazione cilindrica l equazione per x rimane la stessa, ma quella per y cambia. Come per la proiezione cilindrica, le deformazioni sono piccole vicino all equatore, mentre il modulo di deformazione lineare aumenta allontanandosene. Le trasformate di meridiani e parelleli sono rette o segmenti di rette paralleli tra di loro e paralleli agli assi cartografici. Paolo Zatelli Università di Trento 30 / 37

31 Proiezioni cartografiche Esempi di carte conformi Carta di Mercatore III Carta di Mercatore. Courtesy of the U.S. Geological Survey Paolo Zatelli Università di Trento 31 / 37

32 Proiezioni cartografiche Esempi di carte conformi Carta di Gauss I La carta di Gauss è una carta conforme per la quale si impongono le condizioni: 1 un meridiano si trasforma in una retta 2 tale meridiano è sviluppato in vera grandezza (al netto della scala) La prima condizione implica che rispetto all equatore e a tale meridiano la carta sia simmetrica. Sul meridiano di riferimento il modulo di deformazione lineare vale 1. Una carta di Gauss è definita dalla trasformazione che risolve le equazioni delle carte conformi con le condizioni sopra. Paolo Zatelli Università di Trento 32 / 37

33 Proiezioni cartografiche Esempi di carte conformi Carta di Gauss II Le espressioni analitiche della trasformazione sono date in forma chiusa solo per la sfera, per l ellissoide si usano sviluppi in serie. La deformazione lineare è nulla sul meridiano di riferimento, ma cresce con λ 2 allontanandosi da esso. Per questo motivo si applica la rappresentazione di Gauss per fusi, tipicamente di 6 Paolo Zatelli Università di Trento 33 / 37

34 Proiezioni cartografiche Esempi di carte equivalenti Proiezione di Flamsteed I La proiezione di Flamsteed (o di Sanson-Flamsteed o sinusoidale o naturale) è una proiezione equivalente per la quale: i paralleli sono rappresentati da rette parallele tra loro il modulo di deformazione lineare è pari ad 1 sul meridiano centrale Sulla sfera ha equazioni { x = λ cos ϕ y = ϕ (17) Si dice sinusoidale perchè applicata ad una sfera porta a meridiani rappresentati da sinusoidi. Paolo Zatelli Università di Trento 34 / 37

35 Proiezioni cartografiche Esempi di carte equivalenti Proiezione di Flamsteed II Proiezione sinusoidale. Courtesy of the U.S. Geological Survey Paolo Zatelli Università di Trento 35 / 37

36 Proiezioni cartografiche Esempi di carte equivalenti Proiezione di Flamsteed III Proiezione sinusoidale. c 2011 Daniel R. Strebe, licenza Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported. Paolo Zatelli Università di Trento 36 / 37

37 Proiezioni cartografiche Appendice Licenza Questa presentazione è c 2017 Paolo Zatelli, disponibile come Paolo Zatelli Università di Trento 37 / 37